Как найти среднее число электронов

Квантовая статистика
– это статистический метод исследования,
применимый к системам, состоящим из
большого числа частиц, которые подчиняются
законам квантовой механики. Квантовая
статистика – это дважды статическая
система.

Соотношение,
которое позволяет, зная концентрацию
электронов , найти энергию Ферми , или,
наоборот:

Среднее значение
энергии электронов: <E>=₀∫^∞Eg(E)f(E)dE/₀∫^∞g(E)f(E)dE
= (3/5)E_F.

33. Электрическая проводимость твердых тел с точки зрения зонной теории. Металлы, полупроводники, диэлектрики.

С точки зрения
зонной теории все твердые тела можно
подразделить на две основные группы:
материалы, у которых валентная зона
перекрывается зоной проводимости, и
материалы, у которых валентная зона и
зона проводимости разделены запрещенной
зоной. В первом случае незначительное
внешнее энергетическое воздействие
переводит электроны на более высокие
энергетические уровни, что обусловливает
хорошую электропроводность материалов.
Во втором случае переходы на более
высокие энергетические уровни связаны
с необходимостью внешнего энергетического
воздействия, превышающего ширину
запрещенной зоны. Материалы, в
энергетической диаграмме которых
отсутствует запрещенная зона, относятся
к категории проводников, материалы с
узкой запрещенной зоной (менее 3 эВ) —
к категории полупроводников и материалы
с широкой запрещенной зоной (более 3 эВ)
— к категории диэлектриков.

34. Чистые полупроводники. Механизм проводимости. Зависимость проводимости от температуры.

Чистые полупроводники
называются собственными.

При температурах,
T→0,
полупроводник с правильной кристаллической
решеткой не имеет свободных электронов
в зоне проводимости и является хорошим
изолятором.

При повышении
температуры электроны получают тепловую
энергию, которая даже при комнатных
температурах может оказаться достаточной
для перехода с верхних уровней валентной
зоны в зону проводимости. В этом случае
в валентной зоне освобождается свободное
место, которое называется дыркой.

При наложении
внешнего электрического поля на место
дырки в валентной зоне может перейти
электрон соседнего атома, т.е. дырка
будет перемещаться в направлении,
противоположном направлению электронов.
Следовательно дырку можно рассматривать
как фиктивный положительный заряд.

Таким образом,
носителями заряда в чистых полупроводниках
являются электроны в зоне проводимости
и дырки в валентной зоне.

Электропроводность
чистых полупроводников возрастает с
увеличением температуры полупроводника.

35. Примесные полупроводники p-типа и n-типа. Механизмы проводимости. Зависимость проводимости от температуры.

Примеси могут быть
донорного и акцепторного типа.Донор
— это примесный атом или дефект
кристаллической решётки, создающий в
запрещенной зоне вблизи «дна» зоны
проводимости энергетический уровень,
занятый в невозбуждённом состоянии
электроном и способный в возбуждённом
состоянии при тепловом возбуждении
отдать электрон в зону проводимости.
Акцептор — это примесный атом или дефект
кристаллической решётки, создающий в
запрещённой зоне вблизи «потолка»
валентной зоны энергетический уровень,
свободный от электрона в невозбуждённом
состоянии и способный захватить электрон
из валентной зоны благодаря тепловому
возбуждению.

Полупроводник
n-типа получается, если в чистый
полупроводник добавить примесь с
валентностью, большей на единицу.
Образуется один избыточный электрон.
Для того, чтобы оторвать его от атома и
превратить в свободный носитель заряда,
требуется значительно меньшая, чем
ширина запрещенной зоны, энергия.
Полупроводник p-типа получается, если
в чистый полупроводник добавить примесь
с валентностью, меньшей на единицу. Т.е.
образуется вакантное место – дырка.
При повышении температуры на место этой
дырки может перейти электрон соседнего
атома. Для такого перехода требуется
значительно меньшая, чем ширина
запрещенной зоны, энергия.

В целом
электропроводность полупроводника
включает в себя собственную и примесную
составляющие. При небольшом повышении
температуры собственная проводимость
полупроводника практически равна нулю,
так как приобретенной электронами
полупроводника тепловой энергии не
хватает для преодоления запрещенной
зоны. При повышении температуры
(T≈350-400K) все атомы примеси полностью
ионизируются и наступает примесное
истощение.

72,1% бесплатных материалов

968 руб. средняя цена курсовой работы

353 руб. средняя цена домашнего задания

116 руб. средняя цена решённой задачи

162 руб. средняя цена лабораторной работы

174 руб. средняя цена реферата

177 руб. средняя цена доклада

1626 руб. средняя цена ВКР

665 руб. средняя цена диссертации

596 руб. средняя цена НИР

360 руб. средняя цена отчёта по практике

276 руб. средняя цена ответов (шпаргалок)

202 руб. средняя цена лекций

232 руб. средняя цена семинаров

280 руб. средняя цена рабочей тетради

187 руб. средняя цена презентации

67 руб. средняя цена перевода

143 руб. средняя цена изложения

150 руб. средняя цена сочинения

308 руб. средняя цена статьи

Гарантия возврата средств

Для вывода формулы туннельного тока в системе металл-диэлектрик-металл (формула John G. Simmons, см. пункт 1.2.1), необходимо ввести ряд упрощающих положений и напомнить некоторые основы электронной теории металлов.

• Во-первых, будем считать, что всё твёрдое тело (металл) представляется как трехмерная потенциальная яма с гладким дном (так называемая модель Зоммерфельда) и электроны между собой не взаимодействуют. Энергия электрона, покоящегося на дне такой ямы, меньше, чем уровень вакуума – энергия покоящегося электрона, находящегося на бесконечности от поверхности тела. Глубина потенциальной ямы U определяется усреднённым полем положительных ионов решётки и всех электронов.
• Во-вторых, так как все электроны считаются невзаимодействующими, то решение уравнения Шредингера для системы электронов сведется к решению уравнения Шредингера для одного электрона, движущегося в этом усреднённом поле, что позволяет использовать формулы (3) пункта 1.1.1 или (4) in пункта 1.1.2.
• В третьих, в потенциальном ящике с гладким дном зависимость разрешённых значений энергии от разрешённых значений волнового вектора оказывается точками на параболической зависимости энергии от компонент волнового вектора
  
  для свободного электрона в пустом пространстве. Если масса электронов m изотропна во всём пространстве, то справедливо
  
  , где
  
  ,
  
  ,
  
  – импульсы электрона вдоль соответствующих осей.

Из статистической физики [1] известно, что в системе, находящейся в термодинамическом равновесии с температурой T, все квантовые состояния с одним и тем же значением энергии E заполнены электронами одинаково. Среднее число электронов находящихся в одном квантовом состоянии с энергией E при температуре T определяется распределением Ферми-Дирака:

где

= (11600)^–1 eV/К – постоянная Больцмана,

– параметр, имеющий размерность энергии и называемый химическим потенциалом.

Химический потенциал

определяется из условия нормировки

где n_e – число электронов зоны проводимости на единицу объема (концентрация),

– число электронных состояний на единицу объема в интервале энергий от E до E + dE. n(E) называется энергетической плотностью числа состояний.

В металле при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, электроны заполняют все квантовые состояния с энергиями вплоть до уровня

называемого уровнем Ферми. Все квантовые состояния с энергией выше уровня Ферми свободны от электронов. Для металла химический потенциал слабо зависит от температуры, поэтому его можно заменить значением

при T = 0:

где m – масса электрона. Если n_e измеряется в системе единиц СГС, тогда

.

Если система находится в тепловом равновесии и состоит из нескольких подсистем, то уровни Ферми, для каждой подсистемы должны совпадать (рис. 1). Если же между двумя подсистемами (телами) приложено напряжение V, то уровень Ферми тела, связанного с плюсом источника напряжения, понижается, а другого тела – повышается. При этом уровни Ферми первого и второго тела отличаются на величину eV (рис. 2).

Выводы.

При решении задачи о туннелировании электронов в системе металл-диэлектрик-металл (пункт 1.2.1) будем считать, что:

• Справедлива модель Зоммерфельда.
• Каждый электрон в твёрдом теле движется в усреднённом поле других электронов и ионов кристаллической решётки.
• Справедлив квадратичный изотропный закон дисперсии для свободного электрона в пустом пространстве.
• В металлах при
  
  , все квантовые состояния с энергиями вплоть до уровня Ферми, вычисляемого по формуле (3), заняты электронами, а все квантовые состояния с энергией выше уровня Ферми свободны.

Литература.

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика // М.: Наука, 1976.
2. Ч. Киттель. Введение в физику твёрдого тела // М.: Наука, 1978.