Как найти среднее геометрическое отрицательных чисел

The geometric mean defined as

$$text{Geometric mean}=sqrt[n]{x_1cdot x_2cdots x_n}$$

is only defined for a positive inner product. A description and clarifications are in this question. Having negative numbers in a dataset can thus make it very difficult to use. I still prefer the geometric mean over the arithmetic mean due to its better resilience against far-outliers (at least when the dataset is not large enough for a trustworthy median to be used instead.)

A work-around to get rid of the no-negative-numbers issue, could be to add a large enough number before performing the geometric-mean operation and afterwards subtracting that same number from the result:

$$text{Geometric mean}_text{work-around}=sqrt[n]{(10000+x_1)cdot (10000+x_2)cdots (10000+x_n)}-10000$$

This moves all data values «out off» the negative zone, performs the operation and then moves the result «back down» again.

I do see minor differences, though, when I compare the geometric mean with and without the workaround on only-positive numbers.

Since I cannot clearly figure out, how big the influence is, I am asking here to have it clarified. Is this workaround useful / correct to use, and can I trust my resulting mean datapoints?

More specifically, I do not clearly see why the true geometric mean and my work-around geometric mean are different, so my I am asking how different they are and how/why they are different.

Была ли эта статья полезной?

Как найти среднее геометрическое

4 методика:Два числа: простой методДва числа: подробный методТри или более чисел: простой методТри или более чисел: используем логарифмы

Среднее геометрическое – математическая величина, которую легко спутать с более часто применяемым средним арифметическим. Для вычисления среднего геометрического следуйте методам, приведенным ниже.

Шаги

Метод 1 из 4: Два числа: простой метод

1. 
   1
   Возьмите два числа, среднее геометрическое которых необходимо найти.
   • Например, 2 и 32.
2. 
   2
   Перемножьте их.
   • 2 x 32 = 64.
3. 
   3
   Извлеките квадратный корень из полученного числа.
   • √64 = 8.

Метод 2 из 4: Два числа: подробный метод

1. 
   1
   Подставьте Ваши числа в приведенное уравнение.
   Если ваши числа, например, 10 и 15, то подставьте 10 и 15 так, как показано на рисунке.
2. 
   2
   Находим «х».

   Начните с перемножения крест-накрест, что означает перемножение пар чисел по диагонали и расстановку результатов умножения по разные стороны знака =. Так как х*х = х2, то ваше уравнение приводится к виду: х2 = (результат умножения ваших чисел).

   Для вычисления «х» извлеките квадратный корень из результата перемножения ваших чисел. Хорошо, если в результате вычисления корня получится целое число. Если нет, дайте ответ в виде десятичной дроби или запишите его со знаком корня (в зависимости от того, что требует преподаватель). Ответ, приведенный выше на рисунке, записан в виде упрощенного квадратного корня.

Метод 3 из 4: Три или более чисел: простой метод

1. 
   1
   Подставьте ваши числа в приведенное уравнение.

   Среднее геометрическое = (a1 × a2 . . . an)1/n

   • a1 — первое число, a2 — второе число и так далее
   • n – общее количество чисел
2. 
   2
   Перемножьте числа (a1, a2, т.д.).
3. 
   3
   Извлеките корень n степени из полученного числа. Это и будет среднее геометрическое.

Метод 4 из 4: Три или более чисел: используем логарифмы

1. 
   1
   Найдите логарифм каждого числа и сложите полученные значения.

   Найдите клавишу LOG на своем калькуляторе. Затем введите: (первое число) LOG + (второе число) LOG + (третье число) LOG [+ столько чисел, сколько дано] =. Не забудьте нажать «=», или показанный вам результат будет логарифмом последнего введенного числа, а не суммой логарифмов всех чисел.

   • Например, log 7 + log 9 + log 12 = 2,878521796
2. 
   2
   Разделите результат сложения на общее количество изначально данных чисел. Если вы сложили логарифмы трех чисел, делите полученный результат на три.
   • Например, 2,878521796 / 3 = 0,959507265
3. 
   3
   Вычислите антилогарифм полученного результата. На вашем калькуляторе нажмите кнопку переключения регистра (активирует функции верхнего регистра – над клавишами), а затем нажмите LOG для получения значения антилогарифма. Этот результат и будет средним геометрическим.
   • Например, antilog 0,959507265 = 9,109766916. Поэтому среднее геометрическое 7, 9, и 12 равно 9,11.

Советы

• Различия между средним арифметическим и средним геометрическим:
  • Для вычисления среднего арифметического, например, чисел 3, 4 и 18, необходимо их сложить 3 + 4 + 18, а затем разделить на 3 (потому что изначально даны три числа). Ответ равен 25/3 или примерно 8,333; это означает, что если сложить 8,3333 три раза подряд, то ответ будет таким же, как при сложении чисел 3, 4, и 18. Среднее арифметическое отвечает на вопрос: «Если все величины имеют одинаковое значение, то каким это значение должно быть, чтобы при суммировании получился один результат?»
  • Напротив, среднее геометрическое отвечает на вопрос: «Если все величины имеют одинаковое значение, то каким это значение должно быть, чтобы при перемножении получился один результат?». Поэтому, чтобы найти среднее геометрическое чисел 3, 4 и 18, мы перемножаем эти числа: 3 x 4 x 18. Получаем 216. Затем мы берем кубический корень из полученного результата перемножения (кубический корень, так как в вычислении участвуют три числа). Ответ будет 6. Другими словами, так как 6 x 6 x 6 = 3 x 4 x 18, то 6 является средним геометрическим чисел 3, 4 и 18.
• Среднее геометрическое всегда меньше или равно среднему арифметическому.
• Среднее геометрическое рассчитывается только для положительных чисел. Схема решения различных прикладных задач с использованием среднего геометрического не будет работать в случае наличия отрицательных чисел.