Как найти среднее квадратическое отклонение по таблице

Была ли эта статья полезной?

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом  (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

• Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
• Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
• Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки	Рост в миллиметрах
Ротвейлер	600
Бульдог	470
Такса	170
Пудель	430
Мопс	300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее   мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

   

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм².

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм².

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки =  мм².

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

.

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

.

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

.

Для второго примера получится:

.

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Расчет среднего квадратичного отклонения в Microsoft Excel

​Смотрите также​ или базу данных.​ вычислить непосредственно по​ Чтобы проиллюстрировать это​ равную квадратному корню​ значение (математическое ожидание​Дисперсию выборки можно также​Сначала рассмотрим дисперсию, затем​ числа, тут можно​ только те числа​ вы выделили перед​

​ на кнопку «OK».​ которые располагаются в​

Определение среднего квадратичного отклонения

​ среднее значение. Оно​ результата и прописываем​ в ту ячейку,​ абсолютно одинаков, но​Одним из основных инструментов​ База данных представляет​ нижеуказанным формулам (см.​ приведем пример.​ из дисперсии –​ случайной величины), р(x) –​ вычислить непосредственно по​ стандартное отклонение.​ указать адрес ячейки,​ из выбранного диапазона,​

​ запуском Мастера функций.​Открывается окно аргументов данной​ ряд в одном​ рассчитывается путем сложения​ в ней или​ которая была выделена​ вызвать их можно​ статистического анализа является​

Расчет в Excel

​ собой список связанных​ файл примера)​Вычислим стандартное отклонение для​ стандартное отклонение.​​ вероятность, что случайная​​ нижеуказанным формулам (см.​Дисперсия выборки (выборочная дисперсия,​​ в которой расположено​​ которые соответствуют определенному​Существует ещё третий способ​ функции. В поля​ столбце, или в​ чисел и деления​ в строке формул​ в самом начале​

Способ 1: мастер функций

1. ​ тремя способами, о​ расчет среднего квадратичного​ данных, в котором​=КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1))​​ 2-х выборок: (1;​​Некоторые свойства дисперсии:​ величина примет значение​

   

2. ​ файл примера)​ sample variance) характеризует разброс​​ соответствующее число.​​ условию. Например, если​​ запустить функцию «СРЗНАЧ».​​ «Число» вводятся аргументы​ одной строке. А​​ общей суммы на​​ выражение по следующему​ процедуры поиска среднего​ которых мы поговорим​ отклонения. Данный показатель​ строки данных являются​=КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))​​ 5; 9) и​​ Var(Х+a)=Var(Х), где Х -​

   

3. ​ х.​=КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)​ значений в массиве​Поле «Диапазон усреднения» не​ эти числа больше​ Для этого, переходим​ функции. Это могут​ вот, с массивом​ их количество. Давайте​ шаблону:​ квадратичного отклонения.​ ниже.​ позволяет сделать оценку​ записями, а столбцы​​Функция КВАДРОТКЛ() вычисляет сумму​​ (1001; 1005; 1009).​

   

4. ​ случайная величина, а​Если случайная величина имеет непрерывное​=(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1) –​ относительно среднего.​ обязательно для заполнения.​ или меньше конкретно​

Способ 2: вкладка «Формулы»

​ во вкладку «Формулы».​ быть как обычные​ ячеек, или с​​ выясним, как вычислить​​=СТАНДОТКЛОН.Г(число1(адрес_ячейки1); число2(адрес_ячейки2);…)​

1. ​Также рассчитать значение среднеквадратичного​Выделяем на листе ячейку,​ стандартного отклонения по​​ — полями. Верхняя​​ квадратов отклонений значений​

   

2. ​ В обоих случаях,​​ — константа.​​ распределение, то дисперсия вычисляется по​​ обычная формула​​Все 3 формулы математически​ Ввод в него​​ установленного значения.​​ Выделяем ячейку, в​ числа, так и​ разрозненными ячейками на​​ среднее значение набора​​или​​ отклонения можно через​​ куда будет выводиться​ выборке или по​ строка списка содержит​ от их среднего.​

   

3. ​ s=4. Очевидно, что​ Var(aХ)=a2 Var(X)​ формуле:​=СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1)​ эквивалентны.​ данных является обязательным​

Способ 3: ручной ввод формулы

​Для этих целей, используется​ которой будет выводиться​ адреса ячеек, где​ листе, с помощью​ чисел при помощи​=СТАНДОТКЛОН.В(число1(адрес_ячейки1); число2(адрес_ячейки2);…).​

1. ​ вкладку​ готовый результат. Кликаем​ генеральной совокупности. Давайте​ названия всех столбцов.​ Эта функция вернет​ отношение величины стандартного​

   ​ Var(Х)=E[(X-E(X))2]=E[X2-2*X*E(X)+(E(X))2]=E(X2)-E(2*X*E(X))+(E(X))2=E(X2)-2*E(X)*E(X)+(E(X))2=E(X2)-(E(X))2​
   ​где р(x) – плотность​
   ​ – формула массива​

   ​Из первой формулы видно,​ только при использовании​ функция «СРЗНАЧЕСЛИ». Как​

   

2. ​ результат. После этого,​ эти числа расположены.​ этого способа работать​​ программы Microsoft Excel​​Всего можно записать при​

​«Формулы»​​ на кнопку​ узнаем, как использовать​

​Поле. Определяет столбец,​ тот же результат,​ отклонения к значениям​Это свойство дисперсии используется​ вероятности.​Дисперсия выборки равна 0,​ что дисперсия выборки​ ячеек с текстовым​ и функцию «СРЗНАЧ»,​ в группе инструментов​ Если вам неудобно​ нельзя.​ различными способами.​ необходимости до 255​.​«Вставить функцию»​ формулу определения среднеквадратичного​ используемый функцией. Название​ что и формула =ДИСП.Г(Выборка)*СЧЁТ(Выборка),​ массива у выборок​ в статье про​

​Для распределений, представленных в​

lumpics.ru

Расчет среднего значения в программе Microsoft Excel

​ только в том​ это сумма квадратов​ содержимым.​ запустить её можно​ «Библиотека функций» на​ вводить адреса ячеек​Например, если выделить два​Скачать последнюю версию​ аргументов.​Выделяем ячейку для вывода​, расположенную слева от​ отклонения в Excel.​ столбца указывается в​ где Выборка -​

​ существенно отличается. Для таких​ линейную регрессию.​

Стандартный способ вычисления

​ MS EXCEL, дисперсию​ случае, если все​ отклонений каждого значения​Когда все данные введены,​ через Мастер функций,​ ленте жмем на​ вручную, то следует​ столбца, и вышеописанным​ Excel​После того, как запись​ результата и переходим​ строки функций.​Скачать последнюю версию​ двойных кавычках, например​ ссылка на диапазон,​ случаев используется Коэффициент​ Var(Х+Y)=Var(Х) + Var(Y) +​

​ можно вычислить аналитически,​ значения равны между​ в массиве​ жмем на кнопку​ из панели формул,​ кнопку «Другие функции».​ нажать на кнопку​ способом вычислить среднее​

​Самый простой и известный​ сделана, нажмите на​ во вкладку​В открывшемся списке ищем​ Excel​ «Возраст» или «Урожай»​ содержащий массив значений​ вариации (Coefficient of​ 2*Cov(Х;Y), где Х​ как функцию от​ собой и, соответственно,​от среднего​ «OK».​ или при помощи​ Появляется список, в​ расположенную справа от​ арифметическое, то ответ​ способ найти среднее​

​ кнопку​«Формулы»​ запись​Сразу определим, что же​ в приведенном ниже​ выборки (именованный диапазон).​ Variation, CV) -​ и Y -​ параметров распределения. Например,​

Вычисление с помощью Мастера функций

​ равны среднему значению.​, деленная на размер​После этого, в предварительно​ ручного ввода в​ котором нужно последовательно​ поля ввода данных.​ будет дан для​ арифметическое набора чисел​Enter​.​СТАНДОТКЛОН.В​ представляет собой среднеквадратичное​

​ примере базы данных,​ Вычисления в функции​ отношение Стандартного отклонения​ случайные величины, Cov(Х;Y) -​ для Биномиального распределения​ Обычно, чем больше​ выборки минус 1.​ выбранную ячейку выводится​ ячейку. После того,​ перейти по пунктам​

​После этого, окно аргументов​ каждого столбца в​ — это воспользоваться​на клавиатуре.​В блоке инструментов​

​или​ отклонение и как​ или как число​ КВАДРОТКЛ() производятся по формуле:​ к среднему арифметическому,​ ковариация этих случайных​ дисперсия равна произведению​ величина дисперсии, тем​В MS EXCEL 2007​ результат расчета среднего​ как открылось окно​ «Статистические» и «СРЗНАЧ».​ функции свернется, а​ отдельности, а не​

​ специальной кнопкой на​Урок:​«Библиотека функций»​СТАНДОТКЛОН.Г​ выглядит его формула.​ (без кавычек) ,​Функция СРОТКЛ() является также мерой разброса​ выраженного в процентах.​ величин.​ его параметров: n*p*q.​ больше разброс значений​ и более ранних​

​ арифметического числа для​ аргументов функции, нужно​Затем, запускается точно такое​ вы сможете выделить​ для всего массива​ ленте Microsoft Excel.​Работа с формулами в​жмем на кнопку​. В списке имеется​ Эта величина является​ задающее положение столбца​ множества данных. Функция​В MS EXCEL 2007​

​Если случайные величины независимы​Примечание​

​ в массиве.​ версиях для вычисления​ выбранного диапазона, за​ ввести её параметры.​ же окно аргументов​

Панель формул

​ ту группу ячеек​ ячеек.​ Выделяем диапазон чисел,​ Excel​«Другие функции»​ также функция​ корнем квадратным из​ в списке: 1​ СРОТКЛ() вычисляет среднее​ и более ранних​ (independent), то их​: Дисперсия, является вторым​Дисперсия выборки является точечной​ дисперсии выборки используется​ исключением ячеек, данные​

​ В поле «Диапазон»​ функции, как и​ на листе, которую​Для случаев, когда нужно​ расположенных в столбце​Как видим, механизм расчета​. Из появившегося списка​

​СТАНДОТКЛОН​ среднего арифметического числа​

Ручной ввод функции

​ — для первого​ абсолютных значений отклонений​ версиях для вычисления​ ковариация равна 0,​ центральным моментом, обозначается​ оценкой дисперсии распределения​

​ функция ДИСП(), англ.​ которых не отвечают​ вводим диапазон ячеек,​ при использовании Мастера​ берете для расчета.​ подсчитать среднюю арифметическую​ или в строке​

Расчет среднего значения по условию

​ среднеквадратичного отклонения в​ выбираем пункт​, но она оставлена​ квадратов разности всех​ поля, 2 —​ значений от среднего.  Эта​ Стандартного отклонения выборки​ и, следовательно, Var(Х+Y)=Var(Х)+Var(Y). Это​ D[X], VAR(х), V(x).​ случайной величины, из​ название VAR, т.е.​ условиям.​ значения которых будут​

​ функций, работу в​ Затем, опять нажимаете​ массива ячеек, или​ документа. Находясь во​ Excel очень простой.​«Статистические»​ из предыдущих версий​ величин ряда и​ для второго поля​ функция вернет тот​ используется функция =СТАНДОТКЛОН(),​ свойство дисперсии используется​ Второй центральный момент​ которой была сделана​ VARiance. С версии​Как видим, в программе​ участвовать в определении​ котором мы подробно​ на кнопку слева​ разрозненных ячеек, можно​ вкладке «Главная», жмем​

​ Пользователю нужно только​. В следующем меню​ Excel в целях​ их среднего арифметического.​ и так далее.​ же результат, что​ англ. название STDEV,​ при выводе стандартной​ — числовая характеристика​ выборка. О построении доверительных​ MS EXCEL 2010​ Microsoft Excel существует​ среднего арифметического числа.​ описали выше.​ от поля ввода​ использовать Мастер функций.​ на кнопку «Автосумма»,​ ввести числа из​ делаем выбор между​ совместимости. После того,​ Существует тождественное наименование​

​Критерий. Это диапазон​ и формула =СУММПРОИЗВ(ABS(Выборка-СРЗНАЧ(Выборка)))/СЧЁТ(Выборка), где Выборка — ссылка​ т.е. STandard DEViation.​ ошибки среднего.​ распределения случайной величины,​ интервалов при оценке​ рекомендуется использовать ее​

​ целый ряд инструментов,​ Делаем это тем​Дальнейшие действия точно такие​

​ данных, чтобы вернуться​ Он применяет все​ которая расположена на​ совокупности или ссылки​ значениями​ как запись выбрана,​ данного показателя —​ ячеек, содержащий задаваемые​

​ на диапазон, содержащий​ С версии MS​Покажем, что для независимых​ которая является мерой​ дисперсии можно прочитать​ аналог ДИСП.В(), англ.​ с помощью которых​ же способом, как​ же.​ в окно аргументов​ ту же функцию​ ленте в блоке​ на ячейки, которые​СТАНДОТКЛОН.В​ жмем на кнопку​ стандартное отклонение. Оба​

​ условия. В качестве​

lumpics.ru

Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL

​ массив значений выборки.​ EXCEL 2010 рекомендуется​ величин Var(Х-Y)=Var(Х+Y). Действительно, Var(Х-Y)= Var(Х-Y)=​ разброса случайной величины​ в статье Доверительный интервал​ название VARS, т.е.​

​ можно рассчитать среднее​ и с функцией​

Дисперсия выборки

​Но, не забывайте, что​ функции.​ «СРЗНАЧ», известную нам​ инструментов «Редактирование». Из​

​ их содержат. Все​или​

​«OK»​ названия полностью равнозначны.​ аргумента критерия можно​Вычисления в функции СРОТКЛ() производятся по​ использовать ее аналог​​ Var(Х+(-Y))= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+Var(-Y)=​​ относительно математического ожидания.​ для оценки дисперсии​

​ Sample VARiance. Кроме​ значение выбранного ряда​ «СРЗНАЧ».​ всегда при желании​Если вы хотите подсчитать​ по первому методу​ выпадающее списка выбираем​ расчеты выполняет сама​СТАНДОТКЛОН.Г​.​Но, естественно, что в​ использовать любой диапазон,​ формуле:​ =СТАНДОТКЛОН.В(), англ. название​ Var(Х)+(-1)2Var(Y)= Var(Х)+Var(Y)= Var(Х+Y).​Примечание​ в MS EXCEL.​ того, начиная с​ чисел. Более того,​А вот, в поле​ можно ввести функцию​ среднее арифметическое между​ вычисления, но делает​ пункт «Среднее».​ программа. Намного сложнее​в зависимости от​Открывается окно аргументов функции.​ Экселе пользователю не​ который содержит по​

​Юрик​ STDEV.S, т.е. Sample​ Это свойство дисперсии​: О распределениях в​
​Чтобы вычислить дисперсию случайной​
​ версии MS EXCEL​ существует функция, которая​
​ «Условие» мы должны​ «СРЗНАЧ» вручную. Она​

​ числами, находящимися в​ это несколько другим​После этого, с помощью​ осознать, что же​ того выборочная или​ В каждом поле​ приходится это высчитывать,​ крайней мере один​: СТАНДОТКЛОН (число1; число2;…)​ STandard DEViation.​

​ используется для построения​ MS EXCEL можно​ величины, необходимо знать​ 2010 присутствует функция​ автоматически отбирает числа​ указать конкретное значение,​ будет иметь следующий​ разрозненных группах ячеек,​ способом.​ функции «СРЗНАЧ», производится​

Дисперсия случайной величины

​ собой представляет рассчитываемый​ генеральная совокупность принимает​ вводим число совокупности.​

​ так как за​ заголовок столбца и​Число1, число2…— от​Кроме того, начиная с​ доверительного интервала для​

​ прочитать в статье Распределения​ ее функцию распределения.​ ДИСП.Г(), англ. название​ из диапазона, не​

​ числа больше или​_{​ шаблон: «=СРЗНАЧ(адрес_диапазона_ячеек(число); адрес_диапазона_ячеек(число)).​}​ то те же​Кликаем по ячейке, где​ расчет. В ячейку​ показатель и как​ участие в расчетах.​ Если числа находятся​ него все делает​ по крайней мере​

​ 1 до 30​ версии MS EXCEL​ разницы 2х средних.​

​ случайной величины в​Для дисперсии случайной величины Х часто​

​ VARP, т.е. Population​ соответствующие заранее установленному​ меньше которого будут​Конечно, этот способ не​ самые действия, о​ хотим, чтобы выводился​ под выделенным столбцом,​ результаты расчета можно​

​После этого запускается окно​​ в ячейках листа,​ программа. Давайте узнаем,​ одну ячейку под​ числовых аргументов, соответствующих​ 2010 присутствует функция​Стандартное отклонение выборки -​ MS EXCEL.​ используют обозначение Var(Х). Дисперсия равна​ VARiance, которая вычисляет​

​ пользователем критерию. Это​​ участвовать в расчете.​ такой удобный, как​ которых говорилось выше,​ результат подсчета среднего​ или справа от​

​ применить на практике.​ аргументов. Все дальнейшие​ то можно указать​ как посчитать стандартное​ заголовком столбца с​ выборке из генеральной​ СТАНДОТКЛОН.Г(), англ. название​ это мера того,​Размерность дисперсии соответствует квадрату​ математическому ожиданию квадрата​ дисперсию для генеральной​ делает вычисления в​ Это можно сделать​ предыдущие, и требует​ проделывайте в поле​

​ значения. Жмем на​

​ выделенной строки, выводится​ Но постижение этого​ действия нужно производить​

​ координаты этих ячеек​

​ отклонение в Excel.​

​ условием, чтобы задать​ совокупности. Вместо аргументов,​ STDEV.P, т.е. Population​

​ насколько широко разбросаны​ единицы измерения исходных​ отклонения от среднего​ совокупности. Все отличие​ приложении Microsoft Excel​ при помощи знаков​

​ держать в голове​ «Число 2». И​ кнопку «Вставить функцию»,​ средняя арифметическая данного​ уже относится больше​ так же, как​ или просто кликнуть​

​Рассчитать указанную величину в​ условие для столбца.​ разделенных точкой с​ STandard DEViation, которая​ значения в выборке​ значений. Например, если​ E(X): Var(Х)=E[(X-E(X))2]​ сводится к знаменателю:​

Стандартное отклонение выборки

​ ещё более удобными​ сравнения. Например, мы​ пользователя определенные формулы,​ так до тех​ которая размещена слева​

​ набора чисел.​ к сфере статистики,​ и в первом​

​ по ним. Адреса​ Экселе можно с​P.S. Лучше всего​ запятой, можно также​ вычисляет стандартное отклонение​ относительно их среднего.​ значения в выборке​

​Если случайная величина имеет​ вместо n-1 как​ для пользователей.​ взяли выражение «>=15000».​ но он более​ пор, пока все​ от строки формул.​Этот способ хорош простотой​ чем к обучению​ варианте.​ сразу отразятся в​ помощью двух специальных​ прочитать справку по​ использовать массив или​ для генеральной совокупности.​По определению, стандартное отклонение​

​ представляют собой измерения​ дискретное распределение, то​ у ДИСП.В(), у​Автор: Максим Тютюшев​ То есть, для​ гибкий.​ нужные группы ячеек​ Либо же, набираем​ и удобством. Но,​ работе с программным​Существует также способ, при​ соответствующих полях. После​ функций​

​ этим функциям в​ ссылку на массив.​ Все отличие сводится​ равно квадратному корню​ веса детали (в​ дисперсия вычисляется по​ ДИСП.Г() в знаменателе​Вычислим в MS EXCEL​ расчета будут браться​Кроме обычного расчета среднего​ не будут выделены.​ на клавиатуре комбинацию​ у него имеются​ обеспечением.​

​ котором вообще не​ того, как все​СТАНДОТКЛОН.В​ Help’e.​
​И ещё одна​
​ к знаменателю: вместо​

Другие меры разброса

​ из дисперсии:​ кг), то размерность​ формуле:​ просто n. До​ дисперсию и стандартное​ только ячейки диапазона,​ значения, имеется возможность​После этого, жмите на​ Shift+F3.​ и существенные недостатки.​Автор: Максим Тютюшев​ нужно будет вызывать​

​ числа совокупности занесены,​(по выборочной совокупности)​Юлия титова​ функция.​ n-1 как у​Стандартное отклонение не учитывает​ дисперсии будет кг2.​где x​ MS EXCEL 2010​ отклонение выборки. Также​

​ в которых находятся​ подсчета среднего значения​

excel2.ru

Как посчитать СКО (среднее квадратическое отклонение) в Excel’e? Формулу, если можно…

​ кнопку «OK».​​Запускается Мастер функций. В​
​ С помощью этого​В процессе различных расчетов​ окно аргументов. Для​ жмем на кнопку​ и​: как расчитать среднее​ДСТАНДОТКЛ (база_данных; поле;​ СТАНДОТКЛОН.В(), у СТАНДОТКЛОН.Г()​ величину значений в​
​ Это бывает сложно​i​
​ для вычисления дисперсии​ вычислим дисперсию случайной​
​ числа большие или​ по условию. В​Результат расчета среднего арифметического​ списке представленных функций​ способа можно произвести​ и работы с​ этого следует ввести​«OK»​СТАНДОТКЛОН.Г​ квадратическое отклонение​ критерий)​
​ в знаменателе просто​ выборке, а только​ интерпретировать, поэтому для​– значение, которое​ генеральной совокупности использовалась​ величины, если известно​ равные 15000. При​ этом случае, в​ будет выделен в​ ищем «СРЗНАЧ». Выделяем​ подсчет среднего значения​ данными довольно часто​ формулу вручную.​.​(по генеральной совокупности).​
​Саша​База данных. Интервал​ n.​ степень рассеивания значений​ характеристики разброса значений​ может принимать случайная​ функция ДИСПР().​ ее распределение.​ необходимости, вместо конкретного​ расчет будут браться​ ту ячейку, которую​ его, и жмем​ только тех чисел,​
​ требуется подсчитать их​Выделяем ячейку для вывода​Результат расчета будет выведен​ Принцип их действия​

​: це дуже сложно​​ ячеек, формирующих список​Стандартное отклонение можно также​

​ вокруг их среднего.​​ чаще используют величину​

​ величина, а μ – среднее​

Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.

Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.

Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).

Стандартное отклонение также называется:

• среднеквадратическое отклонение,
• среднее квадратическое отклонение,
• среднеквадратичное отклонение,
• квадратичное отклонение,
• стандартный разброс.

Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Стандартное отклонение используется:

• в финансах в качестве меры волатильности,
• в социологии в опросах общественного мнения — оно помогает в расчёте погрешности.

Пример:

Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.

	День 1	День 2	День 3	День 4
Пред.А	19	21	19	21
Пред.Б	15	26	15	24

В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:

• А -> (19 + 21 + 19+ 21) / 4 = 20
• Б -> (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

Однако, глядя на цифры, можно заметить:

• в компании A количество товара всех четырёх дней очень близко находится к этому среднему значению 20 (колеблется лишь между 19 ед. и 21 ед.),
• в компании Б существует большая разница со средним количеством товара (колеблется между 15 ед. и 26 ед.).

Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что

• стандартное отклонение компании A = 1,
• стандартное отклонение компании Б ≈ 5.

Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).

Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения

Формулы вычисления стандартного отклонения

Разница между формулами S и σ («n» и «n–1»)

Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:

• только её часть – используется формула S (с «n–1»),
• полностью все данные – используется формула σ (с «n»).

Как рассчитать стандартное отклонение?

Пример 1 (с σ)

Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.

	День 1	День 2	День 3	День 4
Пред.Б	15	26	15	24

Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:

Применяем эти шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

x1 — μ = 15 — 20 = -5

x2 — μ = 26 — 20 = 6

x3 — μ = 15 — 20 = -5

x4 — μ = 24 — 20 = 4

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(x1 — μ)² = (-5)² = 25

(x2 — μ)² = 6² = 36

(x3 — μ)² = (-5)² = 25

(x4 — μ)² = 4² = 16

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (xi — μ)² = 25 + 36+ 25+ 16 = 102

5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):

(Σ (xi — μ)²)/n = 102 / 4 = 25,5

6. Найти квадратный корень:

√((Σ (xi — μ)²)/n) = √ 25,5 ≈ 5,0498

Пример 2 (с S)

Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.

У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.

Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.

Яблоня 1	Яблоня 2	Яблоня 3	Яблоня 4	Яблоня 5	Яблоня 6
9	2	5	4	12	7

Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:

Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.

Применяем практически те же шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5

X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5

X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5

X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5

X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5

X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(X1 – Xср)² = (2,5)² = 6,25

(X2 – Xср)² = (–4,5)² = 20,25

(X3 – Xср)² = (–1,5)² = 2,25

(X4 – Xср)² = (–2,5)² = 6,25

(X5 – Xср)² = 5,5² = 30,25

(X6 – Xср)² = 0,5² = 0,25

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5

5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):

(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1

6. Найти квадратный корень:

S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193

Дисперсия и стандартное отклонение

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).

Дисперсия — в статистике это «среднее квадратов отклонений от среднего». Чтобы её вычислить нужно:

1. Вычесть среднее значение из каждого числа
2. Возвести каждый результат в квадрат (так получатся квадраты разностей)
3. Найти среднее значение квадратов разностей.

Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:

Правило трёх сигм

Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.

Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:

• одного среднеквадратического отклонения заключаются 68,26% значений (Xср ± 1σ или μ ± 1σ),
• двух стандартных отклонений — 95,44% (Xср ± 2σ или μ ± 2σ),
• трёх стандартных отклонений — 99,72% (Xср ± 3σ или μ ± 3σ).

Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.

Стандартное отклонение в excel

Вычисление стандартного отклонения с «n – 1» в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):

1. Занесите все данные в документ Excel.

2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.

3. Введите в этом поле «=СТАНДОТКЛОНА(«

4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.

5. Нажмите Ввод (Enter).

В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.

Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.

Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:

• при <10% выборка слабо вариабельна,
• при 10% – 20 % — средне вариабельна,
• при >20 % — выборка сильно вариабельна.

Узнайте также про:

• Корреляции,
• Метод Крамера,
• Метод наименьших квадратов,
• Теорию вероятностей
• Интегралы.