- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Треугольники
- Построения циркулем и линейкой
- Среднее пропорциональное
Среднее пропорциональное положительных чисел 
и 
— это такое число 
, которое равно квадратному корню из произведения этих чисел, т.е. 
.
Среднее пропорциональное носит такое название, потому что число является средним членом пропорции 
.
Средним пропорциональным (или средним геометрическим) двух отрезков 
и 
, называется такой отрезок 
, что: 
.
Чтобы построить среднее пропорциональное двух отрезков используют циркуль и линейку.
Ход построения:
Пусть нам даны два отрезка и , строим их.
Затем строим с помощью линейки прямую 
, отмечаем на ней точку А и строим отрезок АЕ, равный отрезку . Для этого строим с помощью циркуля окружность радиуса с центром А (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Затем, аналогично строим отрезок ЕВ, равный отрезку .
Далее найдем середину отрезка АВ. Для этого строим две окружности с центрами А и В так, чтобы они пересекались в двух точках (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Через точки пересечения данных окружностей проводим прямую, которая пересечет отрезок АВ в его середине О.
Теперь строим окружность с центром О радиуса ОА.
Затем построим перпендикуляр к прямой так, чтобы он проходил через точку Е, которая делит отрезок АВ в отношении 
. Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром Е (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом), данная окружность пересечет прямую в двух точках М и В (точку В мы берем как точку пересечения данной окружности и данной прямой для того, чтобы не добавлять на рисунке лишние элементы, но важно помнить, что точки пересечения окружности с центром Е и прямой могут быть и другие, все зависит от того, каким мы возьмем радиус окружности с центром Е). Далее строим две окружности с центрами М и В так, чтобы они пересекались в двух точках (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Через точки пересечения данных окружностей проводим прямую, которая будет перпендикулярна к прямой и пересечет окружность с центром О в точке К.
Длина отрезка ЕК и есть искомый отрезок , равный среднему пропорциональному отрезков и , т.е. 
или .
Советуем посмотреть:
Построение угла, равного данному
Построение биссектрисы угла
Построение перпендикулярных прямых
Построение середины отрезка
Треугольник
Равенство треугольников
Первый признак равенства треугольников
Перпендикуляр к прямой
Медианы треугольника
Биссектрисы треугольника
Высоты треугольника
Равнобедренный треугольник
Свойства равнобедренного треугольника
Второй признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников
Окружность
Построения циркулем и линейкой
Треугольники
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 1270,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Цели урока:
- ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков;
- рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла;
- формировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач.
Тип урока: урок изучения нового материала.
План:
- Оргмомент.
- Актуализация знаний.
- Изучение свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла:
– подготовительный этап;
– введение;
– усвоение. - Введение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
- Усвоение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
- Доказательство следствий:
– высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;
– катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. - Решение задач.
- Подведение итогов.
- Постановка домашнего задания.
Ход урока
I. ОРГМОМЕНТ
– Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Все готовы к уроку?
Начинаем работу.
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
– С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках? (с понятием подобия треугольников)
– Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными? (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника)
– Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников? (признаки подобия треугольников)
– Сформулируйте эти признаки (формулируют три признака подобия треугольников)
III. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА
а) подготовительный этап
– Ребята, посмотрите пожалуйста на первый слайд. (Приложение) Здесь изображены два прямоугольных треугольника – 
и 
. 
и 
– высоты 
и 
соответственно. 
.
Задание 1. а) Определите, подобны ли 
и 
.
– Что мы используем при доказательстве подобия треугольников? (признаки подобия треугольников)
– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)
– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (Две пары: 1. ∟В= ∟В1 (прямые),2. ∟A= ∟A1)
– Сделайте вывод.(по первому признаку подобия треугольников 
~
)
Задание 1. б) Определите, подобны ли 
и 
.
– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)
– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары (т.к. треугольники прямоугольные, то достаточно одной пары равных углов: ∟A= ∟A1)
– Сделайте вывод. (по первому признаку подобия треугольников заключаем, что данные треугольники подобны).
В результате беседы слайд 1 выглядит так:
б) открытие теоремы
Задание 2.
– Определите, подобны ли 
и 
, 
и 
. В результате беседы выстраиваются ответы, которые отражены на слайде.
– На рисунке было указано, что 
. Использовали ли мы эту градусную меру при ответах на вопросы заданий? (Нет, не использовали)
– Ребята, сделайте вывод: на какие треугольники разделяет прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла? (делают вывод)
– Возникает вопрос: а будут ли эти два прямоугольных треугольника, на которые высота разбивает прямоугольный треугольник, подобны между собой? Давайте попробуем найти пары равных углов.
В результате беседы выстраивается запись:
– А теперь давайте сделаем полный вывод.(ВЫВОД: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)
– Т.о. мы с вами сформулировали и доказали теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника.
Установим структуру теоремы и сделаем чертеж. Что в теореме дано и что нужно доказать? Учащиеся записывают в тетрадь:
– Докажем первый пункт теоремы для нового рисунка. Какой признак подобия будем использовать и почему? (Первый, т.к. в теореме ничего неизвестно о сторонах треугольников)
– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (В данном случае достаточно одной пары: ∟A-общий)
– Сделайте вывод. Треугольники подобны. В результате показывается образец оформления теоремы
– Второй и третий пункты распишите дома самостоятельно.
в) усвоение теоремы
– Итак, сформулируйте еще раз теорему (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)
– Сколько пар подобных треугольников в конструкции «в прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла» позволяет найти эта теорема? (Три пары)
Ученикам предлагается следующее задание:
IV. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ
– А теперь мы изучим с вами новое понятие.
Внимание!
Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) между отрезками AB и CD, если 
(записывают в тетрадь).
V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ
– Теперь обратимся к следующему слайду.
Задание 1. Найдите длину среднего пропорционального отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 16 см.
– Что дано в задаче? (Два отрезка и их длины: MN = 9 см, KP = 16 см)
– Что нужно найти? (Длину среднего пропорционального этих отрезков)
– Какой формулой выражается среднее пропорциональное и как мы его найдем?
(Подставляем данные в формулу и находим длину ср.проп.)
Задание №2. Найдите длину отрезка AB, если среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см и CD = 100 см
– Что дано в задаче? (длина отрезка CD = 100 см и среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см)
– Что нужно найти в задаче? (Длину отрезка AB)
– Как будем решать задачу? (Запишем формулу среднего пропорционального отрезков AB и СD, выразим из нее длину AB и подставим данные задачи.)
VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ
– Молодцы, ребята. А теперь давайте вернемся к подобию треугольников, доказанному нами в теореме. Сформулируйте еще раз теорему. (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)
– Давайте вначале будем использовать подобие треугольников 
и 
. Что из этого следует? (По определению подобия стороны 
пропорциональны сходственным сторонам 
)
– Какое равенство получится при использовании основного свойства пропорции? (
)
– Выразите СD и сделайте вывод (
;
.
Вывод: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)
– А теперь докажите самостоятельно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
Доказывают самостоятельно, потом проверяем на слайде
VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9», № 571(б)
– Прочитайте задачу. Что в задаче дано? (Дан прямоугольный 
)
– Что в задаче нужно найти? (Найти 
)
– Чем будет являться 
по отношению к 
и 
? (Это среднее пропорциональное по следствию из доказанной теоремы)
– Как найти 
? (
)
– Как теперь найти 
? (
найдем из 
по теореме Пифагора: 
)
– Как найдем 
? (
найдем из 
по теореме Пифагора: 
)
– Запишите ответ. (Ответ: 
)
VIII. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ
– Подведем итог урока. С каким свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, мы сегодня познакомились? (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)
– Какое новое математическое понятие изучили? (Понятие среднего пропорционального двух отрезков.)
– Продолжите предложение:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное м/у…(-… отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между…(-…гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой)
– Где мы применяем изученные утверждения? (При решении задач)
IX. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
д/з: №571, №572 (а,д), самостоятельная работа в тетради, теория.
Слайд 1
Повторим теорию: Назовите три признака подобия треугольников Назовите свойство медианы, проведённой к гипотенузе назовите свойство биссектрисы в треугольнике Сформулируйте теорему о точке пересечения медиан Что такое средняя линия треугольника? Каким свойством обладает средняя линия треугольника? Каким свойством обладает высота, проведённая из прямого угла тр-ка?
Слайд 2
Потренируемся (мини-доски) А В С Р Т О ТО=7см ВР=24см ТС=? ОС=? ОВ=? ОР=?
Слайд 3
Потренируемся (мини-доски) В С Р Т 7 14 20 ?
Слайд 4
Потренируемся (мини-доски) В С Р Т ? 18 11 9
Слайд 5
Потренируемся (мини-доски) А В С Р Т СВ = 26 РТ=36см ТР=? СВ=?
Слайд 6
Потренируемся (мини-доски) А В С Т СТ = 15 АВ=? АТ=?
Слайд 7
2 февраля Классная работа Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Слайд 8
В D – высота треугольника. Назовите все пары подобных треугольников А В С D DAB DBC DAB BAC DBC BAC
Слайд 9
Что называется средним пропорциональным для отрезков? A B C D X Y XY = AB · CD
Слайд 10
Найдите среднее геометрическое для отрезков, имеющих длины: 4см и 9см 20см и 5см 9см и 1см 6 см 10 см 3 см 4см и 5см 2 5 см
Слайд 11
Для каких отрезков BD является средним пропорциональным? А В С D Найдите ответ в учебнике
Слайд 12
А B C D Для каких отрезков BA является средним пропорциональным? Для каких отрезков AC является средним пропорциональным? Найдите ответ в учебнике
Слайд 13
BD = 4 см; ВС = 9см; ВА = ? А B C D
Слайд 14
Выполните упр.: 572 а, в 577
Слайд 15
Домашнее задание: 572 б, г,
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
В этом уроке познакомимся с понятием «среднее геометрическое» или «среднее пропорциональное» для отрезков, выведем формулы для вычисления высоты и катетов прямоугольного треугольника через понятие среднее пропорциональное, рассмотрим задачу на применение формул.
Решим задачу:
Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Дано:
∆АВС – прямоугольный треугольник,
СD – высота, проведенная из вершины С к гипотенузе АВ.
Доказать:
∆АВС ~ ∆АСD;
∆АВС ~ ∆CBD
∆АСD ~ ∆CBD.
Доказательство:
1)Рассмотрим треугольники АВС и АСD.
Так как ∠А–общий,
∠АСВ = ∠АDС = 90°, отсюда следует, что треугольники АВС и АСD подобны по первому признаку подобия треугольников, т.е. по двум равным углам.
2)Рассмотрим треугольники АВС и СВD.
Так как ∠В–общий,
∠АСВ = ∠ВDС = 90°, то треугольники АВС и СВD тоже подобны по первому признаку подобия треугольников. А раз так, то ∠А = ∠ВСD.
3)Рассмотрим треугольники АСD и СВD.
Так как ∠АDС = ∠СDВ = 90° и ∠А = ∠ВСD, то треугольники АСD и СВD подобны по первому признаку подобия треугольников.
Что и требовалось доказать.
В геометрии в формулировках ряда утверждений и при решении отдельных задач используется понятие «среднее пропорциональное отрезков» или «среднее геометрическое».
Отрезок ХУ называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и СD, если выполняется равенство:
Исходя из доказанной выше задачи, можно выделить два утверждения.
1.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Для вывода данного утверждения воспользуемся доказанным, а именно, что:
поэтому:
Применяя основное свойство пропорции, получим
2.Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Также по выше доказанному в задаче:
поэтому:
и, следовательно:
Решим задачу, применяя данные утверждения.
Задача:
Найдите катеты прямоугольного треугольника АВС, если АD = 24 см, ВD = 6 см.
Решение:
Найдем гипотенузу данного прямоугольного треугольника:
Теперь воспользуемся равенством второго утверждения:
Для вычисления второго катета воспользуемся теоремой Пифагора:
или равенством все того же второго утверждения:
Построение среднего пропорционального
Построение среднего пропорционального. Даны отрезки a и b. И требуется построить их среднее пропорциональное, то есть отрезок c c такой длиной, что a/c=c/b (или, что то же самое c^2=a*b — это равносильные равенства). Для этого построим прямоугольный треугольник, у которого из вершины прямого угла будет проведёна высота, разделяющая гипотенузу на два отрезка. И отрезки гипотенузы должны быть равны a и b. Тогда та высота будет искомым средним пропорциональным.
Чтобы построить такой прямоугольный треугольник, на продолжении отрезка a построим отрезок b. Получилась сумма отрезков, и это как раз будет гипотенуза DE. Точку совмещения концов отрезков называем H. Найдём середину гипотенузы — для этого произвольным расвором циркуля построим первую вспомогательную дугу окружности с центром в точке D и таким же раствором циркуля построим вторую вспомогательную дугу окружности с центром в точке E — так, чтобы первая и вторая дуги пересеклись над и под гипотенузой DE. Точки пересечения дуг соединим отрезком, который пройдёт через середину DE — точку F. И теперь построим третью полуокружность с центром в точке F на гипотенузе DE, как на диаметре. Теперь из точки совмещения отрезков a и b — точки H — восставим перпендикуляр к гипотенузе. Для этого построим четвёртую вспомогательную окружность с центром в точке H — она пересечёт гипотенузу в двух точках K и L. Произвольным раствором циркуля построим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в точке K и таким же раствором циркуля построим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в точке L — так, чтобы пятая и шестая дуги пересеклись в двух точках над и под гипотенузой. Эти две точки соединим — и отрезок будет перпендикулярен гипотенузе. Продолжим этот перпендикуляр до пересечения с третьей полуокружностью и точку пересечения называем M. Соединим M с D и E — получился треугольник, у которого угол DME вписан в третью окружность и опирается на её диаметр — следовательно угол DME прямой, и треугольник DME прямоугольный. Три треугольника DME, DHM и EHM — подобны, и их соответственные стороны пропорциональны, то есть DH/HM=HM/EH или a/HM=HM/b. Значит HM — искомое среднее пропорциональное. Построение закончено.