Как найти среднее расстояние физика

Физическая величина

Среднее расстояние между частицами (или среднее расстояние между частицами) является средним расстояние между микроскопическими частицами (обычно атомами или молекулами ) в макроскопическом теле.

Содержание

• 1 Неопределенность
• 2 Идеальный газ
  • 2.1 Распределение ближайших соседей
  • 2.2 Среднее расстояние и более высокие моменты распределения NN
• 3 Ссылки
• 4 См. Также

Неоднозначность

Из самых общих соображений, среднее расстояние между частицами пропорционально размеру объема, приходящегося на одну частицу 1 / n { displaystyle 1 / n}, т. Е.

⟨р⟩ ∼ 1 / n 1/3, { displaystyle langle r rangle sim 1 / n ^ {1/3},}

где n = N / V { displaystyle n = N / V}— плотность частиц. Однако, за исключением нескольких простых случаев, таких как модель идеального газа, точные вычисления коэффициента пропорциональности невозможны аналитически. Поэтому часто используются приближенные выражения. Одной из таких оценок является радиус Вигнера-Зейтца

(3 4 π n) 1/3, { displaystyle left ({ frac {3} {4 pi n}} right) ^ { 1/3},}

, который соответствует радиусу сферы, имеющей объем на частицу 1 / n { displaystyle 1 / n}. Другое популярное определение —

1 / n 1/3 { displaystyle 1 / n ^ {1/3}},

, соответствующее длине ребра куба с объемом на частицу 1 / п { displaystyle 1 / n}. Эти два определения различаются примерно в 1,61 { displaystyle 1.61}, поэтому нужно проявлять осторожность, если в статье не удается точно определить параметр. С другой стороны, он часто используется в качественных утверждениях, где такой числовой коэффициент либо не имеет значения, либо играет незначительную роль, например,

• «потенциальная энергия… пропорциональна некоторой степени n расстояния между частицами. r «(Теорема Вириала )
• « расстояние между частицами намного больше, чем тепловая длина волны де Бройля »(Кинетическая теория )

Идеальный газ

Распределение ближайших соседей

PDF расстояний NN в идеальном газе.

Мы хотим вычислить функцию распределения вероятностей расстояния до ближайшего соседа (NN) частицы. (Проблема была впервые рассмотрена; современный вывод см., например,.) Предположим, N { displaystyle N}частиц внутри сферы, имеющей объем V { displaystyle V}, так что n = N / V { displaystyle n = N / V}. Обратите внимание, что, поскольку частицы в идеальном газе не взаимодействуют, вероятность найти частицу на определенном расстоянии от другой частицы равна Сэм e как вероятность найти частицу на таком же расстоянии от любой другой точки; мы будем использовать центр сферы.

NN-частица на расстоянии r { displaystyle r}означает, что на ней находится ровно одна из N { displaystyle N}частиц расстояние, в то время как остальные N — 1 { displaystyle N-1}частицы находятся на больших расстояниях, т. е. где-то вне сферы с радиусом r { displaystyle r}.

Вероятность найти частицу на расстоянии от начала координат между r { displaystyle r}и r + dr { displaystyle r + dr}равна (4 π r 2 / V) dr { displaystyle (4 pi r ^ {2} / V) dr}, плюс мы имеем N { displaystyle N}виды способов выбрать, какую частицу, в то время как вероятность найти частицу за пределами этой сферы составляет 1–4 π r 3/3 V { displaystyle 1-4 pi r ^ {3} / 3V }. Искомое выражение тогда

PN (r) dr = 4 π r 2 dr NV (1 — 4 π 3 r 3 / V) N — 1 = 3 a (ra) 2 dr (1 — (ra) 3 1 N) N — 1 { displaystyle P_ {N} (r) dr = 4 pi r ^ {2} dr { frac {N} {V}} left (1 — { frac {4 pi } {3}} r ^ {3} / V right) ^ {N-1} = { frac {3} {a}} left ({ frac {r} {a}} right) ^ { 2} dr left (1- left ({ frac {r} {a}} right) ^ {3} { frac {1} {N}} right) ^ {N-1} ,}

где мы заменили

1 V = 3 4 π N a 3. { displaystyle { frac {1} {V}} = { frac {3} {4 pi Na ^ {3}}}.}

Обратите внимание, что a { displaystyle a}— радиус Вигнера-Зейтца. Наконец, взяв предел N → ∞ { displaystyle N rightarrow infty}и используя lim x → ∞ (1 + 1 x) x = e { displaystyle lim _ {x rightarrow infty} left (1 + { frac {1} {x}} right) ^ {x} = e}, получаем

P (r) = 3 а (ра) 2 е — (г / а) 3. { displaystyle P (r) = { frac {3} {a}} left ({ frac {r} {a}} right) ^ {2} e ^ {- (r / a) ^ {3 }} ,.}

Сразу проверяется, что

∫ 0 ∞ P (r) dr = 1. { displaystyle int _ {0} ^ { infty} P (r) dr = 1 ,.}

Пик распределения при

r peak = (2/3) 1/3 a ≈ 0,874 a. { displaystyle r _ { text {peak}} = left (2/3 right) ^ {1/3} a приблизительно 0.874a ,.}

Среднее расстояние и более высокие моменты распределения NN

⟨ rk⟩ знак равно ∫ 0 ∞ P (r) rkdr = 3 ak ∫ 0 ∞ xk + 2 e — x 3 dx, { displaystyle langle r ^ {k} rangle = int _ {0} ^ { infty} P (r) r ^ {k} dr = 3a ^ {k} int _ {0} ^ { infty} x ^ {k + 2} e ^ {- x ^ {3}} dx ,,}

или, используя замену t = x 3 { displaystyle t = x ^ {3}},

⟨rk⟩ = ak ∫ 0 ∞ tk / 3 e — tdt = АК Γ (1 + К 3), { Displaystyle langle r ^ {k} rangle = a ^ {k} int _ {0} ^ { infty} t ^ {k / 3} e ^ {- t } dt = a ^ {k} Gamma (1 + { frac {k} {3}}) ,,}

, где Γ { displaystyle Gamma}— это гамма-функция. Таким образом,

⟨r k⟩ = a k Γ (1 + k 3). { displaystyle langle r ^ {k} rangle = a ^ {k} Gamma (1 + { frac {k} {3}}) ,.}

В частности,

⟨r⟩ = a Γ (4 3) = a 3 Γ (1 3) ≈ 0,893 a. { displaystyle langle r rangle = a Gamma ({ frac {4} {3}}) = { frac {a} {3}} Gamma ({ frac {1} {3}}) приблизительно 0,893a ,.}

Ссылки

1. ^Герц, Пол (1909). «Über den gegenseitigen durchschnittlichen Abstand von Punkten, die mit bekannter mittlerer Dichte im Raume angeordnet sind». Mathematische Annalen. 67 (3): 387–398. DOI : 10.1007 / BF01450410. ISSN 0025-5831.
2. ^Чандрасекхар, С. (1943-01-01). «Стохастические задачи физики и астрономии». Обзоры современной физики. 15 (1): 1–89. Бибкод : 1943RvMP… 15…. 1C. doi : 10.1103 / RevModPhys.15.1.

См. Также

С древних времен людей беспокоит мысль о достижении сверх скоростей, так же как не дают покоя раздумья о высотах, летательных аппаратах. На самом деле это два очень сильно связанных между собой понятия. То, насколько быстро можно добраться из одного пункта в другой на летательном аппарате в наше время, зависит полностью от скорости. Рассмотрим же способы и формулы расчета этого показателя, а также времени и расстояния.

Как же рассчитать скорость?

На самом деле, рассчитать ее можно несколькими способами:

• через формулу нахождения мощности;
• через дифференциальные исчисления;
• по угловым параметрам и так далее.

В этой статье рассматривается самый простой способ с самой простой формулой — нахождение значения этого параметра через расстояние и время. Кстати, в формулах дифференциального расчета также присутствуют эти показатели. Формула выглядит следующим образом:

v=S/t, где

• v — скорость объекта,
• S — расстояние, которое пройдено или должно быть пройдено объектом,
• t — время, за которое пройдено или должно быть пройдено расстояние.

Как видите, в формуле первого класса средней школы нет ничего сложного. Подставив соответствующие значения вместо буквенных обозначений, можно рассчитать быстроту передвижения объекта. Например, найдем значение скорости передвижения автомобиля, если он проехал 100 км за 1 час 30 минут. Сначала требуется перевести 1 час 30 минут в часы, так как в большинстве случаев единицей измерения рассматриваемого параметра считается километр в час (км/ч). Итак, 1 час 30 минут равно 1,5 часа, потому что 30 минут есть половина или 1/2 или 0,5 часа. Сложив вместе 1 час и 0,5 часа получим 1,5 часа.

Теперь нужно подставить имеющиеся значения вместо буквенных символов:

v=100 км/1,5 ч=66,66 км/ч

Здесь v=66,66 км/ч, и это значение очень приблизительное (незнающим людям об этом лучше прочитать в специальной литературе), S=100 км, t=1,5 ч.

Таким нехитрым способом можно найти скорость через время и расстояние.

А что делать, если нужно найти среднее значение? В принципе, вычисления, показанные выше, и дают в итоге результат среднего значение искомого нами параметра. Однако можно вывести и более точное значение, если известно, что на некоторых участках по сравнению с другими скорость объекта была непостоянной. Тогда пользуются таким видом формулы:

vср=(v1+v2+v3+…+vn)/n, где v1, v2, v3, vn — значения скоростей объекта на отдельных участках пути S, n — количество этих участков, vср — средняя скорость объекта на всем протяжении всего пути.

Эту же формулу можно записать иначе, используя путь и время, за которое объект прошел этот путь:

• vср=(S1+S2+…+Sn)/t, где vср — средняя скорость объекта на всем протяжении пути,
• S1, S2, Sn — отдельные неравномерные участки всего пути,
• t — общее время, за которое объект прошел все участки.

Можно записать использовать и такой вид вычислений:

• vср=S/(t1+t2+…+tn), где S — общее пройденное расстояние,
• t1, t2, tn — время прохождения отдельных участков расстояния S.

Но можно записать эту же формулу и в более точном варианте:

vср=S1/t1+S2/t2+…+Sn/tn, где S1/t1, S2/t2, Sn/tn — формулы вычисления скорости на каждом отдельном участке всего пути S.

Таким образом, очень легко найти искомый параметр, используя данные выше формулы. Они очень просты, и как уже было указано, используются в начальных классах. Более сложные формулы базируются на этих же формулах и на тех же принципах построения и вычисления, но имеют другой, более сложный вид, больше переменных и разных коэффициентов. Это нужно для получения наиболее точного значения показателей.

Другие способы вычисления

Существую и другие способы и методы, которые помогают вычислить значения рассматриваемого параметра. В пример можно привести формулу вычисления мощности:

N=F*v*cos α , где N — механическая мощность,

F — сила,

v — скорость,

cos α — косинус угла между векторами силы и скорости.

Способы вычисления расстояния и времени

Можно и наоборот, зная скорость, найти значение расстояния или времени. Например:

S=v*t, где v — понятно что такое,

S — расстояние, которое требуется найти,

t — время, за которое объект прошел это расстояние.

Таким образом вычисляется значение расстояния.

Или вычисляем значение времени, за которое пройдено расстояние:

t=S/v, где v — все та же скорость,

S — расстояние, пройденный путь,

t — время, значение которого в данном случае нужно найти.

Для нахождения средних значений этих параметров существует довольно много представлений как данной формулы, так и всех остальных. Главное, знать основные правила перестановок и вычислений. А еще главнее знать сами формулы и лучше наизусть. Если же запомнить не получается, тогда лучше записывать. Это поможет, не сомневайтесь.

Пользуясь такими перестановками можно с легкостью найти время, расстояние и другие параметры, используя нужные, правильные способы их вычисления.

И это еще не предел!

Видео

В нашем видео вы найдете интересные примеры решения задач на нахождение скорости, времени и расстояния.

Условие задачи:

Чему равно среднее расстояние между молекулами насыщенного водяного пара при температуре 100° C?

Задача №4.1.65 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(t=100^circ) C, (l-?)

Решение задачи:

Рассмотрим водяной пар в некотором произвольном количестве, равном (nu) моль. Чтобы определить объем (V), занимаемый данным количеством водяного пара, нужно воспользоваться уравнением Клапейрона-Менделеева:

[pV = nu RT]

[V = frac{{nu RT}}{p}]

В этой формуле (R) – универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(моль·К). Давление насыщенного водяного пара (p) при температуре 100° C  равно 100 кПа, это известный факт, и его должен знать каждый учащийся.

Чтобы определить количество молекул водяного пара (N), воспользуемся следующей формулой:

[N = nu {N_А}]

Здесь (N_А) – число Авогадро, равное 6,023·10²³ 1/моль.

Тогда на каждую молекулу приходится куб объема (V_0), очевидно определяемый по формуле:

[{V_0} = frac{V}{N}]

[{V_0} = frac{{nu RT}}{{pnu {N_А}}} = frac{{RT}}{{p{N_А}}}]

Теперь посмотрите на схему к задаче. Каждая молекула условно находится в своем кубе, расстояние между двумя молекулами может меняться от 0 до (2d), где (d) – длина ребра куба. Среднее же расстояние (l) будет равно длине ребра куба (d):

[l = d]

Длину ребра (d) можно найти так:

[d = sqrt[3]{{{V_0}}}]

В итоге получим такую формулу:

[l = sqrt[3]{{frac{{RT}}{{p{N_А}}}}}]

Переведем температуру в шкалу Кельвина и посчитаем ответ:

[100^circ;C  = 373;К]

[l = sqrt[3]{{frac{{8,31 cdot 373}}{{100 cdot {{10}^3} cdot 6,023 cdot {{10}^{23}}}}}} = 3,72 cdot {10^{ – 9}};м = 3,72;нм]

Ответ: 3,72 нм.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.1.64 Какое количество вещества содержится в алюминиевой ложке массы 27 г? Относительная
4.1.66 Молекула двухатомного газа содержит 16 протонов и 16 нейтронов. Чем равна плотность
4.1.67 В сосуде вместимостью 4 м3 находится 4,8 кг идеального газа. Средняя квадратичная