Как найти среднее ускорение в промежутке времени

Была ли эта статья полезной?

Мы выяснили, что движущийся по дороге автомобиль практически все время изменяет свою скорость. Так, если во время движения водитель нажимает на педаль тормоза, скорость автомобиля уменьшается. Если водитель нажимает на педаль газа, скорость автомобиля, наоборот, возрастает. При этом под словом «скорость» мы подразумеваем, как это было отмечено в предыдущем параграфе, мгновенную скорость.

Таким образом, если водитель нажмет на педаль тормоза сильно, скорость автомобиля начнет изменяться быстро, и вскоре он остановится. При слабом нажатии на тормоз скорость автомобиля будет уменьшаться медленно, и до момента остановки, когда скорость автомобиля станет равной нулю, пройдет больше времени (рис. 52). Можно сказать, что изменение скорости при этом происходит с разной быстротой.

Из приведенного примера ясно, что быстрота изменения скорости определяется начальным и конечным значениями скорости и промежутком времени, за который произошло изменение скорости.

Величину, характеризующую быстроту изменения скорости, называют ускорением.

При решении задач о прямолинейном движении тел используют понятие «значение ускорения».

Значением среднего ускорения тела за промежуток времени tк — t0 называют отношение изменения значения скорости тела за данный промежуток времени к длительности этого промежутка.

a_ср = (v_к — v₀) / (t_к — t₀)

Значение среднего ускорения в СИ измеряют в метрах на секунду в квадрате (м/с²), так как скорость измеряют в метрах в секунду, а время – в секундах.

Поясним сказанное на примерах.

Пусть автомобиль в некоторый начальный момент времени t₀ = 0 двигался в положительном направлении оси X, как показано на рис. 53, а, со скоростью, имевшей значение v₀ = 10 м/с. К моменту времени t_к = 2 с значение его скорости увеличилось до v_к = 16 м/с (автомобиль разгонялся), а направление движения осталось неизменным. Поэтому в соответствии с определением значение среднего ускорения автомобиля за эти две секунды

a_ср = (v_к — v₀) / (t_к — t₀) = (16 — 10) / (2 — 0) = 3 (м/с²).

Так как увеличение значения скорости происходило в положительном направлении оси X, то и изменение скорости, а следовательно, и значение среднего ускорения будут положительными.

Значение среднего ускорения a = 3 м/с² означает, что за каждую секунду скорость автомобиля увеличивалось в среднем на 3 м/с.

Пусть теперь автомобиль, который в начальный момент двигался в положительном направлении оси X со скоростью, имеющей значение v₀ = 10 м/с, за две секунды уменьшил свою скорость до v_к = 4 м/с (рис. 53, б). Тогда по определению значение среднего ускорения за эти две секунды будет таким же но модулю, как и в первом случае, но противоположным но знаку:

a_ср = (v_к — v₀) / (t_к — t₀) = (4 — 10) / (2 — 0) = -3 (м/с²).

Так как значение скорости уменьшается (v_к < v₀), то и изменение значения скорости Δv, и значение среднего ускорения получаются отрицательными.

Значение среднего ускорения a = -3 м/с² означает, что за каждую секунду скорость автомобиля уменьшалась в среднем на 3 м/с (автомобиль тормозил).

Поскольку скорость является векторной величиной, то и изменение скорости – тоже вектор. Из рис. 53 следует, что, когда происходит разгон автомобиля, вектор изменения скорости направлен туда же, куда направлен вектор скорости.

Когда скорость автомобиля уменьшается (при торможении), вектор изменения скорости направлен противоположно вектору скорости.

Средним ускорением тела за промежуток времени Δt называют физическую величину, равную отношению изменения скорости этого тела за промежуток времени Δt к длительности этого промежутка.

a_ср = Δv/Δt

Из определения видно, что среднее ускорение является векторной величиной.

Направление среднего ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости за рассматриваемый промежуток времени.

Из определения следует, что среднее ускорение в СИ измеряют в метрах на секунду в квадрате (м/с²), так как скорость измеряют в метрах в секунду, а время – в секундах.

При уменьшении рассматриваемого промежутка времени до достаточно малого мы придем к понятию ускорения в данный момент времени.

Так же как и при определении мгновенной скорости, можно сказать, что

ускорение в данный момент времени t – это среднее ускорение за достаточно малый промежуток времени Δt, который начинается сразу после момента времени t.

Смысл словосочетания «достаточно малый промежуток времени» остается тем же самым, что и в предыдущем параграфе. Под этим промежутком подразумевается настолько малый промежуток времени, что его дальнейшее уменьшение не приводит к заметным изменениям определяемой нами величины (здесь — ускорения!).

Итоги

Величину, характеризующую быстроту изменения скорости, называют ускорением.

В СИ ускорение измеряют в метрах на секунду в квадрате (м/с²).

Значением среднего ускорения тела за промежуток времени Δt = t_к — t₀ называют отношение изменения значения скорости тела за данный промежуток времени к длительности этого промежутка.

a_ср = (v_к — v₀) / (t_к — t₀)

Вопросы

1. Что такое ускорение тела? Приведите примеры движения тела с ускорением.
2. Дайте определение значения среднего ускорения тела. Назовите единицу ускорения в СИ.
3. Какой знак имеет значение ускорения при прямолинейном движении в положительном направлении оси X, если тело: а) разгоняется; б) тормозится? Куда при этом направлен вектор ускорения?

Упражнения

1. Велосипедист, двигаясь в положительном направлении оси X, за 10 с увеличил свою скорость на 20 м/с. Определите значение среднего ускорения велосипедиста за этот промежуток времени.
2. Мотоциклист, приближаясь к повороту, уменьшает модуль своей скорости от 108 до З6 км/ч. Определите значение среднего ускорения мотоциклиста, если он тормозил в течение 5 с. Считайте, что направление движения мотоциклиста совпадает с положительным направлением координатной оси.

В физике рассмотрением особенностей движения макроскопических твердых тел занимается кинематика. Этот раздел механики оперирует такими понятиями, как скорость, ускорение и путь. В данной статье мы сосредоточим свое внимание на вопросах, что такое мгновенное ускорение и скорость. Также рассмотрим, какими формулами можно определить эти величины.

Нахождение скорости

Об этом понятии известно каждому школьнику, начиная уже с младших классов. Все ученики знакомы с приведенной ниже формулой:

Вам будет интересно:Геохимический барьер: определение термина, особенности

v = S/t.

Здесь S — путь, который преодолело движущееся тело за время t. Данное выражение позволяет рассчитать некоторую среднюю скорость v. Действительно, нам ведь неизвестно, каким образом двигалось тело, на каком участке пути оно перемещалось быстрее, а на каком медленнее. Даже не исключена ситуация, что в некоторой точке пути оно находилось в состоянии покоя какое-то время. Единственное, что известно, это пройденный путь и соответствующий ему временной отрезок.

В старших классах школ скорость, как физическая величина, рассматривается в новом свете. Ученикам предлагают следующее ее определение:

v = dS/dt.

Чтобы понять это выражение, нужно знать, как вычисляется производная от некоторой функции. В данном случае — это S(t). Поскольку производная характеризует поведение кривой в данной конкретной точке, то вычисляемая по формуле выше скорость называется мгновенной.

Ускорение

Если механическое движение является переменным, то для его точного описания необходимо знать не только скорость, но и величину, которая показывает, как она изменяется во времени. Это — ускорение, которое является производная по времени скорости. А та, в свою очередь, есть производная по времени пути. Формула мгновенного ускорения имеет вид:

a = dv/dt.

Благодаря этому равенству можно определить изменение величины v в любой точке траектории.

По аналогии со скоростью, среднее ускорение вычисляется по такой формуле:

a = Δv/Δt.

Здесь Δv — это изменение модуля скорости тела за промежуток времени Δt. Очевидно, что в течение этого периода тело способно как ускоряться, так и замедляться. Величина a, определенная из выражения выше, покажет лишь в среднем быстроту изменения скорости.

Движение с постоянным ускорением

Отличительной особенностью этого типа перемещения тел в пространстве является постоянство величины а, то есть a=const.

Это движение также называют равноускоренным или равнозамедленным в зависимости от взаимного направления векторов скорости и ускорения. Ниже такое перемещение рассмотрим на примере двух наиболее распространенных траекторий: прямой линии и окружности.

При перемещении по прямой линии во время равноускоренного движения мгновенная скорость и ускорение, а также величина пройденного пути, связаны следующими равенствами:

v = v0 ± a*t;

S = v0*t ± a*t2/2.

Здесь v0 — это значение скорости, которым тело обладало до появления ускорения a. Заметим один нюанс. Для данного типа перемещения бессмысленно говорить о мгновенном ускорении, поскольку в любой точке траектории оно будет одним и тем же. Иными словами, мгновенная и средняя величины его будут равны друг другу.

Что касается скорости, то первое выражение позволяет определить ее в любой момент времени. То есть это будет мгновенный показатель. Для расчета средней скорости необходимо воспользоваться представленным выше выражением, то есть:

v = S/t = v0 ± a*(t1 + t2)/2.

Здесь t1 и t2 — это моменты времени, между которыми вычисляют среднюю скорость.

Знак «плюс» во всех формулах соответствует ускоренному передвижению. Соответственно знак «минус» — замедленному.

При изучении движения по окружности с постоянным ускорением в физике используют угловые характеристики, которые аналогичны соответствующим линейным. К ним относится угол поворота θ, угловая скорость и ускорение (ω и α). Эти величины связаны в равенства, аналогичные выражениям равноускоренного движения по прямой линии, которые приводятся ниже:

ω = ω0 ± α*t;

θ = ω0*t ± α*t2/2.

При этом угловые характеристики связаны с линейными следующим образом:

S = θ*R;

v = ω*R;

a = α*R.

Здесь R — радиус окружности.

Задача на определение среднего и мгновенного ускорения

Известно, что тело движется по сложной траектории. Его мгновенная скорость меняется по времени следующим образом:

v = 10 — 3*t + t3.

Чему равно мгновенное ускорение тела в момент t=3 (секунды)? Найти среднее ускорение за промежуток времени от двух до четырех секунд.

На первый вопрос задачи ответить несложно, если вычислить производную от функции v(t). Получаем:

a = |dv/dt|t=2;

а = |3*t2 — 3|t=2 = 24 м/с2.

Для определения среднего ускорения, следует воспользоваться таким выражением:

a = (v2 — v1)/(t2 — t1);

а = ((10 — 3*4 + 43) — (10 — 3*2 + 23))/2 = 25 м/c2.

Из расчетов следует, что среднее ускорение немного превышает мгновенное в середине рассмотренного временного промежутка.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости как по величине, так и по направлению. Можно найти среднее ускорение, чтобы определить среднюю быстроту изменения скорости тела в течение определенного периода времени. Вы можете быть незнакомы с вычислением ускорения (та как это не повседневные задачи), но эта статья расскажет вам, как быстро найти среднее ускорение.

Коллоквиум.

1. Механическое движение. Относительность
механического движения.

Механическое движение – это изменение
положения тела в пространстве относительно
других тел.

Относительность механического движения

Все тела во Вселенной движутся, поэтому
не существует тел, которые находятся в
абсолютном покое. По той же причине
определить движется тело или нет, можно
только относительно какого-либо другого
тела.

Например, автомобиль движется по дороге.
Дорога находится на планете Земля.
Дорога неподвижна. Поэтому можно измерить
скорость автомобиля относительно
неподвижной дороги. Но дорога неподвижна
относительно Земли. Однако сама Земля
вращается вокруг Солнца. Следовательно,
дорога вместе с автомобилем также
вращается вокруг Солнца. Следовательно,
автомобиль совершает не только
поступательное движение, но и вращательное
(относительно Солнца). А вот относительно
Земли автомобиль совершает только
поступательное движение. В этом
проявляется относительность механического
движения.

Относительность механического движения
– это зависимость траектории движения
тела, пройденного пути, перемещения и
скорости от выбора системы отсчёта.

2. Перемещение и скорость.

Перемещение
— это вектор, соединяющий начальное и
конечное положение точки. Направление
и величина перемещения определяются
отрезком прямой между начальной и
конечной точками движения.

Скорость.
Механическое
движение характеризуется еще и тем,
насколько быстро движется точка (тело).
Эта характеристика называется скорость
движения.
Скорость — величина векторная. Для того,
чтобы полностью задать ее, надо задать
собственно величину скорости и
направление, вдоль которого она измерена.
Обычно рассматривается скорость тела
вдоль траектории его движения. Тогда
величина скорости определяется как
путь, пройденный в единицу времени.
Иначе говоря, для того, чтобы найти
скорость вдоль траектории движения
надо путь разделить на время, за которое
он был пройден.

Формулы
для решения:

Пусть
v
—
скорость, s
—
путь, t
— время. Скорость
измеряется вдоль траектории движения.
Тогда:

Перемещение
определяется как геометрическая сумма
отрезков пути. Для простейшего случая,
когда один участок пути направлен
перпендикулярно другому решается
прямоугольный треугольник:

3. Виды движения. Ускорение.

В современной механике движение тела
подразделяется на виды, и существует
следующая классификация видов движения
тела:

1. Поступательное движение,
при котором любая прямая линия, связанная
с телом, остается при движении параллельной
самой себе.
2. Вращательное движение
или вращение тела вокруг своей оси,
считающейся неподвижной.
3. Сложное
движение тела, состоящее из
поступательного и вращательного
движений.

Ускорение – это величина,
которая характеризует быстроту изменения
скорости.

Среднее ускорение

Среднее
ускорение> – это отношение
изменения скорости к промежутку времени,
за который это изменении произошло.
Определить среднее ускорение можно
формулой:

где

–
вектор ускорения.

Направление
вектора ускорения совпадает с направлением
изменения скорости Δ
=
—

₀
(здесь
₀
– это начальная скорость, то есть
скорость, с которой тело начало
ускоряться).

В
момент времени t1 (см. рис 1.8) тело имеет
скорость
₀.
В момент времени t2 тело имеет скорость

.
Согласно правилу вычитания векторов
найдём вектор изменения скорости Δ
=
—

₀.
Тогда определить ускорение можно так:

Рис.
1.8. Среднее ускорение.

В
СИ единица ускорения – это 1
метр в секунду за секунду (или метр на
секунду в квадрате), то есть

Метр
на секунду в квадрате равен ускорению
прямолинейно движущейся точки, при
котором за одну секунду скорость этой
точки увеличивается на 1 м/с. Иными
словами, ускорение определяет, насколько
изменяется скорость тела за одну секунду.
Например, если ускорение равно 5 м/с²,
то это означает, что скорость тела каждую
секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное
ускорение тела (материальной точки)
в данный момент времени – это физическая
величина, равная пределу, к которому
стремится среднее ускорение при
стремлении промежутка времени к нулю.
Иными словами – это ускорение, которое
развивает тело за очень короткий отрезок
времени:

Направление
ускорения также совпадает с направлением
изменения скорости Δ
при очень малых значениях промежутка
времени, за который происходит изменение
скорости. Вектор ускорения может быть
задан проекциями на соответствующие
оси координат в данной системе отсчёта
(проекциями а_Х, a_Y, a_Z).

При
ускоренном прямолинейном движении
скорость тела возрастает по модулю, то
есть

v₂
> v₁

а направление вектора ускорения совпадает
с вектором скорости
₂.

Если
скорость тела по модулю уменьшается,
то есть

v₂
< v₁

то направление вектора ускорения
противоположно направлению вектора
скорости
₂.
Иначе говоря, в данном случае происходит
замедление движения, при этом
ускорение будет отрицательным (а < 0).
На рис. 1.9 показано направление векторов
ускорения при прямолинейном движении
тела для случая ускорения и замедления.

Рис.
1.9. Мгновенное ускорение.

При
движении по криволинейной траектории
изменяется не только модуль скорости,
но и её направление. В этом случае вектор
ускорение представляют в виде двух
составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное
(касательное) ускорение – это
составляющая вектора ускорения,
направленная вдоль касательной к
траектории в данной точке траектории
движения. Тангенциальное ускорение
характеризует изменение скорости по
модулю при криволинейном движении.

Рис.
1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление
вектора тангенциального ускорения
_τ
(см. рис. 1.10) совпадает с направлением
линейной скорости или противоположно
ему. То есть вектор тангенциального
ускорения лежит на одной оси с касательной
окружности, которая является траекторией
движения тела.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #