Как найти среднее значение чего либо - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

13 мая 2021 г.

Арифметика может помочь людям множеством способов, некоторые из которых более распространены, чем другие. Одной из наиболее распространенных форм арифметики является вычисление среднего значения, которое является средним значением набора чисел. Понимание того, что такое среднее значение, а также как его вычислить, может помочь вам проводить расчеты, такие как средние оценки, средние денежные значения и другие полезные числовые значения. В этой статье мы объясним, что такое среднее значение набора чисел, покажем вам, как вычислить среднее значение, и опишем ситуации, в которых может потребоваться вычисление среднего значения.

Какое значение?

Среднее значение — это среднее числовое значение набора чисел. Люди могут использовать среднее значение для расчета средней оценки из набора оценок за тест или затрат в месяц для личных бюджетов. В отличие от медианы или моды, среднее значение является более традиционным методом расчета среднего. Среднее значение не обязательно приводит к одному из заданных чисел, которое появляется в наборе, который вы вычисляете.

Почему важно знать среднее значение?

Знание того, как рассчитать среднее значение, важно, потому что вы можете использовать его во многих статистических, математических и часто встречающихся жизненных ситуациях. Вы можете взять среднее значение своих оценок, расходов или общих средних значений, найдя среднее значение. Знание среднего может помочь свести к минимуму ошибку при прогнозировании любого отдельного значения в ваших данных. Среднее также может применяться к нескольким типам и типам чисел, например к денежным значениям. Знание того, как вычислить среднее значение, гарантирует, что ваши данные непротиворечивы и точны.

Как рассчитать среднее значение?

Формула для вычисления среднего значения набора чисел выглядит следующим образом:

(Сложение чисел)/общее число в наборе = среднее

Например, среднее числового набора 1, 2, 3, 4 и 5 выглядит следующим образом:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

(15)/5 = 3

Следовательно, среднее значение равно 3 для этого набора чисел.

В чем разница между средним и медианой?

Разница между средним значением и медианой заключается в формуле для каждого из них. Среднее значение — это среднее значение набора чисел, а медиана — это расчет, используемый для определения середины набора чисел. Преимущества нахождения медианы включают тот факт, что экстремальные выбросы в наборе данных не влияют на медиану так сильно, как на среднее значение. Если вы хотите найти среднее значение набора чисел, включающего один или несколько экстремальных выбросов, вы можете найти медиану вместо среднего для более точного результата.

Формула медианы выглядит следующим образом:

Либо: если общее количество чисел в наборе нечетное, среднее число в наборе является медианой.

Или: если общее количество чисел в наборе четное, возьмите два средних числа, сложите их и разделите это число на два.

Например, если вы хотите вычислить медиану набора 2, 3, 4, 5 и 6, вы должны просто извлечь среднее число, которое в данном случае равно 4.

Чтобы вычислить медиану набора 2, 3, 4 и 5, вы складываете два средних числа и делите это число на два:

(3 + 4)/2 = 3,5

Медиана = 3,5

Связанный: Как рассчитать операционный доход

Каковы некоторые примеры ситуаций, когда вы могли бы использовать среднее значение?

Есть много ситуаций, в которых вы бы использовали среднее значение набора чисел для вычисления чего-либо. Некоторые из этих ситуаций включают следующее:

Средние оценки

Джейкоб хочет, чтобы в его табеле успеваемости по математике за неделю было не менее 85 баллов. Чтобы понять общую оценку, которую он получил за последнюю неделю, он подсчитывал среднее значение своих баллов. Оценки, которые Джейкоб получил на прошлой неделе, были 87, 65, 93, 89 и 72.

Чтобы рассчитать средний балл Джейкоба за эту неделю, он воспользовался формулой среднего:

(87 + 65 + 93 + 89 + 72)/5 = Среднее

Среднее значение = 81,2

Это означает, что средняя оценка Джейкоба за неделю составляет 81,2. Джейкоб не достиг своей цели на этой неделе.

Статистические средние

Карл владеет кинотеатром и хочет рассчитать статистику количества положительных отзывов о конкретном фильме, оставленных людьми в течение недели, чтобы определить, следует ли ему продолжать смотреть этот фильм. Для этого он подсчитывает среднее количество положительных отзывов, которые люди оставили после просмотра фильма в его местном кинотеатре. Из 100 человек, зарегистрированных каждый день, 47 оставили положительный отзыв в понедельник, 26 оставили положительный отзыв во вторник, 59 оставили положительный отзыв в среду, 93 оставили положительный отзыв в четверг и 82 оставили положительный отзыв в пятницу.

Он вычисляет свою среднюю формулу следующим образом:

(47 + 26 + 59 + 93 + 82)/5 = Среднее

Среднее значение = 61,4

В среднем более половины зрителей оставили положительные отзывы об этом фильме, поэтому Карл продолжает показывать этот фильм в своем кинотеатре.

Результаты исследований

Венди — директор школы. Она провела опрос, который показал, что 73 из 100 учеников ее школы предпочитают использовать в классе учебники, а не планшеты. Тем не менее, она проводит опрос еще пять раз в этом году, чтобы убедиться, что ее результаты точны. Результаты были 89, 74, 62, 82 и 90. Чтобы вычислить среднее значение, она применяет следующую формулу:

(73 + 89 + 74 + 62 + 82 + 90)/6 = Среднее

Среднее значение = 78,3

Таким образом, среднее количество учеников, предпочитающих учебники, составляет 78,3 из 100. Венди решает отдать предпочтение обучению по учебникам, а не по планшетам в классах своей школы.

Средняя посещаемость

Барбара владеет местным театром, в котором недавно ставили спектакль в течение пяти вечеров, и она хочет знать, сколько людей в среднем посещало спектакль каждый вечер. В первый вечер пришло 200 человек, во второй — 340, в третий — 220, в четвертый — 345, а в последний вечер — 456 человек. Она применяет формулу среднего к этим данным следующим образом:

(200 + 340 + 220 + 345 + 456)/5 = Среднее

Среднее значение = 312,2

В результате среднего расчета Барбара обнаружила, что средняя посещаемость составляет чуть более 312 посетителей за ночь, что она считает успехом.

Источник

Download Article

In mathematics, the «mean» is a kind of average found by dividing the sum of a set of numbers by the count of numbers in the set.^[1] While it isn’t the only kind of average, the mean is the one most people think of when speaking about an average. You can use means for all kinds of useful purposes in your daily life, from calculating the time it takes you to get home from work, to working out how much money you spend in an average week.^[2]

Steps

1
Determine the set of values you want to average. These numbers can be big or small, and there can be as many of them as you want.^[3] Just make sure you are using real numbers and not variables.
- Example: 2, 3, 4, 5, 6.
2
Add your values together to find the sum. You can use a calculator, by hand, or a spreadsheet application to do so.^[4]
- Example:
Advertisement
3
Count the number of values in your group. Count all of the numbers added up. Identical values should still be counted, meaning if you have values that repeat in your set, each one still counts in determining your total. Do not include the sum (answer) of all the numbers added up when counting the quantity of the values.^[5]
- Example: 2, 3, 4, 5, and 6 make for a total of five values.
4

Divide the sum of the set by the number of values. The result is the mean (a type of average) of your set. This implies that if each number in your set was the mean, they would add up to the same total.^[6]

Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

Question

What do I do if my mean/average has a remainder?

Convert the remainder to a decimal or fraction. For example: the average of 5, 12, and 17 is 34 ÷ 3, which is 11 with a remainder of 1. Convert the remainder to the fraction 1/3 or the decimal .33. Thus, the average is 11-1/3 or 11.33.
Question

How do I calculate the mode?

It is the number in a set which appears most often.

In the set {1 7 9 0 4 5 4}, 4 is the mode.
Question

How do I find the range?

The range of a data set is the difference between the largest number and the smallest number in the set.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

Other kinds of averages include the median and mode.^[7] The mode is the value repeated most often in any set. The median is the number in a set with an equal quantity of values in the set greater and smaller than it. These averages will often produce different results than the mean from the same set of numbers.^[8]

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Article SummaryX

To calculate the mean of a set of numbers, start by adding up all of the values together to find the sum. Then, count all of the numbers that you added up. Finally, divide the sum of the set by the number of values to get the mean. If you want to learn what to do if the mean has a remainder, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 355,856 times.

Did this article help you?

Источник

Среднее арифметическое — статистический показатель, который демонстрирует среднее значение заданного массива данных. Такой показатель рассчитывается как дробь, в числителе которой стоит сумма всех значений массива, а в знаменателе — их количество. Среднее арифметическое — важный коэффициент, который находит применение в бытовых расчетах.

Смысл коэффициента

Среднее арифметическое — элементарный показатель для сравнения данных и подсчета приемлемого значения. К примеру, в разных магазинах продается банка пива конкретного производителя. Но в одном магазине она стоит 67 рублей, в другом — 70 рублей, в третьем — 65 рублей, а в последнем — 62 рубля. Довольно большой разбег цен, поэтому покупателю будет интересна средняя стоимость банки, чтобы при покупке товара он мог сравнить свои расходы. В среднем банка пива по городу имеет цену:

Средняя цена = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рублей.

Зная среднюю цену, легко определить где выгодно покупать товар, а где придется переплатить.

Среднее арифметические постоянно используется в статистических расчетах в случаях, если анализируется однородный набор данных. В примере выше — это цена банки пива одной марки. Однако мы не можем сравнить цену на пиво разных производителей или цены на пиво и лимонад, так как в этом случае разброс значений будет больше, средняя цена будет смазана и недостоверна, а сам смысл расчетов исказится до карикатурного «средняя температура по больнице». Для расчета разнородных массивов данных используется среднее арифметическое взвешенное, когда каждое значение получает свой весовой коэффициент.

Подсчет среднего арифметического

Формула для вычислений предельно проста:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

где an – значение величины, n – общее количество значений.

Для чего может использоваться данный показатель? Первое и очевидное его применение — это статистика. Практически в каждом статистическом исследовании используется показатель среднего арифметического. Это может быть средний возраст вступления в брак в России, средняя оценка по предмету у школьника или средние траты на продукты в день. Как уже говорилось выше, без учета весов подсчет средних значений может давать странные или абсурдные значения.

К примеру, президент Российской Федерации сделал заявление, что по статистике, средняя зарплата россиянина составляет 27 000 рублей. Для большинства жителей России такой уровень зарплаты показался абсурдным. Не мудрено, если при расчете учитывать размер доходов олигархов, руководителей промышленных предприятий, крупных банкиров с одной стороны и зарплаты учителей, уборщиков и продавцов с другой. Даже средние зарплаты по одной специальности, например, бухгалтера, будут иметь серьезные отличия в Москве, Костроме и Екатеринбурге.

Как считать средние для разнородных данных

В ситуациях с подсчетом заработной платы важно учитывать вес каждого значения. Это означает, что зарплаты олигархов и банкиров получили бы вес, например, 0,00001, а зарплаты продавцов — 0,12. Это цифры с потолка, но они приблизительно иллюстрируют распространенность олигархов и продавцов в российском обществе.

Таким образом, для подсчета среднего средних или среднего значения в разнородном массиве данных, требуется использовать среднее арифметическое взвешенное. Иначе вы получите среднюю зарплату по России на уровне 27 000 рублей. Если же вы хотите узнать свою среднюю оценку по математике или среднее количество забитых шайб выбранного хоккеиста, то вам подойдет калькулятор среднего арифметического.

Наша программа представляет собой простой и удобный калькулятор для расчета среднего арифметического. Для выполнения расчетов вам понадобится ввести только значения параметров.

Рассмотрим пару примеров

Расчет средней оценки

Многие учителя используют метод среднего арифметического для определения годовой оценки по предмету. Давайте представим, что ребенок получил следующие четвертные отметки по математике: 3, 3, 5, 4. Какую годовую оценку ему поставит учитель? Воспользуемся калькулятором и посчитаем среднее арифметическое. Для начала выберете соответствующее количество полей и введите значения оценок в появившиеся ячейки:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Учитель округлит значение в пользу ученика, и школьник получит за год твердую четверку.

Расчет съеденных конфет

Давайте проиллюстрируем некоторую абсурдность среднего арифметического. Представим, что у Маши и Вовы было 10 конфет. Маша съела 8 конфет, а Вова — всего 2. Сколько конфет в среднем съел каждый ребенок? При помощи калькулятора легко вычислить, что в среднем дети съели по 5 конфет, что совершенно не соответствует действительности и здравому смыслу. Этот пример показывает, что показатель среднего арифметического важно считать для осмысленных наборов данных.

Заключение

Расчет среднего арифметического широко используется во многих научных сферах. Этот показатель популярен не только в статистических расчетах, но и в физике, механике, экономике, медицине или финансах. Используйте наши калькуляторы в качестве помощника для решения задач на вычисление среднего арифметического.

Источник

Среднее арифметическое

Онлайн калькулятор поможет найти среднее арифметическое чисел. Среднее арифметическое множества чисел (ряда чисел) — число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество.

Программа вычисляет среднее арифметическое элементов массива, среднее арифметическое натуральных чисел, целых чисел, набора дробных чисел.

Формула которая используется для расчета среднего арифметического значения:

Приведём примеры нахождения среднего арифметического ряда чисел:
Среднее арифметическое двух чисел: (2+5)/2=3.5;
Среднее арифметическое трёх чисел: (2+5+7)/3=4.66667;
Среднее арифметическое 4 чисел: (2+5+7+2)/4=4;

Найти выборочное среднее (математические ожидание):
Среднее арифметическое 5 чисел: (2+5+7+2+3)/5=3.8;
Среднее арифметическое 6 чисел: (2+5+7+2+3+4)/6=3.833;
Среднее арифметическое 7 чисел: (2+5+7+2+3+4+8)/7=4.42857;
Среднее арифметическое 8 чисел: (2+5+7+2+3+4+8+5)/8=4.5;
Среднее арифметическое 10 чисел: (2+5+7+2+3+4+8+5+9+1)/10=4.6;

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Смотрите также

Источник

Простой пример: Утром вы ведёте машину до работы со скоростью 30 км/ч, потому что вы не хотите на работу, а обратно едете уже со скоростью 60 км/ч, потому что спешите попасть домой. Какова средняя скорость вашего передвижения в этот день?

Подсказка: Нет, не 45 км/ч.

А пока вот вам небольшая табличка.

Но что всё это значит?

Давайте начнём сначала. Что вообще мы понимаем под словом «среднее»? Для большинства из нас это «какое-то число посередине» либо некое сбалансированное по каким-то критериям число.

Можно предложить более универсальную интерпретацию понятия «среднее значение». Среднее значение какого-либо ряда значений — это то, которым можно заменить любую единицу ряда и получить тот же результат. Условно говоря, я могу выбросить все представленные данные, кроме среднего значения, и общий смысл не изменится.

Одна из целей получения среднего значения — это понять суть выборки данных с помощью репрезентативного образца. Но сам процесс вычисления среднего значения зависит от того, каким образом взаимодействуют элементы группы данных. Давайте посмотрим, как это происходит.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое знакомо нам всем со школы:

среднее арифметическое = сумма всех величин/количество величин

Задачка: вы весите 75 кг и зашли в лифт с подростком весом 50 кг и толстяком весом 175 кг. Каков средний вес вашей группы?

На самом деле вопрос стоит так: Если заменить вашу весёлую компанию тремя клонированными людьми с одинаковым весом, каким весом должен обладать каждый такой клон?

В этом случае мы просто заказываем на фабрике по производству клонов человека трёх экземпляров весом в 100 килограмм каждый (Помним: (75+50+175)/3) и довольно потираем руки.

Преимущества среднего арифметического:

Отлично работает для совокупностей, значения которых легко складываются;
Просто вычисляется: складывай, разделяй и властвуй;
Интуитивно понятно — среднее арифметическое для нас как раз и является «числом где-то в середине» между наибольшим и наименьшим значением.

Недостатки среднего арифметического:

Среднее арифметическое не работает для числовых рядов с большим разбросом в значениях. Ну, скажем, среднее арифметическое чисел 100, 200 и -300 — это 0, а это уже обескураживает.

Среднее арифметическое срабатывает в 80% случаев. К сожалению, 20% оставшихся случаев и вынуждают нас искать альтернативы для подсчёта среднего значения.

Медиана

Медиана — это та самая грань, которая отделяет наибольшие значения от наименьших. То самое «число посередине». Постойте-постойте, а разве среднее арифметическое делает не то же самое?

Вот вам простой пример. Какое число находится в середине этого ряда?

1, 2, 3, 4, 100

Число «3» находится в середине ряда. И хотя среднее арифметическое (22) является «средним», оно никак не отражает распределения этих чисел. Интуитивно (и абсолютно правильно!) мы считаем, что в середине этого ряда всё-таки 3, а не 22. Здесь среднее значение увеличилось благодаря резко отклоняющемуся от общей массы значению, 100.

Медиана решает эту проблему. Медиана делит наш числовой ряд на две равные части, причём первая половина имеет значения меньше либо равные медиане, а вторая — больше либо равные. Если в середине числового ряда оказывается два числа, мы просто берём среднее арифметическое этих двух чисел, чтобы получить медиану. В числовом ряду 1, 2, 3, 4 медианой станет число 2,5. Именно медиана позволяет выбивающимся из общей массы числам вроде 100 в нашем примере выше не влиять на общее впечатление о числовом ряде.

Преимущества медианы:

Прекрасно справляется с резко отклоняющимися значениями, поэтому зачастую является самым репрезентативным значением для группы;
Разбивает данные на две группы, состоящие из одинакового количества элементов.

Недостатки медианы:

Немного усложняются вычисления: необходимо разбить ряд на две части;
Медиана менее популярна; если вы скажете «среднее медианное значение», люди запросто могут подумать, что вы говорите о среднем арифметическом. Отсюда возникают недопонимания.

Такие средние значения, как цены на недвижимость или, например, уровень дохода часто вычисляются именно по медиане, потому что нам важна именно средняя стоимость большей части домов в конкретном районе или средний уровень доходов большей части населения. В таком случае Билл Гейтс с годовым доходом в несколько миллиардов не испортит нам всю статистику. Видите, как много зависит от того, как мы работаем с имеющимися данными?

Мода

Само слово может звучать странно, но оно означает всего лишь наиболее часто встречающийся в группе элемент. На практике обычно мода определяется путём опросов и сбора мнений. Да, действительно порой бывают случаи, когда лучшим способом получить наиболее репрезентативный образец данных является сбор откликов.

Ну, скажем, вы планируете вечеринку, и вам нужно выбрать день для её проведения. Дни недели — такой же числовой ряд, что и любой другой. Это всего лишь числа от 1 до 7. Среднее арифметическое и медиана тут не помогут (Лиза и Паша могут в пятницу, а Коля и Петя — в воскресенье; поэтому назначим субботу). Что делать в таком случае? Конечно, выбрать тот день, который выберет большинство.

Как правило, мода используется для получения наиболее репрезентативного значения в нечисловых рядах. Популярные цвета в сезоне, хиты продаж, рейтинги фильмов и музыки, лучшие кафе и закусочные определяются именно по моде.

Преимущества моды: — Прекрасно работает для получения представления об общественном мнении; — Даёт представление о потребностях большой части людей (там, где среднее арифметическое даёт лишь осечку); — Проста для понимания.

Недостатки моды: — Для её вычисления требуется больше усилий (нужно собрать мнения и обработать их); — Победителю достаётся всё: мода выявляет только одного лидера.

Среднее геометрическое

Наш «усреднённый элемент» зависит от того, что мы делаем с уже существующими элементами группы данных. В большинстве случаев элементы просто складываются, и среднее арифметическое прекрасно работает. Но иногда нам нужно что-то большее. Например, когда мы работаем с инвестициями, площадью и объёмом. В таких случаях данные взаимодействуют между собой именно путём умножения (ожидаемая доходность, объём или площадь фигуры вычисляются с помощью умножения), и это меняет наш подход к выявлению средних значений.

Вот пример. Какой инвестиционный портфель вы предпочтёте? Иными словами, какой из них принесёт большую прибыль в течение типичного года?

Портфель А: +10%, -10%, +10%, -10%
Портфель Б: +30%, -30%, +30%, -30%

Выглядят они похоже. Наша повседневная логика, построенная на привычке к среднему арифметическому, говорит нам, что оба портфеля достаточно рискованны, и оба в среднем приведут к убыткам или нулевой прибыли. Поэтому, наверное, мы выберем портфель Б, поскольку в успешный год он принесёт больше прибыли.

И это неверно! На фондовом рынке с таким подходом мы с вами точно бы прогорели. Проценты с инвестиций умножаются, а не складываются. Мы не можем просто взять и использовать среднее арифметическое, нам нужно найти действительный коэффициент окупаемости. Коэффициент окупаемости считается достаточно просто: берём условные 100% нашего текущего капитала в качестве единицы. Далее представляем колебания доходности-убытка, представленные в описании портфелей, добавляя к нашей единице или вычитая из неё процентные показатели. Затем перемножаем полученные колебания и получаем коэффициент. Для расчёта среднегодового значения коэффициента окупаемости делим полученный коэффициент на 4 (поскольку элементов в нашем числовом ряду четыре).

Портфель А:

Коэффициент окупаемости: 1,1 * 0,9 * 1,1 * 0,9 = 0,98 (2% убытка)

Среднегодовое значение: (0,98)^(1/4) = 0,5% годового убытка

Портфель Б:

Коэффициент окупаемости: 1,3 * 0,7 * 1,3 * 0,7 = 0,83 (17% убытка)

Среднегодовое значение: (0,83)^(1/4) = 4,6% годового убытка

Выбор между 2% или 17%? Огромная разница! Конечно, разумный человек отказался бы от обоих портфелей, но из двух зол лучше выбрать Портфель А. И именно здесь среднее арифметическое не работает.

Несколько примеров, где работает среднее геометрическое:

Темпы инфляции: У вас есть показатели в 1%, 2% и 10%. Каков средний показатель инфляции за конкретный период времени? (1,01 * 1,02 * 1,10)^(1/3) = 4,3%.
Скидки: У вас есть три скидочных купона на 50%, 25% и 35%. Какова средняя скидка? (0,5 * 0,75 * 0,65)^(1/3) = 37.5%.
Площадь: У вас есть участок земли 40х60 м. Вам нужно вычислить «усреднённую сторону» — иными словами, сторону квадрата примерно той же площади. (40 * 60)^(0.5) = 49 м.
Объём: У вас есть коробка 12х24х48 см. Вам снова нужна усреднённая сторона, то есть сторона куба примерно того же объёма. (12 * 24 * 48)^(1/3) = 24 см.

Среднее геометрическое помогает найти «типичный элемент» среди группы элементов, взаимодействующих друг с другом путём умножения. И, как видим, у него множество практических применений.

Среднее гармоническое

Среднее гармоническое представить сложнее, чем предыдущих представителей «средних», но оно не менее полезно. Между прочим, само понятие «гармоники» в математике связано с обратными числами (1/2, 1/3 и т.д.). Среднее гармоническое помогает нам вычислить среднее арифметическое в рядах чисел, заданных обратными значениями. Это случается чаще, чем вы можете подумать.

Например, если я еду со скоростью 30 км/ч, это значит, что я получаю определённый результат (30 км) за какую-либо единицу времени (1 час). Когда мы хотим узнать среднее значение для нескольких скоростей (Х и Y), нужно думать о результате и единицах измерения, а не об исходных цифрах.

средняя скорость = общий результат/общая единица измерения

Возьмём двух работников: Х и Y. Оба работают в одном проекте и выполняют одинаковое количество работы, но скорость их работы разная. Какова средняя скорость их работы?

Скажем, работник Х кладёт 30 кирпичей в час, а работник Y — 60 кирпичей в час. Значит, на один кирпич у каждого работника уходит:

У работника X укладка одного кирпича займёт 1/X времени (1/30);
У работника Y укладка одного кирпича займёт 1/Y времени (1/60)

Складываем результаты и единицы измерения:

Общий результат: 2 кирпича (Х и Y уложили по одному) Общая единица времени: 1/X + 1/Y (у каждого уходит разное количество времени)

Средней скоростью обоих работников будет:

Если бы у нас было 3 работника (X, Y и Z), их средняя скорость вычислялась бы по формуле:

Здорово же иметь одну формулу вместо того, чтобы каждый раз заниматься долгими вычислениями. Даже вычисляя среднюю скорость 5 нерадивых работников стало бы головной болью. Помните наш первый пример про скорость, с которой вы едете на работу и домой? Чтобы найти среднюю скорость вашего передвижения в тот день, мы просто используем формулу.

При этом нам даже не нужно знать, где находится дом или офис! Теперь вместо X и Y у нас не кирпичи, а количество километров за единицу времени. Вне зависимости от расстояния результат один и тот же: допустим, некое количество километров R мы проходим на скорости X, а другое количество километров R — на скорости Y. Средняя скорость при этом будет вычисляться так же, как вычисляется средняя скорость прохождения 1 км на скорости X и одного километра на скорости Y:

Ключевая идея: Среднее гармоническое используется тогда, когда один и тот же объём работы выполняется на разных скоростях.

Ещё более ключевая идея: Помните, что среднее значение — это один элемент, способный передать суть целой группы элементов. В нашем примере с работой и офисой в среднем туда-обратно мы едем на скорости 40 км/ч (вместо 30 км/ч туда и 60 км/ч обратно). Важно помнить, что средней скоростью мы заменяем каждую «стадию».

Ещё несколько примеров из жизни среднего гармонического:

Передача данных: Мы передаём данные между клиентом и сервером. Клиент посылает данные за плату 10 Гб/доллар, а сервер получает их за плату 20 Гб/доллар. Каково среднее количество Гб, которые можно передать и получить за один доллар? Мы усредняем значения для клиента и для сервера: 2 / (1/10 + 1/20) = 13,3 Гб/доллар для каждой стороны. Поскольку данные и передаются, и получаются (каждая сторона выполняет свою половину работу), мы делим это значение на 2 и получаем следующее значение: 6,65 Гб за доллар.
Продуктивность машины: У нас есть производственная установка для подготовки и полировки деталей. За час установка может подготовить 25 деталей; либо за тот же час она может отполировать 10 деталей. Какова средняя производительность установки? Усредняем значения для каждой стадии: 2 / (1/25 + 1/10) = 14,28 деталей/час. Снова делим это значение на два, поскольку нас интересует средняя производительность установки, если она занимается сразу двумя фазами: получаем 7,14 деталей/час.

В чём здесь фокус?

Среднее гармоническое действительно не самая очевидная вещь. Дело в том, что если бы у вас было две разных установки, одна из которых работает со скоростью 10 деталей/час, а другая — 20 деталей/час, конечно, их средняя производительность составляла бы 15 деталей/час. В этом случае вы имеете полное право просто сложить их производительность и вычислить среднее арифметическое, ведь установки работают независимо друг от друга.

Если не верите в среднее гармоническое, можно устроить себе обратную проверку. Мы утверждаем, что наша универсальная установка по заготовке и полировке деталей справляется с 7,14 деталями в час. Проверим: мы знаем, что за час машина либо обрабатывает 25 деталей, либо полирует 10. Получаем:

Подготовка: 7,14/25 = 0,29 часов Полировка: 7,14/10 = 0,71 часов

Да-да, 0,29 + 0,71 = 1, цифры работают: для полного цикла изготовления 7,14 деталей действительно требуется один час.

В качестве заключения

Даже такая простая на первый взгляд идея, как «среднее значение», имеет множество применений. Мы здесь рассмотрели лишь самые основные и не затронули средневзвешенное, центр тяжести, математическое ожидание и многое другое. Но мы поняли главные принципы:

Среднее значение призвано отразить основную суть всех элементов в группе
Тип среднего значения зависит от того, как взаимодействуют элементы в группе (складываются? умножаются? становятся обратными величинами? просто выбираются?)

Спасибо прекрасной статье на Better Explained.

Удачных вам статистических изысканий и не забудьте прочитать другие статьи из серии переводов Better Explained: Удивительные применения теоремы Пифагора, Как развить математическую интуицию? и Открытие числа Пи.

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

Источник