Как найти среднее значение измеряемой величины - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

При
многократных измерениях какой-то
величины, истинное значение которой a,
проделывают n
измерений. В результате получают ряд
приближенных значений

Истинные абсолютные
погрешности представим как

Тогда можем
записать:

Складывая почленно,
имеем:

Отсюда

среднее
арифметическое отдельных измерений.

Истинное значение
а, выразится

истинная
абсолютная погрешность, которая остается
неизвестной.

Задача нахождения
случайных погрешностей была решена
Гауссом. В основе рассмотрения лежат
две аксиомы:

Погрешности равной
абсолютной величины и противоположных
знаков равновероятны.
Чем больше
абсолютная величина погрешности, тем
она менее вероятна.

Из первой аксиомы
следует, что при бесконечном числе
измерений (при
)

и тогда

Но практически
осуществить можно лишь конечное число
измерений. И этого оказывается достаточно,
так как на основе второй аксиомы
маловероятны большие погрешности.

Отсюда следует,
что
многих измерений, и встает задача оценить
степень приближения среднего значения
к истинному.

3. Погрешности прямых или непосредственных измерений

Если в результате
измерения величины b
получены значения
то среднее арифметическое значение

Абсолютные
погрешности отдельных измерений
равны по модулю разностям среднего
значенияи результатов отдельных измерений

,…,

средняя
абсолютная погрешность измерений.

Результат измерения
представляют так:

Расчеты проводятся
с учетом правил приближенных вычислений.

Относительная
погрешность показывает, какую долю
составляет абсолютная погрешность от
среднего значения и выражается обычно
в процентах

Наименьшая
погрешность измерения не может быть
меньше погрешности прибора. Последняя
указывается в паспорте, либо за нее
принимаем половину цены деления прибора.

Если измерение
проведено один раз или при многократных
повторениях получается один и тот же
результат, то погрешностью измерения
считают погрешность прибора (по паспорту
или классу точности прибора) или ее
принимают равной половине цены наименьшего
деления прибора.

Класс точности
прибора определяется максимальной
погрешностью прибора, выраженной в
процентах от полной величины шкалы.
Например, класс точности 0,5 означает
погрешность 0,5% при отклонении стрелки
на всю шкалу. При отклонении стрелки на
половину шкалы погрешность возрастает
в два раза, при отклонении стрелки на
треть шкалы – втрое.

4. Погрешности косвенных измерений

При косвенных
измерениях величину x
находят как
функцию непосредственно измеренных
величин а,
b,
с.
Абсолютные погрешности
непосредственных измерений обуславливают
абсолютную погрешностьПри нахождениииспользуют следующие теоремы:

1. Абсолютная
погрешность суммы (разности) равна сумме
абсолютных погрешностей слагаемых
(уменьшаемого и вычитаемого)

2. Абсолютная
погрешность произведения равна сумме
произведений первого сомножителя на
абсолютную погрешность второго и второго
сомножителя на абсолютную погрешность
первого

3. Абсолютная
погрешность частного равна сумме
произведений делимого на абсолютную
погрешность делителя и делителя на
абсолютную погрешность делимого,
деленной на квадрат делителя

Относительная
погрешность

В математическом
анализе показано, что

При этом x
– есть
какая-то функция
и т. д. в явном виде, и, следовательно,
можно вычислить ее дифференциал от
логарифма, который будет содержатьи т. д.

Если заменить в
полученном выражении все дифференциалы
малыми конечными разностями
и т.д., то получим формулу для относительной
погрешности

для конечных
разностей

Если
есть абсолютные погрешности при
непосредственных измеренияха,
b,
с,
то –абсолютная
погрешностьвеличины
x.

Формула для
нахождения относительной погрешности
будет записана так: (все члены берутся
по абсолютной величине)

Для выражения в
процентах нужно правую и левую части
умножить на 100%.

Эту формулу удобно
использовать и для нахождения абсолютной
погрешности.

Действительно,

Результаты
представляют так:
.

Если функция x
представляет
сложную сумму или разность, то погрешности
находятся для каждого члена отдельно,
а затем суммируются. В тех случаях, когда
в формулы для нахождения величины x
входят физические или математические
справочные величины, выраженные
приближенными числами, их погрешностями
считают половину единицы низшего ряда.
Например,

Соседние файлы в папке 1. Механика

Источник

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).

Средняя величина – представляет обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.

Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:

средняя арифметическая;
средняя гармоническая;
средняя геометрическая;
средняя квадратическая.

Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.
Средняя арифметическая (взвешенная) – варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.

ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):

(8.8 -формула средней арифметической простой)

где х_i – вариант, а n – количество единиц совокупности.
Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников офиса. По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.8):Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.
Средняя арифметическая взвешенная формула 8.9.

(8.9 -формула средней арифметической взвешенной)

где х_i – вариант, а f_i – частота или статистический вес.
Пример вычисления средней арифметической взвешенной. Результаты опроса всех работников офиса приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2 – Результаты опроса работников офиса

Желаемый размер заработной платы, тыс.руб х_i	Количество работников f_i	х_if_i
1	2	3
50 100 200 350 500	6 10 20 9 5	300 1000 4000 3150 2500
Итого	50	10950

Пример. Вычислим (ориентируясь на итоговые строки таблицы) желаемый размер заработной платы, 50 сотрудников офиса (используем формулу 8.9):

Пример вычисления средней арифметической взвешенной

Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 50 человек составил 219 тысяч рублей.

Среднеарифметическая – всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности.

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины.
Средняя гармоническая простая представлена ниже:

(8.10 – формула средней гармонической простой)

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле

(8.11- формула средней гармонической взвешенной)

где x_i – вариант, n – количество вариантов, V_i – веса для обратных значений x_i.

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, чем взвешенная. Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером.

Пример (вычисление средней гармонической простой (невзвешенной)).

Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй – 15 мин.

Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. если используем среднюю арифметическую простую получим: (5+15):2=10, мин.

Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа (60 минут) работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй – 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов.

Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится: (60/10) + (60/10) = 12 заказов (что не соответствует истине).

Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов, т.е. используем среднюю гармоническую:

Пример вычисления средней гармонической простой (невзвешенной)

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится: (60/7,5) + (60/7,5) = 16 заказов

Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wj для единиц совокупности равны (в рассмотренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).

Пример (вычисление средней гармонической взвешенной) В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе рубля по отношению к доллару США приведены в табл.8.3.

Таблица 8.3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже (цифры условные)

Номер сделки	Сумма продажи V, млн руб.	Курс рубля x, руб. за 1 дол.	V/x
1	2	3	4
1 2 3 4 5	455,00 327,50 528,00 266,00 332,50	65,00 65,50 66,00 66,50 66,50	7,00 5,00 8,00 4,00 5,00
итого	1909,00	–	29,00

Для того чтобы определить средний курс рубля по отношению к доллару, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.

Вывод: средний курс за один доллар составил 65,83 руб.;
Если бы для расчета среднего курса была использована средняя арифметическая простая:то, за один доллар, по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 1899,5 млн.руб., что не соответствует действительности.

Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.
Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле 8.12

(8.12)

Если использовать частоты m, получим формулу средней геометрической взвешенной
Средняя геометрическая взвешенная рассчитывается по формуле 8.13

(8.13)

Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы.

Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой

Средняя квадратическая простая (формула 8.14)

8.14

Для сгруппированных данных используют формулу средней квадратической взвешенной

Средняя квадратическая взвешенная (формула 8.15)

(8.15) – Формула -средняя квадратическая взвешенная

Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга. Их численное значение возрастает с ростом показателя степени в формуле степенной средней правило мажорантности средних А.Я. Боярского, т.е.

Мода и Медиана (структурные средние) формулы и примеры вычисления см. по ссылке

Источник

Загрузить PDF

После сбора данных их нужно проанализировать. Обычно нужно найти среднее значение, квадратичное отклонение и погрешность. Мы расскажем вам, как это сделать.

1
Запишите числовые значения, которые вы собираетесь анализировать. Мы проанализируем случайно подобранные числовые значения в качестве примера.
- Например, 5 школьникам был предложен письменный тест. Их результаты (в баллах по 100 бальной системе): 12, 55, 74, 79 и 90 баллов.
Реклама

1
Для того чтобы посчитать среднее значение, нужно сложить все имеющиеся числовые значения и разделить получившееся число на их количество.
- Среднее значение (μ) = Σ/N, где Σ сумма всех числовых значений, а N количество значений.
- То есть, в нашем случае μ равно (12+55+74+79+90)/5 = 62.

1
Мы будем считать среднее отклонение. Среднее отклонение = σ = квадратный корень из [(Σ((X-μ)^2))/(N)].
- Для вышеуказанного примера это квадратный корень из [((12-62)^2 + (55-62)^2 + (74-62)^2 + (79-62)^2 + (90-62)^2)/(5)] = 27,4. (Обратите внимание, что если это выборочное среднеквадратическое отклонение, то делить нужно на N-1, где N количество значений.)
Реклама

1
Считаем среднюю погрешность (среднего значения). Это оценка того, насколько сильно округляется общее среднее значение. Чем больше числовых значений, тем меньше средняя погрешность, тем точнее среднее значение. Для расчета погрешности надо разделить среднее отклонение на корень квадратный от N. Стандартная погрешность = σ/кв.корень(n).
- Если в нашем примере 5 школьников, а всего в классе 50 школьников, и среднее отклонение, посчитанное для 50 школьников равно 17 (σ = 21), средняя погрешность = 17/кв. корень(5) = 7.6.

Советы

Расчеты среднего значения, среднего отклонения и погрешности годятся для анализа равномерно распределенных данных. Среднее отклонение математического среднего значения распределения относится приблизительно к 68% данных, 2 средних отклонения – к 95% данных, а 3 – к 99.7% данных. Стандартная погрешность же уменьшается при увеличении количества значений.
Простой в использовании калькулятор для расчета среднего отклонения.

Предупреждения

Считайте дважды. Все делают ошибки.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 66 357 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

3. Погрешности прямых или непосредственных измерений

4. Погрешности косвенных измерений

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://stat-ist.ru/wp-content/uploads/2019/11/Srednie-pokazateli-300x258.jpg" alt="Средние" width="140" height="120" />

ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

Советы

Предупреждения

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?