Как найти среднее значение модуля скорости

Приступая
к изучению движения какого-либо тела,
нужно указать, по отношению к какому
телу мы рассматриваем движение данного
тела. Для измерения времени необходимо
иметь часы. Роль часов может выполнять
любое устройство, совершающее многократно
один и тот же процесс.

Множество
неподвижных относительно друг друга
тел, по отношению к которым рассматривается
движение, и отсчитывающих время часов
образует систему
отсчета.

Совокупность
тел, выделенная для рассмотрения,
называется механической
системой.

Тело,
размерами которого в условиях данной
задачи можно пренебречь, называется
материальной
точкой.

Материальная
точка при своем движении описывает
некоторую линию — траекторию.
В зависимости от формы траектории
различают прямолинейное движение,
движение по окружности, криволинейное
движение и т. д.

Расстояние
между начальным и конечным положением
частицы, отсчитанное вдоль траектории,
называется путем, пройденным частицей.
Обозначается буквой s.

Прямолинейный
отрезок, соединяющий начальное и конечное
положение частицы, называется её
перемещением.

В
обыденной жизни под скоростью
понимают
путь, проходимый частицей за единицу
времени. Если за равные, сколь угодно
малые промежутки времени частица
проходит одинаковые пути, движение
частицы называют равномерным.

В
физике под скоростью
понимают векторную
величину,
характеризующую не только быстроту
перемещения частицы по траектории, но
и направление, в котором движется эта
частица в каждый момент времени.

Радиус-вектор
точки это вектор, проведенный из начала
координат в данную точку. Его проекции
на координатные оси равны координатам
точки:
r_х
=х,
r_у=у,
r_z
= z.

Среднее
значение скорости
за время Δt

это отношение Δ
/Δt.

Если
брать все меньшие промежутки времени
Δt,
то это отношение в пределе даст скорость
в момент времени
t:

Если
брать отрезки пути Δs
и перемещения, соответствующие все
меньшим промежуткам времени Δt,
то их различие будет убывать и их
отношение в пределе станет равным
единице

Модуль
скорости
равен производной пути по времени. При
равномерном движении модуль скорости
остается неизменным, а направление
вектора изменяется произвольным
образом. Вектор скорости, можно представить
в виде

Чтобы
вычислить путь,
проходимый частицей с момента времени
t₁
до момента t₂,
нужно проинтегрировать формулу для
модуля скорости

Пройденный
путь
можно представить как площадь фигуры,
ограниченной кривой u(t),
осью t
и прямыми t
= t₁
и t
= t₂.

Среднее
значение модуля скорости
за время от t₁
до t₂
по
определению равно

Вопрос № 2 Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения. Связь нормального ускорения с радиусом кривизны и скоростью.

Скорость
частицы может изменяться со временем,
как по модулю, так и по направлению.
Быстрота изменения вектора скорости,
определяется производной вектора по
t.
Обозначается буквой a
и
называется — ускорение.

Введём
орт касательной к траектории τ,
направленный также как и вектор скорости.
Следовательно,
вектор

можно представить в виде суммы двух
составляющих. Одна из них коллинеарна
с

, т. е. направлена по касательной к
траектории, и поэтому обозначается a_t
и называется тангенциальным
ускорением

Если

> 0 (скорость увеличивается), вектор

направлен в ту же сторону, что и

Если

< 0 (скорость со временем уменьшается),
векторы

и

направлены в противоположные стороны.
При равномерном движении ускорение
равно 0 и, следовательно, тангенциального
ускорения нет.

Нормальное
ускорение
—

—
центростремительное ускорение.

Всякий
бесконечно малый участок траектории
FABG
в окрестностях точки А
можно рассматривать как дугу окружности
О радиусом R.
Его называют радиусом кривизны траектории
в точке А,
а центр O
такой окружности — центром кривизны.

При

и
β
=π/2+Δα/2
®π/2.
Следовательно, вектор нормален к вектору
скорости и направлен к центру O
кривизны траектории. Поэтому его называют
нормальным (центростремительным)
ускорением. Итак, вектор ускорения при
движении частицы по плоской кривой
определяется следующим выражением:

Вопрос
№ 3

Вращательное
движение. Угловая скорость, период
обращения, угловое ускорение. Связь
векторов линейной и угловой скорости.
Нормальное и тангенциальное ускорение
– связь с радиусом, угловой скоростью
и угловым ускорением.

При
вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых
лежат на одной и той же прямой, называемой
осью
вращения

Поворот
тела на некоторый угол φ
можно задать в виде отрезка, длина
которого равна φ,
а направление совпадает с осью, вокруг
которой производится поворот. Для того
чтобы указать, в какую сторону совершается
поворот вокруг данной оси, связывают
направления поворота и изображающего
его отрезка.

Правило
правого винта: направление отрезка
должно быть таким, чтобы, глядя вдоль
него, мы видели поворот совершающимся
по часовой стрелке (вращая головку
правого винта по часовой стрелке, мы
вызовем его перемещение от себя).

Угловой
скоростью
тела называется векторная величина,
модуль которой определяется формулой

.
Угловая скорость ω
направлена вдоль оси, вокруг которой
вращается тело, в сторону, определяемую
правилом правого винта. Вращение с
постоянной угловой скоростью называется
равномерным.

Изменение
вектора угловой скорости со временем
характеризуется величиной которую
называют угловым
ускорением.

Если
ось вращение неподвижна, то: если w
возрастает, то E
и w
сонаправлены, если w
убывает, то E
и w
направлены в противоположные стороны.

О
тдельные
точки вращающегося тела имеют различные
линейные скорости. Скорость каждой из
точек изменяет свое направление. Модуль
скорости определяется скоростью
вращения тела и расстоянием R
рассматриваемой точки от оси вращения.

Пусть
за малый промежуток времени тело
повернулось

на
угол Δφ.
Точка, находящаяся на расстоянии R
от оси,

проходит
при этом путь Δs = RΔφ.
Линейная скорость точки

Из
рисунка видно, что векторное произведение

совпадает
по направлению с вектором скорости и
имеет модуль, равный ωrsinα=ωR.

Модуль
нормального ускорения точек вращающегося
тела равен

= υ²/R
= ω²R

Предположим,
что ось вращения тела не поворачивается
в пространстве. Модуль тангенциального
ускорения равен |dυ/dt|.
Учтем, что расстояние точки тела от оси
вращения R
= const, тогда

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Движение тела можно представить как совокупность мгновенных пребываний его в последовательных точках траектории, поэтому указанную характеристику движения называют мгновенной скоростью.

Вектор скорости нередко выражают в проекциях на координатные оси:

v=vxi+vyj+vzkv={{v}_{x}}i+{{v}_{y}}j+{{v}_{z}}k

или в виде

v=dxdti+dydtj+dzdtkv=frac{dx}{dt}i+frac{dy}{dt}j+frac{dz}{dt}k

а модуль вектора находят по формуле

v=vx2+vy2+vz2v=sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{z}}^{2}}

Такой чисто физический смысл скорости как меры движения отдельного тела.

Средняя скалярная скорость

Наряду с этим на практике в описаниях движений часто удовлетворяются средней скалярной скоростью – характеристикой движения, которая определяется как отношение пути к промежутку времени, за который тело преодолело этот путь:

v=s/Δtv = s/Δt,

где vv – средняя скорость, ss – путь, ΔtΔ t – промежуток времени.

Это определение отличается от определения собственно скорости тем, что скорость является отношением перемещения к промежутку времени, а следовательно векторной величиной.

Например, болид Формулы 1, преодолев круг, и вернувшись на свое место, совершил нулевое перемещение, но прошел путь, равный длине окружности. То есть, можно посчитать среднюю скорость его движения.

Единицы измерения средней скалярной скорости те же, что и для скорости, м/с, км/ч и т.д.
При предельном переходе Δt→0Δt → 0, значение средней скалярной скорости стремится к модулю скорости.

Средне-квадратичная скорость

При определении скорости движения частиц в статистической физике удобнее усреднять не модуль скорости, а квадрат её значения. Тогда средняя скорость определяется как

v=⟨v2⟩v = ⟨v2⟩.

Усреднения проводится по всем частицам и по времени.

При отсутствии упорядоченного движения, то есть течения, среднее перемещение отдельной частицы на достаточно большом промежутке времени равно нулю, поэтому среднее значение векторной скорости тоже равна нулю. Однако среднее значение квадрата скорости отличное от нуля и связано с температурой.

Тангенциальная скорость

Линейная скорость, определяет расстояние пройденное за единицу времени, в то время как тангенциальная скорость это линейная скорость чего-то, что движется вокруг круговой траектории. Точка на внешней части карусели проходит большую дистанцию при одном полном обороте чем точка ближе к центру.

Прохождение большего расстояния за одинаковое время означает, что данная точка будет иметь большую скорость, и поэтому линейная скорость будет больше на внешнем крае вращающегося объекта, чем более близкого к оси вращения. Такую скорость вдоль круговой траектории называют тангенциальной скоростью поскольку направлением движения является прямая, касательная к дуге окружности.

Для кругового движения, тангенциальная скорость и линейная скорость являются взаимозаменяемыми и обе выражаются в м/с, км/ч или т.д.

Тест по теме «Средняя скорость»

§ 17. Переменное
движение. Средняя скорость. Средний
модуль скорости

1. Переменное
движение.

Определение
1. Движение
называется переменным,
если за любые равные промежутки
времени точка совершает различные
перемещения.

   Перемещение
— вектор. Он может изменяться по модулю
и направлению. При переменном движении
за любые равные промежутки времени
перемещения могут отличаться либо
модулями, либо направлениями, либо и
модулями и направлениями.

2. Средняя
скорость.

Определение
2а. Средней
скоростью переменного движения
называется отношение перемещения
ко времени, за которое это
перемещение произошло.

   Запишем
формулу скорости равномерного
движения и средней скорости
переменного движения.

   Если
посмотреть на правые части этих
равенств, заметим, что они одинаковы. В
этом заключается смысл средней
скорости.

Определение
2б. Под средней
скоростью переменного движения
понимают скорость некоторого
воображаемого равномерного
прямолинейного движения, у которого
перемещение и время одинаковы с
переменным движением.

  
Согласно рисунку, представленному выше,
это понимать надо так. Если бы точка
двигалась не переменно по
криволинейной траектории, а равномерно
и прямолинейно прямо по вектору
перемещения ,
то она за время
попала бы в точку A из точки ,
если бы скорость этого воображаемого
равномерного движения была бы
одинаковой со средней скоростью
переменного движения.

   Модуль
вектора средней скорости, или
модуль средней скорости:

.

3. Средний
модуль скорости.

   На
практике при составлении расписания
движения поездов, автобусов используют
ещё одно понятие средней скорости,
которое называют средним модулем
скорости, то есть средним по времени
модулем всех скоростей, которые имела
точка на различных участках траектории.

Определение
3а. Средним
модулем скорости переменного
движения называется отношение пути S
ко времени t, за которое этот
путь пройден.

—
средний модуль скорости

   Не надо
путать средний модуль скорости с
модулем вектора средней скорости.

  
Например, если автобус вышел на маршрут
в начале дня и к концу дня возвратился в
гараж, то перемещение за всё время
движения равно нулю .
Поэтому равны нулю средняя скорость и
её модуль:

,    
.

   Но
средний модуль скорости отличен от
нуля, так как не равен нулю путь,
пройденный автобусом:

.

  
Аналогично для бумеранга.

   За время
полёта бумеранга средняя скорость его
движения и модуль средней скорости
равны нулю, так как равно нулю
перемещение бумеранга относительно
точки А (см. рис.). Но так как путь,
который проделал бумеранг, не равен
нулю, то и средний модуль скорости
движения бумеранга отличен от нуля.

   Если
посмотреть на правые части формул
модуля скорости равномерного движения
и среднего модуля скорости переменного
движения, то увидим, что правые части
равенств одинаковы.

   В этом
заключается смысл среднего модуля
скорости.

Определение
3б. Средний
модуль скорости переменного
движения равен модулю скорости
такого воображаемого равномерного
прямолинейного движения, у которого
путь и время одинаковы с переменным
движением.

Содержание:

• Определение и формула средней скорости
• Вектор средней скорости
• Единицы измерения
• Примеры решения задач

Определение и формула средней скорости

Математически определение средней скорости можно записать в следующем виде:

$$langle vrangle(t+Delta t)=frac{Delta s}{Delta t}=frac{s(t+Delta t)-s(t)}{Delta t}(1)$$

где $Delta s=s(t+Delta t)-s(t)$ — длина пути, которую прошла точка за время
$Delta t$.

Если перейти к пределу при $Delta t rightarrow 0$ , получим:

$$lim _{Delta t rightarrow 0}langle vrangle=lim _{Delta t rightarrow 0} frac{Delta s}{Delta t}=frac{d s}{d t}=v(t)(2)$$

средняя путевая скорость в пределе совпадает с величиной (модулем) мгновенной скорости точки в момент времени t.

При равномерном движении:

$$langle vrangle=v(3)$$

Вектор средней скорости

$$langlebar{v}rangle(t+Delta t)=frac{Delta bar{r}}{Delta t}=frac{bar{r}(t+Delta t)-bar{r}(t)}{Delta t}(4)$$

где $Delta bar{r}$ – приращение радиус-вектора материальной точки.

Вектор средней скорости в пределе при $Delta t rightarrow 0$ совпадает с вектором скорости в момент времени t:

$$lim _{Delta t rightarrow 0}langlebar{v}rangle=lim _{Delta t rightarrow 0} frac{Delta bar{r}}{Delta t}=frac{d bar{r}}{d t}=bar{v}(t)(5)$$

где $bar{v}(t)$ – вектор мгновенной скорости токи.

Если точка совершает равномерное и прямолинейное движение, то выполняется равенство:

$$langlebar{v}rangle=bar{v}(6)$$

Средняя путевая скорость и модуль вектора средней скорости равны
$(langle vrangle=|langlebar{v}rangle|)$ только при прямолинейном движении.
При всех остальных видах движения выполняется неравенство:

$$langle vrangle>|langlebar{v}rangle|(7)$$

Единицы измерения

Основной единицей измерения средней скорости в системе СИ является: м/с

В СГС: см/с

Примеры решения задач

Читать дальше: Формула угловой скорости.