Обсуждая концепцию математического образования в 12-летней школе [3, с. 13–18], следует уточнить целеполагание одного из основных блоков математического образования – функции. Важным является изучение не столько свойств функций, сколько развитие умений применять функции для описания реальных процессов. Но реальные процессы задаются сложными функциональными зависимостями. Математическое моделирование упрощает зависимости, заменяя одну функцию другой, более простой.
Основная идея введения интеграла – аккумуляция (накопление) информации о функции на отрезке – оказалась незавершенной не только в школьном курсе математики, но и в общем образовании учащихся. Нет возврата к более простой функции, которая порождает такое же значение интеграла, т. е. накапливает такую же информацию на отрезке. Другими словами, нет усреднения заданной функции на отрезке.
В школьных, да и в вузовских учебниках, пропущено очень важное применение определенного интеграла для нахождения среднего значения непрерывной функции на отрезке. Некоторые авторы программ и учебников много говорят о развитии функциональной линии, но ни слова не говорят, как усреднить функцию на промежутке, хотя среднее значение двух величин определяется. Следует сказать больше. Мотивация изучения функциональной линии в общем образовании учащихся оказалась не полностью сформулированной и незавершенной.
Моделирование реальных задач требует усреднения в математических моделях непрерывных функций (в экологии, в метеосводке погодных условий и т. д.), усреднения в компьютерных экспериментах дискретных величин с малым шагом аргумента – что приближается к усреднению непрерывных величин.
Среднее значение функции удобно ввести на примере определения средней скорости движения, как отношения длины всего пройденного пути к величине затраченного времени
Рассмотрим общее определение среднего значения функции.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции y = f(x) (пусть f(x) принимает неотрицательные значения), осью ox и вертикальными прямыми y = a, y = b, равна площади некоторого прямоугольника, построенного на отрезке [a; b]. Высота этого прямоугольника является средним значением функции y = f(x) на отрезке [a; b]. В общем случае она определяется по формуле [2, с. 559]
(1)
В школьных и вузовских учебниках много внимания уделяется нахождению интегралов. Это необходимое развитие навыков нахождения интегралов, но очевидно, что более важно показать его применения. Из всех учебников и справочников для школы только в справочниках [1, с. 497; 2, с. 368, 369] определяется среднее значение функции на отрезке. Следует отметить, что пропедевтика введения среднего значения функции иногда проводится в задачах следующего типа на вступительных экзаменах в вузы и в учебниках физики.
1. Катер из Нижневартовска в Сургут двигался со скоростью v1, а в обратном направлении со скоростью v2. Найдите среднюю скорость катера на всем пути, т. е. из Нижневартовска в Сургут и обратно.
Ответ:
2. Катер вначале двигался со скоростью v1 в течение некоторого промежутка времени, а затем в течение такого же промежутка времени со скоростью v2. Найдите среднюю скорость катера на всем пути.
Ответ:
3. Первую треть пути между пунктами велосипедист проехал со скоростью v = 5 м/с, затем половину оставшегося времени он ехал со скоростью v = 10 м/с, после чего до конечного пункта он шел с велосипедом со скоростью v = 1 м/с. Определите среднюю скорость движения велосипедиста.
4. Найдите среднюю скорость тела, если первую четверть времени оно двигалось со скоростью v = 5 м/с, вторую четверть времени – со скоростью v = 10 м/с, оставшуюся часть времени со скоростью v = 15 м/с.
Не каждый учитель видит в этих задачах функции. Для многих это постоянные величины. Читатель наверно согласится, что это требует корректировки.
Рассмотрим другие примеры, приводящие к пониманию важности изучения среднего значения. Например, мы иногда не можем определить значение функции в данный момент времени и вынуждены пользоваться средними значениями функции.
Величина переменного тока в данный момент времени t (мгновенное значение тока) определяется по формуле
где I0 – максимальное (амплитудное) значение тока, w – частота,
Среднее значение переменного тока за период T равно 0 для синусоидальной величины и не характеризует величину переменного тока.
Среднее значение переменного тока в течение полупериода по формуле (1) равно
Некоторые электроизмерительные приборы измеряют среднее значение тока за половину периода, но все они практически градуируются в действующих значениях переменного тока, к разъяснению понятия которого мы переходим.
Действующим (эффективным) значением I переменного тока называется значение такого постоянного тока, который производит такое же действие (тепловое, электромагнитное, механическое и др.), как и данный переменный ток.
Работа, совершенная постоянным током за период T, равна
A = UIT = I 2 RT,
(1)
– период. Представим себе, что существует прибор, измеряющий мгновенное значение тока i. Стрелка прибора в течение 1 секунды будет совершать 50 колебаний, показывая значения из отрезка [– I0; I0]. Зафиксировать информацию практически невозможно. С другой стороны, почти все приборы обладают инерционностью, т. е. требуют для измерения величины некоторого времени (быстродействие прибора). Оно, как правило, значительно больше периода быстрых процессов. Принцип измерения величин во многих приборах основан на измерении какого-то действия за определенный промежуток. Поясним примерами.
а работа, совершенная переменным током, равна
Большинство электроизмерительных приборов в цепях переменного тока показывают действующее значение. Для физики и техники большее значение имеет действующее значение переменного тока, чем среднее значение переменного тока. В медицине иногда также выделяется усреднение на отрезке около наибольшего значения, так как оно может произвести на пациента большее влияние, чем средняя величина за период приема лекарства. Эти примеры показывают, что в некоторых науках усреднение функций производится по-разному, в зависимости от воздействия на объект.
Задача. Интервал движения автобуса a минут, интервал движения микроавтобуса – m минут, a Э N, m Э N. Человек приходит на остановку, не зная графика движения транспорта, т. е. случайным образом. Сколько времени в среднем ожидает человек на остановке, если курсируют автобус и микроавтобус?
Решение. Пусть курсирует только автобус с интервалом a минут. Введем отсчет времени от первого уходящего с остановки автобуса. Если пассажир пришел через t минут (t
Если пассажир пришел на остановку через t минут, то функция времени ожидания автобуса имеет вид
f(t) = a – t.
минут. Оно не зависит от времени прихода на остановку. Рассматривая такие случаи для различных значений t, получим среднее время ожидания – Найдем среднее значение времени ожидания автобуса на отрезке [0; a]
Аналогично, если курсирует только микроавтобус, то среднее время ожидания равно 
мин.
Рассмотрим общий случай, когда курсируют автобус и микроавтобус. Пусть m является делителем числа a, a = mk, k l 2. Пусть автобус приходит спустя s (s
Если s = 0 или s = m, т. е. автобус и микроавтобус приходят на остановку одновременно, то среднее время ожидания в этом частном случае равно мин. Пассажир может воспользоваться микроавтобусом (автобусом он раньше не уедет). Автобус в этом случае можно исключить из рассмотрения, так как он приходит одновременно с микроавтобусом.
Пусть пассажир пришел на остановку через t минут после отхода микроавтобуса. Если 0
Функция ожидания является кусочно-линейной функцией и состоит из отрезков, образующих углы в 135° с осью ox.
Функция ожидания автобуса является периодической функцией с периодом T = a мин.
Учитывая геометрический смысл интеграла, для вычисления среднего значения функции ожидания достаточно вычислить площадь равнобедренных треугольников с катетами
При
Условие задачи также требует уточнения.
Если мы не знаем величины задержки автобуса относительно микроавтобуса, т. е. предположим, что она каждый день может меняться, тогда среднее значение ожидания следует рассмотреть как функцию t(s) от параметра s. Величину t(s) следует проинтегрировать на промежутке [0; m], а затем поделить на длину этого промежутка. Если s Э [im, (i + 1)m], i Э N, i
Итак, среднее время ожидания автобуса на отрезке [0; a] вычисляется следующим образом
Иногда встречается следующая ошибка.
Если рассматривать все средние значения только на отрезке [0; m], то получим следующие результаты
Этот результат получается из предыдущего при k = 1 и это верно. Но если k > 1, то эта формула не учитывает интервал «микроавтобус – микроавтобус, интервал движения m минут, в течение которого не появляется автобус».
Некоторые задачи для самостоятельного решения.
1. Дан отрезок длиной a, на который произвольным образом бросается точка. Найдите среднее расстояние до границы отрезка.
2. Рассматриваются всевозможные треугольники с данными сторонами OA = a, OB = b и переменным углом g Э [0, p ]. Найдите среднее значение площади треугольников.
3. В окружность радиуса R вписаны всевозможные прямоугольники с параллельными сторонами. Найдите среднее значение площади полученных прямоугольников.Как найти среднее значение функции на отрезке
«Вы, профессор, воля ваша, что-то нескладное придумали! Оно, может, и умно, но больно непонятно. Над вами потешаться будут»
«Мастер и Маргарита», Булгаков М. А.
Жизнь у всех разная и проявляется это ещё и в том, что источники информации, с которыми мы имеем дело, тоже у всех различны. Кроме этого, далеко не каждые сведения оставляют нас равнодушными, не вызывая совершенно никаких эмоций или мыслей. При этом иногда сочетание данных из двух источников может побуждать к весьма своеобразным умозаключениям.
Есть у меня одна книга – пособие для учителя информатики [1] . Не помню, как она у меня появилась – может купил, а может мне её кто-то подарил – однако в школе она мне как-то пригодилась в освоении языка Basic, программы на котором мы тогда собственноручно набивали на болгарских машинах «Правец 8A». Именно из этой книги я когда-то впервые узнал, что помимо так называемого среднего арифметического для нескольких чисел бывает, например, ещё и среднее квадратическое.
На первом курсе (1999-2000 гг.) университета, на лекциях по высшей математике, когда мы проходили определённые интегралы, была упомянута так называемая «теорема о среднем» [2, с. 353] . И вот это-то, в комбинации с сидящими в памяти сведениями из упомянутой книги, почему-то отозвалось в мозгах вопросом: «А какое именно среднее имеется в виду в теореме: арифметическое, кубическое или какое-нибудь другое?». Ну а раз возник вопрос – можно попытаться найти и ответ. Поиск сей вскоре привёл меня к тому, что, собственно, и составляет основу материала данной заметки. Свои измышления я условно назвал «теорией средних» и достаточно долгое время они хранились у меня в виде конспекта. Теперь же результаты этой «мозговой гимнастики» я выложил в сеть по следующим соображениям. Во-первых, если на этот материал наткнётся математик, то, думается, это сможет его повеселить. Во-вторых, мне слабо верится, что никто из профессиональных математиков в своих работах не додумался до чего-то подобному тому, что изложено здесь. В связи с этим мне особенно интересно было бы узнать, чьи это результаты мной, вероятно, «переоткрыты» – к сожалению, я не располагаю возможностью и временем это выяснить самостоятельно, но буду очень благодарен за сведения об этом.
I. Типы средних (введение)
Пусть у нас имеется множество из n чисел x 1, x 2. xn .
а) Среднее арифметическое этих чисел:
б) Среднее квадратическое:
в) Среднее кубическое:
г) Если ни одно из чисел рассматриваемого множества не равно нулю, то для них можно вычислить среднее гармоническое [1, с. 132] :
II. Средние значения функции на замкнутом числовом промежутке
Рассмотрим непрерывную функцию y = f ( x ), определённую на отрезке [ a ; b ]. Разобьём [ a ; b ] на n равных частей величиной Δ xi =( b – a )/ n . Теперь внутри каждого отрезка разбиения Δ xi произвольно выберем точку Ci (
Для полученного таким образом множества значений по формулам (1), (2), (3) можно вычислить средние арифметическое, квадратическое и кубическое:
В случае, если f ( x ) на [ a ; b ] ни в одной точке не обращается в ноль, то по (4) можно вычислить и среднее гармоническое:
Будем теперь увеличивать неограниченно n и найдём пределы выражений (5), (6), (7) и (8) при n →∞. Если эти пределы существуют для рассматриваемой функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ], то назовём их, соответственно, средним арифметическим, средним квадратическим, средним кубическим и средним гармоническим значениями функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. Введём обозначения:
Для удобства операторы
назовём арифией, квадрией, кубинией и гармонией соответственно.
III. Вычисление арифии функции на замкнутом числовом промежутке
Вернёмся к Рисунку 1. Составим для функции f ( x ) интегральную сумму Римана:
Эта сумма при неограниченном возрастании n имеет предел, равный интегралу:
Величина ( b – a ) – длина отрезка [ a ; b ] – число постоянное, поэтому
Подставим (9) в (13):
Из (14) как раз и следует ответ на возникший у меня вопрос: в теореме о среднем фигурирует именно среднее арифметическое значение функции на отрезке (придуманная мной «арифия»).
IV. Свойства арифии функции на отрезке
Свойство 1 (свойство линейности оператора арифии):
( C 1 и C 2 – постоянные числа, f ( x ) и g ( x ) – непрерывные и определённые на [ a ; b ] функции).
Свойство 2. Если C =const, то
Свойство 3. Если a c b , то
Свойство 4. Если f ( x ) – чётная функция и a > 0, то
Так как f ( x ) – чётная, то
Свойство 5. Если f ( x ) – нечётная функция, то
Так как f ( x ) – нечётная, то
Домножим обе части этого неравенства на ( b – a ) ( b – a > 0):
V. Вычисление квадрии, кубинии и гармонии функции на отрезке
Пусть g 1( x )=[ f ( x )] 2 , тогда
Пусть теперь g 2( x )=[ f ( x )] 3 , тогда
Пусть теперь функция y = f ( x ) на [ a ; b ] ни в одной точке не принимает нулевого значения. Обозначим
6*. Формула среднего значения для определенного интеграла.
Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка
7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке [a, b]. Раз она интегрируема на [a, b], то она также интегрируема на [a, x] ∀x ∈ [a, b]. Тогда при каждом x ∈ [a, b] имеет смысл выражение
Таким образом, каждому x ∈ [a, b] поставлено в соответствие некоторое число
т.е. на [a, b] задана функция:
Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение
интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке [a, b]
интегрируемости функции f (x).
Условие: f (t) непрерывна на [a, b], а функция F (x) задана формулой (3.1).
Утверждение: Функция F(x) дифференцируема на [a, b], причем F (x) = f (x).
(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)
Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность
при этом точка ξ лежит на отрезке [x, x + ∆x] (или [x + ∆x, x] если ∆x c=F(a), и
Перенесем F(a) в последнем равенстве в левую часть, переобозначим переменную интегрирования снова через x и получим формулу Ньютона – Лейбница:
) и вычислим значение функции y = f ( x ) в точке Ci : yi = f ( Ci ) (Рисунок 1).
, 
, 
, 
,   
.
,
.
, такая что
. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда
. Число
заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка
, такая что
. Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если
непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка
такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).
, и при каждом x оно равно некоторому числу.
,
(3.1)
называется
,
.
Среднее
значение периодической функции f(t)
за период Т
определяется по формуле
Fср=
.
(2.4)
Отсюда
видно, что среднее значение за период
равно высоте прямоугольника с основанием
Т,
площадь которого равна площади,
ограниченной функцией f(t)
и осью абсцисс за один период.
В случае гармонического
колебания среднее значение за период
равно нулю, так как площадь положительной
полуволны компенсируется площадью
отрицательной полуволны гармонической
функции. Поэтому здесь пользуются
понятием среднего значения функции,
взятой по абсолютной величине, или, что
то же, среднего полупериодного значения,
соответствующего положительной полуволне
гармонической функции (рисунок 2.2).
В
соответствии с этим среднее значение
тока i
= Imсosωt
с амплитудой А
= Im
будет
. (2.5)
Аналогично среднее
значение гармонического напряжения
. (2.6)
Тепловое действие
тока, а также механическая сила
взаимодействия двух проводников, по
которым проходит один и тот же ток,
пропорциональны квадрату тока. Поэтому
о величине тока судят обычно по так
называемому действующему (среднеквадратичному)
значению за период. Этим термином заменен
применявшийся ранее в литературе и ныне
не рекомендуемый термин «эффективное»
значение.
Действующее
значение периодической функции f(t)
вычисляется по формуле
. (2.7)
Из
этой формулы следует, что величина F2
представляет собой среднее значение
функции [f(t}]2
за период
Т,
т.е. равна высоте прямоугольника с
основанием Т,
площадь которого равна площади,
ограниченной функцией [f(t)]2
и осью абсцисс за один период (рисунок
2.3).
В
соответствии с (2.7) действующее значение
периодического тока
. (2.8)
Возведя
(2.8) в квадрат и умножив обе части
полученного выражения на RT,
найдем
.
Это
равенство показывает, что действующее
значение периодического тока равно по
величине такому постоянному току,
который, проходя через неизменное
сопротивление R,
за период времени Т выделяет то же
количество тепла, что и данный ток i.
Аналогично
действующее значение периодического
напряжения
. (2.9)
При
токе i
= Imcosωt
.
Следовательно,
согласно (2.8)
. (2.8а)
Аналогично
действующее значение гармонического
напряжения
. (2.9а)
Номинальные токи
и напряжения электротехнических
устройств определяются, как правило,
действующими значениями; поэтому
действующие значения представляют
наиболее распространенный электрический
параметр.
Для измерения
действующих значений применяются
системы приборов: тепловая, электромагнитная,
электродинамическая и др.
2.3
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
В ВИДЕ ПРОЕКЦИЙ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВЕКТОРОВ
Мгновенные значения
функции u
= Umcos(ωt+)
можно получить как проекцию на
горизонтальную ось отрезка длиной Um,
вращающегося относительно начала
прямоугольной системы координат с
угловой скоростью ω = 2f
в положительном направлении (т.е. против
хода часовой стрелки). Вращающийся
отрезок условимся называть вектором.
Этот вектор, вращающийся в плоскости
прямоугольной системы координат, не
следует смешивать с вектором в трехмерном
пространстве из области механики или
теории электромагнитного поля.
В
момент t
= 0 вектор
образует с горизонтальной осью угол ψ
и его проекция
на горизонтальную ось равна Umcos,
т.е. мгновенному значению заданной
функции при t
= 0 (рисунок
2.4, а).
За
время t
= t1
вектор
повернется на угол ωt1
и окажется повернутым относительно
горизонтальной оси на угол ωt1+;
его проекция на эту ось будет равна
Umcos(ωt1
+ )
и т.д.
Таким
образом, рассмотрение гармонических
колебаний можно заменить рассмотрением
вращающихся векторов.
Для
получения мгновенных значений в
соответствии с вышесказанным условимся
проектировать векторы на горизонтальную
ось. Рассмотрим теперь функцию Umsin(ωt
+ )
= Umcos(ωt
+ —
).
Она
представится проекцией вращающегося
вектора, имеющего начальную фазу
—
(рисунок 2.4, б).
Следовательно,
векторы, изображающие косинусоидальную
и синусоидальную функции, взаимно
перпендикулярны.
Если
гармонические колебания имеют одну и
ту же частоту, то соответствующие этим
колебаниям векторы вращаются с одинаковой
угловой скоростью и поэтому углы между
ними сохраняются неизменными.
На
рисунке 2.5 показаны две гармонические
функции
u1
= U1mcos(ωt
+ 1)
и
u2
= U2mcos(ωt
+ 2),
имеющие
одинаковую угловую частоту ω и начальные
фазы 1
и -2.
Кривая u1,
смещенная
влево относительно u2,
возрастает от нуля до своего положительного
максимума раньше, чем кривая u2.
Поэтому говорят, что u1
опережает
по фазе u2,
или, что то же, u2
отстает по фазе от
u1.
Разность
начальных фаз
= 1
— (-2)
= 1
+ 2
называется фазовым сдвигом или углом
сдвига u1
относительно u2.
Этот угол
и образуют между собой векторы, показанные
на рисунке 2.5 (вверху).
При
равенстве начальных фаз, т.е. при фазовом
сдвиге, равном нулю,
векторы,
направлены, в одну и ту же сторону
(совпадают
по фазе).
При
фазовом сдвиге 180°
векторы направлены в диаметрально
противоположные стороны (находятся
в противофазе).
Диаграмма,
изображающая совокупность векторов,
построенных с соблюдением их взаимной
ориентации по фазе, называется векторной
диаграммой.
Векторное
представление гармонических функций,
частота которых одинакова, облегчает
операции сложения и вычитания этих
функций. Ввиду того, что сумма проекций
двух векторов равна проекции геометрической
суммы этих векторов, амплитуда и начальная
фаза результирующей кривой легко
находятся из векторной диаграммы
геометрическим сложением
векторов.
Например, пусть
требуется сложить функции
u1
= U1mcos(ωt
+ 1) и
u2
= U2mcos(ωt
+ 2).
Из
графического построения рисунок 2.6, а
следует:
; (2.11)
.
(2.12)
Здесь
угол
находится с учетом знаков числителя и
знаменателя, определяющих знаки синуса
и косинуса.
В
случае, когда функция u2
вычитается из u1
(рисунок
2.6, б),
угол 1
в (2.11) и (2.12) заменяется на 2
+
или, что то же, на 2
().
Амплитуда
Um
и угол
могут быть также получены непосредственно
из векторной диаграммы.
При
пользовании векторной диаграммой с
целью установления фазовых сдвигов или
амплитудных значений гармонических
величин, имеющих одинаковую частоту,
векторная диаграмма может считаться
неподвижной (при равенстве частот углы
между векторами не зависят от времени).
Построение
векторных диаграмм обычно не связано
с определением мгновенных значений
гармонических функций; в таких случаях
векторные диаграммы строятся не для
амплитуд, а для действующих значений,
т.е. модули векторов уменьшаются по
сравнению с амплитудами в
раз. При этом векторная диаграмма
мыслится неподвижной.
В
отличие от векторных диаграмм кривые
мгновенных значений называются временными
диаграммами.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Определение среднего значения функции
Определение среднего значения функции
П. Совертков, Ф.
Дягилев,
г. Нижневартовск
Обсуждая концепцию
математического образования в 12-летней школе [3,
с. 13–18], следует уточнить целеполагание одного
из основных блоков математического образования
– функции. Важным является изучение не столько
свойств функций, сколько развитие умений
применять функции для описания реальных
процессов. Но реальные процессы задаются
сложными функциональными зависимостями.
Математическое моделирование упрощает
зависимости, заменяя одну функцию другой, более
простой.
Основная идея введения
интеграла – аккумуляция (накопление) информации
о функции на отрезке – оказалась незавершенной
не только в школьном курсе математики, но и в
общем образовании учащихся. Нет возврата к более
простой функции, которая порождает такое же
значение интеграла, т. е. накапливает такую же
информацию на отрезке. Другими словами, нет
усреднения заданной функции на отрезке.
В школьных, да и в вузовских
учебниках, пропущено очень важное применение
определенного интеграла для нахождения среднего
значения непрерывной функции на отрезке.
Некоторые авторы программ и учебников много
говорят о развитии функциональной линии, но ни
слова не говорят, как усреднить функцию на
промежутке, хотя среднее значение двух величин
определяется. Следует сказать больше. Мотивация
изучения функциональной линии в общем
образовании учащихся оказалась не полностью
сформулированной и незавершенной.
Моделирование реальных задач
требует усреднения в математических моделях
непрерывных функций (в экологии, в метеосводке
погодных условий и т. д.), усреднения в
компьютерных экспериментах дискретных величин с
малым шагом аргумента – что приближается к
усреднению непрерывных величин.
Среднее значение функции
удобно ввести на примере определения средней
скорости движения, как отношения длины всего
пройденного пути к величине затраченного
времени
Рассмотрим общее определение
среднего значения функции.
Площадь криволинейной
трапеции, ограниченной графиком непрерывной
функции y = f(x) (пусть f(x)
принимает неотрицательные значения), осью ox и
вертикальными прямыми y = a, y = b,
равна площади некоторого прямоугольника,
построенного на отрезке [a; b]. Высота
этого прямоугольника является средним значением
функции y = f(x) на отрезке [a; b].
В общем случае она определяется по формуле [2, с.
559]
(1)
В школьных и вузовских
учебниках много внимания уделяется нахождению
интегралов. Это необходимое развитие навыков
нахождения интегралов, но очевидно, что более
важно показать его применения. Из всех учебников
и справочников для школы только в справочниках [1,
с. 497; 2, с. 368, 369] определяется среднее
значение функции на отрезке. Следует отметить,
что пропедевтика введения среднего значения
функции иногда проводится в задачах следующего
типа на вступительных экзаменах в вузы и в
учебниках физики.
1. Катер из
Нижневартовска в Сургут двигался со скоростью v1,
а в обратном направлении со скоростью v2.
Найдите среднюю скорость катера на всем пути,
т. е. из Нижневартовска в Сургут и обратно.
Ответ:
2. Катер вначале двигался
со скоростью v1 в течение некоторого
промежутка времени, а затем в течение такого же
промежутка времени со скоростью v2.
Найдите среднюю скорость катера на всем пути.
Ответ:
3. Первую треть пути между
пунктами велосипедист проехал со скоростью v = 5 м/с,
затем половину оставшегося времени он ехал со
скоростью v = 10 м/с, после чего до
конечного пункта он шел с велосипедом со
скоростью v = 1 м/с. Определите среднюю
скорость движения велосипедиста.
Ответ: 5,3 м/с.
4. Найдите среднюю
скорость тела, если первую четверть времени оно
двигалось со скоростью v = 5 м/с, вторую
четверть времени – со скоростью v = 10 м/с,
оставшуюся часть времени со скоростью v = 15 м/с.
Ответ: 11,25 м/с.
Не каждый учитель видит в этих
задачах функции. Для многих это постоянные
величины. Читатель наверно согласится, что это
требует корректировки.
Рассмотрим другие примеры,
приводящие к пониманию важности изучения
среднего значения. Например, мы иногда не можем
определить значение функции в данный момент
времени и вынуждены пользоваться средними
значениями функции.
Величина переменного тока в
данный момент времени t (мгновенное значение
тока) определяется по формуле
i = I0 sin wt,
где I0 –
максимальное (амплитудное) значение тока, w –
частота, – период. Представим себе, что
существует прибор, измеряющий мгновенное
значение тока i. Стрелка прибора в течение 1
секунды будет совершать 50 колебаний, показывая
значения из отрезка [– I0; I0].
Зафиксировать информацию практически
невозможно. С другой стороны, почти все приборы
обладают инерционностью, т.
е. требуют для
измерения величины некоторого времени
(быстродействие прибора). Оно, как правило,
значительно больше периода быстрых процессов.
Принцип измерения величин во многих приборах
основан на измерении какого-то действия за
определенный промежуток. Поясним примерами.
Среднее значение переменного
тока за период T равно 0 для синусоидальной
величины и не характеризует величину
переменного тока.
Среднее значение переменного
тока в течение полупериода по формуле (1) равно
Некоторые
электроизмерительные приборы измеряют среднее
значение тока за половину периода, но все они
практически градуируются в действующих
значениях переменного тока, к разъяснению
понятия которого мы переходим.
Действующим (эффективным)
значением I переменного тока называется
значение такого постоянного тока, который
производит такое же действие (тепловое,
электромагнитное, механическое и др.), как и
данный переменный ток.
Работа, совершенная
постоянным током за период T, равна
A = UIT = I2
RT,
а работа, совершенная
переменным током, равна
Большинство
электроизмерительных приборов в цепях
переменного тока показывают действующее
значение.
Для физики и техники большее значение
имеет действующее значение переменного тока, чем
среднее значение переменного тока. В медицине
иногда также выделяется усреднение на отрезке
около наибольшего значения, так как оно может
произвести на пациента большее влияние, чем
средняя величина за период приема лекарства. Эти
примеры показывают, что в некоторых науках
усреднение функций производится по-разному, в
зависимости от воздействия на объект.
Задача. Интервал
движения автобуса a минут, интервал движения
микроавтобуса – m минут, a Э N, m Э N.
Человек приходит на остановку, не зная графика
движения транспорта, т. е. случайным образом.
Сколько времени в среднем ожидает человек на
остановке, если курсируют автобус и
микроавтобус?
Решение. Пусть курсирует
только автобус с интервалом a минут. Введем
отсчет времени от первого уходящего с остановки
автобуса. Если пассажир пришел через t минут (t < a),
то он ждет автобус a – t минут.
Если он
пришел через a – t минут, то он ожидает
очередного автобуса t минут, т. е. для
любого ожидания в t минут найдется случай,
когда пассажир будет ожидать a – t минут.
Для этих двух случаев среднее время ожидания
равно минут. Оно не зависит от времени
прихода на остановку. Рассматривая такие случаи
для различных значений t, получим среднее
время ожидания – мин. В этой задаче
среднее время определено элементарным методом с
использованием симметрии относительно середины
промежутка [0;
a].
Если пассажир пришел на
остановку через t минут, то функция времени
ожидания автобуса имеет вид
f(t) = a –
t.
Найдем среднее значение
времени ожидания автобуса на отрезке [0; a]
Аналогично, если курсирует
только микроавтобус, то среднее время ожидания
равно мин.
Рассмотрим общий случай,
когда курсируют автобус и микроавтобус.
Пусть m
является делителем числа a, a = mk, k l 2. Пусть
автобус приходит спустя s (s < m) минут
после отхода микроавтобуса. В течение a минут
человек может попасть в интервалы времени между
транспортами: «микроавтобус – автобус, интервал s
мин», «автобус – микроавтобус, интервал m
– s
мин», «микроавтобус – микроавтобус, интервал m
мин» и т. д.
Если s = 0 или s = m,
т. е. автобус и микроавтобус приходят на
остановку одновременно, то среднее время
ожидания в этом частном случае равно мин.
Пассажир может воспользоваться микроавтобусом
(автобусом он раньше не уедет). Автобус в этом
случае можно исключить из рассмотрения, так как
он приходит одновременно с микроавтобусом.
Пусть пассажир пришел на
остановку через t минут после отхода
микроавтобуса. Если 0 < t m s, то он ждет s
– t минут автобус; если s < t m m,
то он ждет m – t минут микроавтобус; если m < t m 2m,
то он ждет 2m – t минут микроавтобус и
т.
д. функция ожидания равна
Функция ожидания является
кусочно-линейной функцией и состоит из отрезков,
образующих углы в 135° с осью
ox.
Функция ожидания автобуса
является периодической функцией с периодом T = a
мин.
Учитывая геометрический
смысл интеграла, для вычисления среднего
значения функции ожидания достаточно вычислить
площадь равнобедренных треугольников с катетами
При
Условие задачи также требует
уточнения.
Если мы не знаем величины
задержки автобуса относительно микроавтобуса,
т. е. предположим, что она каждый день может
меняться, тогда среднее значение ожидания
следует рассмотреть как функцию t(s) от
параметра s. Величину t(s) следует
проинтегрировать на промежутке [0; m], а
затем поделить на длину этого промежутка. Если s Э [im, (i + 1)m],
i Э N, i < k, то рассуждения
проводятся аналогичные.
Итак, среднее время ожидания
автобуса на отрезке [0; a] вычисляется
следующим образом
Иногда встречается следующая
ошибка.
Если рассматривать все
средние значения только на отрезке [0; m], то
получим следующие результаты
Этот результат получается из
предыдущего при k = 1 и это верно. Но если k > 1,
то эта формула не учитывает интервал
«микроавтобус – микроавтобус, интервал движения
m минут, в течение которого не появляется
автобус».
Некоторые задачи для
самостоятельного решения.
1. Дан отрезок длиной a,
на который произвольным образом бросается точка.
Найдите среднее расстояние до границы отрезка.
2. Рассматриваются всевозможные
треугольники с данными сторонами OA = a,
OB = b и переменным углом g Э [0, p]. Найдите среднее
значение площади треугольников.
3. В окружность радиуса R вписаны
всевозможные прямоугольники с параллельными
сторонами. Найдите среднее значение площади
полученных прямоугольников.
Литература
1. Кожухов И.Б.,
Прокофьев А.А. Справочник по математике. – М.,
Лист, 1999.
2. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н.
Математика. Алгебра и элементарные функции. – М.,
Агар, 1999.
3. Концепция математического образования в
12-летней школе. – Математика в школе, № 2/2000.
4. Математика. Большой энциклопедический
словарь. – М., БРЭ, 1998.
6. Формула среднего значения для определенного интеграла.
Теорема о среднем.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то
существует точка
,
такая что.
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке,
принимает на этом отрезке своё наименьшее
m и наибольшее M значения. Тогда.
Числозаключено
между минимальным и максимальным
значениями функции на отрезке.
Одно из
свойств функции, непрерывной на отрезке,
заключается в том, что эта функция
принимает любое значение, расположенное
между m и M. Таким образом, существует
точка,
такая что.
Это свойство имеет простую геометрическую
интерпретацию: еслинепрерывна
на отрезке [a,b], то существует точкатакая,
что площадь криволинейной трапеции
ABCD равна площади прямоугольника с
основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке
выделен цветом).
Рассмотрим функцию
f (x), интегрируемую по Риману на отрезке
[a, b]. Раз она интегрируема на [a, b], то она
также интегрируема на [a, x] ∀x ∈ [a, b].
Тогда при каждом x ∈ [a, b] имеет смысл
выражение
,
и при каждом x оно равно некоторому
числу.
Таким образом,
каждому x ∈ [a, b] поставлено в соответствие
некоторое число
,
т.е. на [a, b] задана
функция:
(3.1)
Определение:
Функция F (x), заданная
в (3.1), а также само выражение
называется
интегралом с
переменным верхним пределом. Она
определена на всем отрезке [a, b]
интегрируемости
функции f (x).
Теорема:
Условие: f (t)
непрерывна на [a, b], а функция F (x) задана
формулой (3.1).
Утверждение: Функция
F(x) дифференцируема на [a, b], причем F (x)
= f (x).
(В точке a она
дифференцируема справа, а в точке b –
слева.)
Доказательство:
Поскольку для
функции одной переменной F (x)
дифференцируемость равносильна
существованию производной во всех
точках (в точке a справа, а в точке b –
слева), то мы найдем производную F (x).
Рассмотрим разность
Таким образом,
,
при этом точка ξ
лежит на отрезке [x, x + ∆x] (или [x + ∆x, x]
если ∆x < 0).
Теперь вспомним,
что производная функции F(x) в заданной
точке x ∈ [a, b] равна пределу разностного
отношения:
.
Из равенства имеем:
,
Устремляя теперь
∆x → 0, в левой части данного равенства
получим F’(x), a в правой
Вспомним определение
непрерывности функции f (t) в точке x:
Пусть x1 в этом
определении равен ξ. Поскольку ξ ∈ [x +
∆x, x] (ξ ∈ [x, x + ∆x]), а
∆x → 0, то |x − ξ| →
0, и по определению непрерывности, f (ξ)
→ f (x).
Отсюда имеем:
F’(x) = f (x).
Следствие:
Условие: f (x)
непрерывна на [a, b].
Утверждение: Любая
первообразная функции f (x) имеет вид
где C
∈ R – некоторая константа.
Доказательство.
По теореме 3.1 функция
является
первообразной для
f(x). Предположим,
что G(x) – другая первообразная f (x).
Тогда G’(x) = f(x) и для функции F(x) − G(x)
имеем: (F
(x) + G(x))’ = F’(x)−G’(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Значит,
производная функции F (x)−G(x)
равна нулю,
следовательно, эта функция есть
постоянная: F(x) − G(x) = const.
Среднее значение функции: метод и формула
Представьте себе, что вам нужно вычислить среднее значение чего-то, что постоянно меняется, например цены на газ. Обычно при расчете среднего набора чисел вы складываете их все и делите на общее количество чисел. Но как это сделать, когда цены меняются каждый месяц, неделю, день или во множестве моментов в течение дня? Как можно выбрать, какие цены будут включены в расчет средней?
Если у вас есть функция для цены газа и ее изменения с течением времени, это ситуация, когда среднее значение функции может быть очень полезным.
Определение среднего значения функции
Возможно, вы знакомы с понятием среднего. Как правило, среднее значение рассчитывается путем сложения чисел и деления на общее количество чисел. Среднее значение функции в исчислении представляет собой аналогичную идею.
Среднее значение функции — это высота прямоугольника, площадь которого эквивалентна площади под кривой функции.
Если вы посмотрите на рисунок ниже, вы уже знаете, что интеграл функции — это вся площадь между функцией и осью (x).
Прямоугольник имеет ту же площадь, что и площадь под кривой
На первый взгляд эта идея может показаться произвольной. Как этот прямоугольник связан со средним? Среднее значение включает в себя деление на количество значений, и как узнать, сколько здесь значений?
Среднее значение функции за интервал
Говоря о среднем значении функции, необходимо указать, за какой интервал. Это происходит по двум причинам:
Чтобы найти среднее значение функции, вместо сложения чисел нужно интегрировать , и вместо деления на количество значений вы делите на длину интервала.
[ begin{align} text{Добавление значений} quad &rightarrow quad text{Интеграция} \ text{Количество значений} quad &rightarrow quad text{Длина интервала } end{align} ]
Использование длины интервала имеет смысл, поскольку интервалы имеют бесконечное число значений, поэтому вместо этого более уместно использовать длину интервала. 9x.]
Здесь (f) измеряется в долларах за галлон, а (x) представляет количество лет, прошедших с 2017 года. Найдите среднюю цену бензина за галлон в период с 2017 по 2022 год.
Ответ :
Чтобы использовать формулу для среднего значения функции, сначала необходимо определить интервал. Поскольку функция измеряет количество лет, прошедших с 2017 г., интервал принимает вид ([0,5],), где 0 представляет 2017 г., а 5 представляет 2022 г.
Далее вам нужно будет найти определенный интеграл 95-1}{ln{1.4}} \ &= 13,012188. end{align} ]
Теперь, когда вы нашли значение определенного интеграла, вы делите его на длину интервала, поэтому
[ begin{align} f_{text{avg}} &= frac{13,012188}{5} \ &= 2,6024376.
end{align}]
Это означает, что средняя цена на газ в период с 2017 по 2022 год составляет 2,60 доллара за галлон.
Взгляните на графическое представление проблемы:
Графическое представление среднего значения цены на газ 94 right) \ &= frac{1}{4} — 4 \ &= -frac{15}{4}. end{align} ]
Наконец, разделите значение определенного интеграла на длину интервала, так что
[ begin{align} g_{text{avg}} &= frac{1} {1-(-2)}left(-frac{15}{4} right) \ &= -frac{15}{12} \ &= — frac{5}{4}. end{align}]
Следовательно, среднее значение ( g(x) ) в интервале ( [-2,1] ) равно ( -frac{5}{4}. )
Также возможно, что среднее значение функции равно нулю! 92right) \ &= frac{9}{2}-frac{9}{2} \ &= 0. end{align}]
Поскольку определенный интеграл равен 0, вы также получит 0 после деления на длину интервала, поэтому
[ h_{text{avg}}=0.]
Вы также можете найти среднее значение тригонометрической функции.
Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей статьей о тригонометрических интегралах, если вам нужно освежить знания.
Найдите среднее значение
[f(x) = sin(x)]
на интервале ( left[ 0, frac{pi}{2} right].) 9{ frac { pi} {2}} sin {x} , mathrm {d} x & = left (- cos { frac { pi} {2}} right) — left ( -cos{0} right) \ &= -0-left( -1 right) \ &= 1. end{align}]
Наконец, разделите на длину интервала, поэтому
[ begin{align} f_{text{avg}} &= frac{1}{frac{pi}{2}}\ &= frac{2}{pi}. end{align}]
Это означает, что среднее значение функции синуса на интервале ( left[ 0, frac{pi}{2} right]) равно (frac{2 }{pi},), что примерно равно (0,63.) 9b f(x), dx.]
Лучший способ понять теорему о среднем значении для интегралов — это использовать диаграмму — посмотрите на следующий рисунок.
На графике слева показан прямоугольник, площадь которого явно на меньше , чем площадь под кривой между 2 и 5 на . Этот прямоугольник имеет высоту, равную самой нижней точке кривой в интервале от 2 до 5.
На среднем графике показан прямоугольник, высота которого равна самой высокой точке кривой. Его площадь явно на 90 198 больше 90 199 90 198, чем 90 199 площади под кривой. К этому моменту вы думаете: «Разве нет прямоугольника, который выше короткого и короче длинного, площадь которого равна 9».0198 то же, что и площадь под кривой?» Конечно. И этот прямоугольник явно пересекает кривую где-то на отрезке. Этот так называемый прямоугольник среднего значения, показанный справа, в основном резюмирует теорему о среднем значении для интегралов.
Это просто здравый смысл. Но вот мубо-юмбо.
Теорема о среднем значении для интегралов: Если f ( x ) является непрерывной функцией на отрезке [ a, b ], то существует число c в замкнутом интервале, таком что
Теорема просто гарантирует существование прямоугольника среднего значения.
Площадь прямоугольника среднего значения, которая совпадает с площадью под кривой, равна длина умножить на ширина или основание умножить на высота , верно?
Эта высота представляет собой среднее значение функции за рассматриваемый интервал.
Вот пример. Какова средняя скорость автомобиля между t = 9 секунд и t = 16 секунд, скорость которых в футах per se cond определяется функцией
Согласно определению среднего значения, эта средняя скорость определяется как
-
Определить площадь под кривой между 9 и 16.
Этот участок, кстати, представляет собой общее пройденное расстояние от 9 до 16 секунд. Вы понимаете, почему? Рассмотрим прямоугольник среднего значения для этой задачи. Его высота — это скорость (поскольку значения функции или высоты — это скорости), а его основание — количество времени, поэтому его площадь равна 9.0198 скорость раз время что равняется расстоянию .
