Как найти среднее значение угловой скорости

1. Средние угловая скорость и ускорение

Средний
вектор угловой скорости

‹
ω
› = Δφ
/Δ t,

где Δφ
− приращение
угла поворота за интервал времени Δ t
.

Средний
вектор углового ускорения

‹
β
› = Δω
/Δt
,

где Δω
−
приращение вектора угловой скорости
за интервал времени Δ/t.

Средняя
угловая скорость

‹
ω
› = Δ
φ
/Δt
,

Среднее
угловое ускорение;

‹
β
›
= Δω
/Δt.

1. Мгновенные угловая скорость и ускорение

Мгновенная
угловая скорость

ω
= dφ
/dt
;
ωz
= dφ
/ dt
,

где ωz
− проекция
угловой скорости на ось вращения.

Угловое
ускорение

‹ β
› = dω
/ dt
; βz
= dωz
/ dt
,

где βz
− проекция углового ускорения на ось
вращения.

Угловая
скорость и угловое ускорение являются
аксиальными вектора-

ми, их
направления совпадают с неподвижной в
пространстве осью враще-

ния.

Связь
между линейными и угловыми величинами:

S
= R φ
;
v
= ω R
; aτ
= βz R
; an
=
v² / R
= ω²
·
R ,

где R
− радиус
окружности, по которой движется точка;
S
− длина
дуги

окружности;
φ − угол
поворота, v
− линейная скорость; βz
− проекция
уг-

лового
ускорения на ось вращения; ω
− угловая
скорость; aτ
− тангенци-

альное
ускорение;
аn
− нормальное
ускорение.

При
постоянной угловой скорости ω
= 2π / T,
где Т − период(время од-

ного полного
оборота); v
− частота
вращения (число оборотов, совершаемых

движущейся
точкой в единицу времени) .
6

7. Кинематическое уравнение вращательного движения мате-

риальной
точки

t

φ
= ∫
ωz
dt
,

o

где φ
− угол
поворота; ωz
− проекция
угловой скорости на ось вращения. Ес-

ли угловое
ускорение β
= const,
то φ = φо
+ ωоt
+ βt²/
2 , где
ωо − началь-

ная угловая
скорость. Угловая скорость при таком
вращении

ω
= ωо + βt.

8.
Ускорение
в плоском криволинейном движении

a
= аn
+ aτ
, a
= √ an²
+ aτ
² ,
или

а = R
√ β
² +
ω²*²
,

где аτ
=
dv
/ dt
− скорость
изменения модуля скорости (см. рис. 1)

Сопоставление
уравнений поступательного и

вращательного
движений приведено в табл № 1.

Рис.
1
Таблица № 1

Поступательное движение	Вращательное движение
a = const	β = const
sx = x − xo = vox t + ax t² / 2	φz − φoz = ωoz t + β t² / 2
vx = vox + ax t	ωz = ωoz + βz t
2 axsx = vx² − vox²	2βz φz = ωz² − ωoz²

ВОПРОСЫ
И УПРАЖНЕНИЯ

1. Что изучает
механика как один из разделов физики?
Каково содержание:

а) классической
(ньютоновской); б) релятивистской; в)
квантовой механики?

2. Почему
приходится использовать модельные
представления
и абстрагиро-

ванные
понятия при изучении реальных физических
явлений и объектов?

Дайте
определения:

а)
материальной точки(частицы);

б)
системы материальных точек;

в)
абсолютно твердого тела.

3. Каково
содержание понятий пространства и
времени в классической и релятиви-

стской
механике? Что означает “однородность
пространства”, “однородность вре-

мени”,
“изотропность пространства”?

4. Какие
существуют способы описания движения
материальной точки? Дайте опре-

деления
системы отсчета, системы координат,
радиуса-вектора r
.

5. Покажите,
что задание кинематического закона
движения в координатной форме

х = х (t),
y
= (t)
, z
= z
(t)
эквивалентно заданию его в векторной
форме r
=r
(t),
где

х, у,z
– декартовы координаты положения
материальной точки,
r
– её радиус
–

вектор.
Каковы преимущества векторного описания
движения? 7

6. Дайте
определение кинематических величин:
а)перемещения r
; б) скорости
v
;

в) ускорения
a.
В каких единицах измеряются эти величины?
Как ориентирова-

ны векторы
скорости и ускорения относительно
траектории и друг друга?

7. Что называется
тангенциальным и нормальным ускорением?
Отчего зависит угол

между
векторами скорости v
и полного ускорения a
движущейся материальной

точки?

8. Какие векторы
называются аксиальными? Дайте определение
: а) угла поворота ;

б)угловой
скорости; в)углового ускорения относительно
неподвижной в простран-

стве оси
вращения. В каких единицах измеряются
эти величины?

9. Частица
движется по закону r
= ( vo
t
− g
t²
/ 2 ) k
, где vo
и g
− известные пос-

тоянные;
k
− орт
координатной оси z.
Найдите скорость v
частицы и
её уско-

рение a
, а также их
проекции vz
=d
z
/ d
t
и аz
= d
vz
/ d
t
как функции времени.

10.Ускорение
движущейся частицы a
= A
i
, где А –
известная постоянная; i
– орт

координатной
оси x.
В момент времени t
= 0 x
= xo
и vx
= vo
, где xo
и vo
— изве-

стные
постоянные(начальные условия). Найдите
проекцию скорости vx
= d
x
/ d
t

и координату
х как функцию времени.

ПРИМЕРЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример
1.
С башни в горизонтальном направлении
брошено тело с

начальной
скоростью vо
= 10 м/с. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, опре-

делить для
момента времени t
= 2 с после начала движения:1) скорость
тела v;

2) радиус
кривизны R
его траектории.

Д а н
о: vо
= 10 м/с, t
= 2 с.

О п р
е д е л и т ь: 1) v;
2) R.

Р е ш
е н и е. Тело участвует в двух взаимно
перпендикулярных движе-

ниях:
равномерном прямолинейном движении
вдоль оси Ох
( со скоростью vо)

и свободном
падении вдоль оси Оy
(со скоростью
vy
= gt)
(рис. 2). Следова-

тельно,
скорость тела в точке A

v
= √ vо²
+ g²t²

Из рисунка
видно, что нормальное ускорение тела

an
= g cos α = gvо
/ √ vо²
+ g²t² .

С другой
стороны, an
= v²/R,
откуда

R
= v²/an = (vо²
+ g²t²)³/² /gvо.

Рис.
2 Вычисляя, получаем:

1) v=
22 м/с; 2) R
= 109 м.

Пример
2.Кинематическое
уравнение движения материальной точки
по пря-

мой ( ось x
) имеет вид х
= A
+ Bt
+ Ct³,
где A
= 4 м, B
= 2 м /с, C
= −0,5 м/с².

для момента
времени t1
= 2 c
определить : 1) координату x1
точки, 2) мгновен-

ную скорость
v1,
3) мгновенное ускорение a1.

Д а н
о: A
= 4 м, B
= 2 м/с, С =
−0,5 м/с², t1
= 2 с.

О п р
е д е л и т ь: 1) x1;
2) v1;
3) a1.

Р е ш
е н и е. 1. Координату точки, для которой
известно кинематическое 8

уравнение
движения, найдем, подставив в уравнение
движения вместо t
задан-

ное значение
времени t1
:

x1
= A
+ Bt1
+ Ct³1.

Подставим
в это выражение значения A,
B,
C,
t1
и произведем вычисления:

x1
= ( 4 + 2 · 2 − 0,5 · 2³ ) м = 4 м.

1. Мгновенную скорость
   в произвольный момент времени найдем,
   про-

дифференцировав
координату
x
по времени:
v
= dx/d
t
= B
+ 3Ct².
Тогда в

данный момент
времени t1
мгновенная скорость

v1
= B
+ 3Ct²1.

Подставим
сюда значения B,
C,
t1
и произведём вычисления:

v1
= −4 м/с.

Знак минус
указывает на то, что в момент времени
t1
= 2 c
точка движется в

отрицательном
направлении координатной оси.

3. Мгновенное
ускорение в произвольный момент времени
найдем, взяв

вторую
производную от координаты x
по времени:
a
= d²x/dt²
= dv/dt
= 6Сt.

мгновенное
ускорение в заданный момент времени
t1
равно

a1
= 6Ct1.

Подставим
значения C,
t1
и произведем вычисления:

a1
= (−6 · 0.5 · 2) м/с = −6 м/с² .

Знак минус
указывает на то, что направление вектора
ускорения совпадает

с отрицательным
направлением координатной оси, причем
в условиях данной

задачи это
имеет место для любого момента времени.

Пример
3.
Кинематическое уравнение движения
материальной точки по

прямой(ось
x
) имеет вид x(t)
= A
+ Bt
+ Сt²,
где A
= 5 м, B
= 4 м/с, C
=−1 м/с².

1. Построить график
   зависимости координаты x
   и пути s
   от времени.

2. Определить среднюю
   скорость ‹ vx
   › за интервал времени от t1
   = 1 c
   до

t2
= 6 c.
3. Найти среднюю путевую скорость ‹ v
› за тот же интервал времени.

Р е ш е н и е.
1. Для построения графика зависимости
координаты точки

от времени найдем
характерные значения координаты –
начальное и макси-

мальное и моменты
времени, соответствующие указанным
координатам и ко-

ординате, равной
нулю.

Начальная
координата соответствует моменту t
= 0. Её значение равно

xo
= x(0)
= A
= 5 м.

Максимальное
значение координата достигнет в тот
момент, когда точка

начинает двигаться
обратно (скорость меняет знак). Этот
момент времени

найдем, приравняв
нулю первую производную от координаты
по времени:

v
= dx/dt
= B
+ 2Ct
= 0, откуда

t
= −B/2C
= 2 c.

9

Максимальная
координата

xmax
= x(2)
= 9 м.

Момент времени
t,
когда координата x
= 0, найдем
из выражения

x
= A
+ Bt
+ Ct²
= 0.

Решим полученное
квадратное уравнение относительно t
:

t
= (
−B
± √ B²
−4AC
) / 2C
.

Подставим значения
A,
B,
C
и произведём вычисления:

t
= (2 ± 3) c.

Таким
образом, получаем два значения времени:
t′=

=
5 c
и t»
= −1 c.
Второе значение времени отбра-

сываем,
так как оно не удовлетворяет условию
за-

дачи
( t≥
0 ).

График
зависимости координаты точки от вре-

мени
представляет собой кривую второго
порядка.

для
его построения необходимо иметь пять
точек,

так
как уравнение кривой второго порядка
содер-

жит
пять коэффициентов. Поэтому кроме трех
вы-

численных
ранее характерных значений координа-

ты
найдем ещё два значения координаты,
соответ-

ствующие
моментам t1
= 1 c
и t2
= 6 c:

x1
= A
+ Bt1
+ Ct²1
= 8 м,
x2
= A
+ Bt2
+ Ct²2
= −7 м.

Рис. 3

Полученные
данные представим виде таблицы:

Время, с	to = 0	t1 = 1	tв = 2	t′ = 5	t2 = 6
Координата, м	xо = A = 5	x1 = 8	xmax = 9	x = 0	x2 = −7

Используя данные
таблицы, чертим график зависимости
координаты

от времени
( рис. 3).

График пути
построим, исходя из следующих соображений:
1) путь и

координата до
момента изменения знака скорости
совпадают; 2) начиная

с момента возврата
( tв
) точки она движется в обратном направлении
и,

следовательно,
координата её убывает, а путь продолжает
возрастать по

тому же закону, по
которому убывает координата.

Следовательно,
график пути до момента времени tв
= 2 с совпадает с

10

графиком координаты,
а начиная с этого момента является
зеркальным

отображением
графика координаты.

2. Средняя
скорость ‹ vx
› за интервал времени t2
− t1
определяется

выражением

‹ vx
› = (x2
− x1)
/ (t2
− t1).

Подставим значения
x1,
x2,
t1,
t2
из таблицы и произведем вычисления

‹ vx
› = ( −7 −8 ) / (6 −1) м = − 3 м/c.

3. Среднюю
путевую скорость ‹ v
› находим из выражения

‹ v
› = s
/ ( t2
− t1
),

где s
− путь,
пройденный точкой за интервал времени
t2
− t1.
Из графика

на рис. 3 видно, что
этот путь складывается из двух отрезков
пути: s1
=

= xmax
− x1,
который точка прошла за интервал времени
tв
− t1,
и s2
=

=
xmax
+ | x2
|, который она прошла за интервал
t2
− tв.
Таким образом,

путь

s
= s1
+s2
= ( xmax
− x1
) + ( xmax
+ | x2
| ) = 2 xmax
+ | x2
| − x1.

Подставим
в это выражение значения x1,
| x2
|, xmax
и произведем вычис-

ления

‹ s
› = ( 2 · 9 + 7 − 8 ) м = 17 м.

Тогда искомая
средняя путевая скорость

‹ v
›= 17 / ( 6 − 1 ) м/c
= 3.4 м /c
.

Заметим,
что средняя путевая скорость всегда
положительна.

Пример
4.
Автомобиль движется по закруглению
шоссе, имеющему ра-

диус кривизны
R
= 50 м. Уравнение движения автомобиля ξ
(t)
= A+
Bt+
Ct²,

где ξ
означает криволинейую координату,
отсчитанную по дуге окружности,

A
= 10 м, B
= 10 м/c,
C
=−0,5 м /c².
Найти : 1) скорость v
автомобиля, его

его
тангенциальное aτ,
нормальное an,
и полное a
ускорения в момент вре-

мени t
= 5 c;
2) длину пути s
и модуль
перемещения | Δr
| автомобиля
за

интервал
времени τ
= 10 c,
отсчитанный с момента начала движения.

Р е ш е н
и е. 1. Зная уравнение движения, найдем
скорость, взяв первую

производную
от координаты по времени: v
= dξ
/ dt
= B
+ 2Ct.
Подставим в

это выражение
значения B,
C,
t
и произведем
вычисления:

v
= 5 м /c.

Тангенциальное
ускорение найдем, взяв первую производную
от скорости

по времени:
aτ
= d
v
/dt
= 2 C.
Подставив значение C,
получим

aτ
= − 1 м/c².

11

Нормальное
ускорение определяется по формуле an
= v²/R.
Подставим сюда

найденное
значение скорости и заданнон значение
радиуса кривизны траекто-

рии и
произведем вычисления:

an
= 0,5 м/c².

Полное
ускорение, как видно из рис.1, является
геометрической суммой

ускорений
aτ
и an:
a
= aτ
+ an.
Модуль ускорения a
= √ a²τ
+ a²n
. Подста-

вив в это
выражение найденные значения
aτ
и an,
получим

a
= 1.12
м/c².

1. Чтобы определить
   путь s,
   пройденный автомобилем, заметим, что
   в слу-

чае движения в
одном направлении (как это имеет место
в условиях данной за-

дачи ) длина пути
s
равна изменению криволинейной
координаты ξ
, т.е.

s
= ξ
(
τ
) − ξ ( 0 ), или
s
= A + Bτ + Cτ² −
A = B + C
τ²
.

Подставим
в полученное выражение значения B,
C,
τ и
произведем вычисле-

ния:

s
= 50 м.

Модуль
перемещения, как это видно из рис.4, равен

|Δr|
= 2 R
sin
( α
/2 ),

где
α − угол между радиусами-векторами,
определя-

ющими
начальное ξ (0) и конечное ξ (τ)
положения

автомашины
на траектории. Этот угол (в радианах)
на-

ходим как
отношение длины пути к радиусу кривизны
R

траектории,
т.е. α = s
/ R.
Таким образом,

Рис.4
|Δr|
= 2 R
sin
(s
/ R).

Подставим
сюда значения R,
s
и произведем вычисления:

|Δr|
= 47.5 м.

Пример
5. Диск
радиусом R
= 5 см вращается вокруг неподвижной

оси так, что
зависимость угловой скорости от времени
задается уравнением

ω
= 2At
+
5Bt²*²
( A =
2 рад
/
c²,
B
= 1
рад
/ c²
c³
). Определить
для точек на

ободе диска
к концу первой секунды после начала
движения: 1) полное уско-

рение; 2)
число оборотов N,
сделанных диском.

Д а н о:
R
= 5 см = 0.05 м,
ω =2At
+ 5Bt²*,²
A
= 2 рад / c²
; B
= 1 рад /c²c³,

t
= 1 c.

О п р е д
е л и т ь: 1) a;
2) N.

Р е ш е н
и е. Полное ускорение
a
= √ aτ²
+an²
, где тангенциальная состав-

12

ляющая
ускорения aτ
= βR
( β
= dω
/ dt
− угловое
ускорение ), а нормальная

составляющая
ускорения an
= ω²R.

По условию
задачи, ω =
2At
+ 5Bt²*²;
следовательно,

aτ
= βR = R dω /dt = R ( 2A
+ 5B
t³
),

an
= ω²R
= R
( 2At
+ 5Bt²*²)²,

откуда
полное ускорение

a
= R √ (2At
+ 20Bt³)²
+ (2At
+
5Bt²*²)²*².

Угол
поворота диска φ
= 2π N
( N
− число
оборотов), но угловая ско-

рость ω
= dφ
/ dt
; следовательно,

t
t

φ
=
∫ ωdt
=
∫ (2At
+
5Bt²*²)dt
= At²+
Bt²t³.

о
o

Тогда
число оборотов, сделанных диском,

N
= φ
/ (2π)
= ( At²
+ Bt²*³
) / 2π
.

Вычисляя,
получим: 1) a
= 4.22 м/c²ж;
2) N
= 0.477.

Пример
6.
Маховик, вращавшийся с постоянной
частотой no
= 10 c־¹,

при торможении
начал вращаться равнозамедленно. Когда
торможение пре-

кратилось,
вращение маховика снова стало равномерным,
но уже с частотой

n
= 6 c־¹.
Определить угловое ускорение β
маховика
и продолжительность

t
торможения, если за время движения
маховик сделал
N
оборотов.

Р е ш е н
и е. Угловое ускорение маховика связано
с начальной ωо
и ко-

нечной ω
угловыми
скоростями
соотношением
ω²
− ωo²
= 2βφ,
откуда

откуда β
= ( ω²
− ωo²
) / (2φ).
Но так как φ
= 2π N,
ω
= 2 π N,
то

β
= ( ω²
− ωo²
) / 2φ
= π
( n²
− no²
) / N
.

Подставив
значения π, n,
no,
N
и вычислив,
получим

β
= 3.14 ( 6² − 10² ) / 50 рад / с² = −4.02 рад / c².

Знак минус
указывает на то, что маховик вращается
замедленно.

Определим
продолжительность торможения, используя
формулу,связыва-

ющую угол
поворота φ
со средней угловой скоростью
‹ ω
› вращения и

и временем
t:
φ
= ‹ ω
› t.
По условиям задачи, угловая скорость
линейно

зависит от
времени и поэтому можно написать ‹ ω
› = ( ωo
+ ω ) / 2 ,
тогда

φ
= ( ωo
+ ω
) t
/
2 = π ( no
+ n
) t
,

откуда

t
= φ
/ π (
no
+ n
) = 2 N
/ (no
+ n
).

13

Подставив
числовые значения и произведя вычисления,
получим

t
= 2 · 50 / ( 10
+ 6 ) = 6.25 с.

ЗАДАЧИ
ГРУППЫ А

1.(В.1.23)
Зависимость пройденного телом пути s
от времени t
да-

ется
уравнением s =А — Вt
+ Ct²,
где А = 6 м, В = 3 м/с и С = 2 м/c².
Найти

среднюю
скорость <v>
и ускорение a
тела для интервала времени 1 ≤ t
≤ 4.

Построить
график зависимости пути s,
скорости v
и ускорения a
от време-

ни t
для интервала 0 ≤ t
≤ 5 c
через 1 с.

Ответ:
<v>
= 7 м/c;
a
= 4 м/c²
.

2.(В.1.26)
С башни
высотой h
= 25,0 м горизонтально брошен камень

со скоростью
vx
= 15 м/c.
Какое время t
камень будет в движении? На ка-

ком расстоянии
l
от основания башни он упадет на землю?
С какой скоро-

стью v
он упадет на землю? Какой угол φ составит
траектория камня с го-

ризонтом в
точке его падения на землю?

Ответ
: t
= 2,3 c;
l
= 34 м; φ = 56°.

3.(В.1.31)
Камень
брошен горизонтально со скоростью vx
= 10,00 м/с.

Найти радиус
кривизны R
траектории камня через время t
= 3.00 с пос-

ле начала
движения.

Ответ
: R
= 305 м.

4.(В.1.32)
Мяч брошен
соскоростью vо
= 10.00 м/с под углом
α = 40º

к горизонту.
На какую высоту h
поднимется мяч? На каком расстоянии l

от места
бросания он упадет на землю? Какое время
t
он будет в движе-

нии?

Ответ
: h
= 2.1 м; l
= 10.0 м; t
= 1.3 с.

5.(В.1.34)
Тело
брошено со скоростью vо
под углом к горизонту. Вре-

мя полета
t
= 2.2 c.
На какую высоту h
поднимется тело ?

Ответ:
h
= 5.9 м.

6.(В.1.36)
Тело брошено со скоростью vо
= 14.7 м/с под углом α = 30º

к горизонту.
Найти нормальное a
n
и
тангенциальное a
τ
ускорения
тела

через время
t
= 1.25 с после начала движения.

Ответ:
a
n
= 9.2 м/c²;
a
τ
= 3.5 м/с².

7.(В.1.37)
Тело
брошено со скоростью vо
= 10.0 м/с под углом α = 45º

к горизонту.
Найти радиус кривизны R
траектории движения тела через

время t
= 1.00 с после начала движения.

Ответ:
R
= 6.3 м.

8.(В.1.39)
С башни
высотой hо
= 25.0 м брошен камень со скоростью

vo
= 15 м/с под углом α = 30º к горизонту. Какое
время t
камень будет в дви-

жении? На
каком расстоянии l
от основания башни он упадет на землю?
С ка-

14

кой скоростью
v
он упадет на землю? Какой угол φ
составит траектория дви-

женияния с
горизонтом в точке его падения на землю?

Ответ:
t
= 3.16 с; l
= 41.1 м ; φ
= 61º.

9.(В.1.50)
Вал вращается с частотой n
=180 об/мин. С некоторого момен-

та вал начал
вращаться равнозамедленно с угловым
ускорением β = 3 рад/с².

Через какое
время t
вал остановится? Найти число оборотов
N
вала до оста-

новки.

Ответ:
t
= 6.3 с ; N
= 9.4 об.

10.(В.1.53)
Точка
движется по окружности радиусом R
= 10.0 см с посто-

янным
тангенциальным ускорением a
τ.
Найти нормальное ускорение a
n
точ-

ки через
время t
= 20.0 с после начала движения, если
известно, что к концу

пятого
оборота после начала движения линейная
скорость точки v
= 10.0

см /c.

Ответ:
a
n
= v
v³
t²/16π²N²R³
= 0.010 м/с².

11.(В.1.55)
Колесо радиусом R
= 10 см вращается с угловым ускорением

β = 3.14 рад/с²
. Найти для точек на ободе колеса к концу
первой секунды пос=

ле начала
движения: а) угловую скорость ω ; б)
линейную скорость v
; в) тан-

генциальное
ускорение aτ
; г) нормальное ускорение n
; д) полное ускорение a;

е) угол φ,
составляемый вектором полного ускорения
с радиусом колеса.

Ответ:
ω
= 3.14 рад/с ; v
= 0.314 м/с ; aτ
= 0.314 м/с² ; a
n
= 0.986 м/с²;

a
= 1.03 м/с² ; φ
= 17º46′ .

12.(1.59)
Колесо
вращается с угловым ускоренрем β = 2.00
рад/с². Че-

рез время
t
= 0.500 c
после начала движения полное ускорение
колеса а = 13.6

см/с². Найти
радиус R
колеса.

Ответ:
R = a/β√ (1 + β²t²* ² ) = 6.1 см.

13.(В.1.61)
Колесо
радиусом R
= 5.00 см вращается так, что зависимость

угла поворота
радиуса колеса от времени дается
уравнением φ = A
+ Bt
+ Ct²
+

+ Dt³,
где D
= 1.000 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе
колеса, найти прира-

щение модуля
тангенциального ускорения Δaτ
за единицу времени.

Ответ:
Δaτ
= 0.3 м/с².

14.(В.1.64)
Во сколько
раз нормальное ускорение an
точки, лежащей на

ободе
вращающегося колеса, больше ее
тангенциального ускорения aτ
для того

момента,
когда вектор полного ускорения точки
составляет угол φ = 30° с век-

тором её
линейной скорости?

Ответ:
an
/aτ
= tg
φ
= 0.58.

ЗАДАЧИ
ГРУППЫ Б

1.(
Ч.1.4) Первую
половину пути тело двигалось со скоростью
v1
= 2 м /c,

вторую −
со скоростью v2
= 8 м /c.
Определить среднюю путевую скорость ‹
v
›.

15

Ответ:
‹ v
› = 2v1·v2
/ ( v1
+ v2
) = 3,2 м/c
.

2.(
Ч.1.5) Тело
прошло первую половину пути за время
t1
= 2 c,
вторую-за

время t2
= 8 м /c.
Определить среднюю путевую скорость ‹
v
› тела, если дли-

на пути s
= 20 м.

Ответ:
‹ v
› = s
/ ( t1
+ t2
) = 2 м /c.

3.(И.1.6.)
Корабль
движется по экватору на восток со
скоростью vo
=30

км /ч. С
юго-востока под углом φ = 60º к экватору
дует ветер со скоростью v
=

= 15 км / ч.
Найти скорость v’
ветра относительно корабля и угол φ’
между эква-

тором и
направлением ветра в системе отсчета,
связанной с кораблем.

Ответ:
v’
= √ ( vo²
+ v²
+ 2 vo
v
cos
φ
) ≈ 40 км / ч, φ’ = 19º.

4.(Ч.1.26)
Материальная
точка движется в плоскости согласно
уравнению

r
(t)
= A
t³
i
+ B
t²
j.
Написать зависимости : 1) v
(t),
2) a
(t).

Ответ
: 1) v
(t) = 3A t²i
+
2B t j
; 2)
a
(t)
= 6 At i
+ 2B
j.

5.(Ч.1.33)
Движение
точки по окружности радиусом R
= 4 м задано уравне-

нием ξ =
А + В t
+ C
t²
, где ξ − криволинейная координата,
отсчитанная по

дуге
окружности, А = 10 м, В = − 2 м /c,
C
= 1 м/c².
Найти тангенциальное аτ,

нормальное
аn
и полное а ускорения точки в момент
времени t
= 2c.

Ответ
: 2 м /c²
; 1 м /c²
; 2.24 м /c²
.

6.(Ч.1.36)
Движение
точки по кривой задано уравнениями х
= А1 t³
и у =А2t,

где А1 = 1 м
/c³,
А2 = 2 м/c.
Найти уравнение траектории точки, её
скорость v
и

полное
ускорение а в момент времени t
= 0.8 c.

Ответ
: у³
− 8х ; 2.77 м /c
; 4.8 м/c².

7.(Ч.1.59)
Диск
вращается с угловым ускорением β = −
2 рад /c².
Сколько

оборотов N
сделает диск при изменении частоты
вращения от n1
= 240 мин ־¹

до n
= 90 мин ־¹
? Найти время
Δ t,
в течение которого это произойдет.

Ответ
: N
= π
( n2²
− n1²
) / β
= 21.6; Δ t
= 2 π ( n2
− n1
) / β = 7.85 c.

8.
На вал радиусом R
= 10 см намотана нить, к концу которой
призана гиря.

двигаясь
равноускоренно, гиря за t
= 20 с от начала движения опустилась на
h
=

= 2 м. Найти
угловую скорость и угловое ускорение
вала для этого момента вре-

мени.

Ответ
: ω
= 2 h
/(Rt)
= 2 рад /c;
β = 2h
/(Rt
²) = 0.1 рад /c.

9.(Ч.1.49)
Тело
брошено под углом φ = 30º к горизонту.
Найти тангенци-

альное аτ
и нормальное аn
ускорения в начальный момент времени
движения.

Ответ
: 4.9 м /c²
; 8.49 м /c²
.

10.
Тело брошено со скоростью vo
= 20 м /c
под углом φ = 30º к горизонту.

пренебрегая
сопротивлением воздуха, найти скорость
v
тела, а также его нор-

мальное аn
и тангенциальное аτ ускорения через
t
= 1.5 c
после начала движе-

ния. На какое
расстояние х переместится за это время
тело по горизонтали и на

какой высоте
у оно окажется?

Ответ
: v
= 17.9 м /c;
a
n
= 9.72 м /c²;
aτ
= 2.67 м /c²
; x
= 26 м; y
= 4м.

16

11.(C.1.15)
Частица
движется равномерно по часовой стрелке
по окруж-

Ности радиуса
R
, делая за время τ один оборот. Окружность
лежит в коор-

динатной
плоскости х,у,
причем центр
окружности совпадает с началом коор-

динат. В
момент t
= 0 частица находится в точке с координатами
х =
0, у =
R.

Найти среднее
значение скорости точки за промежуток
времени: а) от 0 до

τ /4, б) от
0 до τ /2, в) от 0 до 3τ /4, г) от 0 до τ,
д) от τ /4 до 3 τ /4.

Ответ:
a)‹v
› = (4 /τ) R ( i
−
j
),
б)‹
v ›
= − (4 /τ) R j,
в)‹
v
›=−(4/3)R(i
+ j),

г)
‹ v
› = 0, д) ‹ v
› = −( 4/τ)R
i.

12.(C.1.29)
Точка
движется вдоль оси х
, причем
координата х
изменя-

ется по
закону х
= A
cos
(2π
/T)
t.
Найти : a)
выражения для проекций на ось

х
скорости v
и ускорения а
точки, б)
путь s1,
пройденный точкой за про-

межуток
времени от t
=0 до t
= T/8,
в) путь s2,
пройденный точкой за проме-

жуток времени
от t
= T/8
до t
= T/4,
г) путь s
, пройденный точкой за проме-

жуток от 0
до t
= T.

Ответ
: а) vx
= − ( 2π
/ T)
A
sin
( 2π
/T)
t,
ax
=−( 2π
/T)²
A
cos
( 2π
/T)
t,

б)
s1
= 0.293A,
в) s2
= 0,707 A,
s
= 4A
.

ЗАДАЧИ
ГРУППЫ С

1.(И.1.13)
Точка А
движется равномерно со скоростью v
так, что

Вектор
v
все время
“ нацелен “ на точку В, которая в
свою очередь дви-

жется
прямолинейно и равномерно со скоростью
u
< v.
В начальный момент

v
перпендикулярен
u
и расстояние
между точками равно
l.
Через сколько

времени τ
точки
встретятся?

Ответ:
τ
= v
l
/ ( v²
— u²
).

2.(И.1.20)
Радиус-вектор частицы меяется со
временем по закону r
=

= b
t(
1- α
t
), где b
− постоянный вектор, α − положительная
постоянная. Най-

ти: a)
скорость v
и ускорение
а частицы
в зависимости от времени;

б) промежуток
времени Δ
t,
по истечении которого частица вернется
в ис-

ходную точку,
а также путь s,
который она пройдет при этом.

Ответ
:
a) v
=
b
(1
– 2 α
t),
a
=
− 2 αb
= const; Δt
=
1/α , s
=
b/2α.

3.(И.1.21)
В момент t
= 0 частица вышла из начала координат
в поло-

жительном
направлении оси
х. Её
скорость меняется со временем по закону

v
= vo
( 1 – t/τ
), где vo
− начальная скорость, модуль которой
vo
= 10,0 cм/c,

τ
= 5.0 c.
Найти: а) координату х
частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с;

б) моменты
времени, когда частица будет находться
на расстоянии 10.0 см от

начала
координат.

Ответ
: a)
x
= vo
t
( 1 – t
/2τ);
0.24, 0 и −2.0 м; б) 1.1, 9 и 11 с.

4.(И.1.24)
Радиус-вектор
точки А относительно начала координат
меня-

ется со
временем t
по закону r
= α
t
i
+
β t²
j
, где α и
β −
постоянные,

i
и j
− орты осей х
и у.
Найти: a)
уравнение траектории точки у
( х );

изобразить
её график; б) зависимости от времени
скорости v,
ускорения а

и модулей
этих величин; в) зависимость от времени
угла φ между вектора-

ми а
и v.

17

Ответ:
а) y
= x²
β
/ α²;

б)
v
= α
i
+ 2β
t
j
, a
= 2 β
j
, v
= √ α²
+ 4β²t²
, α
= 2β
;

в)
tg
φ
= α
/2β
t.

5.(Т.1.25)
Нормальное
ускорение точки, движущейся по окружности
ради-

усом R
= 4 м, задается уравнением аn
= A
+ В
t
+ C
t²
( A
= 1 м /c²,
B
= 6 м/c³,

C
= 9 м /c²*².
Определить: 1) тангенциальное ускорение
аτ точки;
2) путь s,

пройденный
точкой за время t1
= 5 c
с после начала движения; 3) полное уско-

рение а
для момента
времени t2
= 1 c.

Ответ:
aτ
= 6 м /c²;
s
= 85 м; a
= 6.32 м /с².

6.(Т.1.28)
Точка
движется в плоскости ху
из положения
с координатами

х = у =
0
со скоростью v
= a
i
+ bx
j
, где а и
b
− постоянные;
i,
j
− орты

осей х
и у
. Определить:
1) уравнение траектории точки у
(х) ; 2) форму

траектории.

Ответ:
1) у
= bx²
/ 2a
; 2) парабола.

7.(И.1.10)
Два тела бросили одновременно из одной
точки: одно − верти-

кально вверх,
другое − под углом φ = 60º к горизонту.
Начальная скорость

каждого тела
vo
= 25 м /c.
Пренебрегая сопротивлением воздуха,
найти рассто-

яние l
между
телами через t
=1.7 c.

Ответ:
l
= vo
t
√ 2(1 – sin
φ
) = 22 м.

8.(С.1.32)
Небольшое тело (материальная точка)
брошено из точки О под

углом α
к горизонту
с начальной скоростью vo
( рис. 5). Пренебрегая сопро-

тивлением воздуха,
найти:

а) время полета
τ,

б) дальность
полета l,

в) наибольшую
высоту поднятия тела h,

г) уравнение
траектории тела в координатах

х’,
у’,

д) значения
| dv
/dt
| и d
| v
| /dt
в вершине

траектории,

Рис.5
е) радиус кривизны R
траектории в точках

О и О’.

Точки
бросания и падения считать лежащими на
одном уровне.

Ответ:
a)
τ
= 2 vosin
α
/ g
, б) l
= vo²
sin
2α
/ g
, в) h
= vo²
sin²α
/ 2g,

г)
у’ = − g
x‘
²/ 2 vo²
cos²
α
, д) | dv
/dt
| = g,
d
| v|
/dt
= 0, е) Ro
= vo²
/ g
cos
α
,

R
o’
= vo²
cos²α
/g
.

9.(И.1.46)
Твердое тело вращается вокруг неподвижной
оси по закону

φ
= a
t
− b
t³,

где a
= 6.0 рад /с
, b
= 2.0 рад/c.
Найти: средние значения угловой скорости

и углового
ускорения за промежуток времени от t
= 0 до
остановки; б) угловое

ускорение
в момент остановки.

Ответ:
a)
‹ ω
› = 2a
/3 = 4 рад /c
, ‹ β
› = √ 3 ab
= 6 рад /c²;

Б)
β = 2
√ 3 аb
= 12 рад /c².

18

10.(И.1.47)
Твердое тело начинает вращаться вокруг
неподвижной оси с

угловым
ускорением β
= αt,
где α = 2.0
* 10־²
рад /c³.
Через сколько времени

после начала
вращения вектор полного ускорения
произвольной точки тела бу-

дет составлять
угол φ = 60º
с её вектором скорости ?

Ответ:
τ
= ³√ (4/α)
tgφ
= 7 c.

11.(И.1.35)
Частица движется в плоскости ху
со скоростью
v
= αi
+βxj,

где
i
и
j
− орты осей
х и
у
, α и
β −
постоянные. В начальный момент

частица
находилась в точке х
= у = 0.

Найти:

а)
уравнение траектории частицы у(
х
);

б) радиус
кривизны R
траектории в зависимости от х.

Ответ:
а) х
= (β
/2α)
x²,
б) R
= v²/
an
= v²/√
a²
− aτ²
= ( α / β)[1
+ (xβ/α)²]³/².

12.(И.1.37)
Точка движется по окружности со
скоростью v
= αt,
где α
=

= 0.50 м/c².
Найти её полное ускорение а
в момент, когда она пройдет n
=0.10

длины
окружности после начала движения.

Ответ:
a
= α
√ 1 + (4π
n)²
= 0.8 м/c².

13.(И.1.41)
Точка движется по плоскости так, что
её тангенциальное ус-

корение аτ
= α , а
нормальное ускорение аn
=βt²*²,
где α и β −
положитель-

ные постоянные,
t
− время. В
момент t
= 0 точка
покоилась. Найти зависи-

мости от
пройденного пути s
радиуса
кривизны R
траектории токи и её

полного
ускорения а.

Ответ:
R
= α³
/2βs
, a
= α
√ 1 + (4βs²/α³)²
.

14.(И.1.44)
Колесо вращается вокруг неподвижной
оси так, что угол φ

его поворота
зависит от времени как φ
= βt²,
где β = 0.20
рад /c².
Найти

полное
ускорение а
точки А
на ободе колеса в момент времени t
= 2.5 с,

если скорость
точки А в этот момент v
= 0.65 м/c.

Ответ:

a
= (v/
t)
√ 1 + 4β²t²*²
= 0.7 м/c².

15.(И.1.49)
Твердое тело вращается вокруг
неподвижной оси так, что

его угловая
скорость зависит от угла φ
по закону
ω = ωо −
а φ, где ωо
и а

− положительные
постоянные. В момент времени t
= 0 угол φ
=0. Найти

зависимости
от времени:

a)
угла поворота; б) угловой скорости.

—
at
—at

Ответ:
a) φ
= (1
— e ) ωo/a;
ω
=
ωo
e .

Занятие
2. Динамика
прямолинейного и криволинейного

движения
материальной точки

СОДЕРЖАНИЕ
ТЕОРИИ

1. Дифференциальное
   уравнение движения материальной точки.

2. Потенциальные и
   диссипативные силы в механике.

3. Динамика кругового
   движения материальной точки.

4. Закон изменения
   и сохранения импульса материальной
   точки.

19

ОСНОВНЫЕ
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Средняя угловая скорость

Средняя угловая скорость неравномерно ускоренного движения тела по окружности, формула

По определению

[
textit{Средняя угловая скорость} = frac{textit{Угловое перемещение}}{textit{Время}}
]

[
average{ω} = frac{φ}{t}
]

Средняя угловая скорость для некоторого интервала времени

[
average{ω} = frac{φ_2 — φ_1}{t_2 — t_1} = frac{Δφ}{Δt}
]

Среднее число оборотов определяется аналогично формуле:

[
average{n} = average{f} = frac{average{ω}}{2π}
]

Вычислить, найти среднюю угловую скорость

Вычислить, найти среднее число оборотов

Средняя угловая скорость	стр. 430

Средняя угловая скорость Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Начальная угловая скорость: 24 Радиан в секунду —> 24 Радиан в секунду Конверсия не требуется
Конечная угловая скорость: 48 Радиан в секунду —> 48 Радиан в секунду Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

36 Радиан в секунду —> Конверсия не требуется

7 Криволинейное движение Калькуляторы

Средняя угловая скорость формула

Угловая скорость = (Начальная угловая скорость+Конечная угловая скорость)/2

ω = (ω_o+ω_f)/2

Что такое угловая скорость?

Угловая скорость — это скорость, с которой объект или частица вращается вокруг центра или определенной точки в заданный период времени.

---

Задание:

1.72. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону ϕ = αt − βt³ [рад], где α = 6 рад/c, β = 2 рад/c³. Найти среднее значение угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки.

1.73. В условиях предыдущей задачи найти угловое ускорение в момент остановки тела.

Решение: