Как найти среднее значение в маткаде

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

В Mathcad имеется ряд встроенных функций для расчетов числовых статистических характеристик рядов случайных данных:

• mean(x) – выборочное среднее значение;
• median (х) – выборочная медиана (median) – значение аргумента, которое делит гистограмму плотности вероятностей на две равные части;
• var (х) – выборочная дисперсия (variance);
• stdev(x) – среднеквадратичное (или стандартное) отклонение (standard deviation);
• max(x),min(x) – максимальное и минимальное значения выборки;
• mode(x) – наиболее часто встречающееся значение выборки;
• var(х),stdev(x) – выборочная дисперсия и среднеквадратичное отклонение в другой нормировке:
  • х – вектор (или матрица) с выборкой случайных данных.

  Пример использования первых четырех функций приведен в листинге 12.10.

  Листинг 12.10. Расчет числовых характеристик случайного вектора:

  Определение статистических характеристик случайных величин приведено в листинге 12.11 на еще одном примере обработки выборки малого объема (по пяти данным). В том же листинге иллюстрируется применение еще двух функций, которые имеют смысл дисперсии и стандартного отклонения в несколько другой нормировке. Сравнивая различные выражения, вы без труда освоите связь между встроенными функциями.

  Внимание!
  Осторожно относитесь к написанию первой литеры в этих функциях, особенно при обработке малых выборок (листинг 12.11).

  Листинг 12.11. К определению статических характеристик:

  Иногда в статистике встречаются и иные функции, например, помимо арифметического среднего, применяются другие средние значения:

  • gmean(x) – геометрическое среднее выборки случайных чисел;
  • hmean(x) – гармоническое среднее выборки случайных чисел.

  Математическое определение этих функций и пример их использования в Mathcad приведены в листинге 12.12.

  Маткад как найти среднее значение функции

  Встроенные функции и ключевые слова

  В этом приложении дан список основных встроенных функций Mathcad. В приведенных ниже функциях для систем класса Mathcad используются следующие обозначения:

  • х и у – вещественные числа;
  • z – вещественное либо комплексное число;
  • m, n, i, j и k – целые числа;
  • v, u и все имена, начинающиеся с v – векторы;
  • А и B – матрицы либо векторы;
  • М и N – квадратные матрицы;
  • F – вектор-функция;
  • file – либо имя файла, либо файловая переменная, присоединенная к имени файла.

  Все углы в тригонометрических функциях выражены в радианах. Многозначные функции и функции с комплексным аргументом всегда возвращают главное значение. Имена приведенных функций нечувствительны к шрифту, но чувствительны к регистру – их следует вводить с клавиатуры в точности, как они приведены. Все функции возвращают указанное для них значение

  Как найти максимум функции в маткаде

  MathCAD позволяет находить экстремумы функций, которые имеют конечное количество экстремумов. Для нахождения экстремума используются функции Minimize и Maximize .

  На рис.14 показан пример использования функции нахождения минимума. Нахождение максимума происходит аналогично, за исключением того, что функцию Minimize необходимо заменить на Maximize . В данном примере показан случай, когда максимум функции не может быть найден.

  8.6.1. Экстремум функции одной переменной

  Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. Последние называют еще задачами оптимизации. Рассмотрим конкретный пример функции f(x), показанной графиком на рис. 8.8 на интервале (-2,5). Она имеет глобальный максимум на левой границе интервала, глобальный минимум, локальный максимум, локальный минимум и локальный максимум на правой границе интервала (в порядке слева направо).

  В Mathcad с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканиро-вать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Последний путь таит в себе некоторую опасность уйти в зону другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее из соображений экономии времени.

  Рис. 8.8. График функции f(х)=х 4 +5х 3 -10х

  Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

  • Minimize (f, x1, . ,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;
  • Maximize (f, х1, . ,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;
  • f (x1, . , хм. ) — функция;
  • x1, . , xм — аргументы, по которым производится минимизация (максимизация).

  Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения. Примеры вычисления экстремума функции одной переменной (рис. 8.8) без дополнительных условий показаны в листингах 8.11- 8.12. Поскольку никаких дополнительных условий в них не вводится, поиск экстремумов выполняется для любых значений.

  Листинг 8.11. Минимум функции одной переменной

  Листинг 8.12. Максимум функции одной переменной

  Как видно из листингов, существенное влияние на результат оказывает выбор начального приближения, в зависимости от чего в качестве ответа выдаются различные локальные экстремумы. В последнем случае численный метод вообще не справляется с задачей, поскольку начальное приближение х=-10 выбрано далеко от области локального максимума, и поиск решения уходит в сторону увеличения f (х).

  1. Поиск экстремума функции

  Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения ее аргументов. Ограничения значений аргументов, задающих эту область, как и прочие дополнительные условия, должны быть определены в виде системы неравенств и (или) уравнений. В таком случае говорят о задаче на условный экстремум.

  Для решения задач поиска максимума и минимума в Mathcad имеются встроенные функции Minerr, Minimize и Maximize. Все они используют те же градиентные численные методы, что и функция Find для решения уравнений.

  2. Экстремум функции одной переменной

  Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. Последние называют еще задачами оптимизации. Рассмотрим конкретный пример функции f(x), показанной графиком на рис.2 на интервале (-2,5). Она имеет глобальный максимум на левой границе интервала, глобальный минимум, локальный максимум, локальный минимум и локальный максимум на правой границе интервала (в порядке слева направо).

  В Mathcad с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Последний путь таит в себе некоторую опасность уйти в зону другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее из соображений экономии времени.

  Рис. 1. График функции f(х)=х 4 +5х 3 -10х

  Построим график заданной функции (рис.1). По графику видны участки локальных экстремумов функции.

  Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

  · Minimize (f, x1, … ,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

  · Maximize (f, х1, … ,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;

  Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения. Примеры вычисления экстремума функции одной переменной (рис.1) без дополнительных условий показаны в листинге на рис.2. Поскольку никаких дополнительных условий в них не вводится, поиск экстремумов выполняется для любых значений.

  

  Рис.2. Поиск локальных экстремумов функции одной переменной

  Как видно из листинга, существенное влияние на результат оказывает выбор начального приближения, в зависимости от чего в качестве ответа выдаются локальные различные экстремумы. В последнем случае численный метод вообще не справляется с задачей, поскольку начальное приближение х=-10 выбрано далеко от области локального максимума, и поиск решения уходит в сторону увеличения f (х).

  3. Условный экстремум

  В задачах на условный экстремум функции минимизации и максимизации должны быть включены в вычислительный блок, т. е. им должно предшествовать ключевое слово Given. В промежутке между Given и функцией поиска экстремума с помощью булевых операторов записываются логические выражения (неравенства, уравнения), задающие ограничения на значения аргументов минимизируемой функции. На рис.3 показаны примеры поиска условного экстремума на различных интервалах, определенных неравенствами. Сравните результаты работы этого листинга с двумя предыдущими.

  

  Рис. 3. Три примера поиска условного экстремума функции

  Не забывайте о важности выбора правильного начального приближения и в случае задач на условный экстремум. Например, если вместо условия — 3 Скачать пример

  Александр Малыгин

  Объект обсуждения – программное обеспечение для выполнения автоматизированного конструкторского и технологического проектирования, разработки управляющих программ, вопросы, связанные с разработкой прикладных САПР.

  2 Комментарии “ Оптимизация функций одной и нескольких переменных в PTC MathCAD ”

  Спасибо, очень информативано! Скажите, а для 9 переменных такая же функция и такой же принцип используется?

  Функция будет другая. Вы сами подбираете вид функции, остальное аналогично.