Как найти среднегодовой темп роста в статистике

Средний годовой темп роста и средний годовой темп прироста

Прежде
всего
отметим,
что
приведенные
в
таблице
темпы
роста
( гр.7
и
являются
рядами
динамики
относительных
величин
— производными
от
интервального
ряда
динамики
(гр.2).
Ежегодные
темпы
роста
(гр.7)
изменяются
по
годам
( 105%; 103,8%; 105,5%; 101,7%). Как
вычислить
среднюю
величину
из
ежегодных
темпов
роста
? Эта
величина
называется
среднегодовым
темпом
роста.

Среднегодовой
темп
роста
исчисляется
в
следующей
последовательности:

1. сначала
   по
   формуле
   средней
   геометрической
   исчисляют
   среднегодовой
   коэффициент
   роста
   (снижения)
   — 

2. на
   базе
   среднегодового
   коэффициента
   определяют
   среднегодовой
   темп
   роста
   ()путем
   умножения
   коэффиицента
   на
   100%:

Среднегодовой
темп
прироста
( определяется
путем
вычитания
из
темпа
роста
100%.

Среднегодовой
коэффициент
роста
( снижения
) по
формулам
средней
геометрической
может
быть
исчислен
двумя
способами:

1)
на
базе
абсолютных
показателей
ряда
динамики
по
формуле:

• n —
  число
  уровней;

• n
  — 1 —
  число
  лет
  в
  период;

2)
на
базе
ежегодных
коэффициентов
роста
по
формуле

• m —
  число
  коэффициентов.

Результаты
расчета
по
формулам
равны,
так
как
в
обеих
формулах
показатель
степени
— число
лет
в
периоде,
в
течение
которого
происходило
изменение.
А
подкоренное
выражение
— это
коэффициент
роста
показателя
за
весь
период
времени
(см.
табл.
11.5, гр.6,
по
строке
за
1998 г.).

Среднегодовой
темп
роста
равен

Среднегодовой
темп
прироста
определяется
путем
вычитания
из
среднегодового
темпа
роста
100%. В
нашем
примере
среднегодовой
темп
прироста
равен

Следовательно,
за
период
1995 — 1998 гг.
объем
производства
продукта
«А»
в
среднем
за
год
возрастал
на
4,0%. Ежегодные
темпы
прироста
колебались
от
1,7% в
1998 г.
до
5,5% в
1997 г.
(за
каждый
год
темпы
прироста
см.
в
табл.
11.5, гр.
9).

Среднегодовой
темп
роста
(прироста)
позволяет
сравнивать
динамику
развития
взаимосвязанных
явлений
за
длительный
период
времени
(например,
среднегодовые
темпы
роста
численности
работающих
по
отраслям
экономики,
объема
производства
продукции
и
др.),
сравнивать
динамику
какого-либо
явления
по
разным
странам,
исследовать
динамику
какого-либо
явления
по
периодам
исторического
развития
страны.

7.

Индексами называют
сравнительные
относительные
величины,
которые
характеризуют
изменение
сложных
социально-экономических
показателей
(показатели,
состоящие
из
несуммируемых
элементов)
во
времени,
в
пространстве,
по
сравнению
с
планом.

Индекс
— это
результат
сравнения
двух
одноименных
показателей,
при
исчислении
которого
следует
различать
числитель
индексного
отношения
(сравниваемый
или
отчетный
уровень)
и
знаменатель
индексного
отношения
(базисный
уровень,
с
которым
производится
сравнение).
Выбор
базы
зависит
от
цели
исследования.
Если
изучается
динамика,
то
за
базисную
величину
может
быть
взят
размер
показателя
в
периоде,
предшествующем
отчетному.
Если
необходимо
осуществить
территориальное
сравнение,
то
за
базу
можно
принять
данные
другой
территории.
За
базу
сравнения
могут
приниматься
плановые
показатели,
если
необходимо
использовать
индексы
как
показатели
выполнения
плана.

Индексы
формируют
важнейшие
экономические
показатели
национальной
экономики
и
ее
отдельных
отраслей.
Индексные
показатели
позволяют
осуществить
анализ
результатов
деятельности
предприятий
и
организаций,
выпускающих
самую
разнообразную
продукцию
или
занимающихся
различными
видами
деятельности.
С
помощью
индексов
можно
проследить
роль
отдельных
факторов
при
формировании
важнейших
экономических
показателей,
выявить
основные
резервы
производства.
Индексы
широко
используются
в
сопоставлении
международных
экономических
показателей
при
определении
уровня
жизни,
деловой
активности,
ценовой
политики
и
т.д.

Существует
два
подхода
в
интерпретации
возможностей
индексных
показателей:
обобщающий
(синтетический)
и
аналитический,
которые
в
свою
очередь
определяются
разными
задачами.

Суть
обобщающего
подхода
— в
трактовке
индекса
как
показателя
среднего
изменения
уровня
исследуемого
явления.
В
этом
случае
основной
задачей,
решаемой
с
помощью
индексных
показателей,
будет
характеристика
общего
изменения
многофакторного
экономического
показателя.

Аналитический
подход
рассматривает
индекс
как
показатель
изменения
уровня
результативной
величины,
на
которую
оказывает
влияние
величина,
изучаемая
с
помощью
индекса.
Отсюда
и
иная
задача,
которая
решается
с
помощью
индексных
показателей:
выделить
влияние
одного
из
факторов
в
изменении
многофакторного
показателя.

От
содержания
изучаемых
показателей,
методологии
расчета
первичных
показателей,
целей
и
задач
исследования
зависят
и
способы
построения
индексов.

По
степени
охвата
элементов
явления
индексы
делят
на
индивидуальные
и
общие
(сводные).

Индивидуальные
индексы (i)
— это
индексы,
которые
характеризуют
изменение
только
одного
элемента
совокупности.

Общий
(сводный)
индекс (I)
характеризует
изменение
по
всей
совокупности
элементов
сложного
явления.
Если
индексы
охватывают
только
часть
явления,
то
их
называют
групповыми.
В
зависимости
от
способа
изучения
общие
индексы
могут
быть
построены
или
как
агрегатные
(от
лат.
аggrega
— присоединяю)
индексы,
или
как
средние
взвешенные
индексы
(средние
из
индивидуальных).

Способ
построения агрегатных
индексов заключается
в
том,
что
при
помощи
так
называемых
соизмерителей
можно
выразить
итоговые
величины
сложной
совокупности
в
отчетном
и
базисном
периодах,
а
затем
первую
сопоставить
со
второй.

В
статистике
имеют
большое
значение
индексы
переменного
и
фиксированного
состава,
которые
используются
при
анализе
динамики
средних
показателей.

Индексом
переменного
состава называют
отношение
двух
средних
уровней.

Индекс
фиксированного
состава есть
средний
из
индивидуальных
индексов.
Он
рассчитывается
как
отношение
двух
стандартизованных
средних,
где
влияние
изменения
структурного
фактора
устранено,
поэтому
данный
индекс
называют
еще
индексом
постоянного
состава.

В
зависимости
от
характера
и
содержания
индексируемых
величин
различают индексы
количественных (объемных) показателей и индексы
качественных
показателей.

10.2.

Индексы
количественных
показателей

К индексам
количественных
(объемных)
показателей относятся
такие
индексы,
как
индексы
физического
объема
производства
продукции,
затрат
на
выпуск
продукции,
стоимости
продукции,
а
также
индексы
показателей,
размеры
которых
определяются
абсолютными
величинами.
Используются
различные
виды
индексов
количественных
показателей.

Индекс
физического
объема
продукции (ФОП)
отражает
изменение
выпуска
продукции.

Индивидуальный
индекс
ФОП
отражает
изменение
выпуска
продукции
одного
вида
и
определяется
по
формуле

 (10.1)

где
q₁ и
q₀ —
количество
продукции
данного
вида
в
натуральном
выражении
в
текущем
и
базисном
периодах.

Агрегатный
индекс ФОП
(предложен Э.
Ласпейресом)
отражает
изменение
выпуска
всей
совокупности
продукции,
где
индексируемой
величиной
является
количество
продукции
q, а
соизмерителем
— цена
р:

 (10.2)

где
q₁ и
q₀ —
количество
выработанных
единиц
отдельных
видов
продукции
соответственно
в
отчетном
и
базисном
периодах;
p₀ —
цена
единицы
продукции
(отдельного
вида)
в
базисном
периоде.

При
вычислении
индекса
ФОП
в
качестве
соизмерителей
может
выступать
также
себестоимость
продукции
или
трудоемкость.

Средние
взвешенные
индексы
ФОП
используются
в
том
случае,
если
известны
индивидуальные
индексы
объема
по
отдельным
видам
продукции
и
стоимость
отдельных
видов
продукции
(или
затраты)
в
базисном
или
отчетном
периоде.

Средний
взвешенный
арифметический
индекс ФОП
определяется
по
формуле

 (10.3)

где
i_q —
индивидуальный
индекс
по
каждому
виду
продукции;
q₀ p₀ —
стоимость
продукции
каждого
вида
в
базисном
периоде.

Средний
взвешенный
гармонический
индекс ФОП

 (10.4)

где
q₁ p₁ —
стоимость
продукции
каждого
вида
в
текущем
периоде.

Аналогично
рассчитывается индекс
затрат
на
выпуск
продукции (ЗВП),
который
отражает
изменение
затрат
на
производство
и
может
быть
как
индивидуальным,
так
и
агрегатным.

Индивидуальный
индекс ЗВП
отражает
изменение
затрат
на
производство
одного
вида
и
определяется
по
формуле

 (10.5)

где
z₁ и
z₀ —
себестоимость
единицы
продукции
искомого
вида
в
текущем
и
базисном
периодах;
q₁ z₁ и
q₀ z₀ —
суммы
затрат
на
выпуск
продукции
искомого
вида
в
текущем
и
базисном
периодах.

Агрегатный
индекс ЗВП
характеризует
изменение
общей
суммы
затрат
на
выпуск
продукции
за
счет
изменения
количества
выработанной
продукции
и
ее
себестоимости
и
определяется
по
формуле

(10.6)

где
q₁ z₁ и
q₀ z₀ —
затраты
на
выпуск
продукции
каждого
вида
соответственно
в
отчетном
и
базисном
периодах.

Рассмотрим
построение индекса
стоимости
продукции
(СП),
который
может
определяться
и
как
индивидуальный,
и
как
агрегатный.

Индивидуальный
индекс СП
характеризует
изменение
стоимости
продукции
данного
вида
и
имеет
вид:

 (10.7)

где
p₁ и
p₀ —
цена
единицы
продукции
данного
вида
в
текущем
и
базисном
периодах;
q₁ p₁ и
q₀ p₀ —
стоимость
продукции
данного
вида
в
текущем
и
базисном
периодах.

Агрегатный
индекс СП
(товарооборота)
характеризует
изменение
общей
стоимости
продукции
за
счет
изменения
количества
продукции
и
цен
и
определяется
по
формуле

 (10.8)

10.3.

Индексы
качественных
показателей.
Факторный
анализ

Качественные
показатели
определяют
уровень
исследуемого
итогового
показателя
и
определяются
путем
соотношения
итогового
показателя
и
определенного
количественного
показателя
(например,
средняя
заработная
плата
определяется
путем
соотношения
фонда
заработной
платы
и
количества
работников).
К
индексам
качественных
показателей
относятся
индексы
цен,
себестоимости,
средней
заработной
платы,
производительности
труда.

Самым
распространенным
индексом
в
этой
группе
является
индекс
цен.

Индивидуальный
индекс
цен характеризует
изменение
цен
по
одному
виду
продукции
и
определяется
по
формуле

 (10.9)

где
p₁ и
p₀ —
цена
за
единицу
продукции
в
текущем
и
базисном
периодах.

Соответственно
определяются
индексы
себестоимости
и
затрат
рабочего
времени
по
каждому
виду
продукции.

Агрегатный
индекс
цен определяет
среднее
изменение
цены
р
по
совокупности
определенных
видов
продукции
q.

Для
характеристики
среднего
изменения
цен
на
потребитель-ские
товары
используют
индекс
цен,
предложенный Э.
Ласпейресом
(индекс
Ласпейреса):

 (10.10)

где
q₀ —
потребительская
корзина
(базовый
период);
p₀ и
p₁ —
соответственно
цены
базисного
и
отчетного
периодов.

Если
количество
набора
продуктов
принимается
на
уровне
отчетного
периода
(q₁ ),
то
в
этом
случае
индекс
цен
именуется индексом
Пааше:

 (10.11)

Если
известны
индивидуальные
индексы
цен
по
отдельным
видам
продукции
и
стоимость
отдельных
видов
продукции,
то
применяются
средние
взвешенные
индексы
цен
(средний
взвешенный
арифметический
и
средний
взвешенный
гармонический
индексы
цен).

Формула среднего
взвешенного
арифметического
индекса
цен

 (10.12)

где
i — индивидуальный
индекс
по
каждому
виду
продукции;
p₀ q₀ —
стоимость
продукции
каждого
вида
в
базисном
периоде.

Формула среднего
взвешенного
гармонического
индекса
цен

(10.13)

где
p₁ q₁ —
стоимость
продукции
каждого
вида
в
текущем
периоде.

В
статистической
практике
очень
широко
используется
агрегатный
территориальный
индекс
цен,
который
может
быть
рассчитан
по
следующей
формуле:

 (10.14)

где
p_A p_B —
цена
за
единицу
продукции
каждого
вида
соответственно
на
территории
А
и
В;
q_A —
количество
выработанной
или
реализованной
продукции
каждого
вида
по
территории
А
(в
натуральном
выражении).

Из
формулы
видно,
что
в
данном
индексе
в
качестве
фиксированного
показателя
(веса)
принят
объем
продукции
территории
А.
При
расчете
данного
индекса
в
качестве
веса
можно
принять
также
объем
продукции
территории
В
или
суммарный
объем
продукции
двух
территорий.

Возможны
два
способа
расчета
индексов:
цепной
и
базисный.

Цепные
индексы получают
путем
сопоставления
текущих
уровней
с
предшествующим,
при
этом
база
сравнения
постоянно
меняется.

Базисные
индексы получают
путем
сопоставления
с
тем
уровнем
периода,
который
был
принят
за
базу
сравнения.

В
качестве
примера
можно
привести
цепные
и
базисные
индексы
цен.

Цепные
индивидуальные
индексы
цен имеют
следующий
ряд
расчета:

 …
. (10.15)

Базисные
индивидуальные
индексы
цен:

 …
. (10.16)

Следует
помнить,
что
произведение
цепных
индивидуальных
индексов
цен
равно
последнему
базисному
индексу:

 (10.17)

Цепные
агрегатные
индексы
цен:

 …
. (10.18)

Базисные
агрегатные
индексы
цен:

 …
. (10.19)

Между
индексами
существует
также
взаимосвязь
и
взаимозависимость,
как
и
между
самими
экономическими
явлениями,
что
позволяет
проводить
факторный
анализ.
Благодаря
индексному
методу
можно
рассматривать
все
факторы
независимо
друг
от
друга,
что
дает
возможность
определить
размер
абсолютного
изменения
сложного
явления
за
счет
каждого
фактора
в
отдельности.

Предположим,
что
результативный
признак
зависит
от
трех
факторов
и
более.
В
этом
случае результативный
индекс примет
вид

 (10.20)

Изменение
результативного
индекса
за
счет
каждого
фактора
может
быть
выражено
следующим
образом:

 

 (10.21)

Для
выявления
роли
каждого
фактора
в
отдельности
индекс
сложного
показателя
разлагают
на
частные
(факторные)
индексы,
которые
характеризуют
роль
каждого
фактора.
При
этом
используют
два
метода:

• метод
  обособленного
  изучения
  факторов;

• последовательно-цепной
  метод.

При
первом
методе
сложный
показатель
берется
с
учетом
изменения
лишь
того
фактора,
который
взят
в
качестве
исследуемого,
все
остальные
остаются
неизменными
на
уровне
базисного
периода.

Последовательно-цепной
метод
предполагает
использование
системы
взаимосвязанных
индексов,
которая
требует
определенного
расположения
факторов.
Как
правило,
на
первом
месте
в
цепи
располагают
качественный
фактор.
При
определении
влияния
первого
фактора
все
остальные
сохраняются
в
числителе
и
знаменателе
на
уровне
базисного
периода,
при
определении
второго
факторного
индекса
первый
фактор
сохраняется
на
уровне
базисного
периода,
а
третий
и
все
последующие
— на
уровне
отчетного
периода,
при
определении
третьего
факторного
индекса
первый
и
второй
факторы
сохраняются
на
уровне
базисного
периода,
четвертый
и
все
остальные
— на
уровне
отчетного
периода
и
т.д.

8.

Выборочное
наблюдение
относится
к
разновидности несплошного
наблюдения.
Оно
охватывает
отобранную
часть
единиц
генеральной
совокупности.
Цель
выборочного
наблюдения
— по
отобранной
части
единиц
дать
характеристику
всей
совокупности
единиц.
Чтобы
отобранная
часть
была
репрезентативна
(т.е.
представляла
всю
совокупность
единиц),
выборочное
наблюдение
должно
быть
специально
организовано.
Следовательно,
в
отличие
от
генеральной
совокупности,
представляющей
всю
совокупность
исследуемых
единиц,
выборочная
совокупность
представляет
ту
часть
единиц
генеральной
совокупности,
которая
является
объектом
непосредственного
наблюдения.

По
понятным
причинам
выборочный
метод
может
широко
использоваться
органами
государственной
статистики.
Он
позволяет
при
значительной
экономии
средств
и
затрат
получать
необходимую
достоверную
информацию.
Гарантия
репрезентативности
обеспечивается
применением
научно
обоснованных
способов
отбора
единиц,
которые
подлежат
обследованию.

Следует
сразу
же
иметь
в
виду,
что
при
сопоставлении
показателей
по
результатам
выборочного
исследования
с
характеристиками
для
всей
генеральной
совокупности
могут
иметь
место
отклонения.
Величина
этих
отклонений
называется
ошибкой
наблюдения,
которая
может
быть
или ошибкой
регистрации(несовершенство
технических
условий),
или ошибкой
репрезентативности (случайное
или
систематическое
нарушение
правил
при
отборе
единиц).

В
статистике
приняты
следующие
условные
обозначения:

N
— объем
генеральной
совокупности;

п
— объем
выборочной
совокупности;

 —
средняя
в
генеральной
совокупности;

 —
средняя
в
выборочной
совокупности;

р
— доля
единиц
в
генеральной
совокупности;

w
— доля
единиц
в
выборочной
совокупности;

 —
генеральная
дисперсия;

S² —
выборочная
дисперсия;

 —
среднее
квадратическое
отклонение
признака
в
генеральной
совокупности;

S
— среднее
квадратическое
отклонение
признака
в
выборочной
совокупности.

11.2.

Виды
выборки,
способы
отбора
и
ошибки
выборочного
наблюдения

По
способу
отбора
(способу
формирования)
выборки
единиц
из
генеральной
совокупности
распространены
следующие
виды выборочного
наблюдения:

• простая
  случайная
  выборка
  (собственно-случайная);

• типическая
  (стратифицированная);

• серийная
  (гнездовая);

• механическая;

• комбинированная;

• ступенчатая.

Простая
случайная
выборка
(собственно—случайная) есть
отбор
единиц
из
генеральной
совокупности
путем
случайного
отбора,
но
при
условии
вероятности
выбора
любой
единицы
из
генеральной
совокупности.
Отбор
проводится
методом
жеребьевки
или
по
таблице
случайных
чисел.

Типическая
(стратифицированная)
выборка предполагает
разделение
неоднородной
генеральной
совокупности
на
типологические
или
районированные
группы
по
какому-либо
существенному
признаку,
после
чего
из
каждой
группы
производится
случайный
отбор
единиц.

Для серийной
(гнездовой)
выборки характерно
то,
что
генеральная
совокупность
первоначально
разбивается
на
определенные
равновеликие
или
неравновеликие
серии
(единицы
внутри
серий
связаны
по
определенному
признаку),
из
которых
путем
случайного
отбора
отбираются
серии
и
затем
внутри
отобранных
серий
проводится
сплошное
наблюдение.

Механическая
выборка представляет
собой
отбор
единиц
через
равные
промежутки
(по
алфавиту,
через
временные
промежутки,
по
пространственному
способу
и
т.д.).
При
проведении
механического
отбора
генеральная
совокупность
разбивается
на
равные
по
численности
группы,
из
которых
затем
отбирается
по
одной
единице.

Комбинированная
выборка основана
на
сочетании
нескольких
способов
выборки.

Многоступенчатая
выборка есть
образование
внутри
генеральной
совокупности
вначале
крупных
групп
единиц,
из
которых
образуются
группы,
меньшие
по
объему,
и
так
до
тех
пор,
пока
не
будут
отобраны
те
группы
или
отдельные
единицы,
которые
необходимо
исследовать.

Выборочный
отбор
может
быть
повторным
и
бесповторным.
При повторном
отборе вероятность
выбора
любой
единицы
не
ограничена.
При бесповторном
отборе выбранная
единица
в
исходную
совокупность
не
возвращается.

Для
отобранных
единиц
рассчитываются
обобщенные
показатели
(средние
или
относительные)
и
в
дальнейшем
результаты
выборочного
исследования
распространяются
на
всю
генеральную
совокупность.

Основной
задачей
при
выборочном
исследовании
является
определение
ошибок
выборки.
Принято
различать
среднюю
и
предельную
ошибки
выборки.
Для
иллюстрации
можно
предложить
расчет
ошибки
выборки
на
примере
простого
случайного
отбора.

Расчет средней
ошибки
повторной
простой
случайной
выборки производится
следующим
образом:

cредняя
ошибка
для
средней

 (11.1)

cредняя
ошибка
для
доли

 (11.2)

Расчет средней
ошибки
бесповторной
случайной
выборки:

средняя
ошибка
для
средней

 (11.3)

средняя
ошибка
для
доли

 (11.4)

Расчет предельной
ошибки повторной
случайной
выборки:

предельная
ошибка
для
средней

предельная
ошибка
для
доли

 (11.5)

где
t — коэффициент
кратности;

Расчет предельной
ошибки
бесповторной
случайной
выборки:

предельная
ошибка
для
средней

 (11.6)

предельная
ошибка
для
доли

 (11.7)

Следует
обратить
внимание
на
то,
что
под
знаком
радикала
в
формулах
при
бесповторном
отборе
появляется
множитель,
где
N — численность
генеральной
совокупности.

Что
касается
расчета
ошибки
выборки
в
других
видах
выборочного
отбора
(например,
типической
и
серийной),
то
необходимо
отметить
следующее.

Для типической
выборки величина
стандартной
ошибки
зависит
от
точности
определения
групповых
средних.
Так,
в
формуле
предельной
ошибки
типической
выборки
учитывается
средняя
из
групповых
дисперсий,
т.е.

 (11.8)

При серийной
выборке величина
ошибки
выборки
зависит
не
от
числа
исследуемых
единиц,
а
от
числа
обследованных
серий
(s) и
от
величины
межгрупповой
дисперсии:

 (11.9)

Серийная
выборка,
как
правило,
проводится
как
бесповторная,
и
формула
ошибки
выборки
в
этом
случае
имеет
вид

 (11.10)

где -межсерийная
дисперсия;
s — число
отобранных
серий;
S — число
серий
в
генеральной
совокупности.

Все
вышеприведенные
формулы
применимы
для большой
выборки.
Кроме
большой
выборки
используются
так
называемые малые
выборки (n
< 30), которые
могут
иметь
место
в
случаях
нецелесообразности
использования
больших
выборок.

При
расчете
ошибок
малой
выборки
необходимо
учесть
два
момента:

1)
формула
средней
ошибки
имеет
вид

 (11.11)

2)
при
определении
доверительных
интервалов
исследуемого
показателя
в
генеральной
совокупности
или
при
нахождении
вероятности
допуска
той
или
иной
ошибки
необходимо
использовать
таблицы
вероятности Стьюдента,
где
Р
= S (t, n), при
этом
Р
определяется
в
зависимости
от
объема
выборки
и
t.

В
статистических
исследованиях
с
помощью
формулы
предельной
ошибки
можно
решать
ряд
задач.

1.
Определять
возможные
пределы
нахождения
характеристики
генеральной
совокупности
на
основе
данных
выборки.

Доверительные
интервалы
для
генеральной
средней можно
установить
на
основе
соотношений

 (11.12)

где
— генеральная
и
выборочная
средние
соответственно; -предельная
ошибка
выборочной
средней.

Доверительные
интервалы
для
генеральной
доли устанавливаются
на
основе
соотношений

 (11.13)

2.
Определять
доверительную
вероятность,
которая
означает,
что
характеристика
генеральной
совокупности
отличается
от
выборочной
на
заданную
величину.

Доверительная
вероятность
является
функцией
от
t, где

 (11.14)

Доверительная
вероятность
по
величине
t определяется
по
специальной
таблице.

3.
Определять
необходимый
объем
выборки
с
помощью
допустимой
величины
ошибки:

 (11.15)

Чтобы
рассчитать
численность
п
повторной
и
бесповторной
простой
случайной
выборки,
можно
использовать
следующие
формулы:

 (для
средней
при
повторном
способе);
(11.16)

 (для
средней
при
бесповторном
способе);
(11.17)

 (для
доли
при
повторном
способе);
(11.18)

 (для
доли
при
бесповторном
способе).
(11.19)

9.

Методы многомерного статистическогоанализа

  Методы математической статистики, используемые для построения оптимальных планов сбора,систематизации и обработки многомерных статистических данных, направленные на выявление характера иструктуры взаимосвязей между компонентами исследуемого многомерного признака и предназначенные дляполучения научных и практических выводов.

  По содержанию Мм.с.а. могут быть условно разделены на три основные группы:

  1) Мм.с.а. многомерных распределений и их основных характеристик;

  2) Мм.с.а. характера и структуры взаимосвязей между компонентами исследуемого многомерногопризнака;

  3) М.м.с.а. геометрической структуры исследуемой совокупности многомерных наблюдений.

  Методы первой группы охватывают лишь те ситуации, в которых обрабатываемые наблюдения имеютвероятностную природу, т. е. интерпретируются как выборка из соответствующей генеральной совокупности.К основным задачам этого подраздела относятся: статистическое оценивание исследуемых многомерныхраспределений, их основных числовых характеристик и параметров, исследование распределениявероятностей для ряда статистик, с помощью которых строятся статистические критерии проверки различныхгипотез о вероятностной природе анализируемых многомерных данных. Вторая группа методов объединяет всебе понятия и результаты, обслуживающие такие методы и модели математического статистическогоанализа, как множественная регрессия, многомерный дисперсный анализ, факторный анализ и др.Результаты данных методов могут быть условно разделены на два основных типа: а) построение наилучшихстатистических оценок для параметров этих моделей и анализ их свойств (точности, а в вероятностнойпостановке — законов их распределения, доверительных областей и т. д.); б) построение статистическихкритериев для проверки различных гипотез о структуре исследуемых взаимосвязей. Третья группа -объединяет в себе понятия и результаты таких моделей и схем, как дискриминантный анализ, анализмногомерного шкалирования. Узловым во всех этих схемах является понятие расстояния (меры близости,меры сходства) между анализируемыми элементами. При этом анализируемыми могут быть как реальныеобъекты, так и сами показатели.

  Прикладное назначение М. м. с.а. состоит в основном в обслуживании трех проблем:

  1) проблема статистического исследования зависимостей между анализируемыми показателями;

  2) проблема классификации элементов (объектов или показателей) в общей (нестрогой) постановке, чтобывсю анализируемую совокупность элементов, статистически представленную в виде матрицы, разбить насравнительно небольшое число однородных групп;

  3) проблема снижения размерности исследуемого факторного пространства и отбора наиболееинформативных показателей.

  ♦ методы анализа социолингвистических исследований

Показатели ряда динамики

Примеры решения задач

---

Задача 1

По АО
«Керамик» имеются данные о производстве кирпича за год. Рассчитайте все
недостающие в таблице уровни ряда и цепные показатели анализа динамики.
Рассчитайте средний уровень ряда, средние абсолютный прирост и темп роста.

Месяцы	Произведено кирпича, тыс.р.	Цепные показатели
абсолютный	темп роста, %	темп прироста, %	абсолютное значение 1% прироста
Январь	450
Февраль				100
Март			80
Апрель		-30
Май			250
Июнь				-30
Июль
Август		300			5,0
Сентябрь			150
Октябрь				80
Ноябрь		-60
Декабрь			300

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Формулы цепных показателей динамики

Абсолютный цепной прирост можно
найти по формуле:

 -уровень ряда;

 -предыдущий
уровень ряда

Цепной темп роста:

Темп прироста:

Абсолютное
содержание 1% прироста:

Расчет недостающих уровней ряда динамики

Исходя из формул, заполним
недостающие показатели:

Февраль: 

Март:

Апрель:

Май:

Июнь:

Июль:

Август: 

Сентябрь:

Октябрь:

Ноябрь:

Декабрь:

Вычисление цепных показателей динамики

Абсолютные приросты цепные:	Темпы роста цепные:
Темпы прироста цепные:	Абсолютное содержание 1% прироста:

Показатели динамики производства кирпича

Месяцы	Произведено кирпича, тыс.р.	Цепные показатели
абсолютный	темп роста, %	темп прироста, %	абсолютное значение 1% прироста
Январь	450	—-	100	—-	——
Февраль	900	450	200	100	4.5
Март	720	-180	80.0	-20.0	9,0
Апрель	690	-30	95.8	-4.2	7.2
Май	1725	1035	250.0	150.0	6.9
Июнь	1208	-517	70.0	-30.0	17.25
Июль	500	-708	41.4	-58.6	12.08
Август	800	300	160.0	60.0	5,0
Сентябрь	1200	400	150.0	50.0	8,0
Октябрь	2160	960	180.0	80.0	12,0
Ноябрь	2100	-60	97.2	-2.8	21.6
Декабрь	6300	4200	300	200	21,0

Расчет средних уровней ряда динамики

Средний
уровень исследуемого динамического ряда найдем по формуле средней
арифметической:

Среднегодовой
абсолютный прирост:

Среднегодовой
темп роста:

Среднегодовой
темп прироста:

Вывод к задаче

Среднемесячный
показатель производства составил 1562,8 тыс.р. В среднем за месяц показатель
увеличивался на 531,8 тыс.р. или на 27,1% в относительном выражении.

---

Задача 2

Для
изучения динамики товаропотока рассчитайте:

• Абсолютные и относительные показатели динамики по годам периода (абсолютные
  приросты – базисные и цепные; темпы роста – базисные и цепные).
• Динамические средние за период в целом – среднегодовой уровень ряда,
  среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовой темп роста. Объясните их смысл.
• Выполните прогнозы уровня ряда на следующий год, используя среднегодовой
  абсолютный прирост и среднегодовой темп роста. Сделайте выводы о развитии
  изучаемого процесса.
• Постройте график динамики изучаемого процесса.

Динамика
экспорта РФ в Португалию, млрд. долл. США

Годы	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Экспорт	0.62	1.14	1.38	1.25	0.21	0.13	0.20

Решение

1)

Абсолютные приросты цепные:	Абсолютные приросты базисные:
Темпы роста цепные:	Темпы роста базисные:
Темпы прироста цепные:	Темпы прироста базисные:

Показатели динамики экспорта 2004-2010 гг.

Годы	Экспорт, млрд.долл	Абсолютные приросты, млрд.долл	Темпы роста, %	Темпы прироста, %
цепные	базисные	цепные	базисные	цепные	базисные
2004	0.62	——	——	100.0	100.0	——	——
2005	1.14	0.52	0.52	183.9	183.9	83.9	83.9
2006	1.38	0.24	0.76	121.1	222.6	21.1	122.6
2007	1.25	-0.13	0.63	90.6	201.6	-9.4	101.6
2008	0.21	-1.04	-0.41	16.8	33.9	-83.2	-66.1
2009	0.13	-0.08	-0.49	61.9	21.0	-38.1	-79.0
2010	0.20	0.07	-0.42	153.8	32.3	53.8	-67.7

 

2)
Средний уровень исследуемого динамического ряда найдем по формуле средней
арифметической:

Среднегодовой
абсолютный прирост:

Среднегодовой
темп роста:

Среднегодовой
темп прироста:

Таким
образом в среднем за исследуемый период экспорт
составлял 0,704 млрд. долл. в год. В среднем показатель уменьшался на 0,07 млрд.долл. в год или на 17,2% в
относительном выражении.

3)
Прогноз на 2011 год с помощью среднего абсолютного прироста:

Прогноз
на 2011 год с помощью среднегодового темпа роста:

На
2011 год показатель, прогнозируемый с помощью среднего
абсолютного прироста составил 0,13 млрд. долл., а с помощью
среднегодового темпа роста – 0,166 млрд. долл.

4)

График динамики экспорта 2004-2010 гг.

Содержание курса лекций «Статистика»

Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

Процессы и явления социально-экономической жизни общества, являющиеся предметом изучения статистики, находятся в постоянном движении и изменении. Для того, чтобы выявить тенденции и закономерности социально-экономического развития явлений, статистика строит особые ряды статистических показателей, которые называются рядами динамики (иногда их называют временными рядами), то есть ‑ это ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. В англоязычной литературе для временных рядов используется термин «time series». Ряды динамики получаются в результате сводки и обработки материалов периодического статистического наблюдения. Повторяющиеся во времени (по отчетным периодам) значения одноименных показателей в ходе статистической сводки систематизируются в хронологической последовательности. Значения показателя, составляющие ряд динамики, называются уровнями ряда.

Каждый ряд динамики характеризуется двумя параметрами: значениями времени и соответствующими им значениями уровней ряда. Уровни ряда обычно обозначаются «y_t»: y₁, y₂ и т.д. В качестве показателя времени в рядах динамики могут указываться отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, годы и т.д.) времени или определенные моменты (даты). Время в рядах динамики обозначается через «t».

Ряд динамики состоит из двух элементов:

1) уровня ряда (значения изучаемого показателя);

2) моментов (периодов) времени, когда фиксируется этот показатель.

Основные способы обработки рядов динамики:

1) укрупнение интервалов и расчет для них средних показателей;

2) сглаживание уровней способом скользящей средней;

3) выравнивание по аналитическим формулам.

Суть последнего способа заключается в том, что по эмпирическим данным находят теоретические (вероятностные) уровни, которые рассматриваются как некая функция времени.

Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы или графически.

Ряды динамики могут быть классифицированы по следующим признакам:

В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. При этом ряды динамики абсолютных величин рассматриваются как исходные, а ряды относительных и средних величин ‑ как производные.

Ряды динамики абсолютных величин наиболее полно характеризуют развитие процесса или явления, например, грузооборота транспорта, инвестиций в основной капитал, добычи топлива, уставного капитала коммерческих банков и т.д.

Ряды относительных величин могут характеризовать во времени темпы роста (или снижения) определенного показателя; изменение удельного веса того или иного показателя в совокупности или изменение показателей интенсивности отдельных явлений, например, удельного веса приватизированных предприятий в той или иной отрасли; производ­ства продукции на душу населения; структуры инвестиций в основной капитал по отраслям экономики, индекса потребительских цен и т.д.

Ряды динамики средних величин служат для характеристики изменения уровня явления, отнесенного к единице совокупности, например: данные о среднегодовой численности занятых в экономике; о средней урожайности отдельных сельскохозяйственных культур, о средней заработной плате в отдельных отраслях и т.д.

В зависимости от характера временного параметра ряды динамики делятся на моментные и интервальные.

Уровни моментных рядов динамики характеризуют явление по состоянию на определенный момент времени.

Пример. Моментный ряд динамики, характеризующий численность персонала строительной фирмы на 1-е число каждого месяца за первое полугодие 2009 г., представлен в таблице 13.1.

Таблица 13.1 ‑ Численность персонала строительной фирмы на 1-е число каждого месяца за первое полугодие 2009 г

Дата	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06
Численность персонала, чел.	780	810	880	930	940	970

Следует помнить, что моментные ряды абсолютных величин нельзя суммировать. Бессмысленно, например, складывать численность персонала по состоянию на 1 января, 1 февраля и т.д. Полученная сумма ничего не выражает, так как в ней многократно повторяются одни и те же единицы совокупности.

---

Ряд, в котором уровни характеризуют результат, накопленный или вновь произве­денный за определенный интервал времени, называется интервальным.

Пример. Интервальный ряд динамики, представлен в таблице 13.2.

Таблица 13.2. ‑ Характеристика динамики объема розничного товарооборота

Дата	2004	2005	2006	2007	2008
Товарооборот, млн. руб.	28,3	31,9	38,3	42,3	45,2

Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда вполне реальный показатель, например, общий объем розничного товарооборота за 2004-2008 г.г.

---

В зависимости от расстояния между уровнями, ряды динамики подразделяются на ряды с равноотстоящими уровнями и не равноотстоящими уровнями во времени.

Ряды динамики следующих друг за другом периодов или следующих через оп­ределенные промежутки дат называются равноотстоящими, пример (табл. 13.1 и табл. 13.2).

Если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами, то ряды называются не равноотстоящими, пример(табл. 13.3).

Пример. Рядом динамики с не равноотстоящими уровнями во времени может служить объем экспорта продукции предприятия, представленный в таблице 13.3.

Таблица 13.3. – Динамика объема экспорта продукции предприятия

Годы	1993	1996	1998	2000	2004
Объем экспорта, млн. долл.	1110	1220	1320	1450	1640

---

По числу показателей можно выделить изолированные (одномерные) и  комплексные (многомерные) ряды динамики.

Если ведется анализ во времени одного показателя ряда, то ряд динамики изолированный (например, данные о производст­ве газа по годам). В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих одно явление.

---

Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики

Важнейшим условием правильного построения рядов динамики является сопоста­вимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.

---

Рассмотрим основные причины несопоставимости уровней ряда динамики.

Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменения единиц измерения и единиц счета.

Пример. Нельзя сравнивать и анализировать цифры о производстве тканей, если за одни годы оно дано в погонных метрах, а за другие ‑ в квадратных метрах.

---

На сопоставимость уровней ряда динамики непосредственно влияет методоло­гия учета или расчета показателей.

Например, если в одни годы среднюю урожайность считали с засеянной площади, а в другие ‑ с убранной, то такие уровни будут не­сопоставимы.

---

В процессе развития во времени, прежде всего, происходят количественные измерения явлений, а затем на определенных ступенях совершаются качественные скачки, приводящие к изменению закономерностей явления. Поэтому научный подход к изучению рядов динамики заключается в том, чтобы ряды, охватывающие большие периоды времени, разделять на такие, которые бы объединяли лишь однокачественные периоды развития совокупности, характеризующейся одной закономерностью развития.

---

Важно также, чтобы в ряду динамики интервалы или моменты, по которым определены уровни, имели одинаковый экономический смысл.

Например, при изучении роста поголовья скота бессмысленно сравнивать цифры поголовья по состоянию на 1 октября с данными 1 января, так как первая цифра включает не только скот, оставшийся на зимовку, но и предназначенный к убою, а вторая цифра включает только скот, оставленный на зимовку. Уровни ряда динамики могут оказаться несопоставимыми по кругу охватываемых объектов вследствие перехода ряда объектов из одного подчинения в другое.

---

Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменений территориальных  границ областей, районов и так далее.

---

Для того, чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который носит название смыкание рядов динамики. Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых являются несопоставимыми. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).

Пример. Предположим, что в N-ом регионе имеются данные об общем объеме оборота розничной торговли за 2013-2015 гг. в фактически действующих ценах, и за 2015-2018 гг. ‑ в сопоставимых ценах (табл. 13.4.).

Таблица 13.4 ‑ Динамика общего объема оборота розничной торговли (млрд. руб.) цифры условные

Годы	2013	2014	2015	2016	2017	2018
Оборот розничной торговли, млрд. руб. (в фактически действующих ценах)	19,7	20	21,2
Оборот розничной торговли, млрд. руб. (в сопоставимых ценах)			22,8	24,6	25,2	26,1
Сомкнутый ряд абсолютных величин (в сопоставимых ценах; млрд. руб.)	21,3	21,5	22,8	24,6	25,2	26,1
Сопоставимый ряд относительных величин (в % к 2005 г.)	92,9	94,3	100	107,9	110,5	114,5

Решение. Чтобы проанализировать динамику общего объема розничной торговли за 2013-2018 гг., необходимо сомкнуть (объединить) приведенные выше два ряда в один. А чтобы уровни нового ряда были сопоставимы, необходимо пересчитать данные 2003-2005 гг. в сопоставимые цены. Для этого на основе данных об объеме розничной торговли за 2005 г. в фактических и сопоставимых ценах находим соотношение между ними: 22,8:21,2 = 1,08. Умножая на полученный коэффициент данные за 2003-2005 гг., приводим их, таким образом, к сопоставимому виду с последующими уровнями. Сомкнутый (сопоставимый) ряд динамики показан в предпоследней строке таблицы 13.4.

---

Другой способ смыкания рядов заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере ‑ уровни 2005 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера ‑ в фактических и сопоставимых ценах, т.е. 21,2 и 22,8) принимаются за 100%, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно (в нашем примере в фактических ценах ‑ по отношению к 21,2, в сопоставимых ценах ‑ к 22,8). В результате получаем сомкнутый ряд динамики, который показан в последней строке таблицы 13.4.

---

Та же проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, администра­тивных и территориальных районов. Это, во-первых, вопрос о сопоставимости цен срав­ниваемых стран, во-вторых, вопрос о сопоставимости методики расчета сравниваемых показателей. В таких случаях ряды динамики приводятся к одному основанию, то есть к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения, а все остальные уровни выражаются в виде коэффициентов или в процентах по отношению к нему.

---

---

Аналитические показатели ряда динамики

На практике для количественной оценки динамики явлений широко применяется ряд основных аналитических показателей. К таким показателям относятся, абсолютный прирост при этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым происходит сравнение – базисным.

---

Абсолютный прирост (∆y ) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста.

∆y – абсолютный прирост – это разность между уровнями ряда динамики. Может быть цепным или базисным:

---

---

Показатель интенсивности изменения уровня ряда ‑ в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, принято называть коэффициентом роста или темпом роста.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы).

---

Тр– темп роста – относительный показатель, получающийся в результате сопоставления двух уровней одного ряда динамики. Темпы роста могут рассчитываться как цепные, когда каждый уровень ряда сопоставляется с предшествующим ему уровнем:

---

либо как базисные, когда все уровни сопоставляются с одним и тем же уровнем, выбранным за базу сравнения (при умножении на 100 – в процентном выражении):

---

Между цепными и базисными темпами роста существует взаимосвязь: произведение всех цепных темпов роста равно последнему базисному.

---

 Т пр – темп прироста – относительный показатель, показывающий, насколько один уровень ряда динамики больше или меньше другого, принимаемого за базу сравнения:

---

При делении абсолютного прироста (цепного) на темп прироста (цепной) получим показатель, называемый значением одного процента прироста – А:

---

Пример. Произведем расчет и анализ динамики заключения браков в Омской области за 2000–2003 гг., используя формулы вышеизложенных показателей и данные табл. 13.5.  За базу сравнения примем уровень 2000 года.

Таблица 13.5 – Показатели изменения уровней ряда динамики

Показатели	Год
2000	2001	2002	2003
Заключение браков, единиц	13277	15130	15880	16458

Абсолютные приросты,  ∆y

Далее в табл. 13.6 приведем всю совокупность показателей ряда динамики, позволяющую посмотреть взаимосвязи между ними.

Таблица 13.6 – Показатели изменения уровней ряда динамики

Показатели	Год
2000	2001	2002	2003
1. Заключение браков, единиц	13277	15130	15880	16458
2. Темпы роста базисные:	−	1,14	1,196	1,24
2.1. коэффициенты
2.2. проценты	−	114	119,6	124
3. Темпы роста цепные:	−	1,14	1,05	1,036
3.1. коэффициенты
3.2. проценты	−	114	105	103,6
4. Абсолютные приросты, ед.	−	1853	2603	3181
4.1. базисные (2000 г.)
4.2. цепные (по годам)	−	1853	750	578
5. Темпы прироста базисные	−	0,14	0,196	0,24
5.1. коэффициенты
5.2. проценты	−	14	19,6	24
6. Темпы прироста цепные	−	0,14	0,05	0,036
6.1. коэффициенты
6.2. проценты	−	14	5	3,6
7. Абсолютное значение 1 % пр.	−	132,36	150	160,6

При изучении ряда динамики важно проследить за направлением и размером изменений уровня ряда во времени. С этой целью для динамических рядов рассчитываются следующие показатели.

Среднегодовой темп роста, ориентированный на достижение конечного уровня (y_n) в исследуемом периоде, можно рассчитать как среднюю геометрическую из годовых темпов роста по следующим формулам:

(13.7)

Если же ориентация берется на достижение суммарного значения (объема) исследуемого показателя за определенный период, то для расчета среднего коэффициента (темпа) роста используется так называемая средняя параболическая вида

(13.8)

где значение k определяется по специальной таблице для расчета средних коэффициентов роста (снижения) по средней параболической.

Пример. Таблица 13.7 – Данные о вводе в действие жилой площади в городе N

Год	2002	2003-2008
Введено млн. кв. м общей площади, уi	62,5	394,7

Определим среднегодовой темп роста ввода в действие жилой площади за 2003‑2008 гг. (т.е. за 6 лет), ориентированный на достижение общей суммы введенного жилья за указанный период (т.е. 394, 7 млн. кв.м).

Решение. Используем формулу (13.8) средней параболической:

далее по таблице для расчета средних коэффициентов роста (снижения) по средней параболической в графе n=6 находим значение, наиболее близкое к полученному отношению (6,315). Это число 6,323, которому соответствует =1,015. Это искомый среднегодовой коэффициент роста ввода жилья за 6 лет. Отсюда, среднегодовой темп роста ввода в действие жилой площади за указанный период составлял 101,5%, а среднегодовой темп прироста был равен 101,5% ‑ 100% =1,5%.

Пример. Таблица 13.8 – Данные о прибыли на предприятии за 2000‑2005 гг.

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Валовая прибыль, млн руб.	566	521	447	428	391	367

Рассчитаем среднегодовой темп роста(снижения) за 2000‑2005 гг., ориентированный:

• достижение фактического уровня в 2005 г. по формуле (13.7)

или 91,7%, т.е. ежегодно объем прибыли уменьшался в среднем на 8,3%;

• если при расчете ориентироваться на общий объем, за 5 лет, то применим для расчета формулу (13.8):

Пример. Имеются данные о численности мужской части населения Омской области за 5 лет на начало года (табл. 10.11):

далее по таблице =0,91, т.е. среднегодовое снижение прибыли при общем объеме за 5 лет составило 9%.

На практике, т.к конечный уровень ряда может быть случайным(нехарактерным), чаще применяется расчет по формуле (13.8), где учитывается сумма уровней за n лет.

Прогнозирование на основе рядов динамики

Суть нижеприведенного способа (выравнивание по аналитическим формулам) заключается в том, что по эмпирическим данным находят теоретические (вероятностные) уровни, которые рассматриваются как некая функция времени, т.е.

Таблица 13.9 – Численность мужской части населения в 1999–2003 гг. (на 1.01.),

Год	1999	2000	2001	2002	2003
Численность тыс. чел.	1028,8	1020,1	1010,7	999,6	989,8

Найдем линию тренда и, используя полученное уравнение, сделаем прогноз на будущее (определим численность мужской части населения в Омской области в 2006 году).

Предположим, что численность населения изменяется во времени по прямой:

(13.9)

Для нахождения параметров а₀ и а₁ решим систему нормальных уравнений, отвечающих требованию способа наименьших квадратов

(13.10)

Далее в табл. 10.12 рассчитаны необходимые для решения системы уравнения суммы: ∑, ∑t, ∑t², ∑yt. Годы последовательно обозначим как 1, 2, 3, 4, 5 (n=5).

Таблица 13.10 – Расчетные данные для определения параметров уравнения тренда

Год	Число мужчин, тыс. чел. yi	Условное обозначение времени, t	t2	y·t	Уравнение тренда
1999	1028,8	1	1	1028,8	1029,5
2000	1020,1	2	4	2040,2	1019,65
2001	1010,7	3	9	3032,1	1009,8
2002	999,6	4	16	3998,4	999,95
2003	989,8	5	25	4949	990,1
∑	5049	15	55	15048,5	5049

Из системы уравнений получим a₁ = −9,85; а₀ = 1039,35;

Отсюда искомое уравнение тренда

Для 2006 года t = 8; следовательно,  То есть по прогнозу численность мужской части населения в Омской области в 2006 году составит 960,55 тыс. чел.

Для решения данной задачи можно использовать и второй способ, упрощенный. Если время t обозначить так, чтобы ∑t = 0, т.е. счет вести от середины ряда, то система упростится и примет вид

(13.11)

В этом случае каждое уравнение решается самостоятельно:

(13.12)

(13.13)

Необходимые для расчета параметров уравнения суммы приведем в табл. 10.13.

Таблица 13.11 – Расчетные данные для определения параметров уравнения тренда

Год	Число мужчин, тыс. чел. yi	Условное обозначение времени, t	t2	yt	Уравнение тренда
1999	1028,8	-2	4	-2058	1029,5
2000	1020,1	-1	1	-1020	1019,65
2001	1010,7	0	0	0	1009,8
2002	999,6	1	1	999,6	999,95
2003	989,8	2	4	1979,6	990,1
Итого	5049	0	10	-98,5	5049

Тогда  и

Уравнение тренда в этом случае будет имеет вид

Для 2006 г. t = 5; следовательно,

Эта величина условная, рассчитанная при предположении, что линейная закономерность изменения численности мужской части населения, принятая для 1999–2003 гг., сохранится на последующий период до 2006 г.

Контрольные задания.

По данным статистических ежегодных изданий: «Российский статистический ежегодник», «Россия в цифрах» и т.п. выберите несколько показателей, постройте и проанализируйте ряды динамики, найдите линию тренда и, используя полученное уравнение, сделайте прогноз на 3 года вперед.

АНОНС…полный текст будет опубликован позднее… в соответствии с графиком занятий

Содержание курса лекций «Статистика»