Как найти среднеквадратичное отклонение интервала

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом sigma (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета sigma довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

  • Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
  • Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
  • Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки Рост в миллиметрах
Ротвейлер 600
Бульдог 470
Такса 170
Пудель 430
Мопс 300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее  =frac{600+470+170+430+300}{5} = 394 мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

    [ begin{array}{l} 1: 600-394 = 206 \ 2: 470-394 = 76 \ 3: 170-394 = -224\ 4: 430-394 = 36\ 5: 300-394 = -94 end{array} ]

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия = frac{206^2+76^2+(-224)^2+36^2+(-94)^2}{5} = 21704 мм2.

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм2.

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

sigma = sqrt{21704} approx 147 мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть N значений, то:

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки = frac{108520}{4}=27130 мм2.

При этом стандартное отклонение по выборке равно sqrt{27130} = 165 мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

frac{4+4-4-4}{4}=0.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

frac{4+4+|-4|+|-4|}{4} = frac{4+4+4+4}{4}=4.

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

frac{7+1+|-6|+|-2|}{4} = frac{7+1+6+2}{4}=4.

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

sqrt{frac{4^2+4^2+(-4)^2+(-4)^2}{4}}=4.

Для второго примера получится:

sqrt{frac{7^2+1^2+(-6)^2+(-2)^2}{4}}=4.74.

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Вычислив среднеквадратическое отклонение, вы найдете разброс значений в выборке данных.[1]
Но сначала вам придется вычислить некоторые величины: среднее значение и дисперсию выборки. Дисперсия – мера разброса данных вокруг среднего значения.[2]
Среднеквадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии выборки. Эта статья расскажет вам, как найти среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

  1. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 1

    1

    Возьмите наборе данных. Среднее значение – это важная величина в статистических расчетах.[3]

    • Определите количество чисел в наборе данных.
    • Числа в наборе сильно отличаются друг от друга или они очень близки (отличаются на дробные доли)?
    • Что представляют числа в наборе данных? Тестовые оценки, показания пульса, роста, веса и так далее.
    • Например, набор тестовых оценок: 10, 8, 10, 8, 8, 4.
  2. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 2

    2

    Для вычисления среднего значения понадобятся все числа данного набора данных.[4]

    • Среднее значение – это усредненное значение всех чисел в наборе данных.
    • Для вычисления среднего значения сложите все числа вашего набора данных и разделите полученное значение на общее количество чисел в наборе (n).
    • В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8, 4) n = 6.
  3. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 3

    3

    Сложите все числа вашего набора данных.[5]

    • В нашем примере даны числа: 10, 8, 10, 8, 8 и 4.
    • 10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48. Это сумма всех чисел в наборе данных.
    • Сложите числа еще раз, чтобы проверить ответ.
  4. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 4

    4

    Разделите сумму чисел на количество чисел (n) в выборке. Вы найдете среднее значение.[6]

    • В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8 и 4) n = 6.
    • В нашем примере сумма чисел равна 48. Таким образом, разделите 48 на n.
    • 48/6 = 8
    • Среднее значение данной выборки равно 8.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 5

    1

    Вычислите дисперсию. Это мера разброса данных вокруг среднего значения.[7]

    • Эта величина даст вам представление о том, как разбросаны данные выборки.
    • Выборка с малой дисперсией включает данные, которые ненамного отличаются от среднего значения.
    • Выборка с высокой дисперсией включает данные, которые сильно отличаются от среднего значения.
    • Дисперсию часто используют для того, чтобы сравнить распределение двух наборов данных.
  2. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 6

    2

    Вычтите среднее значение из каждого числа в наборе данных. Вы узнаете, насколько каждая величина в наборе данных отличается от среднего значения.[8]

    • В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8, 4) среднее значение равно 8.
    • 10 — 8 = 2; 8 — 8 = 0, 10 — 2 = 8, 8 — 8 = 0, 8 — 8 = 0, и 4 — 8 = -4.
    • Проделайте вычитания еще раз, чтобы проверить каждый ответ. Это очень важно, так как полученные значения понадобятся при вычислениях других величин.
  3. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 7

    3

    Возведите в квадрат каждое значение, полученное вами в предыдущем шаге.[9]

    • При вычитании среднего значения (8) из каждого числа данной выборки (10, 8, 10, 8, 8 и 4) вы получили следующие значения: 2, 0, 2, 0, 0 и -4.
    • Возведите эти значения в квадрат: 22, 02, 22, 02, 02, и (-4)2 = 4, 0, 4, 0, 0, и 16.
    • Проверьте ответы, прежде чем приступить к следующему шагу.
  4. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 8

    4

    Сложите квадраты значений, то есть найдите сумму квадратов.[10]

    • В нашем примере квадраты значений: 4, 0, 4, 0, 0 и 16.
    • Напомним, что значения получены путем вычитания среднего значения из каждого числа выборки: (10-8)^2 + (8-8)^2 + (10-2)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (4-8)^2
    • 4 + 0 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24.
    • Сумма квадратов равна 24.
  5. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 9

    5

    Разделите сумму квадратов на (n-1). Помните, что n – это количество данных (чисел) в вашей выборке. Таким образом, вы получите дисперсию.[11]

    • В нашем примере (10, 8, 10, 8, 8, 4) n = 6.
    • n-1 = 5.
    • В нашем примере сумма квадратов равна 24.
    • 24/5 = 4,8
    • Дисперсия данной выборки равна 4,8.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 10

    1

    Найдите дисперсию, чтобы вычислить среднеквадратическое отклонение.[12]

    • Помните, что дисперсия – это мера разброса данных вокруг среднего значения.
    • Среднеквадратическое отклонение – это аналогичная величина, описывающая характер распределения данных в выборке.
    • В нашем примере дисперсия равна 4,8.
  2. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 11

    2

    Извлеките квадратный корень из дисперсии, чтобы найти среднеквадратическое отклонение.[13]

    • Как правило, 68% всех данных расположены в пределах одного среднеквадратического отклонения от среднего значения.
    • В нашем примере дисперсия равна 4,8.
    • √4,8 = 2,19. Среднеквадратическое отклонение данной выборки равно 2,19.
    • 5 из 6 чисел (83%) данной выборки (10, 8, 10, 8, 8, 4) находится в пределах одного среднеквадратического отклонения (2,19) от среднего значения (8).
  3. Изображение с названием Calculate Standard Deviation Step 12

    3

    Проверьте правильность вычисления среднего значения, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Это позволит вам проверить ваш ответ.[14]

    • Обязательно записывайте вычисления.
    • Если в процессе проверки вычислений вы получили другое значение, проверьте все вычисления с самого начала.
    • Если вы не можете найти, где сделали ошибку, проделайте вычисления с самого начала.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 64 925 раз.

Была ли эта статья полезной?

Введение

В этой статье мы научимся считать среднеквадратическое отклонение «вручную».

Любопытно, но в реальном мире статистики никогда не станет вычислять среднеквадратическое отклонение вручную. Эти расчёты достаточно сложные и трудоёмкие, велика вероятность наделать ошибок. Кроме того, считать вручную — это медленно. Очень медленно. Именно поэтому статистики полагаются в этом вопросе на электронные таблицы и компьютерные программы.

В таком случае, зачем вообще написана эта статья? Почему мы тратим время на изучение метода, который статистики на самом деле не используют? Дело в том, что научившись делать вычисления вручную, мы поймём, как на самом деле “работает”среднеквадратическое отклонение. Очень важно понять смысл этого показателя. Вместо того, чтобы рассматривать среднеквадратическое отклонение как какое-то магическое число, которое выдаёт нам наша электронная таблица или компьютерная программа, мы сможем объяснить, откуда взялась эта величина.

Общий принцип вычисления среднеквадратического отклонения

Формула среднеквадратического отклонения (СО)

start text, С, О, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

где sum означает «сумма», x — это одно значение из выборки, mu — среднее арифметическое, а N — количество элементов в выборке.

Формула среднеквадратического отклонения может показаться запутанной, но всё станет понятно, как только мы разберём её на составные части. Ниже мы пошагово рассмотрим её на примере. Вот краткое перечисление этапов:

Этап 1: Находим среднее арифметическое.

Этап 2: Для каждого элемента находим квадрат его расстояния до среднего арифметического.

Этап 3: Суммируем все результаты, полученные на втором шаге.

Этап 4: Делим полученное число на количество элементов.

Этап 5: Извлекаем квадратный корень.

Важное замечание

Приведенная выше формула предназначена для нахождения среднеквадратического отклонения генеральной совокупности. Если вы имеете дело с выборкой, вам понадобится немного другая формула (она приведена ниже), где вместо N используется n, minus, 1. Однако цель данной статьи — объяснить вам основные принципы вычисления среднеквадратического отклонения вне зависимости от формулы, которую вы используете.

start text, С, О, end text, start subscript, start text, в, ы, б, о, р, к, и, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, x, with, bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

Пошаговый разбор вычисления среднеквадратического отклонения.

В первую очередь нам понадобится набор данных. Давайте выберем не слишком большой набор, чтобы нам не пришлось иметь дело с огромным количеством точек. Вот хороший пример:

6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

Этап 1. Находим start color #e07d10, mu, end color #e07d10 из square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

На этом этапе мы находим среднее арифметическое набора данных, которое затем обозначаем буквой mu.

Этап 2. Находим start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 из square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

На этом шаге мы находим разницу между каждым элементом из набора данных и средним арифметическим (то есть отклонение) и возводим в квадрат каждое из этих отклонений.

Например, первый элемент в наборе — 6, а среднее арифметическое — 3, значит, разница между ними равна 3. Возводим в квадрат и получаем 9.

Этап 3: Находим start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 в square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

Символ sum означает «сумма», то есть на этом этапе мы суммируем четыре числа, полученные на этапе 2.

Этап 4. Находим start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10 из square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root

На этом шаге мы делим результат, полученный из третьего этапа на N, на количество элементов в наборе.

Этап 5. Находим среднеквадратическое отклонение square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

Почти закончили! Осталось извлечь квадратный корень из результата четвёртого этапа — и на этом всё.

Да! Мы это сделали! Мы успешно посчитали среднеквадратическое отклонение небольшого набора данных.

Подведём итоги

Мы разбили формулу на пять этапов:

Этап 1. Находим среднее арифметическое mu.

mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd

Шаг 2: Находим квадрат расстояния от каждой точки данных до среднего арифметического open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.

x open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6 open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2 open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3 open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1 open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4

СО=∑∣x−μ∣2N=9+1+0+44=144        Суммируем квадраты расстояний (Этап 3).=3,5        Делим полученное число на количество элементов. (Этап 4).≈1,87        Извлечём квадратный корень (Этап 5).begin{aligned} text{СО} &= sqrt{dfrac{sumlimits_{}^{}{{lvert x-murvert^2}}}{N}}\\\\
&= sqrt{dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\
&= sqrt{dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~small text {Суммируем квадраты расстояний (Этап 3).} \\\\
&= sqrt{{3{,}5}} ~~~~~~~~small text{Делим полученное число на количество элементов. (Этап 4).} \\\\
&approx 1{,}87 ~~~~~~~~small text{Извлечём квадратный корень (Этап 5).}
end{aligned}

Попробуйте сами

Давайте вспомним формулу:

start text, С, О, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

Что такое среднеквадратичное отклонение

Рассматривая какие-либо величины или их изменения, используют такие критерии как среднеарифметическая величина и ее отклонение. Различные понятия позволяют оценить разброс измеряемой величины и ее отклонение. К ним относится абсолютная погрешность, которая показывает насколько каждая конкретная величина отличается от среднего значения. Но так как сумма всех абсолютных погрешностей равна нулю, то этот критерий не позволяет показать разброс измеряемых величин. И для решения этой задачи был введен новый показатель — среднее квадратичное отклонение.

Для того чтобы объяснить его смысл необходимо вспомнить некоторые основные математические понятия.

Определение

Средней величиной или средним арифметическим называется число, полученное в результате деления суммы всех величин на их количество.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример

Среднеарифметическое для 3 чисел b1, b2 и b3 определяется как:

(M=frac{b_1+b_2+b_3}3)

Со средней величиной непосредственно связана и другая характеристика — математическое ожидание.

Определение

Значение среднего арифметического некоторого множества при стремлении его членов к бесконечности называется математическим ожиданием (М).

А оценкой математического ожидания является среднее арифметическое определенного числа измерений изучаемой величины.

Определение

Вариантой или абсолютной погрешностью называется разность измеряемой величины со средним значением.

Она обозначается греческой буквой D. Для того чтобы найти варианту единичного измерения ai следует отнять от ее значение среднее арифметическое:

(Da_i=a_i-M)

Также для оценки единичного измерения используется и относительная погрешность, значение которой выражается в процентах. Ее вычисление проводят по формуле:

(sigma=frac{left|triangle a_iright|}Mtimes100%)

Относительная погрешность каждой величины позволяет отбросить из вариации измерений значения с очень большой погрешностью и проводить дальнейший анализ только величин с незначительной относительной погрешностью.

Характеристикой распределения значений некоторой измеряемой величины является дисперсия (D).

Определение

Дисперсией называется среднее арифметическое квадратов всех абсолютных погрешностей.

Теперь можно дать определение и «среднеквадратичному отклонению».

Определение

Значение корня квадратного из дисперсии случайной величины называется среднеквадратичным отклонением и обозначается «ϭ».

Оно вычисляется по формуле:

(sigma=sqrt{D_{left|xright|}})

Единицей измерения среднеквадратического отклонения является единица измерения исследуемой величины. Данный критерий используется при измерении линейной функции, статической проверки гипотезы, расчете стандартной ошибки среднего арифметического, а также при построении доверительных интервалов.

Как найти среднеквадратическое отклонение

Вычисление среднеквадратичного отклонения на первый взгляд может показаться достаточно сложным и запутанным. Но этот процесс можно облегчить, если воспользоваться следующим алгоритмом действий:

  1. Найти среднее арифметическое всех членов множества.
  2. Для каждого элемента вычислить варианту.
  3. Сложить все полученные на предыдущем этапе значения.
  4. Разделить число, полученное при выполнении третьего шага, на количество элементов множества.
  5. Из полученного в предыдущем шаге числа извлечь корень квадратный.

Формула, примеры решения задач

Для четырех измеренных значений величины b формула среднеквадратичного отклонения будет выглядеть следующим образом:

(sigma=sqrt{frac{triangle b_1+triangle b_2+triangle b_3+triangle b_4}4})

где Db1 — Db4 являются абсолютными погрешностями каждой исследуемой величины.

Рассмотрим пример решения конкретной задачи.

Задача

При проведении лабораторной работы по физике школьники несколько раз измерили напряжение электрического тока и получили следующие значения:

(U_1=4.22B\U_2=4.30B\U_3=4.27B\U_4=4.23B\U_5=4.20B)

Необходимо рассчитать погрешности (абсолютные и относительные) каждого измерения, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение

Определим среднее арифметическое значение напряжения в данной работе:

(U_c=sqrt{frac{U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}5}=frac{4.22+4.30+4.27+4.23+4.20}5=4.244B)

Теперь рассчитаем для каждого полученного измерения абсолютную и относительную погрешности. Так как абсолютная погрешность определяется как разница между средним арифметическим и полученным значением, то

(triangle U_1=0.024\triangle U_2=-0.056\triangle U_3=-0.026\triangle U_4=0.014\triangle U_5=0.044)

Находим относительную погрешность:

(sigma_1=frac{left|U_1right|}{U_c}times100%=0.50%\sigma_2=frac{left|U_2right|}{U_c}times100%=1.06%\sigma_3=frac{left|U_3right|}{U_c}times100%=0.50%\sigma_4=frac{left|U_4right|}{U_c}times100%=0.25%\sigma_5=frac{left|U_5right|}{U_c}times100%=0.84%\)

Зная абсолютные погрешности несложно вычислить дисперсию:

(D=frac{triangle U_1^2+{triangle U_2}^2+{triangle U_3}^2+{triangle U_4}^2+{triangle U_5}^2}5=0.001304\)

Теперь можно вычислить среднеквадратичное отклонение:

(sigma=sqrt D=0.0361\)

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение

Эти величины определяют некоторое
среднее значение, вокруг которого
группируются значения случайной
величины, и степень их разбросанности
вокруг этого среднего значения.

Математическое ожидание Mдискретной случайной величины — это
среднее значение случайной величины,
равное сумме произведений всех возможных
значений случайной величины на их
вероятности.

Свойства математического ожидания:

  1. Математическое ожидание постоянной
    величины равно самой постоянной .

  2. Постоянный множитель можно выносить
    за знак математического ожидания .

  3. Математическое ожидание произведения
    двух независимых случайных величин
    равно произведению их математических
    ожиданий .

  4. Математическое ожидание суммы двух
    случайных величин равно сумме
    математических ожиданий слагаемых

Для описания многих практически важных
свойств случайной величины необходимо
знание не только ее математического
ожидания, но и отклонения возможных ее
значений от среднего значения.

Дисперсия случайной величины— мера разброса случайной величины,
равная математическому ожиданию квадрата
отклонения случайной величины от ее
математического ожидания.

.

Принимая во внимание свойства
математического ожидания, легко показать
что

Казалось бы естественным рассматривать
не квадрат отклонения случайной величины
от ее математического ожидания, а просто
отклонение. Однако математическое
ожидание этого отклонения равно нулю.
Это объясняется тем, что одни возможные
отклонения положительны, другие
отрицательны, и в результате их взаимного
погашения получается ноль. Можно было
бы принять за меру рассеяния математическое
ожидание модуля отклонения случайной
величины от ее математического ожидания,
но как правило, действия связанные с
абсолютными величинами, приводят к
громоздким вычислениям.

Свойства дисперсии:

  1. Дисперсия постоянной равна нулю.

  2. Постоянный множитель можно выносить
    за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

  3. Если x и y независимые случайные величины
    , то дисперсия суммы этих величин равна
    сумме их дисперсий.

Средним квадратическим отклонением
случайной величины
(иногда применяется
термин «стандартное отклонение случайной
величины») называется число равное.

Среднее квадратическое отклонение,
является, как и дисперсия, мерой рассеяния
распределения, но измеряется, в отличие
от дисперсии, в тех же единицах, которые
используют для измерения значений
случайной величины.

Решение задач:

1)Дана случайная величина Х:

xi

-3

-2

0

1

2

pi

0,1

0,2

0,05

0,3

0,35

Найти М(х), D(X).

Решение:

.

=9=2,31.

.

2) Известно, что М(Х)=5, М(Y)=2.
Найти математическое ожидание случайной
величиныZ=6X-2Y+9-XY.

Решение:М(Z)=6М(Х)-2М(Y)+9-M(X)M(Y)=30-4+9-10=25.

Пример:Известно, чтоD(Х)=5,D(Y)=2. Найти
математическое ожидание случайной
величиныZ=6X-2Y+9.

Решение:D(Z)=62D(Х)-22D(Y)+0=180-8=172.

Тема 7. Непрерывные случайные величины

Задача 14

Случайная
величина, значения которой заполняют
некоторый промежуток, называется
непрерывной.

Плотностью распределениявероятностей непрерывной случайной
величины Х называется функцияf(x)– первая производная от функции
распределенияF(x).

Плотность
распределения также называют
дифференциальной
функцией
.
Для описания дискретной случайной
величины плотность распределения
неприемлема.

Зная плотность распределения, можно
вычислить вероятность того, что некоторая
случайная величина Х примет значение,
принадлежащее заданному интервалу.

Вероятность того, что непрерывная
случайная величина Х примет значение,
принадлежащее интервалу (
a,
b), равна определенному
интегралу от плотности распределения,
взятому в пределах от
a
до
b.

Функция распределения может быть легко
найдена, если известна плотность
распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения – неотрицательная
функция.

2) Несобственный интеграл
от плотности распределения в пределах
от -доравен единице.

Решение задач.

1.Случайная величина подчинена
закону распределения с плотностью:

Требуется найти коэффициент а,
определить вероятность того, что
случайная величина попадет в интервал
от 0 до.

Решение:

Для нахождения коэффициента авоспользуемся свойством.

2 .Задана непрерывная случайная
величинахсвоей функцией распределенияf(x).

Требуется определить
коэффициент А, найти функцию распределения,
определить вероятность того, что
случайная величинахпопадет в
интервал.

Решение:

Найдем коэффициент А.

Найдем функцию распределения:

1) На участке
:

2) На участке

3) На участке

Итого:

Найдем вероятность попадания случайной
величины в интервал
.

Ту же самую вероятность можно искать
и другим способом:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить платежку в налоговую
  • Алгоритм как найти словосочетание
  • Как составить претензию на возврат денег за неоказанную услугу образец заявления
  • Как в 1с документооборот найти документ
  • Как найти трек по отрывку музыки