Как найти средневыборочное значение

Выборочное среднее

Выборочное
среднее
значение как статистический показатель
представляет
собой среднюю оценку изучаемого в
эксперименте психологического качества.

Эта
оценка характеризует степень его
развития
в целом у той группы испытуемых, которая
была подвергнута
психодиагностическому обследованию.
Сравнивая непосредственно средние
значения двух или нескольких выборок,
мы
можем судить об относительной степени
развития у людей, составляющих эти
выборки, оцениваемого качества.

Выборочное
среднее определяется при помощи следующей
формулы:

где

х_ср
—выборочная
средняя величина или среднее арифметическое
значение по выборке;

п —
количество
испытуемых в выборке
или частных психодиагностических
показателей, на основе которых
вычисляется средняя величина;

x_k
— частные
значения показателей
у отдельных испытуемых. Всего таких
показателей п,
поэтому
индекс k
данной
переменной принимает значения от 1 до
п;

∑ — принятый
в математике знак суммирования величин
тех
переменных, которые находятся справа
от этого знака.

Выражение

соответственно означает сумму всех х
с индексом k
от 1 до n.

Пример.
Допустим,
что в результате применения
психодиагностической
методики для оценки некоторого
психологического
свойства у десяти испытуемых мы получили
следующие частные
показатели степени развитости данного
свойства у отдельных
испытуемых: х₁=
5,
х₂
=
4, х₃
= 5,
х₄
= 6,
х₅
= 7,
х₆
= 3,
х₇
= 6,
х₈₌
2,
х₉=
8,
х₁₀
⁼
4. Следовательно, п
= 10,
а индекс k
меняет
свои значения от 1 до 10 в приведенной
выше формуле. Для данной выборки
среднее значение¹,
вычисленное по этой формуле, будет
равно:

¹
В дальнейшем, как это и принято в
математической статистике, с целью
сокращения
текста мы будем опускать слова «выборочное»
и «арифметическое» и просто говорить
о «среднем» или «среднем значении».

В
психодиагностике и в экспериментальных
психолого-педагогических исследованиях
среднее,
как правило, не вычисляется
с точностью, превышающей один, два знака
после запятой, т.е.
с большей, чем десятые или сотые доли
единицы.

В
психодиагностических обследованиях
большая точность расчетов не требуется
и не имеет смысла, если принять во
внимание приблизительность тех оценок,
которые в них получаются, и достаточность
таких оценок для производства сравнительно
точных расчетов.

Дисперсия

Дисперсия
как статистическая, величина характеризует,
насколько
частные значения отклоняются от средней
величины в данной
выборке.

Чем
больше дисперсия, тем больше отклонения
или разброс данных. Прежде чем представлять
формулу для расчетов
дисперсии, рассмотрим пример. Воспользуемся
теми первичными
данными, которые были приведены ранее
и на основе которых вычислялась в
предыдущем примере средняя величина.
Мы видим, что все они разные и отличаются
не только друг от
друга, но и от средней величины. Меру их
общего отличия от средней
величины и характеризует дисперсия. Ее
определяют для того,
чтобы можно было отличать друг от друга
величины, имеющие
одинаковую среднюю, но разный разброс.

Представим
себе другую, отличную от предыдущей
выборку первичных значений,
например такую: 5, 4, 5, 6, 5, 6, 5, 4, 5, 5. Легко
убедиться в том, что ее средняя величина
также равна 5,0. Но в данной выборке
ее отдельные частные значения отличаются
от средней гораздо
меньше, чем в первой выборке. Выразим
степень этого отличия
при помощи дисперсии, которая определяется
по
следующей
формуле:

где

— выборочная
дисперсия, или просто дисперсия;

— выражение,
означающее, что для всех x_k
от
первого
до последнего в данной выборке необходимо
вычислить разности
между частными и средними значениями,
возвести эти разности
в квадрат и просуммировать;

п —
количество
испытуемых в выборке или первичных
значений,
по которым вычисляется дисперсия.

Заметим,
что во многих изданиях дисперсию принято
обозначать как D(x).

Определим
дисперсии для двух приведенных выше
выборок частных
значений, обозначив эти дисперсии
соответственно индексами
1 и 2:

Мы
видим, что дисперсия по второй выборке
(0,4) значительно меньше дисперсии по
первой выборке (3,0). Если бы не было
дисперсии,
то мы не в состоянии были бы различить
данные выборки.

Соседние файлы в папке МатМетоды в Психологии (литература)

• #
• #

  13.02.201616.87 Mб1468Наследов А.Д. IBM SPSS Statistics 20 профессиональный анализ данных.pdf

• #

3.1. Показатели центральной тенденции

Простейший пример такого показателя нам уже встречался – это среднее арифметическое значение. Но средней

дело не ограничивается, впрочем, обо всём по порядку:

3.1.1. Генеральная и выборочная средняя

Пусть исследуется некоторая генеральная совокупность объёма , а именно её числовая характеристика , не важно, дискретная или непрерывная.

Генеральной средней называют среднее арифметическое всех значений этой совокупности:

Если среди чисел  есть одинаковые (что

характерно для дискретного ряда), то формулу можно записать в более компактном

виде:
, где:
варианта  повторяется  раз;
варианта  –  раз;
варианта  –  раз;
…
варианта  –  раз.

Живой пример вычисления генеральной средней встретился в Примере 2, но чтобы не занудничать, я даже не буду

напоминать его содержание. Далее.

Как мы помним, обработка всей генеральной совокупности часто затруднена либо невозможна, и поэтому из неё организуют представительную выборку объема , и на основании исследования этой выборки делают вывод обо всей совокупности.

Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений выборки:

и при наличии одинаковых вариант формула запишется компактнее:
 – как сумма произведений вариант  на соответствующие частоты , делённая на объём совокупности .

Выборочная средняя  позволяет достаточно

точно оценить истинное значение , при этом, чем

больше выборка, тем точнее будет эта оценка.

Практику начнём с дискретного вариационного ряда и знакомого условия:

Пример 8

По результатам выборочного исследования  рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4,

4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

Это числа из Примера 4, но теперь нам требуется: вычислить выборочную среднюю, и, не отходя от станка, найти моду

и медиану.

Как решать задачу? Если нам даны первичные данные (конкретные варианты ), то их можно тупо просуммировать и разделить результат на объём

выборки:
 – средний квалификационный разряд рабочих

цеха.

Но здесь удобнее составить вариационный ряд:

и использовать «цивилизованную» формулу:

3.1.2. Мода

3. Основные показатели статистической совокупности

| Оглавление |



Генеральная средняя

Пусть нам дана генеральная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда генеральная средняя вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная средняя вычисляется по формуле:

Выборочная средняя

Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда выборочная средняя вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная средняя вычисляется по формуле:

!!! В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной средних значений за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$

Примеры задач на нахождение средней выборки