Как найти средний арифметический корень уравнения

Простая формула, чтобы подсчитать среднее арифметическое

О чем эта статья:

Понятие среднего арифметического

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Формула среднего арифметического, которую обычно проходят в 5 классе, выглядит так:

Потренируемся использовать формулу среднего арифметического.

Например, найдем среднее арифметическое чисел 2, 3 и 4. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.

Разделим результат на количество чисел в задании, то есть на 3, и получим ответ — 3.

Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: узнать среднюю цену товара в разных магазинах, вычислить среднюю зарплату сотрудников компании, сравнить среднюю посещаемость занятий учениками 5А и 5Б.

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:

Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.

Примеры расчета среднего арифметического

Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.

Пример 2. Подсчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.

Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.

Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.

Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.

Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.

Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.

Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.

Еще больше интересных практических заданий — на курсах математики в онлайн-школе Skysmart. Вводный урок — бесплатно!

Среднее арифметическое

Онлайн калькулятор поможет найти среднее арифметическое чисел. Среднее арифметическое множества чисел (ряда чисел) — число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество.

Программа вычисляет среднее арифметическое элементов массива, среднее арифметическое натуральных чисел, целых чисел, набора дробных чисел.

Формула которая используется для расчета среднего арифметического значения:

Приведём примеры нахождения среднего арифметического ряда чисел:
Среднее арифметическое двух чисел: (2+5)/2=3.5;
Среднее арифметическое трёх чисел: (2+5+7)/3=4.66667;
Среднее арифметическое 4 чисел: (2+5+7+2)/4=4;

Найти выборочное среднее (математические ожидание):
Среднее арифметическое 5 чисел: (2+5+7+2+3)/5=3.8;
Среднее арифметическое 6 чисел: (2+5+7+2+3+4)/6=3.833;
Среднее арифметическое 7 чисел: (2+5+7+2+3+4+8)/7=4.42857;
Среднее арифметическое 8 чисел: (2+5+7+2+3+4+8+5)/8=4.5;
Среднее арифметическое 10 чисел: (2+5+7+2+3+4+8+5+9+1)/10=4.6;

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

перейти к содержанию

Свойства модуля (справочник)

11.  Найдите среднее арифметическое корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности при условии . Уравнения можно упростить к виду  , откуда , или . Неравенству удовлетворяют только и . Среднее арифметическое корней равно .

Ответ:  

12. Решите уравнение

Решение

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то . Рассмотрим два случая: и .

Первом случае числитель равен , то есть все числа из промежутка являются решением исходного уравнения.

Во втором случае . Но . Поэтому корней нет.

Ответ:

13. Решите уравнение

Решение

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то . Рассмотрим два случая: и .

Первом случае числитель равен , то есть корней нет.

Во втором случае , то есть все числа из промежутка являются решением исходного уравнения.

Ответ:

14. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности  . Первое уравнение равносильно , откуда или . Решением второго уравнения является . Сумма корней равна .

Ответ: 

15. Найдите количество целых корней уравнения на отрезке

Решение

. Применим следующее утверждение: . Тогда . Целые числа: .

Ответ: 

16. Найдите количество натуральных корней уравнения

Решение

. Так как , то уравнение равносильно системе неравенств , откуда . Натуральные корни исходного уравнения: .

Ответ: 

17. Определите, при каких значениях параметра уравнение имеет ровно два корня.

Решение

Ответ: 

18. При каких значениях параметра уравнение имеет бесконечно много корней?

Решение

Ответ: 

19. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно четыре корня?

Решение

Ответ: 

20. При каких значениях параметра система  имеет более одного решения?

Решение

Ответ: 

смотрите раздел «Математика»

Простая формула, чтобы подсчитать среднее арифметическое

О чем эта статья:

Понятие среднего арифметического

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Формула среднего арифметического, которую обычно проходят в 5 классе, выглядит так:

Потренируемся использовать формулу среднего арифметического.

Например, найдем среднее арифметическое чисел 2, 3 и 4. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.

Разделим результат на количество чисел в задании, то есть на 3, и получим ответ — 3.

Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: узнать среднюю цену товара в разных магазинах, вычислить среднюю зарплату сотрудников компании, сравнить среднюю посещаемость занятий учениками 5А и 5Б.

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:

Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.

Примеры расчета среднего арифметического

Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.

Пример 2. Подсчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.

Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.

Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.

Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.

Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.

Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.

Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.

Еще больше интересных практических заданий — на курсах математики в онлайн-школе Skysmart. Вводный урок — бесплатно!

Источник

Среднее арифметическое

Содержание

Возможно, вы слышали выражения «средний балл за контрольную», «среднее количество осадков» или «средняя годовая температура». Этот урок посвящён среднему арифметическому – тому, что это такое, как находится и где может пригодиться.

Знакомство со средним арифметическим

Решавр, Вообразавр и Иксератопс собирали грибы. Решавр нашёл $5$ грибов, Вообразавр – $7$, а Иксератопс целых $9$! Друзья решили разделить найденное количество грибов поровну.

Они сложили все грибы в кучку, а потом каждый взял себе равное число грибов, то есть они поделили общее количество на $3$.

То число грибов, которое получилось у каждого из друзей, будет средним арифметическим.

Среднее арифметическое нескольких чисел – это сумма этих чисел, разделённая на количество слагаемых.

Задачи на нахождение среднего арифметического

Автомобиль $2$ часа ехал через город со скоростью $30$ км/ч, по пригороду час со скоростью $60$ км/час, а затем ещё $3$ часа по трассе со скоростью $100$ км/час. Вычислите среднюю скорость автомобиля.

Сначала найдём сумму всех расстояний. У нас получится $30 cdot 2 + 60 + 100 cdot 3 = 420$

Теперь разделим эту сумму расстояний на количество часов.

Следовательно, если бы автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч в течение такого же времени ($6$ часов), он проехал бы такое же расстояние.

Рассмотрим другую задачу.

Первый рабочий за рабочий день собирает $50$ деталей, второй – $44$ более сложные детали, а третий работает над самыми сложными и делает за день гораздо меньше деталей. Сколько деталей он делает, учитывая, что средняя производительность всех трёх рабочих $38$ деталей за смену?

Зная, что средняя производительность $38$, а рабочих трое, мы можем найти сумму деталей, которые они собирают за день.

Теперь просто вычтем из этого числа то, что делают первые двое рабочих и найдём количество деталей, которые делает третий.

$$(50 + 44 + 20) : 3 = 114 : 3 = 38$$

Среднее арифметическое десятичных дробей

Решать задачи на среднее арифметическое достаточно просто, если речь идёт о натуральных числах. Ненамного сложнее дело обстоит с десятичными дробями.

На рисунке 3 изображены три отрезка. Длина отрезка АВ $5.9$ см, отрезка CD – $7.3$ см, а отрезок EF равен среднему арифметическому первых двух отрезков. Какова длина отрезка EF?

Сложим длины отрезков АВ и CD и вычислим их среднюю длину.

Теперь решим задачу на нахождение слагаемых. Два кролика ели морковку, серый кролик съел в $1.4$ раза больше морковки, чем белый. Сколько морковки съел каждый, если среднее количество съеденного – $7.5$ морковок?

Начинаем «распутывать» наш пример. Если мы знаем, что среднее арифметическое двух чисел – $7.5$, значит, их сумма – $7.5 cdot 2 = 15$

Примем количество съеденного белым кроликом за $x$, тогда серый съел $1.4 cdot x$. Можно составить уравнение:

$$1.4 cdot x + x = 15$$

Вычислим, сколько съел каждый из кроликов.

Сначала найдём значение выражения.

$$1.4 cdot x + x = 2.4 cdot x = 15$$

Мы получили число моркови, которую съел белый кролик. Теперь давайте определим, сколько съел серый.

$$6.25 cdot 1.4 = 8.75$$

Проверим наше решение, сложив количество съеденного обоими кроликами и найдя среднее арифметическое.

Значит, наше решение было верным.

Среднее арифметическое обыкновенных дробей

Вычислять среднее арифметическое обыкновенных дробей приходится не так уж часто. Но давайте рассмотрим, как это делается.

Особенность поиска среднего арифметического обыкновенных дробей состоит в том, что нужно складывать их, а, значит, приводить к общему знаменателю.

Напомним, что приведение к общему знаменателю основывается на основном свойстве дроби, которое позволяет умножить обе части дроби на одно и то же число без изменения значения. Таким образом, мы можем найти для дробных слагаемых дополнительные множители, с помощью которых знаменатели слагаемых станут одинаковыми.

Найдём среднее арифметическое дробей $frac<2><3>$ и $frac<4><7>$.

Мы можем выполнить сложение только в том случае, если у обоих слагаемых будет одинаковый знаменатель. Сначала нужно понять, к какому наименьшему общему знаменателю нужно привести эти дроби. Для этого требуется найти число, которое делится и на $3$, и на $7$. Это число будет называться НОК (наименьшее общее кратное). Для чисел $3$ и $7$ это будет произведение этих чисел, $21$.

Для того чтобы вычислить дополнительные множители, нужно разделить НОК на каждый из знаменателей. Таким образом, для $3$ дополнительным множителем будет $7$, а для $7$ это будет $3$.

Умножаем обе части дроби на один и тот же дополнительный множитель.

Теперь у нас две дроби с одинаковым знаменателем, и мы можем легко их сложить.

Осталось только разделить эту сумму на число слагаемых. При делении обыкновенной дроби нужно умножить знаменатель дроби на делитель:

Эту дробь можно сократить, разделив обе части на $2$. У нас получится $frac<13><21>$.

Многие операции, которые мы разобрали подробно, можно сделать и устно – здесь они расписаны так только для того, чтобы немного повторить пройденный материал.

Разберём ещё пример со смешанными дробями. Найдём среднее арифметическое для дробей $2frac<1><6>$ и $3frac<1><15>$.

Сначала нужно перевести каждую из этих смешанные дробей в неправильную. Для этого нужно умножить целое число на знаменатель и прибавить числитель.

Теперь приведём эти дроби к общему знаменателю. НОК $(15$ и $6) = 30$

Теперь подбираем дополнительные множители и складываем наши дроби.

Мы могли бы выделить целую часть из этой дроби, но нет необходимости, так как мы не закончили вычисления. Для нахождения среднего арифметического разделим полученное число на $2$ (другими словами, умножим дробь на число, обратное делителю, в данном случае $frac<1><2>$).

Если мы захотим поделить $37$ на $60$, у нас получится периодическая дробь: $0.61(6) $

Если нужно записать ответ в виде десятичной дроби, то можно использовать периодическую дробь. В некоторых случаях можно округлить эту дробь, например, $0.61(6) $ приблизительно равно $0.62$

Но если в условиях не сказано, что нужна именно десятичная дробь, лучше оставить обыкновенную, так как она будет точно передавать значение выражения.

Источник

Найти среднее арифметическое действительных корней трех квадратных уравнений

Вычисление корней квадратных уравнений
Здравствуйте! Решил попрактиковаться в с++ и написать некое подобие калькулятора, сделал меню.

Найти среднее арифметическое квадратов трех чисел
Нужно найти среднее арефметическое трех квадратов чисел a, b, c

Сделать масивом.Дано 5 действительных чисел. Вычислить сумму квадратных корней модулей этих чисел
Дано 5 действительных чисел. Вычислить сумму квадратных корней модулей этих чисел

Выясните, что больше: среднее арифметическое или среднее геометрическое трех положительных чисел
Выясните, что больше: среднее арифметическое или среднее геометрическое трех положительных чисел.

22.02.2015, 10:00 Найти среднее арифметическое действительных корней трех квадратных уравнений

Напрасно кропал свои вирши
Товарищ Виет
Он был неплохой математик,
Но слабый поэт

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Найти среднее арифметическое квадратов и среднее арифметическое абсолютных значений двух вещественных чисел
Всем здрасте помогите плиз. Дается два вещественных числа. Найти среднее арифметическое их.

Среднее арифметическое трех чисел
Нужно создать программу в которой вводятся 3 числа и находится среднее арифметическое. Результат.

Найти количество действительных корней квадратного уравнения
не могу найти ошибку.Компилятор ругается Суть задачи : Определить кол-во действительных корней.

Подсчитать среднее арифметическое трех чисел
Короче препод в универе задал на дом задания .А суть такова : вводишь любые три числа ,если же.

Источник

Простая формула, чтобы подсчитать среднее арифметическое

О чем эта статья:

Понятие среднего арифметического

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Формула среднего арифметического, которую обычно проходят в 5 классе, выглядит так:

Потренируемся использовать формулу среднего арифметического.

Например, найдем среднее арифметическое чисел 2, 3 и 4. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.

Разделим результат на количество чисел в задании, то есть на 3, и получим ответ — 3.

Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: узнать среднюю цену товара в разных магазинах, вычислить среднюю зарплату сотрудников компании, сравнить среднюю посещаемость занятий учениками 5А и 5Б.

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:

Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.

Примеры расчета среднего арифметического

Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.

Пример 2. Подсчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.

Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.

Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.

Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.

Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.

Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.

Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.

Еще больше интересных практических заданий — на курсах математики в онлайн-школе Skysmart. Вводный урок — бесплатно!

Источник

Среднее арифметическое

Содержание

Возможно, вы слышали выражения «средний балл за контрольную», «среднее количество осадков» или «средняя годовая температура». Этот урок посвящён среднему арифметическому – тому, что это такое, как находится и где может пригодиться.

Знакомство со средним арифметическим

Решавр, Вообразавр и Иксератопс собирали грибы. Решавр нашёл $5$ грибов, Вообразавр – $7$, а Иксератопс целых $9$! Друзья решили разделить найденное количество грибов поровну.

Они сложили все грибы в кучку, а потом каждый взял себе равное число грибов, то есть они поделили общее количество на $3$.

То число грибов, которое получилось у каждого из друзей, будет средним арифметическим.

Среднее арифметическое нескольких чисел – это сумма этих чисел, разделённая на количество слагаемых.

Задачи на нахождение среднего арифметического

Автомобиль $2$ часа ехал через город со скоростью $30$ км/ч, по пригороду час со скоростью $60$ км/час, а затем ещё $3$ часа по трассе со скоростью $100$ км/час. Вычислите среднюю скорость автомобиля.

Сначала найдём сумму всех расстояний. У нас получится $30 cdot 2 + 60 + 100 cdot 3 = 420$

Теперь разделим эту сумму расстояний на количество часов.

Следовательно, если бы автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч в течение такого же времени ($6$ часов), он проехал бы такое же расстояние.

Рассмотрим другую задачу.

Первый рабочий за рабочий день собирает $50$ деталей, второй – $44$ более сложные детали, а третий работает над самыми сложными и делает за день гораздо меньше деталей. Сколько деталей он делает, учитывая, что средняя производительность всех трёх рабочих $38$ деталей за смену?

Зная, что средняя производительность $38$, а рабочих трое, мы можем найти сумму деталей, которые они собирают за день.

Теперь просто вычтем из этого числа то, что делают первые двое рабочих и найдём количество деталей, которые делает третий.

$$(50 + 44 + 20) : 3 = 114 : 3 = 38$$

Среднее арифметическое десятичных дробей

Решать задачи на среднее арифметическое достаточно просто, если речь идёт о натуральных числах. Ненамного сложнее дело обстоит с десятичными дробями.

На рисунке 3 изображены три отрезка. Длина отрезка АВ $5.9$ см, отрезка CD – $7.3$ см, а отрезок EF равен среднему арифметическому первых двух отрезков. Какова длина отрезка EF?

Сложим длины отрезков АВ и CD и вычислим их среднюю длину.

Теперь решим задачу на нахождение слагаемых. Два кролика ели морковку, серый кролик съел в $1.4$ раза больше морковки, чем белый. Сколько морковки съел каждый, если среднее количество съеденного – $7.5$ морковок?

Начинаем «распутывать» наш пример. Если мы знаем, что среднее арифметическое двух чисел – $7.5$, значит, их сумма – $7.5 cdot 2 = 15$

Примем количество съеденного белым кроликом за $x$, тогда серый съел $1.4 cdot x$. Можно составить уравнение:

$$1.4 cdot x + x = 15$$

Вычислим, сколько съел каждый из кроликов.

Сначала найдём значение выражения.

$$1.4 cdot x + x = 2.4 cdot x = 15$$

Мы получили число моркови, которую съел белый кролик. Теперь давайте определим, сколько съел серый.

$$6.25 cdot 1.4 = 8.75$$

Проверим наше решение, сложив количество съеденного обоими кроликами и найдя среднее арифметическое.

Значит, наше решение было верным.

Среднее арифметическое обыкновенных дробей

Вычислять среднее арифметическое обыкновенных дробей приходится не так уж часто. Но давайте рассмотрим, как это делается.

Особенность поиска среднего арифметического обыкновенных дробей состоит в том, что нужно складывать их, а, значит, приводить к общему знаменателю.

Напомним, что приведение к общему знаменателю основывается на основном свойстве дроби, которое позволяет умножить обе части дроби на одно и то же число без изменения значения. Таким образом, мы можем найти для дробных слагаемых дополнительные множители, с помощью которых знаменатели слагаемых станут одинаковыми.

Найдём среднее арифметическое дробей $frac<2><3>$ и $frac<4><7>$.

Мы можем выполнить сложение только в том случае, если у обоих слагаемых будет одинаковый знаменатель. Сначала нужно понять, к какому наименьшему общему знаменателю нужно привести эти дроби. Для этого требуется найти число, которое делится и на $3$, и на $7$. Это число будет называться НОК (наименьшее общее кратное). Для чисел $3$ и $7$ это будет произведение этих чисел, $21$.

Для того чтобы вычислить дополнительные множители, нужно разделить НОК на каждый из знаменателей. Таким образом, для $3$ дополнительным множителем будет $7$, а для $7$ это будет $3$.

Умножаем обе части дроби на один и тот же дополнительный множитель.

Теперь у нас две дроби с одинаковым знаменателем, и мы можем легко их сложить.

Осталось только разделить эту сумму на число слагаемых. При делении обыкновенной дроби нужно умножить знаменатель дроби на делитель:

Эту дробь можно сократить, разделив обе части на $2$. У нас получится $frac<13><21>$.

Многие операции, которые мы разобрали подробно, можно сделать и устно – здесь они расписаны так только для того, чтобы немного повторить пройденный материал.

Разберём ещё пример со смешанными дробями. Найдём среднее арифметическое для дробей $2frac<1><6>$ и $3frac<1><15>$.

Сначала нужно перевести каждую из этих смешанные дробей в неправильную. Для этого нужно умножить целое число на знаменатель и прибавить числитель.

Теперь приведём эти дроби к общему знаменателю. НОК $(15$ и $6) = 30$

Теперь подбираем дополнительные множители и складываем наши дроби.

Мы могли бы выделить целую часть из этой дроби, но нет необходимости, так как мы не закончили вычисления. Для нахождения среднего арифметического разделим полученное число на $2$ (другими словами, умножим дробь на число, обратное делителю, в данном случае $frac<1><2>$).

Если мы захотим поделить $37$ на $60$, у нас получится периодическая дробь: $0.61(6) $

Если нужно записать ответ в виде десятичной дроби, то можно использовать периодическую дробь. В некоторых случаях можно округлить эту дробь, например, $0.61(6) $ приблизительно равно $0.62$

Но если в условиях не сказано, что нужна именно десятичная дробь, лучше оставить обыкновенную, так как она будет точно передавать значение выражения.

Источник

Ответ:

2/3

Пошаговое объяснение:

Cначала найдем корни уравнения. Поскольку левая часть уравнения есть произведение выражений x^2-16 и  ( 2^(x+1) —  2^(sqrt(x+14)-1)) , и всевыражение равно 0,то это может произойти только в случае если один из множителей — либо x^2-16 либо  ( 2^(x+1) —  2^(sqrt(x+14)-1)) будет равен 0.

Поэтому приравниваем каждое из выражений к 0, находим корни.

1. х^2-16=0

(x-4)(x+4)=0

x1=4     x2=-4  

2.  2^(x+1) —  2^(sqrt(x+14)-1)=0

2^(x+1) =  2^(sqrt(x+14)-1)

x+1 =sqrt(x+14)-1              ОДЗ-1 (относится ко всему уравнению):   х>=-14

x+1+1=sqrt(x+14)

x+2=sqrt(x+14)  

ОДЗ-2(относится только к данному уравнению):   х+2>0  х>=-2

(x+2)^2=x+14

x^2+4*x+4=x+14

x^2+3*x-10=0

По т. Виета ( можно и используя дискриминант) находим корни

x3=-5    x4=2

Заметим, что оба корня  -5 и  2   входят в ОДЗ-1  х>=-14, но -5 не входит в ОДЗ-2, а значит корнем уравнения будет только х4=2.

Заметим, что корни х1=-4 и х2=4 также входят в ОДЗ-1.

Теперь найдем среднее арифметическое полученных трех корней

(-4+4+2)/3=2/3