Как найти средний ежегодный процент роста населения

Задача 1. Население города за два года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения этого города.

Решение

Пусть Х – средний ежегодный процент роста населения.

(20 000 х 0,01 х Х) человек – прирост населения за первый год.

(20 000 + 200 х Х) человек – количество населения через год.

(0,01 х Х х (20 000 + 200 х Х)) человек – прирост населения за второй год.

20 000 + 200 х Х + 0,01 х Х х (20 000 + 200 х Х) человек – количество населения через два года, а по условию задачи оно равно 22 050 человек.

Составим и решим уравнение:

20 000 +200 х Х + 0,01 х Х х (20 000 + 200 х Х) = 22 050, Х > 0.

В результате получим Х = 5.

Ответ: 5 %.

Задача 2.. Вода при замерзании увеличивается на 1/9 своего объёма. На сколько процентов своего объёма уменьшится лёд при превращении в воду?

Решение.

Если V – объем воды, то (1 + 1/9) х V = 10/9 х V – объём льда.

подставив необходимые величины, получим, что объём льда уменьшится на 10%.

Ответ: на 10 %.

Задача3. Если первую цифру двузначного числа увеличить на 25 %, то получим его вторую цифру, а если вторую цифру этого двузначного числа уменьшить на 20 %, то получим первую цифру. Найдите это двузначное число.

Решение.

Пусть а – первая цифра двузначного числа;

b – вторая цифра двузначного числа.

Имеем систему уравнений:

1,25a = b;

0,8b = a,

учитывая, что а, b – цифры, получим, что а = 4 и b = 5.

Ответ: Искомое двузначное число – 45.

Задача 4. Банк обещал своим клиентам годовой рост  вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?

Решение.

1) 4500 * 0,3 = 1350(руб.) – «прирост» за год.

2) 4500 + 1350 = 5850(руб.)

Ответ: в конце года на счете будет находиться 5851 руб.

Задачу можно было бы решить и иначе: сначала  найти, сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной – 100% + 30% = 130%, а затем вычислить 130% от 1500 руб.

Задача 5. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 руб.?

Решение.

1)                                       100% + 25% = 125% — составляет 1000 руб. от первоначального вклада.

2) 125% = 1,25 = 800 (руб.) – сумма вклада.

Ответ: сумма вклада 800 руб.

Задача 6. В 200г. воды растворили 50г. соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение.

Концентрация раствора – это процент, который составляет масса вещества в растворе от массы раствора. Поэтому требуется вычислить процент, который составляет 50г. соли всей массы раствора:

1)                                       50 + 200 = 250 (г.) – масса полученного раствора.

2)         (50 / 250) * 100 = 50 * 100 / 250 = 20 (%).

Ответ: концентрация раствора равна 20%.

Задача 7. В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за 2 месяца?

Решение.

Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку «первые» 30% подсчитываются от цены в конце декабря, а «вторые» 20% — от другой величины, цены на конец января.

Потом будем рассуждать последовательно, обозначив для удобства первоначальную цену S. В конце января она стала равна 1,3S, а в конце февраля – 1,2 * (1,3S) = 1,56S. Следовательно, она выросла на 56%.

Решение можно  записать так:

Пусть S – первоначальная цена.

1)1,3S – цена в конце января (130% от S).

2)1,2 * (1,3S) = 1,56S – цена в конце февраля (120% от 1,3S).

3)1,56S составляет 156% от S.

156% — 100% = 56%

Ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.

#1

Скорость изменения (процент прироста или темп роста) от одного периода к другому рассчитывается следующим образом:
Процентное изменение = (количество в конце периода «минус» количество на начало периода) / поделенных на количество начала периода и умноженное на 100.

#2

Другой способ выразить уравнение для скорости роста или процента изменения:
Процентное изменение = (К-настоящее – К-прошлое) / К-прошлое, умноженное на 100

В этой формуле:
К-настоящее = численность в настоящем или будущем
К-прошлое = численность в прошлом или настоящем

#3

Для дальнейшего расчета годового процента изменения, разделите процентное изменение, полученное в шаге 2 на число N.
N представляет собой число лет между двумя значениями, используемыми в шаге 2.

#4

Пример для расчета скорости роста или изменения в процентах:
Конкретный город с населением 800 тысяч человек в 1990 году и насчитывает 1500000 в 2008 году. Чтобы рассчитать темп роста населения в этом городе, выполните следующие действия:
Темпы роста = (1500000 — 800000) / 800 000 * 100
Темпы прироста = 87,5 процентов.

Средний годовой рост = 87,5% / 18 лет
Средний годовой рост составляет 4,86 процентов.

Пусть х% прирост населения

Первый год:

На начало года население 20 000
на конец года: 20 000+ 20 000*х/100=20 000+200х

Второй год: 

на начало года 20 000 +200х
на конец года:
20 000+200х+(20 000+200х)*х/100=20 000+200х+200х+2х²=
=2х²+400х+20 000

Нам известно, что население на конец второго года стало  22 050

составим уравнение:

[tex]2x^2+400x+20 000=22 050
2x^2+400x-2 050=0
x^2+200x-1025=0
D=40 000+4 100=44 100=210^2
x_1= (-200+210)/2=5
x_2= (-200-210)/2=-205
[/tex]

т.к. население прибавилось значит процент положительный

Ответ Прирост населения 5%

Решение
Пусть Х – средний ежегодный процент роста населения.
(20 000 х 0,01 х Х) человек – прирост населения за первый год.
(20 000 + 200 х Х) человек – количество населения через год.
(0,01 х Х х (20 000 + 200 х Х)) человек – прирост населения за второй год.
20 000 + 200 х Х + 0,01 х Х х (20 000 + 200 х Х) человек – количество населения через два года, а по условию задачи оно равно 22 050 человек.
Составим и решим уравнение:
20 000 +200 х Х + 0,01 х Х х (20 000 + 200 х Х) = 22 050, Х > 0.
В результате получим Х = 5.
Ответ: 5 %.