Как найти средний показатель вариации

По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Определите:

1) размах вариации;

2) средний размер вклада;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации вкладов.

Решение:

Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

Среднее значение первого интервала будет равно:

второго — 500 и т. д.

Занесём результаты вычислений в таблицу:

Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

 

Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

 

Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

4) Дисперсия — это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

 

Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

2. Находят отклонения вариант от средней:

3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

5. Суммируют полученные произведения:

6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

Расчёты оформим в таблицу:

5) Среднее квадратическое отклонение размера вклада определяется как корень квадратный из дисперсии:

6) Коэффициент вариации — это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

 

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признаков вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

1. Методические рекомендации и решения типовых задач

Средняя
величина
– это обобщающая характеристика
варьирующего признака единиц качественно
однородной совокупности.

Средние
величины используются в планировании,
анализе выполнения планов, расчетах
экономической эффективности общественного
производства и т.д. Сравнивая изменение
средних уровней во времени, статистика
тем самым характеризует важнейшие
закономерности развития явлений.

В
статистике применяются различные виды
средних величин: средняя арифметическая,
средняя гармоническая, средняя
геометрическая, средняя хронологическая
средняя квадратическая и средняя
кубическая.

Наиболее
распространенным видом средних величин
является средняя арифметическая. Она
рассчитывается в двух формах – простой
и взвешенной.

Средняя
арифметическая простая называется так
потому, что в основе ее вычисления лежит
простое суммирование. Чтобы определить
ее, все показатели варьирующего признака
суммируются и делятся на их количество.

Формула
средней арифметической простой:

,
где х – варианты; n
– число вариант.

Формула
средней арифметической взвешенной:

,
где х – варианты; f
– веса.

Эта
средняя называется взвешенной потому,
что для ее определения значения признака,
по которым эта средняя исчисляется, не
просто складываются, а предварительно
умножаются на частоту (взвешиваются).

Применяется
эта средняя в том случае, если показатели
в совокупности встречаются несколько
раз (т.е. повторяются).

Иногда
среднюю арифметическую величину
исчисляют по данным интервального
вариационного ряда (когда варианты
представлены в виде интервалов «от –
до»). Для исчисления средней нужно прежде
всего получить середину интервала
каждой группы, а затем расчет производится
по формуле арифметической взвешенной.

Средняя
гармоническая взвешенная рассчитывается
по формуле:

,
где х – варианты; W
– объем признака.

Средняя
гармоническая применяется в тех случаях,
когда отсутствует показатель частоты.
Она представляет собой величину обратную
средней арифметической из обратных
значений признака

Модой
называют
то значение признака, которое наиболее
часто встречается в данной совокупности.

Для
интервальных вариационных рядов мода
определяется по формуле:

М₀
= х_мо
+
i_мо
*
,
где

х_мо

— нижняя граница интервала, содержащего
моду;

i_мо

— величина модального интервала;

f_мо
— частота
модального интервала;

f_мо-1
— частота
интервала, предшествующего модальному;

f_мо+1
– частота
интервала, следующего за модальным.

Медианой
называют
значение признака, приходящееся на
середину ранжированной совокупности.

М_е
= х_ме
+
i_ме
*
,
где

х_ме

— нижняя граница интервала, содержащего
медиану;

i_ме

— величина медианного интервала;

∑f
_—
сумма частот;

S
_ме-1
— сумма
накопленных частот, предшествующих
медианному интервалу;

f_ме
– частота
медианного интервала.

Изменение
значений признака в пределах изучаемой
совокупности называется вариацией.

Для
характеристики величины колебания
признака в статистике вычисляют следующие
показатели вариации:

• размах
  вариации;

• среднее
  линейное отклонение;

• средний
  квадрат отклонения (дисперсия);

• среднее
  квадратическое отклонение;

• коэффициент
  вариации.

Абсолютные
и относительные показатели вариации,
характеризующие изменчивость значений
признака, позволяют оценить степень
однородности совокупности, типичности
и устойчивости средней.

Размах
вариации
( R)
– наиболее простой измеритель вариации
и представляет собой разность между
наибольшим и наименьшим значениями
признака

R
= x_max
–
x_min,

где

x_max
–
наибольшее значение признака;

x_min
– наименьшее
значение признака.

Среднее
линейное отклонение (ι)
– это
средняя
арифметическая
из абсолютных отклонений индивидуальных
значений признака от общей средней.

(простое);

(взвешенное);

Средний
квадрат отклонения, или дисперсия
– представляет
собой среднюю арифметическую из квадратов
отклонений вариант от общей средней

=
(простая);
=
(
взвешенная)

Среднее
квадратическое отклонение
–
квадратный корень из дисперсии

;
;

Размах
вариации, среднее линейное и среднее
квадратическое отклонение являются
абсолютными показателями вариации

Коэффициент
вариации является относительным
показателем вариации, выражается в %.
Он представляет собой отношение среднего
квардратического отклонения к средней
величине признака:

V=

Чем
больше коэффициент вариации, тем менее
однородна совокупность и тем менее
типична средняя величина, тем менее она
характеризует изучаемое явление.

Пример:

По
трем предприятиям, вырабатывающим один
вид изделий, известны следующие данные
за отчетный месяц:

Предприятие	Число рабочих	Выработка на одного рабочего, шт.	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
1	120	500	30,0
2	140	780	25,0
3	150	630	22,0

Определите:
1) среднюю выработку одного рабочего;
2) среднюю себестоимость единицы
продукции; 3)среднюю численность рабочих
на одно предприятие.

Решение

1. Определим
   среднюю выработку одного рабочего:

1. Определим
   среднюю себестоимость единицы продукции:

1. Определим
   среднее число рабочих:

Пример:

Имеются
данные о распределении 100 ткачих по
дневной выработке:

Дневная выработка, м	До 80	80-100	100-120	120 и выше
Число ткачих	20	40	30	10

На
основании данных вычислите:

1. среднюю
   дневную выработку 1 ткачихи;

2. моду
   и медиану

Решение

Дневная выработка, м	Число ткачих f	Средина интервала (х)	xf	Накопленные частоты
До 80	20	70	1400	20
80-100	40	90	3600	60
100-120	30	110	3300	90
120 и выше	10	130	1300	100
Итого:	100	—	9600

1. Средняя
   дневная выработка одной ткачихи
   определяется по формуле средней
   арифметической взвешенной

1. Модальное
   значение выработки вычислим по формуле

М₀
= х_мо
+
i_мо
*

_{3.Значение
медианы вычислим по формуле:}

М_е
= х_ме
+
i_ме
*

Пример:

По
обувной фабрике имеются следующие
данные:

№ цеха	1 квартал	2 квартал
Производственный брак,% (х)	Фактический выпуск продукции, млн. руб. (f)	Производственный брак,% (x)	Стоимость бракованной продукции, млн. руб. (W)
1	1,4	400	1,2	6,0
2	0,8	600	0,7	6,2
3	1,2	1000	1,0	7,1

Определите
процент брака в среднем по фабрике за
1 и 2 кварталы

Сделайте
вывод.

Решение:

Средний
процент брака за 1 квартал определяется
по формуле:

Средний
процент брака за 2 квартал определяется
по формуле:

Вывод:
удельный вес бракованной продукции во
втором квартале по сравнению с первым
уменьшился на 0,2%.

Пример:

Известны
данные о распределении 20 заводов отрасли
по стоимости основных средств:

Группы заводов по размеру основных средств, млрд. руб.	Число заводов
4-6	2
6-8	3
8-10	5
10-12	6
12-14	4
Итого:	20

Определите:

1)
среднюю стоимость основных средств на
один завод по отрасли;

2)
размах вариации, среднее линейное
отклонение, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент
вариации. Сделайте вывод.

Решение

Стоимость основных средств (млрд. руб.)	Число заводов	Середина интервала (х)	xf		II*f	()2	()2*f
4-6	2	5	10	-4,7	9,4	22,09	44,18
6-8	3	7	21	-2,7	8,1	7,29	21,87
8-10	5	9	45	-0,7	3,5	0,49	2,45
10-12	6	11	66	1,3	7,8	1,69	10,14
12-14	4	13	52	3,3	13,2	10,89	43,56
Итого	20	—	194		42		122,2

1. Определим
   среднюю стоимость основных средств

млрд.
руб.

1. Вычислим
   размах вариации

R
= x_max
–
x_min,=
14
— 4 = 10 млрд. руб.

Определим
среднее линейное отклонение

млрд.
руб.

Дисперсию
признака вычислим по следующей формуле

=

Среднее
квадратическое отклонение

млрд.
руб.

Коэффициент
вариации

V=

_{Вывод:
средняя стоимость основных средств по
отрасли составляет 9,7 млрд. руб.
Совокупность однородна, т.к. коэффициент
вариации 25,4%, т.е. вариация признака
умеренная.}

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание курса лекций «Статистика»

Показатели вариации в анализе взаимосвязей

Для измерения степени колеблемости отдельных значений признака относительно средней исчисляют основные показатели вариации.

---

---

Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточной для полного анализа изучаемого процесса или явления. Иногда совершенно непохожие по своему внутреннему строению совокупности могут иметь равные средние величины. Поэтому для более детального изучения того или иного явления необходимо учитывать разброс или вариацию значений отдельных единиц совокупности. Измерение вариации признаков имеет как теоретическое, так и практическое значение.

Так, например, для выявления наиболее стабильно работающего коллектива или предприятия наравне с другими показателями рассчитывают и основные показатели вариации. Эти показатели дают возможность количественно определить размеры устойчивости производительности труда, уровня квалификации, цен на основные виды выпускаемой продукции и т.п. Измерение размеров вариации такого показателя, как «выполнение работ в срок» имеет важное значение для принятия решений заказчиками и инвесторами, т.к. ситуация, в которой присутствует изменчивость признака, часто содержит риск. Осо­бое значение показатели вариации приобретают в анализе рынка ценных бумаг, где мера колеблемости отождествляется с мерой рискованности вложения денежных средств.

---

---

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются:

• размах вариации;
• среднее линейное отклонение;
• дисперсия;
• среднее квадратическое отклонение;
• коэффициент вариации.
  

  ---

  ---

1)  Размах вариации

---

---

2) Среднее линейное отклонение исчисляют для того, чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений:

---

---

где  –абсолютные значения отклонений отдельных вариантов xi от средней арифметической ;  fi  – частота.

---

---

3. Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической:

---

---

4. Среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии:

---

---

---

!!!В отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в единицах измерения варьирующего признака (руб., тыс., млн и т.д.).!!!

---

---

5. Коэффициент вариации – используется для сравнительной оценки вариации, а также для характеристики однородности совокупности:

---

---

Пример. Для иллюстрации расчетов воспользуемся данными нижеприведенной табл. 9.1:

Таблица 9.1 ‑ Данные о продаже основных марок холодильников:

	Модель	Цена ( $ )	Объем продаж (шт.)	xifi
1	Siemens	1000	30	30000
2	Bosch	800	26	20800
3	AEG Santo	900	24	21600
4	Miele KF	1200	30	36000
5	Gorenje	870	20	17400
6	Haier	570	23	13110
7	Samsung	760	30	22800
8	Zanussi	700	20	14000
9	Daewoo	460	20	9200
10	Beko	650	25	16250
11	Candy	480	20	9600
10	Whirpool	470	21	9870
	ИТОГО	8860	289	220630

---

Рассчитаем размах вариации.

R= 1200-460=740$

Пример вычисления размаха вариации

---

Размах вариации служит незаменимой мерой разброса экстремальных значений признака. Кроме характеристики границ разброса признака, размах вариации может быть использован для выявления ошибок. При наличии очень больших (или очень малых) ошибочно записанных значений признака размах вариации сразу резко возрастает, что требует проверки и корректировки исходных данных.

Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирующего признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ. Вследствие этого размах вариации может неправильно характеризовать общую колеблемость признака.

---

Этого недостатка лишен другой показатель – дисперсия, рассчитываемый как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины.

Между индиви­дуальными отклонениями от средней и колеблемостью признака существует прямая зави­симость: чем сильнее колеблемость признака, тем больше отклонения его значений от средней величины и менее устойчив изучаемый показатель.

Как и средняя величина этот показатель может быть рассчитан в двух формах: взвешенной и невзвешенной

По приведенным выше данным определим средневзвешенную цену холодильника:

---

Далее рассчитаем дисперсию:

---

!!!Следует отметить, что дисперсия еще не дает представления об однородности со­вокупности, и этому показателю трудно дать экономическую интерпретацию, т.к. он рас­считан в квадратных единицах. Поэтому следующим шагом в исследовании однородности совокупности является расчет среднего квадратического отклонения, показывающего, на­сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность что и изучаемый признак.!!!

---

---

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение

---

Вывод: Таким образом, цена каждой марки холодильника отклоняется от средней цены в среднем на 271,1 $

---

---

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации признака. Однако для сравнения разных совокупностей с точки зрения устойчивости ка­кого-либо одного признака или для определения однородности совокупности рассчиты­вают относительные показатели.

Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейно­го отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего эти показатели выражаются в процентах.

---

---

Определим значение  показателя вариации по вышеприведенным данным таблицы

---

Совокупность считается однородной, если V не превышает 33%.

Если V<10%  вариация признака слабая;

10% < V<25% –  вариация средняя;

V>25% – вариация сильная.

Вывод: Рассчитанная величина свидетельствует о неоднородности цен на холодильники, т.к. однородной совокупность считается, если коэффициент вариации меньше 33% (для распределений близких к нормальному).

---

---

!! Следует отметить, что коэффициент вариации может быть более 100%, что, в част­ности, может быть при наличии значений сильно отличающихся от средней величины. Такой результат означает, что в исследуемой совокупности сильна вариация признаков по отношению к средней величине.

---

Изучая вариацию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупно­сти и опираясь на общую среднюю в расчетах, трудно оценить степень воздействия на него какого-либо отдельного признака.

При проведении такого анализа исходная совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками – факторным (оказывающим влияние на взаимосвязанный с ним признак) и результативным (подвер­женным влиянию).

---

---

Для выявления взаимосвязи исходная совокупность делится по факторному признаку на группы. Выводы о степени взаимосвязи базируются на анализе вариации резуль­тативного признака. Если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то для оценки влияния различных факторов, определяющих вариацию индиви­дуальных значений признака, используют правило сложения дисперсий.

Общая дисперсия представляет собой сумму средней из виутригрупповой и меж­групповой и дисперсий:

---

 где:

---

Общая дисперсия характеризует вариацию признака по всей совокупности как ре­зультат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц сово­купности.

---

---

где:

---

---

Межгрупповая дисперсия  характеризует вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки.

---

где:

---

---

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает ту часть вариации результа­тивного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка. Другими словами внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию. Внутригрупповая дисперсия рас­считывается отдельно по каждой j-ой группе.

---

где:

---

---

Для всех групп в целом вычисляется средняя из внутригрупповых дисперсий, взвешенных на частоты соответствующих групп по формуле:

---

---

Взаимосвязь между тремя видами дисперсий получила название правила сложения дисперсий. Таким образом, зная два вида дисперсий всегда можно определить третий:

---

Из этого равенства следует, что общая дисперсия, как правило, будет больше средней из групповых дисперсий. Это обусловлено тем, что при расчленении об­щей совокупности единиц на части по какому-либо признаку образуются более или менее однородные группы, в результате чего сокращается колеблемость признаков в пределах каждой группы. Это приводит к тому, что средняя из групповых дисперсий оказывается меньше дисперсии признака по всей совокупности единиц, причем разница между этими показателями будет тем больше, чем однороднее получаются группы в результате расчле­нения общей совокупности.

---

---

Теснота связи между факторным и результативным признаками оценивается на ос­нове эмпирического корреляционного отношения:

---

Данный показатель может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе к 1 будет его величина, тем сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми признаками.

---

---

Пример. На следующем условном примере исследуем зависимость объема выполненных ра­бот от формы собственности проектно-изыскательских организаций.

Таблица 9.2. Выполнение работ проектно-изыскательскими организациями разной формы собственности

Форма собственности	Количество предприятий	Объем выполненных работ (млн. руб.)	Итого
Государственная	4	10,30,20,40	100
Негосударственная	6	20, 40, 60, 20, 50, 50	240
Итого	10		340

---

Решение:

1) Определим средний объем работ для предприятий двух форм собственности.

---

2) Определим средний объем работ для каждой формы собственности.

---

3) Рассчитаем общую и внутригрупповые (т.е. для каждой группы) дисперсии.

---

4) Определим среднюю из внутригрупповых и межгрупповую дисперсию. Для этого полученные ранее данные заносятся в таблицу расчета.

Таблица 9.3. – Вспомогательная таблица

Форма собственности	Число предприятий	Средняя по группе	Внутригрупповые дисперсии
Государственная	4	25	125
Негосударственная	6	40	233
Итого	10

---

Пример. Средняя из внутригрупповых дисперсий

---

Пример. Межгрупповая дисперсия

---

---

На последнем этапе решения задачи необходимо проверить тождество, отражающее закон сложения дисперсий:

Проверка закона сложения дисперсий:  54,0+189,8=243,8

---

Вывод: Таким образом, можно сделать вывод о том, что объем работ, выполненных проектно-изыскательскими организациями на 22% [(54,0/243,8) х 100%] зависит от фак­тора, положенного в основание группировки, т.е. от формы собственности, а на 78% [(189,8/243,8)х100%)] ‑ от прочих факторов.

---

Вывод о том, что объем выполненных работ в гораздо большей степени зависит от каких-либо других факторов, чем от формы собственности предприятий подтверждается и величиной эмпирического корреляционного отношения:

Вывод: Величина этого показателя свидетельствует о том, что зависимость объема работ от формы собственности предприятия невелика

---

Содержание курса лекций «Статистика»

---

Контрольные задания

1. Распределение студентов одного из факультетов по возрасту характеризуется следующими данными:

Возраст студентов, лет	17	18	19	20	21	22	23	24	Всего
Число студентов	20	80	90	110	130	170	90	60	750

Вычислить: а) размах вариации; б)среднее линейное отклонение; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; относительные показатели вариации возраста студентов.

2. По данным статистических ежегодников постройте таблицу с рядом показателей и определите показатели вариации: а) размах; б) среднее линейное отклонение; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации. Оцените количественную однородность совокупности.

Содержание курса лекций «Статистика»

В статистике под вариацией понимают количественные
изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности,
обусловленные взаимодействием различных факторов.  Причины, порождающие вариацию социально-экономических
явлений, очень сложны и многообразны. Они лежат в коренных особенностях
исследуемого явления, в его сущности, а также в методологии сбора исходной
информации. Социально-экономические явления, как правило, обладают большой
вариацией. Если исследуются результаты целенаправленной человеческой
деятельности, то вариация будет выражать вмешательство многочисленных факторов,
природу которых не всегда можно установить. Однако, в большинстве теоретических
исследований и практических применений статистики необходимы наряду со средней
показатели вариации, характеризующие группировку значений признака вокруг
средней,  т. е. степень упорядоченности
статистической совокупности.

В соответствии с определением вариация измеряется
степенью колеблемости вариантов признака от уровня их
средней величины. Именно на этом и основано большинство показателей,
применяемых в статистике для измерения вариации значений признака в
совокупности. К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее
линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое
отклонение, коэффициент вариации.

Простейшим показателем вариации является размах вариации, определяемый как разность между максимальным и минимальным значениями
признака:

Размах вариации выражается в тех же единицах
измерений, что в варианты ряда. По величине его можно определить, например,
передовое и отстающее в достижении какой-либо цели. Величина вариации служит
также и для характеристики средней. Размах вариации имеет и самостоятельное
значение. Например, в промышленности для измерения точности изделий
устанавливают определенные пределы, соответствующие иногда величине размаха
вариации их признаков.

Однако показатель размаха вариации не может в полной
мере охарактеризовать колеблемость ряда, поскольку он
не учитывает промежуточных значений вариантов внутри этих пределов, а по этому
не отражает колеблемость ряда в целом, кроме того, он
полностью зависит от максимального и минимального значений, которые могут
оказаться не достаточно характерными.

Таким образом, размах вариации отражает иногда
случайную, а не типичную для данного ряда величину колеблемости.
По этому необходимы другие показатели вариации, основанные на всех значениях
признака в данной совокупности, а именно: среднее линейное отклонение,
дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет среднюю
арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их
среднего значения. 

Для данных, где частота каждого варианта равна
единице, среднее линейное отклонение определяется по формуле:

Для вариационных рядов

 определяется с учетом частот по формуле:

Среднее линейное отклонение по сравнению с размахом
вариации дает более полную характеристику колеблемости
признака в совокупности.

Средний квадрат отклонений вариантов от их средней
величины называют дисперсией

.
Дисперсия рассчитывается по формуле:

Для негруппированных
данных, где частота каждого варианта равна единице, дисперсия рассчитывается по
формуле простой средней:

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

либо при равенстве весов:

Среднее квадратическое
отклонение является также обобщающим показателем колеблемости
признака и характеризует средний показатель отклонения вариантов ряда от их
общей средней. Выражается s в тех же именованных числах, в которых выражены
варианты совокупности и средняя величина.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение — наиболее широко применяемые
показатели вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем
теории вероятностей, служащих фундаментом математической статистики. Кроме
того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить
влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака. Порядок расчета
среднего квадратического отклонения следующий:

1) Определяется средняя
величина:

2) Рассчитывается
отклонения вариантов от средней:

3) Отклонение каждого
варианта от средней возводится в квадрат:

4) Квадрат отклонений
взвешивается по частотам:

5) Взвешенные по
частотам квадраты отклонений суммируются:

6) Полученная сумма
делится на сумму частот, и из нее извлекается квадратный корень.

Среднее квадратическое
отклонение можно вычислить, составив следующую расчетную таблицу:

Среднее квадратическое
отклонение можно вычислить на основании математических преобразований значений
варьирующего признака, применяя способ условных моментов:

где первый условный
момент:

второй условный момент:

Среднее квадратическое
отклонение по способу условных моментов определяется по формуле:

Система условных
моментов различных порядков, в частности, третьего

 и
четвертого

 используется при расчете различных
статистических характеристик (например, коэффициентов асимметрии и эксцесса).

Чем больше σ, тем разнообразнее состав
совокупности по величине изучаемого признака, и, наоборот, чем меньше σ, тем
состав совокупности по величине изучаемого признака более одинаков. Однако
оценка величины σ
как качественной характеристики ряда в конечном итоге определяется сущностью
изучаемых явлений. Среднее квадратическое отклонение
используется для сопоставления вариации по однородным совокупностям, а также
для одной совокупности за разные годы. Среднее квадратическое
отклонение является критерием надежности средней. Чем меньше оно, тем лучше
средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность.

Коэффициент осцилляции – процентное отношение размаха
вариации к средней

Линейный 
коэффициент вариации (относительное линейное отклонение) измеряют через
соотношение среднего линейного отклонения и средней:

Коэффициент вариации представляет собой отношение
среднего квадратического отклонения к средней
арифметической:

Характеризуя степень колеблемости
признака, коэффициент вариации позволяет давать сравнительную характеристику
этой колеблемости одного и того же признака в
различных совокупностях.

Коэффициент вариации используется также, если
сравнивается степень вариации одного и того же признака в двух совокупностях,
имеющих разные по величине средние. Как относительные величины коэффициенты
вариации могут сопоставляться не только для одинаковых одноименных показателей,
но и для различных показателей, выраженных в разных единицах измерения. Таким
образом, коэффициент вариации в отличие от среднего квадратического
отклонения позволяет сопоставить глубину вариации неоднородных совокупностей.