Как найти средний путь формулы

На прошлых уроках мы познакомились с определением механического движения, узнали, каким бывает движение, изучили его свойства и характеристики. Теперь нам известны формулы для расчета скорости при равномерном движении ($upsilon = frac{S}{t}$) и средней скорости при неравномерном ($upsilon_{ср} = frac{S}{t}$).

На данном уроке мы посмотрим на эти формулы с другой стороны — научимся использовать их для расчета пути и времени движения, а также рассмотрим графики скорости и пути для равномерного движения.

Формулы для расчета пути и времени движения при равномерном движении тела

Скорость тела при равномерном движении вычисляется по формуле $upsilon = frac{S}{t}$. Отсюда, если мы знаем скорость и время, то можем найти пройденный путь:

$S = upsilon t$.

Чтобы определить путь, пройденный телом при равномерном движении, нужно скорость тела умножить на время его движения.

Выразим время:

$t = frac{S}{upsilon}$.

Чтобы рассчитать время при равномерном движении, нужно путь, пройденный телом, разделить на скорость его движения.

Формулы для расчета пути и времени движения при неравномерном движении тела

При неравномерном движении мы используем определение средней скорости, которую можем найти по формуле:
$upsilon_{ср} = frac{S}{t}$.

Чтобы определить путь при неравномерном движении, нужно среднюю скорость движения умножить на время:

$large S = upsilon_{ср} t$.

Также мы можем рассчитать время, разделив путь, пройденный телом, на среднюю скорость его движения:

$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$.

График скорости равномерного движения

Так как скорость – это векторная величина, она характеризуется и модулем, и направлением. В зависимости от выбранного направления скорость по знаку может быть как положительной, так и отрицательной.

На рисунке 1 изображен динозавр, автомобиль и дом. Зададим ось координат $x$.

Если динозавр начнет двигаться к дому, то его скорость будет положительной, так как направление движения совпадает с направлением оси $x$. Если же динозавр направится к автомобилю, то его скорость будет отрицательной, так как направление движения противоположно направлению оси $x$.

Итак, график скорости равномерного движения имеет вид, представленный на рисунке 2.

Из графика видно, что скорости с течением времени не изменяется – они постоянны в любой выбранный момент времени. Если мы посмотрим на график положительной скорости, то увидим, что $upsilon = 6 frac{м}{с}$, на график отрицательной — $upsilon = -4 frac{м}{с}$.

Зная скорость и время, мы можем рассчитать пройденный путь за определенный промежуток времени. Рассчитаем какой путь пройдет тело с положительной скоростью за $4 space с$.

$S = upsilon t = 6 frac{м}{с} cdot space 4 c = 24 space м$.

График пути равномерного движения

Пример графика зависимости пути равномерного движения представлен на рисунке 3.

Здесь $S$ — ось пройденных путей, $t$ — ось времени. По этому графику мы можем найти путь, пройденный телом за определенный промежуток времени. Например, за 1 с тело проходит путь длиной 2 м, за 2 с – 4 м, за 3 с – 6 м.

Зная путь и время, мы можем рассчитать скорость. Для удобства расчета возьмем самый первый отрезок пути: $t = 1 space с$, $S = 2 space м$. Тогда,

$upsilon = frac{S}{t} = frac{2 space м}{1 space с} = 2 frac{м}{с}$.

Задачи

Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.

$120 frac{км}{ч} = 120 cdot frac{1000 space м}{3600 space с} approx 33 frac{м}{с}$.

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.

$40 frac{км}{ч} = 40 cdot frac{1000 м}{3600 с} approx 11 frac{м}{с}$,
$900 space км = 900 space 000 м$.

$t-?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Больше задач на расчет пути и времени движения с подробными решениями смотрите в отдельном уроке.

Упражнения

Дано:
$upsilon_1 = 22 frac{м}{с}$
$upsilon_2 = 20 frac{м}{с}$
$upsilon_3 = 8000 frac{м}{с}$
$t = 5 space с$

$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
$S_3 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Определим из графика путь, пройденный телом за $2 space ч$. Этому времени на графике соответствует значение пути, равное $200 space км$. Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$S = 200 space км$
$t = 2 space ч$

$upsilon — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Из графика видно, что скорость тела равна $8 frac{м}{с}$. Этот график представляет собой прямую, параллельную оси времени, потому что движение равномерное, и скорость тела не изменяется с течением времени. Запишем условие задачи и решим ее.

$S_1 — ?$
$S_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Для того, чтобы рассчитать скорость тела, нам нужно знать путь и время, за которое этот путь был пройден. Возьмем эти значения для двух тел из их графиков. Первое тело (I) проходит путь, равный $4 space м$, за $2 space с$. Второе тело (II) проходит путь, равный $4 space м$, за $4 space с$. Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$S = 4 space м$
$t_1 = 2 space с$
$t_2 = 4 space с$

$upsilon_1 — ?$
$upsilon_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

The kinetic theory was introduced to explain the structure and composition of molecules with respect to submicroscopic particles. The theory talks about the increase in pressure due to the constant movement and collision of the submicroscopic particles. It also discusses other properties of a gas such as a temperature, pressure, volume, viscosity, diffusion, thermal conductivity, etc. The theory develops a relationship between the microscopic particles and the macroscopic properties. The molecule of gas is always in constant motion and keeps colliding with each other and to the walls of the container, in such a case, it is difficult as well important to learn the dynamics of the gases.

Molecular nature of matter

As it is known that there are three forms of matter, they are solids, liquids, and gases. The molecules of a solid are tightly packed and they have very minimum intermolecular space among them. In liquids, the molecules are relatively less tightly packed, and hence they have relatively more intermolecular space among them. Gases on the other hand have very loosely packed molecules and the intermolecular distance among them is most as compared to the other states.

Free Path

Let’s understand what is a free path. By definition, a free path is a distance between two consecutive collisions. As known through the behavior of gases, the molecules of a gas are always in constant motion. 

They collide with each other as well as with the walls of the container. Suppose molecule 1 first collided with molecule 2 and then with molecule 3 and so on. When molecule 1 collides with molecule 2, it is known as the first collision. When it collided with molecule 3, it is known as 2nd collision, and so on. 

The distance between the first and the second collision is known as the free path denoted as λ₁, the distance between the second and the third collision is known as λ₂, and so on. Since there is no collision between any two consecutive collisions, therefore, the path is known as a free path (λ₁, λ₂, λ₃, etc).

Mean Free Path

The mean free path is the average path covered by the molecules between collisions. It is known that there are different free paths with different path lengths. Given below are the free paths, 

λ₁ = First free path

λ₂ = Second free path

λ₃ = Third free path

λ_n = nth free path

The average of these path lengths is known as the mean free path. Therefore, the mean free path can (denoted by λ) be calculated as,

λ = (λ₁ + λ₂ + λ₃ + … λ_n)/n

Formulae in mean free path

Let’s take the example of a single molecule having a diameter d. Imagining it moving through other molecules, considering the other molecules are still and not colliding, the molecule covers a certain distance in cylindrical form. The cross-sectional area is πd2. The volume of the cylinder is πd2 × vt, where v is the velocity of the molecule and t is the time. Let’s consider the number of molecules per unit volume is N/V. The mean free path can be written as,

λ = Length of the path/ number of collisions

Since the characteristics of other molecules are not considered and the velocities of the numerator and denominator are different. The velocity in the numerator is average and the velocity in the denominator is relative. Therefore, a factor of √2 is added to the denominator.

The time between two successive collisions,

The average distance between two successive collisions,

Sample Problems

Problem 1: Find the mean free path of the oxygen molecule traveling in air at 200K at 1 atm. The diameter of the oxygen molecule is 1.5 × 10^-6 m.

Solution:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

λ = 

λ = 

Problem 2: Find the mean free path of the oxygen molecule traveling in air at 100 K at 1 atm. The diameter of the oxygen molecule is 2 × 10^-6 m.

Solution:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

λ = 

λ = 0.076 × 10^-14

λ = 7.6 × 10^-16m

Problem 3: Find the mean free path of the oxygen molecule traveling in air at 150 K at 1 atm. The diameter of the oxygen molecule is 1 × 10^-6 m.

Solution:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

λ = 

λ = 2.17 × 10^-14

λ = 2.17 × 10^-14m

Problem 4: If the mean free path of a molecule is given as 1.5 × 10^-10 m. Find out at what temperature in pascal is the molecule traveling at 2 atm when the diameter of the molecule is given as 1.2 × 10^-6 m.

Solution:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

1.5 × 10^-10 = 

(1.5 × 10^-10)(938.606 × 10¹⁴) = 1/T

1407.909 × 10⁴ = 1/T

T = 7.10 K

Problem 5: If the mean free path of a molecule is given as 1 × 10^-6 m. Find out at what temperature in pascal is the molecule traveling at 1 atm when the diameter of the molecule is given as 2 × 10^-9 m.

Solution:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

1 × 10^-6 = 

(1 × 10^-6)(1303.67 × 10⁸) = 1/T

1303.67 × 10² = 1/T

T = 7.6 × 10^-6

Повторим, как находить среднюю скорость, и рассмотрим конкретные примеры.

Чтобы найти среднюю скорость, надо:

1) найти весь пройденный путь;

2) найти все время движения;

3) весь пройденный путь разделить на все время движения:

На примерах посмотрим, как находить среднюю скорость.

1) Пешеход прошел 2 часа со скоростью 7 км/ч и 3 часа со скоростью 5 км/ч. Найти среднюю скорость движения пешехода на всем пути.

Решение:

Находим весь пройденный путь: 2∙7 + 3∙5 = 29 км.

Находим все время движения: 2+3=5 часов.

Чтобы найти среднюю скорость, весь пройденный путь делим на все время движения: 29:5=5,8 км/ч.

2) Автомобиль проехал 2 часа по шоссе со скоростью 100 км/ч, 1,5 часа по грунтовой дороге со скоростью 40 км/ч и 30 минут по проселочной дороге со скоростью 26 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Решение:

Переведем минуты в часы: 30 минут = 0,5 часа.

Найдем весь пройденный автомобилем путь:

2∙100 + 1,5∙40 + 0,5∙26 = 200 + 60 + 13= 273 км.

Находим все время движения:

2 + 1,5 + 0,5 = 4 часа.

Чтобы найти среднюю скорость движения автомобиля, разделим весь пройденный путь на все время движения:

273:4 = 68,25 км/ч.

3) Велосипедист проехал 3 часа со скоростью 12 км/ч, затем отдохнул час, после чего продолжил путь со скоростью 9 км/ч и проехал еще 2 часа. Найти среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути.

Решение:

Найдем весь путь велосипедиста:

3∙12 + 1∙0 + 2∙9 = 54 км.

Найдем все время движения:

3 + 1 + 2 = 6 часов.

Чтобы найти среднюю скорость движения велосипедиста, весь путь делим на все время движения:

54:6=9 км/ч.

I. Механика

Тестирование онлайн

Виды неравномерного движения

Неравномерным считается движение с изменяющейся скоростью. Скорость может изменяться по направлению. Можно заключить, что любое движение НЕ по прямой траектории является неравномерным. Например, движение тела по окружности, движение тела брошенного вдаль и др.

Скорость может изменяться по численному значению. Такое движение тоже будет неравномерным. Особенный случай такого движения — равноускоренное движение.

Иногда встречается неравномерное движение, которое состоит из чередования различного вида движений, например, сначала автобус разгоняется (движение равноускоренное), потом какое-то время движется равномерно, а потом останавливается.

Мгновенная скорость

Охарактеризовать неравномерное движение можно лишь скоростью. Но скорость всегда изменяется! Поэтому можно говорить лишь о скорости в данное мгновение времени. Путешествуя на машине спидометр ежесекундно демонстрирует вам мгновенную скорость движения. Но время при этом надо уменьшить не до секунды, а рассматривать гораздо меньший промежуток времени!

Средняя скорость

Что же такое средняя скорость? Неверно думать, что необходимо сложить все мгновенные скорости и разделить на их количество. Это самое распространенное заблуждение о средней скорости! Средняя скорость — это весь путь разделить на затраченное время. И никакими другими способами она не определяется. Если рассмотреть движение автомобиля, можно оценить его средние скорости на первой половине пути, на второй, на всем пути. Средние скорости могут быть одинаковыми, а могут быть различными на этих участках.

У средних величин рисуют сверху горизонтальную черту.

Средняя скорость перемещения. Средняя путевая скорость

Если движение тела не является прямолинейным, то пройденный телом путь будет больше, чем его перемещение. В этом случае средняя скорость перемещения отличается от средней путевой скорости. Путевая скорость — скаляр.

Главное запомнить

1) Определение и виды неравномерного движения;
2) Различие средней и мгновенной скоростей;
3) Правило нахождения средней скорости движения

Формула для определения средней скорости*

Определение мгновенной скорости графически*

Упражнения

В данной статье рассказано о том, как найти среднюю скорость. Дано определение этого понятия, а также рассмотрено два важных частных случая нахождения средней скорости. Представлен подробный разбор задач на нахождение средней скорости тела от репетитора по математике и физике.

Определение средней скорости

Средней скоростью движения тела называется отношение пути , пройденного телом, ко времени , в течение которого двигалось тело:

   

Научимся ее находить на примере следующей задачи:

Тело двигалось 3 мин. со скоростью 5 м/с, после чего 7 мин. двигалось со скоростью 3 м/с. Найти среднюю скорость движения тела.

Обратите внимание, что в данном случае это значение не совпало со средним арифметическим скоростей и , которое равно:
м/с.

Частные случаи нахождения средней скорости

1. Два одинаковых участка пути. Пусть первую половину пути тело двигалось со скоростью , а вторую половину пути — со скоростью . Требуется найти среднюю скорость движения тела.

   

2. Два одинаковых интервала движения. Пусть тело двигалось со скоростью в течение некоторого промежутка времени, а затем стало двигаться со скоростью в течение такого же промежутка времени. Требуется найти среднюю скорость движения тела.

   

Здесь мы получили единственный случай, когда средняя скорость движения совпала со средним арифметическим скоростей и на двух участках пути.

Решим напоследок задачу из Всероссийской олимпиады школьников по физике, прошедшей в прошлом году, которая связана с темой нашего сегодняшнего занятия.

Пройденный телом путь составляет: м. Можно найти также путь, который прошло тело за последние с своего движения: м. Тогда за первые с своего движения тело преодолело путь в м. Следовательно, средняя скорость на этом участке пути составила:
м/с.

Задачи на нахождение средней скорости движения очень любят предлагать на ЕГЭ и ОГЭ по физике, вступительных экзаменах, а также олимпиадах. Научиться решать эти задачи должен каждый школьник, если он планирует продолжить свое обучение в вузе. Помочь справиться с этой задачей может знающий товарищ, школьный учитель или репетитор по математике и физике. Удачи вам в изучении физики!

Репетитор по физике на Юго-Западной
Сергей Валерьевич

подготовка к ЕГЭ по физике с репетиторомподготовка к ОГЭ по математике с репетиторомрешение задач по физикесправочник по физикетеория ЕГЭ по физикетеория ОГЭ по физике