Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.
1. Формула средней линии трапеции через основания
b — верхнее основание
a — нижнее основание
m— средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
b — верхнее основание
a — нижнее основание
α, β — углы трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
α, β — углы между диагоналями
d1 , d2 — диагонали трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S — площадь трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 24 сентября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
Термин «трапеция» произошёл от греческого слова «столик». В русском языке от того же слова произошло
понятие «трапеза» — еда.
Средняя линия — отрезок, который прокладывается через противолежащие стороны, и который дробит их
точно на половинки.
Средняя линия трапеции имеет три отличительных черты:
- Она параллельна базовым сторонам четырёхугольника;
- Эквивалентна половинке суммирования оснований;
- Разбивает первоначальный четырёхугольник на две поменьше. Вместе с тем их площади имеют
конкретное соотношение друг к другу.
- Средняя линия трапеции через длины оснований
- Средняя линия трапеции через площадь и высоту
- Средняя линия трапеции через нижнее основание, высоту и
углы при нижнем основании - Средняя линия трапеции через верхнее основание, высоту и
углы при нижнем основании - Средняя линия трапеции через диагонали, высоту и угол между
диагоналями - Средняя линия трапеции через боковые стороны, верхнее
основание и углы при нижнем основании - Средняя линия трапеции через боковые стороны, нижнее
основание и углы при нижнем основании - Средняя линия равнобедренной трапеции через боковую
сторону, нижнее основание и угол между ними - Средняя линия равнобедренной трапеции через боковую
сторону, верхнее основание и угол при нижнем основании - Средняя линия прямоугольной трапеции через нижнее
основание, высоту и острый угол при нижнем основании - Средняя линия прямоугольной трапеции через верхнее
основание, высоту и острый угол при нижнем основании
Через длины оснований
Имеется одно основная формулировка, которая позволяет рассчитывать величину средней линии. Величина
средней линии будет равна сумме базовых сторон фигуры, поделённой напополам. Формула следующая:
M = a + b / 2
где a и b — наибольшая и наименьшая стороны.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если наибольшая базовая сторона равна 8, а наименьшая — 10, то (8 + 10) / 2 = 9. Или, если
наибольшая базовая сторона равна 15, а наименьшая — 3. Тогда:
(3 + 15) / 2 = 9.
Через площадь и высоту
Формулировка поиска величины срединного отрезка через площадь и перпендикуляр:
M = S / h
где S — площадь, h — перпендикуляр.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если площадь равняется 20, а высота — 5, тогда: M = 20 / 5 = 4. Если площадь равна 50, а
высота равна 5, тогда срединный отрезок:
M = 50 / 5 = 10.
Через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании
Равенство расчёта величины срединного отрезка через наибольшую базовую сторону, высоту и углы при
наименьшей базовой стороне выглядит:
M = b + h * (ctg α + ctg β)/2
где b — наибольшая базовая сторона, α и β — углы при наименьшей базовой стороне, h — высота.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Наибольшая сторона равняется 15, высота — 6, а углы — 45 и 30. В таком случае:
m = 15 + 6 · (ctg 45 + ctg 30)/2 = 15 + 6 · (1 + √3)/2 ≈ 23,196.
Через диагонали, высоту и угол между диагоналями
Формулировка исчисления величины срединного отрезка через диагонали, высоту и уголок между
диагоналями описывается:
M = (d1 * d2)/2h * sin α
где d1, d2 — диагонали, α — уголок между диагоналями, h — высота.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть диагонали четырёхугольника равняются 15 и 4, высота — 5, а уголок между диагоналями
фигуры — 30 градусов. Значит:
m = (15 * 4)/(2 * 5) * sin 30 = 6 * 1/2 = 3.
Если в качестве диагоналей взять 20 и 5, высоты — 6, а угла — 30, тогда: m = (20 * 5)/(2 * 6) * sin
30 ≈ 8,33 * 1/2 ≈ 4,167.
Через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании
Формулировка нахождения величины срединного отрезка через наименьшую базовую сторону, высоту и углы
при наименьшей базовой стороне приведена далее:
M = a — h * (ctg α + ctg β)/ 2
где a — наименьшая базовая сторона, α и β — углы при наименьшей базовой стороне, h — высота
четырёхугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если наименьшая базовая сторона четырёхугольника равносильна 5, углы — 45 и 45, а высота — 2,
тогда: 5 – 2 · (ctg 45 + ctg 45)/ 2 = 3.
Через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании
Тождество поиска величины срединного отрезка через вспомогательные стороны, наибольшую сторону и углы
при наименьшей стороне:
m = (2b + c * cos α + d * cos β) / 2
где b — наибольшая сторона, c и d — вспомогательные стороны, α и β — углы при наименьшей стороне.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если в качестве наибольшей стороны взять 15, наклонных сторон — 7 и 9, а углов при наименьшей
стороне — 60 и 60 градусов. Следовательно: m = (2 * 15 + 7 * cos 60 + 9 * cos 60) / 2 = (30 +
3,5 + 4,5) / 2 = 19.
Через боковые стороны, нижнее основание и углы при нижнем основании
Выражение исчисления величины срединного отрезка через вспомогательные стороны, меньшую сторону и углы при меньшей стороне:
m = (2a — c * cos α — d * cos β) / 2
где a — меньшая сторона, c и d — наклонные стороны, α и β — углы.
Угол (α):
Угол (β):
Цифр после запятой:
Результат в:
К примеру, если нижняя сторона равна 8, боковая сторона 5, а угол при нижней стороне фигуры — 60, тогда:
m = (2 · 8 – 2 · 5 · cos 60) / 2 = 3.
Если же нижняя сторона равняется 12, боковая сторона 6, а угол при нижней стороне — 60, в таком случае:
m = (2 · 12 – 2 · 6 · cos 60) / 2 = 9.
Средняя линия равнобедренной трапеции через боковую сторону, верхнее основание и угол при нижнем
основании
Формула расчёта длины срединного отрезка через боковые стороны, верхнюю сторону и углы при нижней
стороне:
m = (2b + 2c · cos β) / 2
где b — верхняя сторона, c — боковая сторона четырёхугольника, β — угол.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Например, если верхняя сторона четырёхугольника равняется 5, боковая сторона 8, а угол при нижней
стороне фигуры — 60, тогда срединный отрезок рассчитывается следующим образом: m = (2 · 5 – 2 ·
8 · cos 60) / 2 = 1.
Если представить верхнюю сторону длиной 6, боковую сторону длиной 5, а угол при нижней стороне
четырёхугольника — 60, в таком случае: m = (2 · 6 – 2 · 5 · cos 60) / 2 = 3,5.
Через боковые стороны, нижнее основание и углы при нижнем основании
Выражение исчисления величины срединного отрезка через вспомогательные стороны, меньшую сторону и
углы при меньшей стороне:
m = (2a — c * cos α — d * cos β) / 2
где a — меньшая сторона, c и d — наклонные стороны, α и β — углы.
Цифр после
запятой:
Результат в:
К примеру, если нижняя сторона равна 8, боковая сторона 5, а угол при нижней стороне фигуры — 60,
тогда: m = (2 · 8 – 2 · 5 · cos 60) / 2 = 3.
Если же нижняя сторона равняется 12, боковая сторона 6, а угол при нижней стороне — 60, в таком
случае: m = (2 · 12 – 2 · 6 · cos 60) / 2 = 9.
Средняя линия прямоугольной трапеции через нижнее основание, высоту и острый угол при нижнем
основании
Формула определения длины срединного отрезка через боковые стороны, верхнюю сторону и углы при нижней
стороне:
m = a – h · ctg β / 2
где a — нижняя сторона, h — высота, β — острый уголок при нижней стороне.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть нижняя сторона четырёхугольника равняется 8, высота — 3, а острый уголок — 45, в таком
случае: m = 8 – 3 · ctg 45 / 2 = 6,5.
Средняя линия прямоугольной трапеции через верхнее основание, высоту и острый угол при нижнем
основании
Формула определения длины срединного отрезка через боковые стороны, верхнюю сторону и углы при нижней
стороне:
m = b + h · ctg β / 2
где b — верхняя сторона, h — высота, β — острый угол при нижней стороне.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В качестве верхнего возьмём 4, высоты — 2, острого угла — 45. В таком случае формула
такая: m = 4 + 2 · ctg 45 / 2 = 5.
Общее понятие трапеции
Трапеция — геометрическая фигура, четырёхугольник, две противолежащие стороны которого размещены на
параллельных прямых. В свою очередь, две иные стороны должны быть не параллельными. Нередко в
описании четырёхугольника не обращают внимания на завершающее требование.
Впервые эту фигуру описал математик Древней Греции Евклид в своих работах. В своей книге «Начала» он
таким образом характеризует всякий четырёхугольник, не являющийся параллелограммом.
Описывая трапецию, необходимо выделить следующие элементы:
- Параллельные противолежащие стороны именуются основаниями фигуры;
- Две иные стороны именуют боковыми или наклонными сторонами;
- Отрезок, который объединяет средины вспомогательных сторон, прозвали средней линией
четырёхугольника; - Углом при основании трапеции прозвали её внутренний уголок, который образовало основание с
наклонной стороной.
Выделяют такие характеристики трапеции:
- Срединный отрезок трапеции пролегает параллельно основаниям и равняется половине их
суммирования; - Отрезок, который объединяет средины диагоналей трапеции, равняется половинке разности оснований
и пролегает по средней линии; - Отрезок, который параллелен основаниям и пролегает через точку скрещивания диагоналей,
разделяется последней напополам и равняется 2xy / (x + y) среднему гармоническому (один из
методов, которым можно характеризовать «среднюю» величину определённой совокупности чисел)
величин оснований трапеции; - В трапецию можно вписать окружность, если суммирование величин оснований четырёхугольника
равняется суммированию величин её вспомогательных сторон; - Точка скрещивания диагоналей трапеции, точка скрещивания последующих продлений её
вспомогательных сторон и средины оснований располагаются на единой прямой; - Если суммирование углов при одном из оснований трапеции равняется 90°, в таком случае
продолжения наклонных сторон перекрещиваются под прямым углом, а отрезок, объединяющий средины
оснований, равняется половинке их разности; - Диагонали четырёхугольника разделяют его на четыре треугольника. Два из них, которые прилегают к
основаниям, подобны. Два иных, которые прилегают к вспомогательным сторонам, имеют равную
площадь; - Если отношение оснований равно K, тогда отношение площадей треугольников, которые прилегают к
ним, равняется K2; - Прямая Ньютона (прямая, которая объединяет серединки диагоналей четырёхугольника) для
четырёхугольника сходится с её срединным отрезком.
Рассмотренная версия трапеции — это наиболее популярная разновидность геометрической фигуры. Однако,
выделяют и дополнительные ситуации.
Равнобедренная или равнобокая или равнобочная трапеция — та, у которой наклонные, иными словами,
непараллельные, стороны равняются друг другу. В евклидовой геометрии равнобедренной трапецией
именуется выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, которая пролегает через средины двух
противолежащих сторон. Во всякой равнобедренной трапеции два противолежащих основания параллельны,
две наклонные стороны имеют одинаковые величины (характеристика, которой параллелограмм также
соответствует). Диагонали также имеют равносильные величины. Углы при всяком основании равняются
друг другу и углы при разнообразных основаниях считаются смежными, иначе говоря, в сумме
составляющие 180 градусов.
Трапеция является равнобедренной лишь в том случае, когда выполняется одно из таких эквивалентных
условий:
- Прямая, пролегающая через средины оснований, ортогональна ним;
- Перпендикуляр, который проложен из вершины на наиболее протяжённое основание, разделяет его на
две части, одна из которых равняется половине суммирования оснований, а другая — половинке
разности; - Углы при всяком основании равносильны;
- Суммирование противолежащих углов равняется 180 градусам;
- Величины диагоналей равносильны;
- Вокруг следующего четырёхугольника можно описать окружность;
- Вершинами подобного четырёхугольника ещё считаются вершины какого-либо антипараллелограмма или
контрпараллелограмма (плоского четырёхугольника, где всякие две противолежащие стороны равняются
друг другу, но не параллельны, в сравнении с параллелограммом); - Если в равнобедренной трапеции диагонали ортогональны, тогда перпендикуляр равняется половине
суммирования базовых сторон.
Диагонали равнобедренной трапеции равносильны. Иными словами, всякая равнобедренная трапеция
считается равнодиагональным четырёхугольником. Тем не менее диагонали равнобедренной трапеции
разделяются в одинаковой пропорции.
Прямоугольная трапеция — та, где одна из наклонных сторон и основание формируют прямой угол (в 90
градусов).
Иным особенным случаем считается трапеция с тремя равносильными сторонами. В иностранной литературе
её именуют трёхсторонней трапецией или триравнобедренной трапецией. Подобный четырёхугольник
анализируется как отсечение четырёх последовательных вершин от правильного многоугольника, который
имеет пять или больше сторон.
По заданному описанию параллелограмм и прямоугольник — особые случаи трапеции. Тем не менее при
применении подобного термина основная доля характеристик равнобедренной трапеции становится
недействительна, так как параллелограмм становится её особым случаем.
Анализирование трапеции неразрывно связано с окружностью:
- Если суммирование базовых сторон трапеции равносильно суммированию вспомогательных сторон, то в
неё можно вписать окружность. Средняя линия в такой ситуации равносильна суммированию наклонных
сторон, разделённой на два, ведь средняя линия трапеции равносильна половинке суммирования
оснований; - В четырёхугольнике его вспомогательная сторона различима из центра вписанной окружности
ортогонально; - Если четырёхугольник можно вписать в окружность, в такой ситуации она равнобедренная.
Как найти среднюю линию трапеции
Содержание:
- Средняя линия трапеции – что это?
- Свойства
-
Как вычислить, основные формулы
- Через основания
- Через основание, высоту и углы при нижнем основании
- Через диагонали, высоту и угол между диагоналями
- Через площадь и высоту
- Примеры задач
Средняя линия трапеции – что это?
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Свойства
- Параллельна обоим основаниям трапеции.
- Вычисляется как половина суммы оснований.
- Разбивает трапецию на две, площади которых соотносятся как (frac{S_1}{S_2}=frac{3,BC+AD}{BC+3,AD})
Как вычислить, основные формулы
Через основания
(m=frac{a+b}2)
Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Через основание, высоту и углы при нижнем основании
(m=a-htimesfrac{ctgalpha+ctgbeta}2)
(m=b+htimesfrac{ctgalpha+ctgbeta}2)
Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы при нижнем основании.
Через диагонали, высоту и угол между диагоналями
(m=frac{d_1d_2}{2h}timessinalpha=frac{d_1d_2}{2h}timessinbeta)
Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы между диагоналями, (d_1), (d_2) – диагонали трапеции.
Через площадь и высоту
(m=frac{{}_S}h)
Где (h) – высота трапеции, (m) – средняя линия, (S) – площадь.
Примеры задач
Задача 1
Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 18, меньшее 6, боковая сторона равна 7. Угол между боковой стороной и одним из оснований 150 градусов.
(angle ABC) и (angle BAH) односторонние (Rightarrow angle ABC+angle BAH;=;180^circ Rightarrow angle BAH;=;30^circ)
Рассмотрим (angle ABH)
(BH=frac12AB=3,5)
(S_{ABCD}=frac{AD+BC}2times BH=frac{6+18}2times3,5=42)
Ответ: 42
Задача 2
Основания трапеции равны 4 и 10. Чему равен больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей?
Средняя линия трапеции ABCD так же является средней линией треугольников ABC и ACD т.к. проходит через середину одной стороны и параллельна основанию. Значит, из треугольника ACD x = 5.
Ответ: 5
Задача 3
ABCD – трапеция, BC = 2, AD = 3, PQ – средняя линия, BD и AC – диагонали. Найти MN.
(PQ=frac{BC+AD}2=2,5)
Отрезок MN лежит на средней линии трапеции. Докажем: PM и NQ средние линии треугольников ABC и BCD, значит M и N середины соответственно AC и BD. Из треугольника ABC находим длину PM = 1, из треугольника BCD находим NQ = 1, следовательно MN = 2,5 — 1 — 1 = 0,5
Ответ: 0,5
Как найти среднюю линию трапеции
В решении планиметрических задач, помимо сторон и углов фигуры, нередко активное участие принимают и другие величины – медианы, высоты, диагонали, биссектрисы и прочие. К их числу относится и средняя линия.
Если исходный многоугольник – трапеция, то что представляет собой его средняя линия? Данный отрезок представляет собой часть прямой, которая пересекает боковые стороны фигуры посередине и располагается параллельно двум другим сторонам – основаниям.
1
Как найти среднюю линию трапеции через линию средины и основания
Если известны величина верхнего и нижнего оснований, то рассчитать неизвестное поможет выражение:
l = (a+b)/2,
a, b – основания, l – средняя линия.
2
Как найти среднюю линию трапеции через площадь
Если в исходных данных присутствует значение площади фигуры, то с помощью данной величины также можно вычислить длину линии средины трапеции. Воспользуемся формулой S = (a+b)/2*h,
S – площадь,
h – высота,
a, b – основания.
Но, так как l = (a+b)/2, то S = l*h, а значит l=S/h.
3
Как найти среднюю линию трапеции через основание и углы при нем
При наличии длины большего основания фигуры, ее высоты, а также известных градусных мер углов при нем, выражение для нахождения линии средины трапеции будет иметь следующий вид:
l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, при этом
l – искомая величина,
a – большее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.
Если известно значение меньшего основания (при тех же остальных данных), найти линию средины поможет соотношение:
l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,
l – искомая величина,
b – меньшее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.
4
Найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и углы
Рассмотрим ситуацию, когда в условиях задачи присутствуют значения диагоналей фигуры, углы, которые они образуют, пересекаясь друг с другом, а также высота. Рассчитать среднюю линию можно с помощью выражений:
l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,
l – линия средины,
d1, d2 – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.
5
Как найти среднюю линию трапецииДля равнобедренной фигуры
В случае, если базовая фигура – трапеция равнобедренная, приведенные выше формулы будут иметь следующий вид.
- При наличии значений оснований трапеции изменений в выражении не произойдет.
l = (a+b)/2, a, b – основания, l – средняя линия.
- Если известны высота, основание и углы, к нему прилегающие, то:
l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,
l – линия средины,
a, b – основания (b < a),
α – углы при нем,
h – высота фигуры.
- Если известна боковая сторона трапеции и одно из оснований, то определить искомую величину можно, обратившись к выражению:
l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – линия средины,
a, b – основания (b < a),
h – высота фигуры.
- При известных значениях высоты, диагоналей (а они равны между собой) и углах, образованных в результате их пересечения, линию средины можно найти следующим образом:
l=(d*d)/2h*sinγ или l=(d*d)/2h*sinφ,
l – линия средины,
d – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.
- Известны площадь и высота фигуры, тогда:
l=S/h,
S – площадь,
h – высота.
- Если перпендикуляр-высота неизвестен, его можно определить с помощью определения тригонометрической функции.
h=c*sinα, поэтому
l=S/c*sinα,
l – линия средины,
S – площадь,
c – боковая сторона,
α- угол у основания.
Трапеция и ее свойства
Т. А. Унегова
Определения:
Трапеция — это называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами трапеции.
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.
Трапеция называется вписанной в окружность, если каждая ее вершина принадлежит окружности.
Трапеция называется описанной вокруг окружности, если каждая ее сторона касается окружности.
Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции
Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: 
.
Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой: 
.
Теорема 3. Средняя линия треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: 
.
Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон — лежат на одной прямой.
Эта теорема называется также «Замечательное свойство трапеции».
Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.
Теоремы о площади трапеции
Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: 
.
Теорема 7. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: 
.
Теорема 8. Площадь трапеции (как и всякого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними: 
, где 
(Вместо 
можно брать 
Теорема 9. Если в трапецию можно вписать окружность, то (как и для всякого описанного многоугольника) площадь трапеции равна произведению ее полупериметра на радиус вписанной окружности: 
. Таким образом, 
.
Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравни эту теорему и теорему 3.)
Теоремы о вписанных и описанных трапециях
Теорема 11. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность.
Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.
Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция
Задача 1.
Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны 
.
Решение:
Высота трапеции— это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины 
. Так как сторона квадратной клетки равна , то по теореме Пифагора получаем, что 
.
Ответ: 2.
Задача 2.
Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 
. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Углы 
ABC и BAH — односторонние, их сумма равна 
, и тогда BAH 
Из 
ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в 
, равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.
Площадь трапеции равна 
.
Ответ: 42.
Задача 3.
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.
Решение:
Что можно увидеть на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.
Напомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны. Из ACD находим, что 
Ответ: 5.
Задача 4.
Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение:
Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и 
. Отсюда получаем, что 
середина отрезка AC, то есть PM — средняя линия треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.
Ответ: 0,5.
Задача 5.
Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.
Решение:
Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть 
Периметр трапеции равен
Ответ: 23.
Задача 6.
В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол 
. Найдите углы трапеции.
Решение:
Пусть CAD 
, тогда CAB и BAD 
, так как трапеция равнобедренная.
Сумма углов 
, откуда
Итак, 
, а
.
Ответ: 
.
Задача 7.
В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.
Решение:
В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и 
Отсюда, 
Ответ: 24.
Задача 8.
Тупой угол равнобедренной трапеции равен 
, а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом 
.
Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h = 1,4.
Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее — 4,8. Отсюда площадь трапеции равна 
.
Ответ: 4,76.
Задача 9.
Площадь трапеции равна 60м
а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.
Решение:
Так как площадь трапеции 
, то 
, откуда h = 6.
Ответ: 6.
Задача 10.
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны 
Найдите площадь трапеции.
Решение:
Проведем CE 
BD и DE — продолжение AD.
Так как BCDE — параллелограмм, то CE = a.
По теореме 10 получим, что 
.
Ответ: 
Задач 11.
В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A.
Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен 
.
Решение:
По условию задачи в прямоугольном ACD
D 
, следовательно, CAD 
.
Так как AC — биссектриса, то CAB 
, откуда DAB , то есть, трапеция равнобедренная. BCA 
CAD как накрест лежащие, поэтому ABC — равнобедренный.
Обозначим длины боковых сторон ABC буквой x.
Тогда AB = BC = CD = x, и AD = 2x, так как в прямоугольном ACD против угла в 
лежит катет, равный половине гипотенузы.
Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда
x = 4 и AD = 8.
Ответ: 8.
Задача 12.
В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?
Решение:
Нетрудно видеть, что BCM равносторонний и BM = 2, тогда AM = 12 и BCM подобен ADM c коэффициентом 
.
Пусть
, 
, тогда
Площадь трапеции будет равна
Ответ: 35.
Задача 13.
Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 
. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.
Решение:
Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.
Так как сумма углов при основании трапеции равна , то 
, поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.
Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит 
Ответ: 2.
Задача 14.
Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.
Решение:
Так как площадь трапеции равна , а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть 
то 
, откуда 
.
Ответ: 1,2.
Задача 15.
Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.
Решение:
По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому
откуда 
Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому 
.
Ответ: 3.
Задача 16.
Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.
Решение:
Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому
Ответ: 20.
Задача 17.
В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.
Решение:
Так как AD — диаметр окружности, то дуга ABCD равна 
. Она делится на три равные части по 
Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна 
, отсюда 
и, стало быть, 
Ответ: 120.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Трапеция и ее свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023