Как найти среднюю линию трапеции равнобокой трапеции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

1. Формула средней линии равнобедренной трапеции через основания

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия

Формула средней линии, (m ):

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — боковая сторона

α — угол при нижнем осровании

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m ):

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

d — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формула средней линии трапеции, (m ):

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

α — угол при нижнем осровании

m — средняя линия

Формула средней линии трапеции, (m ):

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 12 октября 2013

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Как найти среднюю линию равнобедренной трапеции

Трапецией считают четырехугольник, имеющий лишь две параллельные стороны — они называются основаниями этой фигуры. Если при этом длины двух других — боковых — сторон одинаковы, трапеция называется равнобедренной или равнобокой. Линия, которая соединяет середины боковых сторон, называется средней линией трапеции и может быть рассчитана несколькими способами.

Инструкция

Если известны длины обоих оснований (А и В), для вычисления длины средней линии (L) используйте основное свойство этого элемента равнобедренной трапеции — она равна полусумме длин оснований: L = ½*(А+В). Например, в трапеции с основаниями, имеющими длины 10см и 20см, средняя линия должна быть равна ½*(10+20) = 15см.

Средняя линия (L) вместе с высотой (h) равнобокой трапеции является сомножителем в формуле вычисления площади (S) этой фигуры. Если эти два параметра даны в исходных условиях задачи, для вычисления длины средней линии делите площадь на высоту: L = S/h. Например, при площади в 75 см² равнобедренная трапеция высотой в 15см должна иметь среднюю линию длиной в 75/15 = 5см.

При известных периметре (Р) и длине боковой стороны (С) равнобедренной трапеции рассчитать среднюю линию (L) фигуры тоже несложно. Отнимите от периметра две длины боковых сторон, а оставшаяся величина будет суммой длин оснований — поделите ее пополам, и задача будет решена: L = (P-2*С)/2. Например, при периметре, равном 150см, и боковой стороне длиной в 25см длина средней линии должна составить (150-2*25)/2 = 50см.

Зная длины периметра (P) и высоты (h), а также величину одного из острых углов (α) равнобедренной трапеции, тоже можно вычислить длину ее средней линии (L). В треугольнике, составленном высотой, боковой стороной и частью основания, один из углов является прямым, а величина другого известна. Это позволит вычислить длину боковой стороны по теореме синусов — разделите высоту на синус известного угла: h/sin(α). Затем подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага и вы получите такое равенство: L = (P-2*h/sin(α))/2 = P/2-h/sin(α). Например, если известный угол имеет величину в 30°, высота равна 10см, а периметр составляет 150см, длина средней линии должна быть рассчитана так: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55см.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Факт 1.
(bullet) Трапеция – выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны ((ABCD), (MNKP)).
Параллельные стороны называются основаниями ((AD) и (BC), (MP) и (NK)), две другие – боковыми сторонами ((AB) и (CD), (MN) и (KP)).
(bullet) Высота трапеции – отрезок, проведенный из вершины одного из оснований к прямой, содержащей второе основание ((BH), (KO)).

Факт 2.
(bullet) Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
(bullet) Свойства равнобедренной трапеции:
1. углы при основании равны;
2. диагонали равны.
(bullet) Признаки равнобедренной трапеции:
1. если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная;
2. если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Факт 3.

Источник

Средняя линия трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Мы снова затронем тему трапеций (что это?).

И расскажем о том, что такое средняя линия этой геометрической фигуры.

Средняя линия – это…

Вообще, этот термин в геометрии весьма распространен.

Средняя линия – это отрезок, проходящий через противоположные стороны, и который делит их ровно на две одинаковых части.

Средняя линия есть практически у каждой геометрической фигуры. Например, у четырехугольников она выглядит вот так:

А вот так у треугольников:

И наконец, в случае трапеции изображение средней линии будет вот таким:

На данном рисунке показана трапеция ABCD. Если кто забыл, то у такой фигуры две противоположные грани расположены на параллельных прямых.

Они называются основаниями. А оставшиеся стороны, которые соответственно не параллельны друг другу, это боковые.

Так вот в нашем случае мы имеем среднюю линию EF, которая делит боковые стороны АВ и СD на две половинки. То есть:

AE = EB и СF = FD

Как найти среднюю линию трапеции (формула)

Есть одна главная формула, позволяющая рассчитать значение нашего отрезка.

Так, длина средней линии будет равна сумме оснований фигуры, поделенной на два. Или, другими словами, половине суммы оснований.

Возьмем для примера трапецию:

И тогда формула расчета будет выглядеть так:

Если есть желание доказать правдивость этой формулы, нужно несколько дорисовать нашу изначальную фигуру. А именно провести линию через В и L, а также продлить сторону АD. И сделать так, чтобы эти две линии пересеклись.

В итоге получится вот что:

Далее нас будут интересовать оба треугольника, которые получились. Это BLC и DLQ. Необходимо доказать, что они имеют равные размеры.

И это просто, так как у них одинаковы углы:

BLC и QLD – как вертикальные;
BCL и QDL – как лежащие накрест при имеющихся параллельных прямых и секущей.

Соответственно, если равны в треугольниках углы и стороны между ними, то и сами фигуры одинаковы.

DLQ = BLC

А уже из этого следует, что ВL и LQ равны. А значит, КL является не только средней линией трапеции, но также и аналогичной линией для треугольника ABQ.

А дальше уже совсем просто, так как есть специальная формула для расчета средней линии треугольника. Она равна одной второй (половине) длины параллельной стороны:

KL = 1/2AQ

Длина стороны AQ у нас равна AD + DQ (или ВС). И таким образом мы и получаем ту самую формулу расчета средней линии трапеции:

KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + ВС)

Как принято говорить в таких случаях – что и требовалось доказать.

Свойства средней линии трапеции

У средней линии трапеции есть три главных свойства:

Она параллельна основаниям трапеции;
Она равна полусумме оснований (та самая формула, о которой мы только что рассказывали);
Она разбивает исходную трапецию на две более маленькие по площади. Причем их площади имеют вполне конкретное соотношение друг к другу. А именно:
S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)

Эту формулу мы не будем доказывать. Просто поверьте, что так и есть на самом деле.

Вторая средняя линия

Внимательный читатель мог бы заметить, что мы рассказывали до этого только про одну среднюю линию. Ту, что лежит параллельно основаниям. Но ведь у этой геометрической фигуры, как и любого четырехугольника, таких отрезков должно быть два.

И действительно, у трапеции имеется вторая такая линия. И она уже делит на две равные части оба основания:

В нашем случае, это отрезок KL.

Интересно, что эту среднюю линию крайне мало изучают во время школьного обучения. И на экзаменах нет задач, с ней связанных. Хотя у нее есть несколько интересных свойств:

Диагонали трапеции и эта средняя линия пересекаются в одной точке;
Та прямая, частью которой эта линия является, пересекается в единой точке с теми прямыми, которые совпадают с боковыми сторонами;
В равнобокой трапеции (у которой боковые стороны идут под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом в 90 градусов;
В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам…

Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях в трапеции.

Источник

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Определение.

Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.

На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.

Изображение равнобедренной трапеции с обозначениями

Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:

1. Углы при основе равны:

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны:

AC = BD

3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описати окружность

Основные свойства равнобедренной трапеции

1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:

AB = CD = m

3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность

4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):

h = m

5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:

S_ABCD = h²

6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:

h² = BC · AD

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:

AC² + BD² = AB² + CD² + 2BC · AD

8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:

HF ┴ BC, HF ┴ AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований:

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α

c =	h	=	a — b
sin α	2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =	d₁² — c²	b =	d₁² — c²	c = √d₁² — ab
b	a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =	2S	— b b =	2S	— a
h	h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √c² — h² = b + √c² — h²

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =	a — b	tg β	= c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны:

d₁ = d₂

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

1. Формула длины диагонали через стороны:

d₁ = √с² + ab

2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:

d₁ = √a² + c² — 2ac cos α

d₁ = √b² + c² — 2bc cos β

3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:

d₁ = √h² + m²

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =	a + b	√4c² — (a — b)²
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = (b + c cos α) c sin α = (a — c cos α) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =	4 r ²	=	4 r ²
sin α	sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d₁²	· sin γ	=	d₁²	· sin δ
2	2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d₁
4√p(p — a)(p — c)(p — d₁)

где

a — большее основание

Источник