Как найти среднюю линию трапеции решение задач - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания связанные с трапецией. На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с площадью трапеции, а также с углами. Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

Доказано!

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:

zadacha

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Вычисляем по формуле:

Ответ: 23

zadacha

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большее основание:

Таким образом:

Ответ: 38

zadacha

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

Таким образом DC=6. Вычисляем:

Ответ: 10

zadacha

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

Ответ: 4

zadacha

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Исходя из условия можем записать:

Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

Второе уравнение уже можно записать в виде:

Ответ: 20

zadacha

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

Ответ: 9

zadacha

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

Ответ: 14

zadacha

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

При чём:

Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

Ответ: 12

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.

zadacha

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

Ответ: 3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

zadacha

28854.Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны √2.

В данном случае видно, что средняя линия трапеции равна трём диагоналям клетки. Диагональ одной клетки по теореме Пифагора будет равна:

Значит средняя линия равна 2∙3=6.

Конечно, есть и другой путь решения.

Если допустить мысль, что основания трапеции могут лежать по отношению к сетке под углом не 45 градусов, а например 30, или другим, то вполне применим следующий метод (таких задач на ЕГЭ не предвидится):

Вычисляем основания используя теорему Пифагора, а далее используем формулу средней линии.

Основание AD при данных условиях это диагональ в прямоугольном треугольнике с катетами равными 4 сторонам клетки, вычисляем:

Основание BC это диагональ в прямоугольном треугольнике катетами равными 2 сторонам клетки, вычисляем:

Средняя линия будет равна (8+4)/2=6.

*То есть при данном подходе, как бы ни была построена трапеция всегда можно вычислить основания.

Ответ: 6

zadacha

27853. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны √2.

Высота трапеции равна диагонали клетки. Вычисляем по теореме Пифагора:

Ответ: 2

27821. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Посмотреть решение

27838.Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

27843. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Посмотреть решение

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P,S: Расскажите о сайте в социальных сетях.

Источник

Всего: 91 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–91

Добавить в вариант

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 18, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры.

Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 3,1 м, высота большей опоры 3,3 м. Найдите высоту малой опоры.

Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите бóльший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Точка E  — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите бóльший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Точка F  — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ABF равна половине площади трапеции.

Какие из следующих утверждений верны?

1)  Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

2)  Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

3)  Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

В трапеции ABCD AD  =  5, BC  =  2, а её площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

Наклонная балка поддерживается тремя столбами, стоящими вертикально на равном расстоянии друг от друга. Длины двух меньших столбов  — 60 см и 90 см. Найдите длину большего столба. Ответ дайте в см.

Какое из следующих утверждений верно?

1)  Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.

2)  Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

3)  Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

Какое из следующих утверждений верно?

1)  Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

2)  Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

3)  В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.

Какие из следующих утверждений верны?

1)  Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

2)  В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

3)  Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Какие из следующих утверждений верны?

1)  Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2)  Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

3)  Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Всего: 91 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–91

Источник

Тема: «Средняя линия трапеции»

№1. В трапеции ABCD, боковые стороны равны 10см и 12см, а
меньшее основание 8см. Найдите среднюю линию трапеции.

№2. В равнобедренной трапеции высота делит
большее основание на отрезки, равные 5см и 12см. Найдите среднюю линию
трапеции.

№3. В трапеции меньшее основание равно 8см, а
средняя линия 12см. Найдите большее основание. №4. Решить задачу с
помощью уравнения: В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна
12см, а большая составляет с большим основанием угол 45^°. Найдите
основания трапеции, если ее средняя линия равна 20см.

Тема: «Средняя линия трапеции»

№1. В трапеции ABCD, боковые стороны равны 10см и 12см, а
меньшее основание 8см. Найдите среднюю линию трапеции.

Тема: «Средняя линия трапеции»

№1. В трапеции ABCD, боковые стороны равны 10см и 12см, а
меньшее основание 8см. Найдите среднюю линию трапеции.

№3. В трапеции меньшее основание равно 8см, а
средняя линия 12см. Найдите большее основание.

№4. Решить задачу с помощью уравнения:
В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 12см, а большая
составляет с большим основанием угол 45^°. Найдите основания
трапеции, если ее средняя линия равна 20см.

Тема: «Средняя линия трапеции»

№1. В трапеции ABCD, боковые стороны равны 10см и 12см, а
меньшее основание 8см. Найдите среднюю линию трапеции.

№3. В трапеции меньшее основание равно 8см, а
средняя линия 12см. Найдите большее основание.

Тема: «Средняя линия трапеции»

№1. В трапеции ABCD, боковые стороны равны 10см и 12см, а
меньшее основание 8см. Найдите среднюю линию трапеции.

№3. В трапеции меньшее основание равно 8см, а
средняя линия 12см. Найдите большее основание.

Домашняя работа по
геометрии на 15.10.13.

№1. В равнобедренной трапеции
ABCD, ВС=4см, а высота
трапеции равна 3см. Найдите среднюю линию трапеции.

№2. В трапеции МНКР НК=2см, диагональ МК перпендикулярна
боковой стороне КР. Найдите среднюю линию трапеции.

№3. В равнобедренной
трапеции боковая сторона равна 15см, а ее средняя линия 12см. Найдите периметр
трапеции.

№4. Решите задачу
с помощью уравнения: В трапеции ABCD АВ=СD, высота ВН делит основание на два отрезка,
меньший из которых равен 5см. Найдите АD, если ее средняя линия равна 9см.

Повторить п.76-п.85,
конспекты.

Домашняя работа по
геометрии на 15.10.13.

№1. В равнобедренной
трапеции ABCD, ВС=4см, а высота
трапеции равна 3см. Найдите среднюю линию трапеции.

№2. В трапеции МНКР НК=2см, диагональ МК перпендикулярна
боковой стороне КР. Найдите среднюю линию трапеции.

№3. В равнобедренной
трапеции боковая сторона равна 15см, а ее средняя линия 12см. Найдите периметр
трапеции.

Повторить
п.76-п.85, конспекты.

Домашняя работа по
геометрии на 15.10.13.

№1. В равнобедренной
трапеции ABCD, ВС=4см, а высота
трапеции равна 3см. Найдите среднюю линию трапеции.

№2. В трапеции МНКР НК=2см, диагональ МК перпендикулярна боковой
стороне КР. Найдите среднюю линию трапеции.

№3. В равнобедренной
трапеции боковая сторона равна 15см, а ее средняя линия 12см. Найдите периметр
трапеции.

Повторить
п.76-п.85, конспекты.

Домашняя работа по
геометрии на 15.10.13.

№1. В равнобедренной
трапеции ABCD, ВС=4см, а высота
трапеции равна 3см. Найдите среднюю линию трапеции.

№2. В трапеции МНКР НК=2см, диагональ МК перпендикулярна
боковой стороне КР. Найдите среднюю линию трапеции.

№3. В равнобедренной
трапеции боковая сторона равна 15см, а ее средняя линия 12см. Найдите периметр
трапеции.

Повторить
п.76-п.85, конспекты.

Домашняя работа по
геометрии на 15.10.13.

№1. В равнобедренной
трапеции ABCD, ВС=4см, а высота
трапеции равна 3см. Найдите среднюю линию трапеции.

№2. В трапеции МНКР НК=2см, диагональ МК перпендикулярна боковой
стороне КР. Найдите среднюю линию трапеции.

№3. В равнобедренной
трапеции боковая сторона равна 15см, а ее средняя линия 12см. Найдите периметр
трапеции.

Повторить
п.76-п.85, конспекты.

Источник

25
Июл 2013

Категория: 01 Геометрия

01. Трапеция

2013-07-25
2022-09-11

Задача 1. Основания равнобедренной трапеции равны и Боковые стороны равны Найдите синус острого угла трапеции.

Решение: + показать

Задача 2. Большее основание равнобедренной трапеции равно Боковая сторона равна Синус острого угла равен $frac{sqrt5}{3}.$ Найдите меньшее основание.

Решение: + показать

Задача 3. Основания равнобедренной трапеции равны и Тангенс острого угла равен $frac{11}{13}$ . Найдите высоту трапеции.

Решение: + показать

Задача 4. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $70^{circ}$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 5. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны и

Решение: + показать

Задача 6. Средняя линия трапеции равна а меньшее основание равно Найдите большее основание трапеции.

Решение: + показать

Задача 7. Основания трапеции равны и Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Решение: + показать

Задача 8. Основания трапеции равны и Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение: + показать

Задача 9. В равнобедренной трапеции основания равны и острый угол равен $60^{circ}$ . Найдите ее периметр.

Решение: + показать

Задача 10. Основания трапеции равны и боковая сторона равна Площадь трапеции равна Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 11. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного отсекает треугольник, периметр которого равен Найдите периметр трапеции.

Решение: + показать

Задача 12. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины и Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение: + показать

Задача 13. Основания трапеции относятся как а средняя линия равна Найдите меньшее основание.

Решение: + показать

Задача 14. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна Найдите ее среднюю линию.

Решение: + показать

Задача 15. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны и большая боковая сторона составляет с основанием угол $45^{circ}.$

Решение: + показать

Задача 16. Основания равнобедренной трапеции равны и а ее периметр равен Найдите площадь трапеции.

Решение: + показать

Задача 17. Найдите среднюю линию трапеции , если стороны квадратных клеток равны .

Решение: + показать

Вы можете пройти тест по теме «Трапеция»

Автор: egeMax |

комментариев 14

Печать страницы

Источник

Задачи по теме: средняя линия трапеции

9 класс Вариант 1

1) В равнобедренной трапеции средняя линия равна 10, а периметр 36 см. Найдите боковые стороны этой трапеции

2) В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.

3) В равнобедренной трапеции острые углы , боковая сторона 10 см, а большее основание 15 см. Найдите меньшее основание и среднюю линию трапеции.

Задачи по теме: средняя линия трапеции

9 класс Вариант 2

1) Средняя линия трапеции равна 30 см, а одно из оснований в два раза меньше другого. Найдите основания трапеции.

2) В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 6.

3) В равнобедренной трапеции острые углы 45, расстояние между основаниями 4 см, а меньшее основание 5см. Найдите большее основание и среднюю линию трапеции.

Задачи по теме: средняя линия трапеции

9 класс Вариант 3

1) Разность оснований трапеции равна 8 см, а средняя линия равна 20 см. Найдите основания этой трапеции.

2) В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 10, а меньшее основание BC равно 4.

3) В трапеции ABCD AD, Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Задачи по теме: средняя линия трапеции

9 класс Вариант 4

1) Боковые стороны равнобедренной трапеции равны по 15 см, а средняя линия этой трапеции 25 см. Найдите периметр этой трапеции.

2) В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 12, а меньшее основание BC равно 4.

3) В трапеции MHKP MP, Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Задачи по теме: средняя линия трапеции

9 класс Вариант 1

1) В равнобедренной трапеции средняя линия равна 10, а периметр 36 см. Найдите боковые стороны этой трапеции

Задачи по теме: средняя линия трапеции

9 класс Вариант 2

Задачи по теме: средняя линия трапеции

9 класс

Вариант 3

1) Разность оснований трапеции равна 8 см, а средняя линия равна 20 см. Найдите основания этой трапеции.

Задачи по теме: средняя линия трапеции

9 класс

Вариант 4

Источник