Как найти среднюю линию треугольника задачи

Задачи на среднюю линию треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника:
1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ).
3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.

Свойство средней линии треугольника является следствием теоремы Фалеса.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Дано: ΔABC; AB = 8 см; BC = 10 см; AC = 12 см; M — середина AB; N — середина BC; L — середина AC. Найти: MN, NL, ML.

Задача № 3. ΔABC; K — середина AB; O — середина BC; P — середина AC; PABC = 52 см. Найти: PКOР

Это конспект по теме «Средняя линия треугольника + Задачи по теме». Выберите дальнейшие действия:

Задачи по теме:»Средняя линия треугольника» 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

1.Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 20, сторона BC равна 58, сторона AC равна 64. Найдите MN.

2. В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC. Найти периметр треугольника ABC, если MN=12, MK=10, KN=8.

3.В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что ВMKN — ромб.

4.Периметр равностороннего треугольника АВС равен 24 см. Найдите длину средней линии этого треугольника.

5.Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см. Его вершины являются серединами сторон второго треугольника. Найдите периметр второго треугольника.

6.Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр получившегося треугольника.

7.Периметр равностороннего треугольника равен 72 см. Найдите его среднюю линию.

8.Периметр треугольника равен 12 см. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного какой-нибудь его средней линией.

9.Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.

10.Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные его противоположным сторонам. Найдите периметр треугольника, ограниченного этими прямыми, если периметр исходного треугольника равен 6 см.

11.В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника ABC.

12.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 45. Найдите площадь треугольника ABC.

13.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 94. Найдите площадь треугольника ABC.

14.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 7. Найдите площадь треугольника ABC.

15.В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

16.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.

17.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

18.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 21. Найдите площадь треугольника ABC.

19.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 89. Найдите площадь треугольника ABC.

20.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 8. Найдите площадь треугольника ABC.

21.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 96. Найдите площадь треугольника ABC.

22.В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 57. Найдите площадь треугольника ABC.

23.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне .

Что такое средняя линия треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

  • KL – средняя линия треугольника ABC
  • K – середина стороны AB: AK = KB
  • L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

  • △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
  • Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
    AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL    .
  • S△ABC = 4 ⋅ S△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1 /2 ⋅ BC = 1 /2 ⋅ 10 = 5.

источники:

http://infourok.ru/zadachi-po-temesrednyaya-liniya-treugolnika-klass-1901755.html

Что такое средняя линия треугольника

Источник

1.Точки M и N являются серединами сторон
AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 20, сторона BC равна 58, сторона AC
равна 64. Найдите MN.

2. В треугольнике ABC точки  M,
N, K – середины сторон AB, BC, AC. Найти периметр треугольника ABC, если MN=12,
MK=10, KN=8.

3.В равностороннем треугольнике ABC точки
M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что ВMKN — ромб.

http://otvet-gotov.ru/pages/images/C29913.png 

4.Периметр равностороннего треугольника
АВС равен 24 см. Найдите длину средней линии этого треугольника.

5.Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и
4 см. Его вершины являются серединами сторон второго треугольника. Найдите
периметр второго треугольника. 

6.Периметр треугольника равен 12 см,
середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр получившегося
треугольника.

7.Периметр равностороннего треугольника
равен 72 см. Найдите его среднюю линию. 

8.Периметр треугольника равен 12 см.
Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного какой-нибудь его средней
линией.

9.Средняя линия равнобедренного
треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника,
если его периметр равен 16 см. 

10.Через вершины треугольника проведены
прямые, параллельные его противоположным сторонам. Найдите периметр
треугольника, ограниченного этими прямыми, если периметр исходного треугольника
равен 6 см. 

11.В тре­уголь­ни­ке ABC DE —
сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 9. Най­ди­те пло­щадь
тре­уголь­ни­ка ABC.

12.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
45. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

13.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
94. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

14.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
7. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

15.В тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок DE —
сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 97. Най­ди­те пло­щадь
тре­уголь­ни­ка ABC.

16.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
24. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

17.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
97. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

18.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
21. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

19.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
89. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

20.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
8. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

21.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
96. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

22.В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но,
что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна
57. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

23.На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром
клет­ки 1х1 изоб­ражён тре­уголь­ник . Най­ди­те длину его сред­ней линии,
па­рал­лель­ной сто­ро­не .

https://oge.sdamgia.ru/get_file?id=10041

Источник

Всего: 132    … 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–132

Добавить в вариант

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 25. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 96. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

В треугольнике ABC известно, что DE  — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 76. Найдите площадь треугольника ABC.

Углы при одном из оснований трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 94. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

В треугольнике ABC известно, что DE  — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 20. Найдите площадь треугольника ABC.

Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 1. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

В треугольнике ABC известно, что DE  — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM  =  10 : 9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника ABС

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 95, сторона BC равна 80, сторона AC равна 128. Найдите MN.

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 20. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 42. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 8. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

Всего: 132    … 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–132

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

  • Определение средней линии треугольника

  • Свойства средней линии треугольника

    • Свойство 1

    • Свойство 2

    • Свойство 3

    • Свойство 4

  • Признак средней линии треугольника

  • Пример задачи

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Средняя линия треугольника

  • KL – средняя линия треугольника ABC
  • K – середина стороны AB: AK = KB
  • L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

  • KL параллельна AC
  • KL = 1/2 ⋅ AC

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

  • △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
  • Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
    AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL    .
  • S△ABC = 4 ⋅ S△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

Три средние линии треугольника

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

  • KL || AC, KL = 1/2 ⋅ AC
  • KM || BC, KM = 1/2 ⋅ BC
  • ML || AB, ML = 1/2 ⋅ AB

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

Деление треугольника на 4 равных треугольника тремя средними линиями

S1 = S2 = S3 = S4

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Решение

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Средняя линия в прямоугольном треугольнике

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1/2 ⋅ BC = 1/2 ⋅ 10 = 5.

Источник

«Средняя линия треугольника + Задачи по теме»

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника:
1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ).
3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.

Свойство средней линии треугольника является следствием теоремы Фалеса.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1.
Дано: ΔABC; AB = 8 см; BC = 10 см; AC = 12 см; M — середина AB; N — середина BC; L — середина AC.  Найти: MN, NL, ML.

Задача № 2.

ЗАДАЧА 2

Задача № 3.
ΔABC; K — середина AB; O — середина BC; P — середина AC; PABC = 52 см.   Найти: PКOР

Задача № 4.

Это конспект по теме «Средняя линия треугольника + Задачи по теме». Выберите дальнейшие действия:

  • Перейти к следующему конспекту: 
  • Вернуться к Списку конспектов по геометрии
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти видео в одноклассниках фото
  • Как найти икс в дроби 5 класс
  • Как найти числитель если знаешь знаменатель
  • Ms sql server error 945 как исправить
  • В эл почте мелкий шрифт как исправить