Треугольник — геометрическая фигура, составленная из трёх отрезков. Они объединены тремя точками, не
лежащие в единственной прямой. Такие отрезки обычно именуют сторонами, а заданные точки — вершинами.
Средняя линия такого многоугольника — отрезок, объединяющий средины двух сторон.
Во всяком
треугольнике можно проложить три средних линии. В прямоугольном многоугольнике такой отрезок
равняется половине основания. Средняя линия прямоугольного треугольника разделяет его на четыре
прямоугольных треугольника. Существует и признак срединного отрезка треугольника: если отрезок в
многоугольнике пролегает через средину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен ей, тогда
такой отрезок называется средней линией.
Выделяют свойства срединного отрезка:
- Средняя линия равняется половине длины основания и параллельна ему;
- Этот отрезок отделяет треугольник, подобный заданному с коэффициентом 0.5, а его площадь
равняется четверти площади заданной фигуры; - Три средние линии дробят заданный многоугольник на четыре других, эквивалентных друг другу.
Находящуюся по центру фигуру именуют дополнительной.
- Средняя линия треугольника через сторону
- Средняя линия равностороннего треугольника через высоту
- Средняя линия равностороннего треугольника через радиус
вписанной окружности - Средняя линия равностороннего треугольника через радиус
описанной окружности - Средняя линия треугольника через площадь и высоту
- Средняя линия равнобедренного треугольника через боковую
сторону и высоту - Средняя линия равностороннего треугольника через
площадь
Через сторону
Срединный отрезок равняется половине противолежащей стороны. Следовательно, формула выглядит так:
m = a/2
где a — противолежащая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Следовательно, если такая сторона будет равна 50, то срединный отрезок будет равен m = 50/2 = 25. Если же сторона будет равна 20, тогда срединный отрезок
будет рассчитываться так: m = 20/2 = 10.
Средняя линия равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Срединный отрезок равностороннего многоугольника через радиус вписанной окружности высчитывается
так:
m = r√3
где r — радиус вписанной окружности.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Таким образом, если радиус такой окружности равняется 5, тогда m= 5√3 ≈ 8,66. Если же радиус будет равен, допустим, 9, в таком случае
m = 9√3 ≈ 15,59.
Средняя линия треугольника через площадь и высоту
Срединный отрезок многоугольника равен частному площади и высоты, перпендикулярной этой средней
линии. Таким образом, тождество имеет такой вид:
m = S/h
где S — это площадь, а h — перпендикуляр, ортогональный срединному отрезку.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Если площадь некоторого многоугольника будет равна 25, а перпендикуляр — 5, тогда m = 25/5 = 5. Если
же в качестве площади взять число 60, а в качестве перпендикуляра — 3, получится следующий срединный
отрезок: m = 60/3 = 20.
Средняя линия равностороннего треугольника через высоту
Срединный отрезок равностороннего многоугольника через перпендикуляр высчитывается следующим
образом:
m = h/√3
где h — перпендикуляр равностороннего многоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
К примеру, если перпендикуляр равностороннего многоугольника равен 5, тогда срединный отрезок будет
такой: m = 5/√3 ≈ 2,89.
Если же перпендикуляр будет равен 10, тогда
срединный отрезок будет около m = 10/√3 ≈ 5,77.
Средняя линия равнобедренного треугольника через боковую сторону и высоту
Срединный отрезок равнобедренного многоугольника через боковую сторону и высоту вычисляется следующим
образом:
m = a2 – h2
где a — боковая сторона, а h — перпендикуляр.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Допустим, если боковая сторона многоугольника равна 5, а перпендикуляр — 3, тогда m = 25 – 9 = 16.
Если же в качестве боковой стороны взять число 8, а в качестве перпендикуляра равнобедренного
многоугольника — 2, в таком случае m = 64 – 4 = 60.
Средняя линия равностороннего треугольника через площадь
Срединный отрезок равнобедренного многоугольника через площадь находится по следующей формуле:
m = 1/4 √(√3/S)
где S — это площадь равностороннего многоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Допустим, если площадь равностороннего многоугольника будет равна 5, тогда m = 1/4 √(√3/5) ≈ 0,15.
Если выбрать равносторонний многоугольник побольше, к примеру, с площадью 25, в таком случае m = 1/4 √(√3/25) ≈ 0,065.
Средняя линия равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Срединный отрезок равностороннего многоугольника через радиус описанной окружности высчитывается
так:
m = R√3/2
где R — радиус описанной окружности.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Следовательно, если радиус такой окружности будет равен 15, тогда m = 15√3/2 =12,99. Если в качестве
радиуса взять число 24, в таком случае m = 24√3/2 = 20,78.
Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, который объединяет средины двух сторон представленной
фигуры. Такой термин используется при описании треугольников, четырёхугольников и трапеций. В
некоторых случаях рассматривается вырожденный треугольник, три вершины которого пролегают на
единственной прямой. Треугольник считается одной из основных геометрических фигур, повсюду
применяемых в науке и технике, потому изучение его качеств велось с давних времён.
Основные определения. Линии в треугольнике
Треугольником называется фигура, которая состоит из трехточек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих этиточки попарно. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
Треугольник называется разносторонним, если любые две стороны его не равны друг другу.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.
Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.
Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон.
- Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
- Средняя линия отсекает от треугольника треугольник подобный исходному, коэффициент подобия равен 1/2.
Медиана треугольника, проведенная из данной вершины, — отрезок прямой, соединяющий данную вершину с серединой противоположной стороны.
- Во всяком треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:, считая от вершины.
- Медиана есть геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков прямых, заключенных внутри треугольника и параллельных той стороне, к которой проведена медиана.
Точку пересечения медиан называют центроидом треугольника. Эта точка является центром тяжести (центром масс) треугольника, если:
- система состоит из трех одинаковых точечных масс, сосредоточенных в вершинах треугольника;
- масса системы равномерно распределена по периметру треугольника;
- масса системы равномерно распределена по всему треугольнику.
Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстоянний ее от вершин треугольника принимает наименьшее значение.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположныю сторону (или ее продолжение).
- Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Бисектриса внутреннего угла треугольника — отрезок прямой, делящей данный угол на две равные части, соединяющий вершину угла с точкой на противоположной стороне.
- Бисектриса есть множество точек, равноудаленных от сторон угла.
- Во всяком треугольнике бисектрисы пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности.
- Бисектриса любого внутреннего ула делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
- Бисектриса лежит между соответствующими медианой и высотой, и ее длина заключена между длиной медианы и длиной высоты ha< la< ma.
- Бисектрисы смежных углов перпендикулярны.
Срединный перпендикуляр к стороне треугольника — прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через ее середину.
- Все три срединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной вокруг треугольника окружности. Эта точка лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный; на середине гипотенузы, если треугольник прямоугольный; вне треугольника, если треугольник тупоугольный.
Чему равна длина средней линии в треугольнике?
Чему равна длина средней линии в треугольнике?
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Теорема.
Как доказать теорему о средней линии треугольника?
Если отрезок параллелен стороне треугольника и равен его половине, то отрезок является средней линией.
Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок (хорду), соединяющую вершину треугольника с точкой на стороне, параллельной средней линии.
Чему равна средняя линия в параллелограмме?
Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапецией, а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.
Что делает средняя линия?
Свойства средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника. три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника.
Чему равна средней линии трапеции?
Средняя линия трапеции парал- лельна основаниям и равна их полусумме.
⊳ Признак средней линии трапеции. Если отрезок с концами на боковых сторонах трапеции выходит из середины одной боковой стороны и параллелен основаниям, то этот отрезок средняя линия трапеции.
Как доказать теорему о средней линии трапеции?
Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. Теорема: Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.
Что такое диагонали в трапеции?
Диагонали трапеции – это отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции.
Чему равны углы в равнобедренной трапеции?
Углы В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны. На рисунке ниже углы ∠ABC и ∠DCB являются одинаковыми тупыми углами, а углы ∠BAD и ∠CDA являются одинаковыми острыми углами.
Как найти высоту у равнобедренной трапеции?
Примечание: если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равняется половине суммы оснований или, другими словами, средней линии.
Как найти высоту трапеции если известны ее основания?
Зная площадь трапеции и ее среднюю линию (или два основания, среднее арифметическое которых дает среднюю линию), можно вычислить высоту трапеции, разделив одно на другое: Более изощренным является вычисление высоты трапеции через все ее стороны.
Средняя линия треугольника – формула, теорема, доказательство, примеры
Что такое средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – это линия, соединяющая середины или центры любых двух (соседних или противоположных) сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и составляет половину длины третьей стороны.
Сколько средних сегментов у треугольника
Поскольку у треугольника три стороны, каждый треугольник имеет 3 средние сегмента.
В заданном ∆ABC DE, EF и DF являются тремя средними сегментами. 3 средних сегмента образуют меньший треугольник, похожий на главный треугольник. Таким образом, ∆ABC ~ ∆FED
Средняя линия треугольника
Свойства
Свойства средних частей треугольника
- Соединяет середины двух сторон треугольника; в ∆ABC D — середина AB, E — середина AC и F — середина BC
- Треугольник имеет 3 возможных середины сегмента; DE, EF и DF — три средние линии
- Средняя линия всегда параллельна третьей стороне треугольника; так, DE ∥ BC, EF ∥ AB и DF ∥ AC
- Средний отрезок всегда равен 1/2 длины третьей стороны; таким образом, DE =1/2 до н.э., EF =1/2 AB и DF =1/2 AC
Формула
Как найти среднюю линию треугольника
Формула для определения средней линии треугольника приведена ниже:
Средняя линия треугольника Формула
Теорема о середине треугольника
Теорема о середине треугольника Теорема
Доказать: DE ∥ до н.
э.; DE = ½ BC
Доказательство : Прямая проведена параллельно AB так, что когда средний отрезок DE пересекается с параллельной линией в точке F
Given: D is the midpoint of AB
E is the midpoint of AC
F is the midpoint of BC
69969969969969969969969969969969969969969969969969. 69. 69
| Steps | Statement | Reason |
|---|---|---|
| 1. | In ∆ADE and ∆CFE AE = EC ∠AED = ∠CEF ∠DAE = ∠ECF |
E is the midpoint of AC Vertically opposite angle Alternate angles |
| 2. | ∆ADE ≅ ∆CFE | By AAS congruency of triangle |
| 3. | DE = FE AD = CF | Corresponding parts of Congruent triangles (CPCTC) are congruent |
| 4. | AD = BD BD = CF | D — средняя точка AB |
| 5. | DF ∥ BC и DF = BC DE ∥ BC и DF = BC DE = ½ DF | DBCF — Paralleogram |
9969969969969699. |
. DE = 1/2 BC | DF = BC Отсюда доказано |
Обратная теорема о средней линии треугольника
Обратная теорема о средней линии треугольника
Обратная теорема о средней линии треугольника Доказательство
Чтобы доказать : DE является средней линией ∆ABC
AD
9000; AE = EC
Доказательство :
Дано: D — средняя точка AB
E — средняя точка AC
DE ∥ BC
DE = 1/2 до н.э.
| ШАГИ |
|---|
| . Заявление | Разум | |
|---|---|---|
| 1. | г. н.э. = дБ AB = AD + DB = DB + DB = 2DB | D — средняя точка |
| DBCF — это параллелограмм | ||
| 3. | BD = CF DA = CF | противоположные стороны параллелограммы равны |
| 4. | in y | |
| 4. | in y n. n.cfe | |
| 4. | in o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o y n. n. n. n. | ∠AED = ∠CEF (вертикально противоположный угол) ↑DAE = ↑ECF (альтернативные углы) |
| 5. | ∆ADE ≅ ∆CFE | по AAS Congruency of Triangle |
| 6. | AE | |
| 6. | AE eae | |
| . AC) Аналогично, AD = DB (D — середина AB) DE — середина отрезка ∆ABC | Соответствующие части конгруэнтных треугольников (CPCTC) конгруэнтны |
9009,9,707069. 70707069. 7070707069. 70707069. 70707069. 70707069. 70707069. 707069.707069. ∥ CF
Решенные примеры
4
7 Найти 9 in данный треугольник. Дано BC = 22 см, а M, N — середины AB и AC.
Решение:
Как мы знаем, по теореме о серединах
MN = ½ BC, здесь BC = 22см
= ½ x 22 = 11см
.
Найдите ФГ.
Решение:
Как мы знаем, по теореме о средней точке
HI = ½ FG, здесь HI = 17 м
FG = 2 HI = 2 x 17 = 34 м данный треугольник. Учитывая, что D и E являются средними точками.
Решение:
Как мы знаем, по теореме о средней точке
DE = ½ XZ, здесь XZ = 32 единицы
3x -2 = ½ x 32
3x = 16 + 2 x = 6
Автор Анна Щепанек, доктор философии
Отзыв от Davide Borchia
Последнее обновление: 11 октября 2022 г.
Содержание:
- Что такое средняя линия треугольника?
- Как найти среднюю линию треугольника?
- Как использовать этот средний сегмент калькулятора треугольника?
- Другие калькуляторы треугольников от Omni
- Часто задаваемые вопросы
Добро пожаловать в средний сегмент калькулятора треугольников Omni ! Независимо от того, являетесь ли вы:
- Не знаете, что такое середина треугольника;
- Не знаете, как найти середину треугольника с помощью циркуля и линейки ; или
- Пытаюсь понять, что такое теорема о середине отрезка .
С помощью этого калькулятора среднего сегмента треугольника вы быстро станете экспертом по средним сегментам! Начнем наше путешествие с
определение середины треугольника, давайте?
Что такое средняя линия треугольника?
В треугольнике середина представляет собой линию, которая соединяет середины двух сторон этого треугольника . А середина стороны — это точка, которая находится на равном расстоянии от любой вершины. Поскольку у треугольника три стороны и мы можем соединить середины любых двух сторон, каждый треугольник имеет три середины .
Теорема о середине отрезка
Наиболее важным свойством отрезка является следующее: средний отрезок параллелен стороне, которую мы не использовали, чтобы провести этот средний отрезок (называется основанием ), и его длина равна половине длины этого основания.
Этот результат известен под названием теоремы о середине треугольника .
Как найти среднюю линию треугольника?
Из определения середины треугольника непосредственно следует, что для нахождения середины нужно соедините середины двух сторон. Для найдите середины с помощью циркуля:
- Поместите иглу в вершину и начертите дугу с радиусом больше половины стороны.
- Повторите для другой вершины. Убедитесь, что дуги имеют две точки пересечения .
- Соединить точки пересечения . Точка, в которой вы пересекаете сторону, является ровно серединой этой стороны .
Как использовать эту среднюю часть калькулятора треугольника?
Вот краткое руководство по эффективному использованию этого инструмента:
- Выберите режим . Наш средний сегмент калькулятора треугольников может решить два типа задач:
- Найдите длину среднего сегмента
, зная длину основания и - Найти концы и длину середины по вершинам треугольника (их координаты).
- Найдите длину среднего сегмента
- Введите необходимые данные в калькулятор.
- Наслаждайтесь результатом !
Другие калькуляторы треугольников от Omni
Для всех любителей треугольников вот подборка других инструментов треугольников, которые вы можете посетить:
- Площадь треугольника;
- Остроугольный треугольник;
- Центр окружности треугольника;
- Конгруэнтность треугольника;
- Тупоугольный треугольник;
- Косой треугольник;
- Основание треугольника;
- треугольник ААА;
- треугольник ААС;
- треугольник SAS;
- SSS треугольник; и
- Треугольник ASA.
Часто задаваемые вопросы
Какой длины средняя линия треугольника?
Теорема треугольника о среднем отрезке утверждает, что длина среднего отрезка всегда равна половине длины основания , т. е. стороны треугольника, которой не касается средний отрезок.
Как найти среднюю линию треугольника?
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
- Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
- Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
- Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.
Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.
Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства треугольников:
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
- Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Понятие средней линии треугольника
Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.
Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.
Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Свойства средней линии треугольника
Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
Свойства:
- Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
- Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Теорема о средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника звучит так:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:
Докажем теорему:
По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC
Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
(по второму признаку подобия треугольников).
△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.
△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.
Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.
Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:
Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.
Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:
Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:
Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.
Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:
Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.
Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:
S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.
Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.
Что такое средняя линия треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.
Определение средней линии треугольника
Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
- KL – средняя линия треугольника ABC
- K – середина стороны AB: AK = KB
- L – середина стороны BC: BL = LC
Свойства средней линии треугольника
Свойство 1
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.
На рисунке выше:
Свойство 2
Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.
На рисунке выше:
- △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
- Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL. - S△ABC = 4 ⋅ S△KBL
Свойство 3
В любом треугольнике можно провести три средние линии.
KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.
Свойство 4
Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.
Признак средней линии треугольника
Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.
Пример задачи
Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.
Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.
Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.
Таким образом, средняя линия LM = 1 /2 ⋅ BC = 1 /2 ⋅ 10 = 5.
Длина средней линии треугольника — формула, признаки подобия и свойства
Фигура с тремя вершинами
Прежде чем понять, как найти ср. линию треугольника, необходимо рассмотреть фигуру, о которой пойдет речь. Каждый человек, даже плохо знакомый с геометрией, все же отчетливо представляет объект на плоскости, состоящий из трех вершин и трех сторон. Каждая вершина соединяется с двумя другими прямыми отрезками. Они называются сторонами.
Существующие типы
Рассматриваемый геометрический объект бывает нескольких типов. Наиболее известные из них следующие:
- равносторонний, у которого все стороны и углы равны между собой;
- равнобедренный, который имеет лишь две равные по длине стороны и отличающуюся от них третью;
- прямоугольный, у которого один из трех углов составляет 90 градусов, то есть является прямым.
Одним из важных свойств рассматриваемой фигуры произвольного типа является равенство 180 градусам суммы его трех углов. Именно по этой причине фигура может иметь либо три острых угла, либо один тупой и два меньше 90 градусов. Два прямых угла он также не может иметь, поскольку третья вершина должна будет лежать в бесконечности, чтобы иметь нулевой угол (90 + 90 + 0 = 180).
Основные геометрические элементы
К ним относятся типичные для треугольника отрезки, которые обладают определенными характеристиками. Наиболее известны из них следующие:
- Медиана. Она опускается из любой из трех вершин на середину противоположной стороны. Медиана делит треугольник на две равные по площади части, а точка пересечения трех подобных отрезков является геометрическим и гравитационным центром фигуры.
- Биссектриса. Этот отрезок делит пополам угол вершины, из которой он проведен.
- Высота. Она представляет собой перпендикулярный к противоположной стороне отрезок, опущенный из любой вершины треугольника. Высота делит фигуру на два прямоугольных геометрических объекта, сама является общей для них стороной и катетом.
- Средняя линия. Это отрезок, который соединяет любые две точки треугольника, лежащие на серединах его сторон. В рассматриваемой фигуре можно провести три различных таких линии.
В общем случае первые три линейных элемента из списка не совпадают друг с другом, однако для определенных типов треугольников они могут быть одинаковыми. Например, для равносторонней фигуры не существует разницы между биссектрисами, медианами и высотами.
В случае треугольника равнобедренного лишь биссектриса, выходящая из вершины, образованной одинаковыми сторонами, также является медианой и высотой одновременно.
Признаки подобия
Важно рассмотреть признаки подобия треугольников, чтобы понимать все свойства, связанные со средним отрезком фигуры. Подобными являются геометрические объекты, которые имеют полностью идентичную форму, но разный размер. Например, два любых квадрата всегда подобны друг другу, поскольку один из них является увеличенной/уменьшенной копией другого.
Применительно к треугольникам существуют следующие признаки их подобия:
- Равенство любых двух углов. Поскольку сумма трех углов является величиной постоянной, то этот признак свидетельствует о факте равенства всех трех рассматриваемых элементов.
- Одинаковое соотношение всех трех сторон. Например, даны треугольники ABC и A1B1C1, для которых справедливо равенство: AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1 = k. Это означает, что обе фигуры подобны друг другу, при этом коэффициент их подобия равен k.
- Существует коэффициент подобия для двух любых сторон рассматриваемых треугольников, а угол между ними является одинаковым. Математически это записывается так: A = A1 и AB/A1B1=AC/A1C1 = k.
Любой из этих признаков является достаточным, чтобы подтвердить подобие двух изучаемых треугольников. При доказательстве свойств среднего отрезка используют отмеченные признаки.
Средняя линия
Чтобы понять, как найти середину треугольника, можно воспользоваться обычной линейкой. Для этого необходимо выбрать произвольные две стороны фигуры. Затем отметить на каждой из них точки, отстоящие на одинаковом расстоянии от соответствующих вершин, которые ограничивают данную сторону. Полученные две точки следует соединить, чтобы начертить средний отрезок. Его название является интуитивно понятным каждому, поскольку он соединяет середины двух сторон.
Важные свойства
Существует три основных свойства, которыми обладает рассматриваемый отрезок. Пусть имеется треугольник произвольного типа ABC, в котором точки P и Q лежат на серединах сторон AB и AC соответственно. При таком обозначении отрезок PQ будет средней линией треугольника ABC. Справедливы следующие геометрические свойства:
- Полученный треугольник APQ является подобным исходной фигуре ABC. Доказать это утверждение несложно, если обратить внимание на два факта: во-первых, угол A у обеих фигур является общим, во-вторых, отношение AB/AP равно величине AC/AQ и составляет 2 согласно выполненным геометрическим построениям. Таким образом, выполняется один из признаков подобия.
- Длина средней линии PQ оказывается в два раза меньше, чем сторона BC. Кроме того, оба отрезка параллельны друг другу. Утверждение о равенстве PQ = ½*BC следует из факта подобия треугольников APQ и ABC, коэффициент которых составляет 2. Это равенство также можно доказать, если воспользоваться координатным методом.
- Треугольник APQ имеет в 4 раза меньшую площадь, чем исходная фигура ABC.
Утверждение № 3 из списка справедливо для произвольного треугольника. Для его доказательства следует воспользоваться формулой Герона. Согласно ей, площадь рассматриваемой фигуры может быть вычислена следующим образом:
Здесь p = (a+b+c)/2 — полупериметр фигуры. Буквами a, b и c обозначены длины ее сторон. Пусть таким же образом обозначаются стороны для треугольника ABC. Тогда для фигуры APQ они будут иметь длины a/2, b/2 и c/2. Полупериметр для APQ составит величину p1 = (a+b+c)/4 = ½*p. Теперь необходимо подставить все известные величины в формулу Герона, получается площадь S1:
Иными словами, площадь треугольника APQ составляет четвертую часть от этой величины для ABC.
Решение задачи
В треугольнике ABC проведен средний отрезок PQ, граничные точки которой P и Q находятся на сторонах AB и AC соответственно. Необходимо с использованием метода координат доказать, что эта линия имеет в два раза меньшую длину, чем сторона BC.
Прежде чем находить решение этой задачи, следует обозначить координаты вершин исходной фигуры. Они будут следующие:
Поскольку точка P делит ровно пополам сторону AB, то для нахождения ее координат необходимо провести следующие вычисления:
Аналогичным образом рассчитываются координаты точки Q:
Вспоминая формулу для длины вектора, координаты конца и начала которого известны, для средней линии PQ можно произвести следующие вычисления:
PQ = (((x1+x3)/2 — (x1+x2)/2)^2 + ((y1+y3)/2 — (y1+y2)/2)^2)^0,5 = ½*((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.
В свою очередь, длина стороны BC равна:
BC = ((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.
Из сопоставления этих двух равенств следует искомая формула, которую требовалось доказать:
Поскольку в процессе доказательства были использованы произвольные координаты для вершин треугольника, полученный вывод является общим и универсальным для любого типа рассматриваемых фигур.
Срединный треугольник
Это особый вид фигуры с тремя вершинами, который строится на средних линиях. Поскольку любой треугольник имеет всего три линии указанного вида, то вместе они образуют новую фигуру, вершины которой расположены на серединах сторон исходной.
Построенный геометрический объект делит исходную фигуру на четыре одинаковые части. Доказать это можно следующим образом: если начертить срединный треугольник и обозначить черточками все его стороны, а также длины сторон исходного геометрического объекта, то можно увидеть, что сам он, а также три других фигуры при вершинах исходной имеют по три одинаковых стороны. Иными словами, выполняется признак их подобия. Равенство сторон всех четырех фигур говорит об одинаковом значении их площадей.
Еще одним интересным свойством срединной фигуры является возможность построения внутри нее точно такого же геометрического объекта. Он также будет подобен исходному треугольнику, но уже будет иметь в 8 раз меньшую площадь. Если продолжать такие геометрические построения, то площади срединных треугольников будут становиться все меньше, а пространство на плоскости, которое они будут покрывать, стремится к гравитационному центру исходной фигуры.
Таким образом, формула длины средней линии получается исходя из признака подобия треугольников по углу и двум прилежащим сторонам. Она всегда составляет половину от противоположной стороны. При выполнении геометрического построения срединного треугольника образуются четыре новых фигуры, которые подобны исходной. Гравитационные центры первоначального геометрического объекта и срединной фигуры совпадают.
http://nauka.club/matematika/geometriya/dlina-sredney-linii-treugolnika.html
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.
- Определение средней линии треугольника
-
Свойства средней линии треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Признак средней линии треугольника
- Пример задачи
Определение средней линии треугольника
Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
- KL – средняя линия треугольника ABC
- K – середина стороны AB: AK = KB
- L – середина стороны BC: BL = LC
Свойства средней линии треугольника
Свойство 1
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.
На рисунке выше:
- KL параллельна AC
- KL = 1/2 ⋅ AC
Свойство 2
Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.
На рисунке выше:
- △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
- Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL. - S△ABC = 4 ⋅ S△KBL
Свойство 3
В любом треугольнике можно провести три средние линии.
KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.
- KL || AC, KL = 1/2 ⋅ AC
- KM || BC, KM = 1/2 ⋅ BC
- ML || AB, ML = 1/2 ⋅ AB
Свойство 4
Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.
S1 = S2 = S3 = S4
Признак средней линии треугольника
Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.
Пример задачи
Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.
Решение
Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.
Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100.
BC = 10.
Таким образом, средняя линия LM = 1/2 ⋅ BC = 1/2 ⋅ 10 = 5.
Как найти среднюю линию треугольника
Перед тем как перейти к нахождению средней линии треугольника нужно вспомнить второй признак подобия треугольников и свойства параллельности прямых.
1
Как найти среднюю линию треугольника – второй признак подобия треугольников
На рисунке 1 показаны два треугольника. Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1. И прилежащие стороны пропорциональны, то есть AB относится к A1B1 также как AC относится к A1C1. Их этих двух условий и следует подобие треугольников.
2
Как найти среднюю линию треугольника – признак параллельности прямых
На рисунке 2 показаны прямые a и b, секущая c. При этом образуются 8 углов. Углы 1 и 5 соответственные, если прямые параллельны, то соответственные углы равны, и наоборот.
3
Как найти среднюю линию треугольника
На рисунке 3, M середина AB, а N середина AC, BC основание. Отрезок MN – называется средней линии треугольника. Сама же теорема гласит – Средняя линия треугольника параллельная основанию и равна его половине.
Для того чтобы доказать, что MN – средняя линия треугольника, нам понадобится второй признак подобия треугольников и признак параллельности прямых.
Треугольник AMN подобен треугольнику ABC, по второму признаку. В подобных треугольниках соответственные углы равны, угол 1 равен углу 2, а эти углы являются соответственными при пересечении двух прямых секущей, следовательно, прямые параллельны, MN параллельно BC. Угол A общий, AM/AB = AN/AC = ½
Коэффициент подобия этих треугольников ½, из этого следует что ½ = MN/BC, MN = ½ BC
Вот мы и нашли среднюю линию треугольника, и доказали теорему о средней линии треугольника, если вам до сих пор не понятно, как найти среднюю линию, смотрите видео ниже.