Как найти среднюю мощность за время

Мощность, формула

Мощностью P называется отношение произвольной работы W к времени t, в течение которого совершается работа.

[
textit{Мощность} = frac{textit{Работа}}{textit{Время}}
]

Единица СИ мощности

[
[P] = text{Ватт} enspace text{(Вт)} = frac{text{Джоуль}}{text{секунда}} = text{кг} frac{м^2}{с^3}
]

Средняя мощность, формула

Если:
P — Средняя мощность (Ватт),
W — Работа (Джоуль),
t — Время затраченное на совершение работы (секунд),
то

[
average{P} = frac{W}{t}
]

Вычислить, найти среднюю мощность по формуле (3)

Мгновенная мощность, формула

В большинстве случаев мощность зависит от времени, P=P(t).
Мгновенная мощность есть производная работы по времени:

[
P = frac{dW}{dt} = dot{W}
]

Поскольку см. (Работа)

[
dW = Fds
]

то отсюда следует см. (Мгновенная скорость)

[
P = F frac{ds}{dt} = Fu
]

Здесь:
F — Мгновенная сила (Ньютон),
u — мгновенная скорость (метр/секунда),

Мгновенная мощность равна произведению мгновенной силы на мгновенную скорость

При равномерно ускоренном движении F=const

[
P_{max} = F u_{max} ; average{P} = F average{u}
]

Вычислить, найти мгновенную мощность, по формуле (6)

Под мощностью подразумевают работу, выполненную за единицу времени, однако этот подход в большинстве случаев требует уточнений, поскольку интенсивность выполнения работы может многократно измениться за рассматриваемое время. Например, при движении автомобиля водитель увеличивает и уменьшает поступление топливно-воздушной смеси в зону сгорания, переключает передачи трансмиссии, притормаживает. Всё это влияет на текущую мощность двигателя. Поэтому в физике различают мгновенную мощность — мощность, измеренную за промежуток времени достаточно малый, чтобы считать ее величину постоянной:

$P = limlimits_{t to 0}frac{Delta A}{Delta t}$,

где $Delta t$ — промежуток времени, $Delta A$ — проделанная за это время работа.

Поскольку мгновенные величины мощности могут меняться без какой-либо четко выраженной закономерности, подсчитать их среднее значение бывает затруднительно. Поэтому среднюю мощность находят просто как

${langle}Prangle = frac{Delta A}{Delta t}$.

Следует различать мощность, связанную с общими затратами на движение и ту, что развивается для выполнения полезной работы. Так, один и тот же груз с одной и той же скоростью на одно и то же расстояние можно перевезти разными способами, например, на старинном паровозе и современном электровозе. Полезная работа будет выполнена одинаковая, но интенсивность затрат энергии — различная. Поэтому существует понятие средней полезной мощности, расчет которой зависит от многих факторов, связанных с особенностями движителей и сред, в которых выполняется работа.

Условие задачи:

Тепловоз за 5 мин набирает скорость 72 км/ч. Определить среднюю мощность, развиваемую тепловозом за это время, если масса тепловоза 600 тонн, а коэффициент трения 0,005.

Задача №2.7.35 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(t=5) мин, (upsilon=72) км/ч, (m=600) т, (k=0,005), (N_{ср}-?)

Решение задачи:

Поскольку вектор силы тяги (overrightarrow F) сонаправлен с вектором перемещения (overrightarrow S) (угол между векторами (alpha) равен нулю, т.е. (cos alpha=1)), то работу этой силы найдем по формуле:

[A = FS]

Тогда среднюю мощность (N_{ср}), определяемую как отношение совершенной работы ко времени, можно узнать по следующей формуле:

[{N_{ср}} = frac{A}{t} = Ffrac{S}{t};;;;(1)]

Сначала разберёмся с кинематикой. Если тепловоз движется равноускоренно без начальной скорости и за время (t) набирает скорость (upsilon), то ускорение тепловоза найдем из следующих соображений:

[upsilon  = at;;;;(2)]

[a = frac{upsilon }{t};;;;(3)]

При этом он пройдет следующий путь:

[S = frac{{a{t^2}}}{2}]

Принимая во внимание равенство (2), получим:

[S = frac{{upsilon t}}{2};;;;(4)]

Для определения величины силы тяги запишем второй закон Ньютона в проекции на ось (x):

[F – {F_{сопр}} = ma]

Видно, что (N=mg) по первому закону Ньютона в проекции на ось (y). Поэтому силу сопротивления (F_{сопр}) найдем по формуле:

[{F_{сопр}} = kN = kmg]

[F – kmg = ma]

[F = mleft( {a + kg} right)]

Подставим в эту формулу выражение (3), а полученное выражение и (4) – в формулу (1). В итоге имеем такое решение задачи в общем виде:

[{N_{ср}} = mleft( {frac{upsilon }{t} + kg} right)frac{upsilon }{2}]

Переведем некоторые данные задачи в систему СИ:

[5;мин = 5 cdot 60;с = 300;с]

[72;км/ч = frac{{72 cdot 1000}}{{1 cdot 3600}};м/с = 20;м/с]

[600;т = 600 cdot {10^3};кг = 6 cdot {10^5};кг]

Последнее действие – считаем ответ:

[{N_{ср}} = 6 cdot {10^5} cdot left( {frac{{20}}{{300}} + 0,005 cdot 10} right) cdot frac{{20}}{2} = 700000;Вт = 700;кВт]

Ответ: 700 кВт.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.7.34 Тело массой 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью
2.7.36 Укажите график зависимости потенциальной энергии свободно падающего тела
2.7.37 Уравнение движения материальной точки имеет вид: x=t^2-2t^3 (м). Определите

Мощность: средняя и мгновенная

Автор:
– Логика
наших рассуждений будет та же, что и при
изучении средней и мгновенной скорости.
Рассмотрим работу как функцию времени.
Пусть А(t)
– работа,
совершенная за время t.
А(t+Δt)
– работа, совершенная за время (t+Δt).
Тогда [А(t+Δt)
– А(t)]/Δt
– средняя мощность за промежуток времени
от t
до (t+Δt).
Предел последовательностей значений
таких средних мощностей при Δt→0
есть мгновенная мощность, т. е. мощность
в момент времени t
есть производная от работы по времени.

N(t)==А’(t)
(2.10.1)

Выведите
частный случай, когда мощность не зависит
от времени.

Студент:
– N=A/t.

Автор:
– Приведите
пример, когда мощность постоянна.

Студент:
– Это
бывает, когда постоянна сила, действующая
на тело.

Автор:
– Неверно!
Смотрите сами. Предположим, что сила,
ускоряющая тело, постоянна со временем.
Тогда из (2.10.1) следует, что

N(t)=

[FS(t+Δt)–
FS(t)]/Δt=F[S(t+Δt)–S(t)]/Δt=FV.

Или,
используя правила вычисления производных:

N(t)=А'(t)=(FS)’=FS’=FV.
(2.10.2)

Видим,
что мощность зависит не только от силы,
но и от скорости, которая при равноускоренном
движении является функцией времени.

Заметим,
что выражение для мгновенной мощности
N(t)=F(t)·V(t)
является справедливым для любого
механического движения. Доказательство
опирается на знания интегрального
исчисления, и мы его пропускаем.

Для
тренировки разберем одну интересную и
практическую задачу
2.5.

Автомобиль
массой m
трогается с места. Коэффициент трения
колес о дорогу k.
Обе оси автомобиля ведущие. Найдите
зависимость скорости автомобиля от
времени. Мощность двигателя N.

Студент:
– Я
не понимаю, зачем в условии сказано про
ведущие оси. Мы никогда с этим не
сталкивались.

Автор:
– Это
связано с расчетом силы трения. Можно
с хорошей точностью принять, что масса
автомобиля равномерно распределена на
обе оси. Раз обе оси ведущие, значит,
сила трения скольжения равна произведению
всей массы автомобиля на коэффициент
трения. В случае если ведущей является
только одна ось, то на нее приходилась
половина массы автомобиля и сила трения,
толкающая автомобиль вперед вычислялась
бы так: kmg/2.
Отметим, что здесь принята максимально
возможная сила трения скольжения, т. е.
считаем, что колеса автомобиля
пробуксовывают на дороге. Правда, на
собственных автомобилях водители так
не стартуют.

Студент:
– Тогда
по условию нашей задачи получается, что
ускоряет автомобиль только сила трения,
которая равна kmg.
Отсюда легко получатся ответ: автомобиль
двигается равноускоренно и скорость
зависит от времени так: V(t)=at=kgt.

Автор:
– Это
справедливо только отчасти. Вспомните
выражения для мощности (2.10.2). При
ограниченной мощности скорость не может
неограниченно возрастать. Поэтому
должен Вам дать две подсказки: 1) найдите
предельное время, до которого Ваш ответ
будет справедлив; 2) затем воспользуйтесь
энергетическими соображениями.

Студент:
– Раз
предельная мощность N,
то из (2.10.2) получим:

N=FV(t)=kmg
kgt.

Отсюда
предельное время t₀=N/(mk²g²).

Автор:
– Дальше
мощности не хватает, чтобы поддерживать
равноускоренное движение. Как поступим?

Студент:
– В
дальнейшем за какой-то промежуток
времени Δt=t–t₀
двигатель совершит работу А=NΔt,
которая пойдет на увеличение кинетической
энергии. Сначала найдем кинетическую
энергию автомобиля в момент времени t₀
:

mV₀²/2=m[kgN/(mk²g²)]²/2=.

Изменение
кинетической энергии равно

mV²/2–mV₀²/2
= А=NΔt=
N(t
– t₀),

V²=(t
–
),

V=.

Автор:
– Это
правильный ответ. Как видим, сначала
зависимость скорости от времени линейная,
затем корневая. Комбинируя обе эти
ситуации, представим ответ в окончательном
варианте:

◄V(t)=kgt
при t≤
t₀=N/(mk²g²),

V(t)=
при t>
t₀►.

История.

Эразм
Дарвин считал, что время от времени
следует производить самые дикие
эксперименты. Из них почти никогда
ничего не выходит, но если они удаются,
то результат бывает потрясающим. Дарвин
играл на трубе перед своими тюльпанами.
Никаких результатов.

Вопросы
и задания

1.
Колесо толкнули с одинаковой скоростью
по двум разным дорогам: а) по ровной
горизонтальной, б) по дороге, имеющей
неглубокие ямки, такие, что на всем пути
колесо не оторвется от земли. В каком
случае а) или б) колесо быстрее доедет
до конечного пункта, находящегося на
одинаковом расстоянии от места старта?

Указание.
Нарисуйте векторы всех сил, действующих
на колесо в обоих случаях, и сравните
характер движения тела.

2.
На Бердском шоссе есть достаточно крутой
подъем. Можно заметить, что перегруженный
автомобиль медленно поднимается по
нему, даже если на дороге нет пробок.
Почему?

3.
Предположим, что Вы поднимаете чемодан
с пола на стол. Зависит ли работа,
совершаемая вами над чемоданом: а) от
того, поднимаете ли Вы его вертикально
вверх, или по более сложному пути; б) от
времени, которое Вы на это затрачиваете;
в) от высоты стола; г) от массы чемодана?

4.
Почему легче подниматься в гору по
зигзагообразному пути, а не по прямой?

§
2.11

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #