Как найти среднюю плотность потока фотонов

Занятия 15, 16.

№5.278

Точечный изотропный
источник испускает свет с
.
Световая мощность источника
.
Найти:

а) среднюю плотность
потока фотонов на расстоянии
;

б) расстояние от
источника до точки, где средняя
концентрация фотонов
;

Решение:

а)
По определению плотность потока фотонов
находится по формуле:

,

где

— концентрация фотонов. Найдем ее. Так
как источник обладает постоянной
мощностью, в любом шаровом слое толщиной
(именно
такое расстояние проходит фотон за
время
)
суммарная энергия фотонов будет
выражаться по формуле:

.

Зная что, средняя плотность фотонов в
таком слое
,
объем такого слоя

и энергия одного фотона
,
можно найти суммарную энергию фотонов
в таком слое:

.

Приравняв значения

и вспомнив, что
,
получим
,
тогда

. 

б) Из



№5.280
Лазер
излучил в импульсе длительностью

пучок света с энергией
.
Найти среднее давление такого светового
импульса, если его сфокусировать в
пятнышко диаметром

на поверхность, перпендикулярную к
пучку, с коэффициентом отражения
.

Решение:

По определению, давление ищется по
формуле

,

где

— сила, действующая на преграду, а

— площадь поверхности, на которую падает
пучок. Из условия ясно, что площадь
поверхности равна:

.

Сила давления возникает за счет изменения
импульса пучка при столкновении, тогда
импульс пучка до столкновения
,
а после столкновения

(потому что отразилась только

часть пучка). С учетом того, что импульсы
направлены в противоположные стороны,
получаем

.

Тогда

. 

№5.283

Плоская световая
волна интенсивности

освещает шар с абсолютно зеркальной
поверхностью. Радиус шара
.
Найти с помощью корпускулярных
представлений силу светового давления,
испытываемую пластинкой.

Решение:

Энергия
волны, падающей на поверхность шара за
время

будет выражаться по формуле

.

Волна будет давить на шар за счет
изменения импульса фотонов. Так как
поверхность симметричная, и волна
освещает шар равномерно, то можно не
учитывать
—
составляющую импульса отраженных частиц
(суммарный импульс вдоль оси
после
отражения будет равняться 0, а сила будет
направлена вдоль оси
).
Поскольку поверхность абсолютно
зеркальная и имеет шарообразную форму,
то изменение импульса одного фотона
вдоль оси

при ударе о кольцо на шаре площади

расположенного под углом

и шириной
будет
иметь вид:

.

Известно, что импульс одного фотона
вычисляется по формуле
.
За время

на наше кольцо площадью

падает

фотонов. Площадь кольца

будет равняться произведению длины
окружности

на ширину полоски
:

.

Для нахождения результирующей силы
проинтегрируем по половине поверхности
шара:

. 

№5.290

Найти длину волны
коротковолновой границы сплошного
рентгеновского спектра, если скорость
электронов, подлетающих к антикатоду
трубки,
,
где с – скорость света.

Решение:

Причина рентгеновского спектра: электрон,
подлетая к антикатоду, тормозит, т.е.
движется с ускорением. А любая частица,
движущаяся с ускорением, излучает.
Причем длину волны коротковолновой
границы будем наблюдать в том случае,
когда электрон затормозит перед самой
границей антикатода. Значит, кинетическая
энергия электронов в трубке из
релятивистских соображений:

,

или из волновых свойств частиц:

,

тогда приравняв эти два выражения:



№5.293

При поочередном
освещении поверхности некоторого
металла светом с длинами волн

и

обнаружили, что соответствующие
максимальные скорости фотоэлектронов
отличаются друг от друга в

раза. Найти работу выхода с поверхности
этого металла.

Решение:

Энергия фотона уходит на то, чтобы выбить
электрон и сообщить ему какую-то скорость:

,
где

Тогда при освещении светом с двумя
разными длинами волн:

и

Подставляя второе в первое и вспоминая,
что такое
,
получаем:



№5.298
Фототок,
возникающий в цепи вакуумного фотоэлемента
при освещении цинкового электрода
электромагнитным излучением с длиной
волны

прекращается, если подключить внешнее
задерживающее напряжение
.
Найти величину и полярность внешней
контактной разности потенциалов
фотоэлемента.

Решение:

Для того чтобы внешнее задерживающее
напряжение было > 0, система должна
выглядеть так, как изображено на рисунке.
Т.е. энергия падающих фотонов полностью
расходуется на работу выхода электронов
из металла и на противодействие внешнему
напряжению, т.е.

,

где

— максимальная энергия, которую может
получить электрон; с учетом того, что
она полностью гасится внешним полем,
можно записать:

,

где

— разность потенциалов между катодом и
анодом, возникающая в результате
фотоэффекта; контактная разность
потенциалов — разность потенциалов,
возникающая между двумя разнородными
проводниками при их соприкосновении,
т.е. его тоже нужно скомпенсировать
внешним напряжением:

О направлении контактного напряжения
можно судить по ее знаку, полученному
после подсчетов. Если получим знак «+»
— оно сонаправлено с
,
т.е. противонаправлено внешнему напряжению
(судя по ответу, так и есть). 

№5.304

Фотон с длиной
волны

рассеялся под прямым углом на покоившемся
свободном электроне. Найти:
а) частоту
рассеянного фотона;

б) кинетическую
энергию электрона отдачи;

Решение:

а) Из формулы эффекта Комптона,
,
где
;
в нашей задаче
,
тогда



б) Кинетическая энергия электрона отдачи
– это разница между его полной энергией
после рассеяния на нем фотона (эта
энергия включает в себя энергию
)
и той самой энергией
,
которой обладал покоящийся электрон:
.
Из закона сохранения энергии:



Соседние файлы в папке 11

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

2018-07-01   

Точечный изотропный источник испускает свет с $lambda = 589 нм$. Световая мощность источника $P = 10 Вт$. Найти:

а) среднюю плотность потока фотонов на расстоянии $r = 2,0 м$ от источника;

б) расстояние от источника до точки, где средняя концентрация фотонов $n = 100 см^{-3}$.

Решение:

(а) Средняя плотность потока фотонов на расстоянии $r$ равна

$langle j rangle = frac{ frac{P}{4 pi r^{2} } }{ frac{2 pi hbar c }{ lambda} } = frac{P lambda}{8 pi^{2} hbar c r^{2} } м^{-2} с^{-2} = frac{10 cdot 0,589 cdot 10^{ -6} }{8 pi^{2} cdot 1,054 cdot 10^{ -34} cdot 10^{9} cdot 4 } м^{-2} с^{-1}= frac{10 cdot 0,589 }{8 pi^{2} cdot 1,054 cdot 12 } 10^{16} см^{-2} с^{-1} = 5,9 cdot 10^{13} см^{-2} с^{-1}$

(б) Если $n(r)$ — средняя концентрация (количество на единицу объема) фотонов на расстоянии $r$ от источника, то, поскольку все фотоны движутся наружу со скоростью $c$, существует внешний поток $cn$, который равен сбалансированному потоку от источника. В устойчивом состоянии они равны, и поэтому

$n(r) = frac{ langle j rangle }{c} = frac{P lambda}{8 pi^{2} hbar c^{2}r^{2} } = n$

Итак $r = frac{1}{2 pi c} sqrt{ frac{P lambda}{2 hbar n} } = frac{1}{6pi cdot 10^{8} } sqrt{ frac{10 cdot 0,589 cdot 10^{-6}}{3 cdot 1,054 cdot 10^{-34} cdot 10^{2} cdot 10^{6} } } = frac{10^{2} }{6 pi} sqrt{ frac{5,89}{2,108} } = 8,87 м$

Конкурс «Я иду на урок»

Корпускулярно-­волновой дуализм

Урок на трудную тему. 11­й класс

Учитель. К уроку вы готовили
материал § 90 [1], т.е. изучали свойства фотона,
волновые свойства электрона, решали задачи.
Прежде чем приступить к изучению нового
материала, давайте закрепимся на завоёванных
позициях. Вот перед вами часть шпаргалки одного
ученика (в увеличенном виде, конечно).

Свет	Электрон, нейтрон
1. Интерференция	1. Интерференция
2. Дифракция	2. Дифракция
3. Дисперсия	3. Волновая характеристика:
4. Поляризация	4. Частицы локализованы в пространстве
5.  ,	5. Корпускулярные характеристики: m, p, E
6. Волна непрерывна
7. I ~ E02; I0 ~ B02
8. Волновые характеристики:
9. Фотоэффект, эффект Комптона: свет – поток фотонов. Поток дискретен, прерывен
10. Корпускулярные характеристики:

 Ученики 1­го ряда изложат вслух мысли,
рождённые первым столбиком, 2­го ряда – вторым, а
ученики 3­го ряда, выслушают всех и сделают
заключение.

Учащиеся. Интерференция, дифракция,
поляризация, дисперсия объясняются наличием
волновых свойств у света. Например,
интерференционную картину можно объяснить
сложением волн с учётом разности хода.
Интенсивность волн I ~ E²,

I ~  B². Уравнение
волны для электрической и магнитных составляющих – … (см.
табл.). Волновыми характеристиками света
являются амплитуда, частота, длина волны, фаза,
период. Волна непрерывна.

В фотоэффекте, Комптон-­эффекте и других
явлениях проявляются корпускулярные свойства
света. Световая частица, электрон, протон,
нейтрон локализованы в пространстве,
характеризуются импульсом, энергией. При их
прохождении через кристалл на экране образуется
дифракционная картина. Потому все эти частицы
имеют ещё волновую характеристику – длину волны.
Таким образом, материя обладает двойственностью
свойств.

Учитель. Вот теперь я вас спрошу: что
было не совсем ясно в домашнем задании, какие
возникли вопросы?

Учащиеся. Что колеблется в волне де
Бройля? Как сочетать протяжённость волн с
конечным размером частиц? Где запрятаны волновые
свойства классических частиц?

Учитель. На эти и, возможно, новые
вопросы постараемся найти ответ. Поэтому тема
сегодняшнего урока «Корпускулярно­волновой
дуализм». Слушая, не только вникайте в суть, но и
старайтесь 2–3 предложения из каждого ответа
записать. Специально выделяю на это время.

Волна де Бройля не похожа на материальную
волну. В звуковой волне колеблются молекулы
среды. В электромагнитной волне колеблются
напряжённость электрического поля и индукция
магнитного поля. Но в обоих случаях волну
образуют колебания материальных объектов. Волна
де Бройля – волна вероятности, описывающая
поведение микрообъекта, она не материальна. В
свободном состоянии поведение микрообъекта
описывается плоской монохроматической волной де
Бройля. В общем случае движение частицы в силовом
поле описывается волновой функцией

(r, t),
называемой пси-­функцией. Это
функция координат и времени. Она подчиняется
уравнению Шрёдингера, играющему в квантовой
механике такую же роль, какую играют законы
Ньютона в классической физике.

Отбор решений идёт так, что 

имеет
смысл плотности вероятности обнаружения частицы
в данной точке пространства, а величина
 dV
– cмысл абсолютной вероятности обнаружения
частицы в объёме dv.
Функция  не наблюдается, а
 – величина, связанная с
вероятностью обнаружения объекта, – наблюдается
[2].

Переведём дух, подкрепимся. Для тех, кто не знал
или забыл, что такое вероятность события. Пусть в
коробке карамель: смородина – С, малина – М,
вишня – В. Соответственно 60, 30, 10 штук. Всего 100
штук. Вероятность события вытаскивания
смородиновой карамели 60/100 = 6/10, малиновой – 3/10,
вишнёвой – 1/10 (6/10 +  3/10 + 1/10 = 1 – вероятность
события вытащить хоть какую-­нибудь конфету).
Хорошо перемешаем, а после каждого вытаскивания
и съедания конфеты я восстанавливаю
первоначальную картину. Кладовщиком, ведущим
учёт расходов, будет Сидоров. Из 30 вытащенных
конфет должно быть теоретически С –18, М – 9, В – 3.
Вытаскивание конфетки определённого сорта –
случайное событие. Но подсчитанная заранее
вероятность отражает реальную картину
распределения конфет. Хотя возможны и
флуктуации, т.е. отклонения, которые тем меньше (в
относительной шкале), чем больше событий. (Проводится
«эксперимент».)

Вернёмся к микрочастицам. Их особенностью
является случайный характер движения. Поэтому
если известна вероятность обнаружения частицы в
какой­то точке, легко объяснить и интерференцию
частиц, как объясняли раньше (см. шпаргалку).

Учащиеся. Надо сложить амплитуды
волновых функций.

Учитель. А квадрат суммарной
амплитуды даст наблюдаемую интерференционную
картину, т.к. связан с интенсивностью
распределения (см. шпаргалку). Так что получается
интерференция без волн [3]!

Как разрешить напрашивающийся вопрос о разнице
в объяснении интерференции световых волн и
вероятностных? В одном случае за неё отвечают
материальные волны, а в другом – воображаемые.
Физики объясняют это так: световые частицы,
фотоны, принадлежат к группе частиц бозонов,
способным накапливаться в одном состоянии. При
достаточно большом числе они образуют световую
волну. Её характеристики совпадают с
соответствующими характеристиками волновой
функции фотона (они одинаковы). Классическая
волна – это коллективный эффект. Для электронов,
которые принадлежат к фермионам и способны
заселять состояние лишь поодиночке,
коллективный эффект невозможен [3]. Продолжим
рассуждение: если это так, то интерференцию света
можно объяснить наличием волновой функции у
фотонов. Да, оказывается, это так. Увеличивая
время экспозиции, можно на экране получить
интерференционную картину при сколь угодно
малой интенсивности светового пучка, когда через
отверстие проходят отдельные фотоны. Таким
образом, в основе волновых свойств частиц лежит
вероятностный характер поведения микрообъектов
[4].

Впервые о корпускулярно-­волновом дуализме
заявил Эйнштейн. Используя законы излучения
абсолютно чёрного тела и методы статистической
физики, он получил значение флуктуаций светового
давления и плотности энергии, пропорциональные
друг другу. Формулы содержат сумму двух членов:
первый, квантовый, соответствовал
представлениям о свете как о потоке дискретных
частиц – фотонов, второй – волновой,
был связан с электромагнитной волной.
Существенно, что только сумма этих двух членов
даёт правильное значение флуктуаций энергии и
светового давления. Когда регистрируются
результаты воздействия мощных (по меркам
микромира) световых потоков в течение
сравнительно больших промежутков времени, то
наблюдается волновая картина. В потоке воды
можно не учитывать молекулярный состав воды. Но
если рассматривать взаимодействие на межатомном
уровне, то дискретная структура проявляется.

Такая же картина и у классических частиц. Пока
идёт взаимодействие на межмолекулярном уровне,
т.е. волна де Бройля сравнима с характерными
размерами, – квантовые эффекты существенны, нет
– спокойно описывайте поведение объекта
законами классической физики, не учитывая
вероятностных проявлений [5].

Итак, противоречия разрешены. Природа
рассматриваемых объектов такова, что для них
(фотонов, нейтронов и др.) нельзя придумать
ситуацию, где одновременно проявлялись бы и
корпускулярные, и волновые свойства. Нельзя и не
нужно представлять электрон или фотон и
частицей, и волной одновременно. Под
корпускулярно-­волновым дуализмом мы будем
понимать то, что микрообъекты обладают
потенциальной возможностью проявлять либо
волновые, либо корпускулярные свойства, но
никогда не проявляют их одновременно. Эти
свойства дополняют друг друга, и только их
сочетание даёт полное представление об объекте.
Исторически сложилось так, что свет и электроны
изучались в классическом варианте, и только по
мере изучения материи оказалось, что они не так
просты. Границы проявления вероятностного
поведения микрообъектов не  очерчены чётко,
так что можно привести примеры вторжения
квантовых эффектов в область, кажущуюся
абсолютно классической (сверхпроводимость,
сверхтекучесть) [6].

Вернёмся к началу урока.
Помните, были вопросы? Интересно, добавите ли вы
теперь к тому единственному предложению о связи
волновых и корпускулярных свойств микрообъектов
ещё что­то? (Ученики,
используя записи, воспроизводят основные идеи
изложенного на уроке.)

А теперь проверим, как теория претворяется в
решении задач.

Задача 1

Не                                               
Не

t = 27 °С                                    
Т = 0,01 К

р = 10⁵
Па                                
 = 0,15
г/см³

Газ                                              
Жидкость

Какое описание – классическое или квантовое –
применимо для описания атомов гелия в
представленных случаях?

Решение. Можно ожидать, что
квантовые эффекты будут играть роль, если длина
волны де Бройля больше среднего расстояния между
атомами. В противоположном случае годится
классическое описание. Содержимое баллона с
классических позиций – это некоторое количество
«бильярдных шаров», непрерывно сталкивающихся
друг с другом, тогда как с точки зрения квантовой
механики это совокупность взаимодействующих
волн.

 

Межмолекулярное расстояние найдём из
известной формулы 

Для газа легко получить:

 (Применение формулы оправдано, т.к. мы
рассматриваем состояние газа как предельное.)

Задача 2. Параллельный поток
электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 25 В, падает на
диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние
между которыми d = 50 мкм. Определите
расстояние между соседними максимумами
дифракционной картины на экране, расположенном
на расстоянии D = 100 см от щелей.

Решение. Образование дифракционной
картины объясняется наличием волновых свойств у
электронов. Длина волны де Бройля 
  Из
закона сохранения энергии следует:

Условие наблюдения максимумов:

C учётом малости углов:

 

Подставляя сюда выражение для
получаем:

Задача 3. Пучок света имеет вид
конуса с углом раствора 10^–4 рад мощностью 3
мВт и длиной волны  630 нм. На каком максимальном
расстоянии R можно видеть свет, если
глаз способен «регистрировать» поток фононов не
менее 100 фотонов в секунду? Диаметр зрачка d
= 0,5 см.

Решение. Будем рассматривать
световой поток как поток фотонов энергией hn = hc/l. Вычислим
число фотонов N, испуcкаемых
источником мощностью Р? за время t:

Отношение числа фотонов, прошедших через
зрачок и через основание заданного в условии
конуса высотой R, равно отношению их
площадей: т.е.

 

Задача 4.
Найдите длину волны коротковолновой границы
сплошного рентгеновского спектра, если скорость
электронов, подлетающих к антикатоду трубки, v = 0,85с.

Решение. Будем считать, что энергия
электрона при торможении переходит в энергию
фотона, т.е. идёт взаимодействие на уровне частиц:

 

Домашнее задание. На основе
услышанного и записанного в тетради, решённых
задач и дополнительной литературы подготовьте
сообщение о корпускулярно-­волновом дуализме и
решите задачи.

• Параллельный поток электронов падает
нормально на диафрагму с узкой прямоугольной
щелью шириной
b = 1 мкм. Определите скорость этих
электронов, если на экране, отстоящем от щели на
расстояние D = 50 см, ширина
центрального максимума ? x = 0,36 мм.

• Точечный изотропный источник испускает свет
длиной волны ? = 589 нм. Мощность источника
P = 10 Вт. Найдите  среднюю плотность
потока фотонов на расстоянии 2 м от источника
(число фотонов, пролетающих за 1 с через 1 м²
площади).

 Решения

• Условие 1-­го минимума на щели: bsin
= _деБр.

Так как мал, то  

Тогда   

 

Литература

1. Мякишев Г.Я.,  Буховцев Б.Б. Физика­11.
   – М.: Просвещение, 2004.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. – М.:
   Наука,  1986, т. V, с. 117.
3. Тарасов Л.В. Современная физика в
   средней школе. – М.: Просвещение, 2001, с. 142.
4. Тарасов Л.В. Мир, построенный на
   вероятности. – М.: Просвещение, 1984, с. 129.
5. Пинский А.А. Физика­11. – М.: Просвещение,
   2000, с. 266.
6. Бутиков Е.И. и др.  Физика. Т. 3:
   Строение и свойства вещества. – М.–СПб, 2001, с. 66.

Задачи взяты из сборников:

1. Взоров Н.Н и др. Сборник задач по общей
   физике. – М.: Наука, 1968.
2. Вихман Э. Квантовая физика, т. 4. – М.:
   Наука, 1974, с. 218.
3. Делеков А.П., Третьяков О.Н. Физика.
   – М.: Высшая школа, 2001.
4. Кириллов В.М. Решение задач по физике. –
   М., 2006.
5. Пономарёв Л.И. Под знаком кванта. – М.:
   Советская Россия, 1984.

Чтобы вычислить эту энергию, приходитсяввести еще одну характеристику — концентрацию фотонов nф(число фотонов, приходящихся на единицу объема V = 1м3 электромагнитного поля). Тогда энергия фотонов в объеме ( cdtΣ)Eф = nф ⋅ =ω⋅ ( cdtΣ) ,(1.10)а плотность энергииϖ = nф =ω ,(1.11)и интенсивность волны (средняя плотность потока энергии)Eф= nф=ω⋅ c .I=(1.12)ΣdtСравнивая (1.8) и (1.11), видим, что плотность энергии с однойстороны (волновой), пропорциональна квадрату амплитуды, а сдругой стороны (корпускулярной) – концентрации фотонов:1ϖ = εε0E02 = nф=ω .(1.13)2При неизменной частоте источника и увеличении его мощности, например, в два раза, амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей возрастают в 2 раз (волновое описание), и в два раза возрастает средняя концентрация фотонов (корпускулярное описание).Аналогично (1.10)–(1.12) находим импульс фотонов, заключенных в объеме ( cdtΣ) :Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны17=ω⋅ (cdt Σ) ,(1.14)cгде =ω / c = =k = pф — импульс одного фотона (см. (1.2) и (1.4));и среднюю плотность потока импульса:pΣфI= nф =ω = ϖ = .(1.15)dt ΣcВ табл. 1.1 приведены соотношения характеристик, используемые для описания света в корпускулярной и волновой моделях.pΣф = nф ⋅Таблица 1.1Основные характеристики света, их соотношения в рамках волновой и корпускулярной моделейСветКорпускулярная теорияВолновая теорияE = E0 cos ( ωt − kx )Eф = =ωB = B0 cos ( ωt − kx )E = cB , [ E / E , B / B ] = k / kpф = =kЗакон дисперсииEф = cpω = ckСредняя плотность энергииεεϖ = 0 E022ϖ = nф=ωИнтенсивность (средняя плотность потока энергии) I = c ϖI =cεε0 2E02I = cnф=ωСредняя плотность потока импульсаI /ccnф=kЗадача 1.1.

Длины волн видимой части спектра расположены впределах от λ = 0, 4 до λ = 0,75 мкм. В каких пределах заключеныэнергии квантов видимого света? Какой скоростью ve должен обладать электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона видимого света?ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ18Решение. Энергию фотона выразим через длину волны:Eф = =c ( 2 π λ ) (см.

(1.6)). При заданном в задаче интервале изме-нения длин волн энергия фотонов лежит в пределах2π ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 1080,75 ⋅ 10−6=2,5 ⋅ 10−19 Дж < Eф <2π ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 1080,4 ⋅ 10−6= 4,7 ⋅ 10−19 Дж.(1.16)Для столь малых значений энергии принято использовать единицу энергии электрон-вольт:1эВ = 1,6 ⋅ 10−19 Дж .Тогда для энергии фотонов1,6 эВ < Eф < 2,9 эВ (рис. 1.1).видимого(1.17)светаимеемПри равенстве кинетической энергии электрона энергии фотона, его скорость равна ve = 2 Eф / m , где m = 9,11 ⋅ 10−31 кг – массасвободного электрона.

Интервалу энергий (1.16) соответствует интервал скоростей для электрона (см. рис. 1.1)0,73 ⋅ 106 м/с < ve < 1,0 ⋅ 106 м/с .Верхняя предельная скорость электрона в 300 раз меньше скорости фотонов.Ответ. 1,6 эВ < Eф < 3,2 эВ , 0,73 ⋅ 106 м/с < ve < 1,0 ⋅ 106 м/с .Рис. 1.1. Диапазон длин волн λ и энергии Еф фотонов соответствующий видимойобласти спектра.

Скорости v электронов, обладающих энергией, равной энергиифотонов.Задача 1.2. Интенсивность светового потока от Солнца наЗемле в полдень составляет около I = 1,3 кВт/м2. Считая свет моно-Гл. 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны19хроматическим с длиной волны λ = 0,6 мкм, определить концентрацию фотонов у поверхности Земли.Решение. Из формулы для интенсивности (1.12) с учетом (1.5)находимnф =IIλ1,3 ⋅ 103 ⋅ 0,6 ⋅ 10−6==≈ 1,3 ⋅ 1013 м −3 = 1,3 ⋅ 107 см −3 =c =ω 2π=c 2 2 π ⋅ 10−34 ⋅ (3 ⋅ 108 )2= 13 млн фотонов в см3.Ответ: nф =Iλhc2= 1,3 ⋅ 1013 м −3 .Задача 1.3.

Какой скоростью ve должен обладать электрон,чтобы иметь такой же импульс, как и фотон с λ = 0,1 нм?Решение. Импульс фотона равен pф = h / λ , релятивистскийимпульс электрона – pe =mve1 − ve2 / c 2. Из записанных соотноше-ний, с учетом условия задачи pф = pe получаемve ==pфm 2 + ( pф / c )2=c1 + ( λmc / h )2=3 ⋅ 108(1 + 0,1 ⋅ 10−9 ⋅ 0,9 ⋅ 10−30 ⋅ 3 ⋅ 108 (6,6 ⋅ 10−34 )Ответ.

ve =c1 + ( λmc / h )2)2≈ 7 ⋅ 106 м/с ≈c.40≈ 7 ⋅ 106 м / с .§1.2. Работа выхода. Внешний фотоэффект и его законыРассмотрим кристаллический металл. В узлах кристаллическойрешетки находятся атомы металла. Каждый атом отдает свои валентные электроны «в общее пользование», превращаясь в положительно заряженный ион. Валентные электроны могут перемещаются по всему объему металла. Таким образом, каждый валентный электрон электрически взаимодействует сразу со всеми иона-20ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХми кристаллической решетки металла (их концентрация очень велика: порядка 1023см–3). Однако, чем дальше электрон от какоголибо иона, тем слабее к нему притяжение.Благодаря силам притяжения электрона ко всем ионам решетки, электрон остается в объеме металла, как в потенциальном ящике.

Следует отметить, что силы отталкивания отдельного электронаот всех других свободных электронов металла ослабляют результирующую силу притяжения, уменьшают глубину потенциальнойямы. Глубина потенциальной ямы U0 различна для разных металлов и определяет ту минимальную энергию, которую необходимосообщить электрону, чтобы он покинул металл и стал «понастоящему» свободным. Эта энергия называется работой выходаΔAвых .Как можно сообщить электрону энергию, равную работе выхода?Это можно сделать, например, нагревая металл. При определенных температурах наблюдается эмиссия электронов. Это явление называется термоэлектронной эмиссией, а вышедшие электроны — термоэлектронами.Другой способ высвобождения электронов из металла — внешний фотоэффект.Фотоэффект — испускание электронов твердыми телами (илижидкостями) при поглощении фотонов.

При этом энергия фотоновпередается электронам вещества (фотокатода), так что электроныприобретают возможность покинуть фотокатод (внешний фотоэффект).Пусть на поверхность металла падает свет. Рассмотрим следующую модель внешнего фотоэффекта. Каждый падающий наметалл фотон поглощается одним электроном, находящийся вблизиповерхности. Если энергия фотона удовлетворяет соотношению=ω ≥ ΔAвых , то электрон вырывается из металла. Излишек энергиифотона переходит в кинетическую энергию электрона, максимальное значение которой Eмакс линейно возрастает с частотой падающего света:=ω − ΔAвых = Eмакс .(1.18)Полученное соотношение называется уравнением Эйнштейна.Выбитые фотонами электроны (фотоэлектроны) образуютвблизи поверхности металла электронное облако. Электроны в об-Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны21лаке в общем случае имеют скорости, направленные в разные стороны. Для регистрации фотоэлектронов необходимо создать поблизости на другом металлическом электроде (аноде) положительныйпотенциал относительно фотокатода. Тогда выбитые электроныприобретают дополнительную скорость движения в направлении каноду (рис. 1.2), т.е. течет электрический ток — фототок, которыйможно зафиксировать амперметром (гальванометром Г).Рис. 1.2. В сосуде воздух откачандо состояния вакуума. Два электрода А (анод) и K (катод) подключены к источнику питания ИП. Дляизмерения силы тока используетсягальванометр Г, а напряжения –вольтметр В.

Через окно O пучоксвета падает на поверхность катодаK под углом θ к нормали.Из уравнения Эйнштейна следует, что работа выхода определяет минимально возможную частоту света =ωmin = ΔAвых , прикоторой фотоэффект наблюдается (I закон фотоэффекта).Поскольку работа выхода – характеристика вещества катода,то из (1.18) следует также, что максимальная кинетическая энергияфотоэлектронов у поверхности катода линейно зависит от частотыпадающего света и не зависит от интенсивности падающего света(III закон фотоэффекта).Даже при отсутствии разности потенциалов между катодом ианодом, некоторое количество электронов, чьи скорости направлены к аноду, попадают на анод, создавая ток J(0). С ростом по модулю отрицательного напряжения V < 0 (при отталкивающем потенциале) сила тока уменьшается, достигая нуля при напряженииV = V0 < 0 , называемом запирающим напряжением. При V > 0сила фототока растет: J > J (0), и стремится к насыщениюJ → J нас .

Насыщение достигается тогда, когда все выбиваемыефотоэлектроны попадают на анод (рис. 1.3).Вычислим силу тока насыщения и определим, от каких параметров зависит его величина. Число dN e выбитых электронов завремя dt равно числу dN ф падающих фотонов за то же время. Ес-22ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХли поток фотонов направлен под углом θ к нормали поверхностиметалла, то dN ф = nф ⋅ ( Σcdt cos θ ) иdN e = nфc(Σ cos θ)dt ,(1.19)где Σ — площадь освещаемой поверхности, (Σcdt cos θ) — объемсветового пучка, фотоны которого достигают катода за время dt.В режиме насыщения все dN e достигают анода.

Причем, учитываянепрерывность электрического тока, dN e электронов поступают наанод каждые dt секунд. Таким образом, сила фототока насыщенияравнаdq e ⋅ dN eJ ф нас === enфcΣ cos θ(1.20)dtdtили, учитывая (1.12),eJ ф нас =(1.21)( I ⋅ Σ cos θ ) .=ωВыражение в скобках ( I ⋅ Σ cos θ ) — поток световой энергии,падающий на поверхность с площадью Σ под углом θ к нормалиповерхности.Рис.

1.3. Зависимость силы фототока J отразности потенциалов V между анодом икатодом фотоэлемента при интенсивностях падающего света I1 и I 2 ( I 2 > I1 ).Таким образом, сила фототока насыщения J ф нас пропорциональна интенсивности I падающего света и не зависит от материала катода (II закон фотоэффекта).С увеличением интенсивности света фототок насыщения увеличивается и достигаться он будет при бо′льших значениях напряжения.Итак, сформулируем все три закона фотоэффекта:Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны231. Существует красная граница фотоэффекта – граничнаячастота ωmin , ниже которой для данного материала фотоэффектотсутствует: =ωmin = ΔAвых .2. С увеличением напряжения на фотоэлементе сила фототокаJ достигает насыщения. Значение силы тока насыщения J ф нас прификсированной частоте падающего света прямо пропорциональноего интенсивности I : J ф нас = ( e =ω)( I ⋅ Σ cos θ ) .3. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов у поверхности катода линейно зависит от частоты падающего света ине зависит от интенсивности падающего света: Emax = =ω − ΔAвых .Важной особенностью фотоэффекта является его практическаябезынерционность – время запаздывания фототока не превышает10 – 9 с.Задача 1.4. В вакуумном фотоэлементе сила фототока при насыщении достигает значения J нас = 2 ⋅ 10−10 А .