Как найти среднюю работу в математике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

План урока:

Понятие среднего арифметического

Алгоритм нахождения среднего арифметического

Интересные факты

Понятие среднего арифметического

К сестрам Марине, Наталье, Елене в гости приехала бабушка. Она привезла своим внучкам гостинцы: восемнадцать конфет, шесть шоколадок, шесть киндер-сюрпризов. Сказала угощение разделить поровну. Определите, сколько сладостей достанется каждой девочке?

Ответ на вопрос, можно получить двумя способами. Рассмотрим их.

Чтобы выяснить, сколько сладостей достанется одной девочке, нужно каждый вид угощения разделить поровну – на 3.

Разделим конфеты между детьми:

18 : 3 = 6.

Теперь известно, что каждому ребенку досталось 6 конфет.

Разделим шоколадки:

6 :3 = 2.

Каждой внучке досталось две шоколадки.

Разделим шоколадные яйца:

6 : 3 = 2.

Выяснили, бабушка привезла по два киндер-сюрприза.

Стало известно, сколько гостинцев получил один ребенок. Теперь, вычислим, сколько сладостей досталось каждой девочке. Сложим количество конфет(6), шоколадок(2), киндер-сюрпризов(2), имеющихся у одной девочки:

6+2+2=10.

Получается, бабушка привезла по 10 сладостей.

Запишем решение задачи.

Как видите, способ, довольно простой, ноимеет длинную запись, занимает много времени. Рассмотрим второй способ решения задач такого вида.

Известно, сколько гостинцев привезла бабушка: конфет–восемнадцать, шоколадок – шесть, киндер-сюрпризов – шесть. Чтобы узнать количество гостинцев, доставшееся каждой сестре, сложим гостинцы и разделим поровну. То есть, суммируем привезенные подарки, делим на 3. Такой способ решения, имеет название в математике – «Нахождение среднего арифметического». Сформулируем, определение, среднего арифметического:

Среднее арифметическое нескольких чисел — результат деления суммы этих чисел на их количество

Используя, рассмотренное определение, найдем общее количество угощения, для этого сложим количество сладостей каждого вида конфеты + шоколадки + киндеры:

18+6+6=30.

Получается, что всего было 30 угощений. Теперь, эту сумму(30) делим на количество слагаемых(3), использованных в сумме:

30 : 3 =10.

Каждой внучке досталось по 10 сладостей.

Запишем решение этой задачи с использованием второго способа.

Как видите, второй способ, более краткий и удобный. Главное – запомнить изученное определение. Ведь, решение задач такого вида часто встречается на протяжении всего учебного процесса!

Алгоритм нахождения среднего арифметического

Рассмотрим следующую задачу.

Два брата-садовода продавали собранные фрукты. Первый брат продал яблок на 25000 рублей, а второй брат продал груш на сумму 15000 рублей. Все заработанные деньги братья разделили поровну. Сколько денег заработал каждый садовод?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо использовать изученное правило.

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно сумму этих чисел разделить на их количество. Для этого:
1. Определяем количество слагаемых;
2. Находим сумму всех слагаемых;
3. Делим полученную сумму на количество слагаемых

В начале давайте определим количество слагаемых. Так как фрукты продавали два садовода, то и делить выручку будем между ними. То есть количество слагаемых в сумме – два.

Теперь можем найти общую сумму, заработанную братьями. Для этого, складываем выручку первого и второго брата:

25000+15000=40000

Всего они заработали 40000 рублей.

Зная, что общая сумма равна 40000 рублей, мы можем найти сумму заработка каждого садовода. Для этого полученную сумму (40000) делим на количество слагаемых (2):

40000 : 2 = 20000.

Получается, заработок садовода составил 20000 рублей.

В ходе решения данной задачи мы составили алгоритм нахождения среднего арифметического.

Запомни!

Алгоритм вычисления среднего арифметического:
1. Находим слагаемые и считаем их количество;
2. Суммируем все слагаемые;
3. Полученную сумму делим на количество слагаемых

Держи табличку всегда под рукой, тогда сможешь найти среднее арифметическое любых чисел!

Выполним задание.

Найди среднее арифметическое чисел 10,20,30,40.

Чтобы выполнить необходимые вычисления, вспоминаем,

среднее арифметическое — частное суммы всех слагаемых и их количества

Мы уже знаем, что для вычисления заданий, такого вида, существует специальный алгоритм. Используя данный алгоритм,выполним все необходимые действия.

Следуя определенному алгоритму, мы без труда выполнили задание.

Запомни формулу среднего арифметического!

В заключение нашего урока рассмотрим еще одну задачу.

В школе четыре пятых класса 5А,5Б,5В,5Г. 5А – 22 ученика, 5Б –30 учеников, 5В – 28 детей, 5Г – 20. Найдите, сколько детей училось бы в каждом классе, если во всех классах учеников будет поровну.

Исходя из условия, в этой задаче нужно найти среднее количество учеников в одном классе. Чтобы ответить на главный вопрос, необходимо воспользоваться алгоритмом вычисления среднего арифметического.

Значит, если бы во всех пятых классах школы, училось равное количество учеников, в каждом классе было по 25 детей.

Запишем решение.

Сегодня вы узнали, как найти среднее арифметическое число. Внимательно рассмотрите урок, и запомните основные определения и алгоритмы! Тогда, любая контрольная будет по плечу!

Интересные факты

По статистике, дети улыбаются 400 раз в день, а взрослые всего 17. Улыбайтесь чаще!

В России продолжительность жизни мужчин составляет 70 лет, женщин – 78 лет!

Ежедневно в Росси рождается 5000 детей.

Ученые подсчитали, за всю жизнь, человек тратит 5 лет на процесс приема пищи,

Ученые подсчитали, за 70 лет, человек поглощает более 50000 килограммов пищи, в том числе около 200-300 килограммов поваренной соли. Так же, каждый человек, достигший 70 летнего возраста, выпил за всю жизнь 50000 литров воды, что больше в 1400 раз массы человеческого тела.

Одной хорошей шариковой ручкой можно написать 50000 слов.

Когда трескается стекло, трещина распространяется со скоростью 5000 км/ч.

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 967 человек из 80 регионов

Сейчас обучается 35 человек из 26 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

ПРИМЕРЫ
Средние величины
В
2 слайд

Средние величины
Математические
Структурные
Арифметическая
Геометрическая
Гармоническая
Мода
Медиана
5 слайд

Пример. Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:
6 слайд

Пример. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих — сдельщиков:
7 слайд

Пример. Имеются следующие данные:
Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду варианты осредняемого признака (продукция за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала «от — до». Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы — от 5 до 7 шт. и т. д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения вариант, или закрытые интервалы. Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Так, для первой группы дискретная величина х будет равна: (3 + 5) / 2 = 4
8 слайд

Пример. Имеются следующие данные о производстве продукции за смену:
В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы — величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.
9 слайд

Пример. Определим средний процент выполнения плана по выпуску продукции по группе заводов на основании следующих данных:
где — фактически выпущенная продукция,
получаемая путём умножения вариант (процент выполнения плана) на веса (выпуск продукции по плану).
10 слайд

Пример. Рассчитать среднюю заработную плату работников в бригаде из 20 человек, оплата труда которых варьируется от 2800 до 4400 руб., где xi — варианты осредняемого признака, fi — частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение в совокупности:
11 слайд

Пример. Определить средний размер капитальных затрат на одно предприятие по следующим данным:
Распределение предприятий по размеру капитальных затрат.
12 слайд

Пример. По данным таблицы требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.
Цена и выручка от реализации по трем магазинам в октябре 2006 г.
13 слайд

Пример. Определить средний размер двух видов вклада в банке в октябре и ноябре 2005 г. по данным таблицы:
Информация о вкладах в банке для расчета средних значений.
14 слайд

Пример. Количество зарегистрированных в районе браков за 2001-2003 гг. характеризуется следующими данными:
Определить средний коэффициент роста количества браков, зарегистрированных в районе за три года.
15 слайд

Пример. Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй — 15 мин., третий — 11, четвертый — 16 и пятый — 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.
16 слайд

Пример. Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:
17 слайд

Пример. Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными. Определить среднюю себестоимость изделия по трем заводам.
18 слайд

Пример структуры: Урожайность зерновых в фермерском хозяйстве (200 га)
Средняя урожайность существенно изменилась за счет структурных сдвигов (за счет перераспределения посевных площадей).
19 слайд

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.

Мода — это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Медиана — это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд — это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).
20 слайд

Пример. Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:
— начальное значение интервала, содержащего моду;
— величина модального интервала;
— частота модального интервала;
— частота интервала, предшествующего модальному;
— частота интервала, следующего за модальным.
21 слайд

Пример. Распределение предприятий по численности промышленно — производственного персонала характеризуется следующими данными:
22 слайд

Мода
3 5 7 9 11 13 х
f,%

40

30

20

10

0
Годы
Мо
23 слайд

Пример. Даны группировка предприятий по числу работников и число работников. Определить моду числа предприятий.
24 слайд

Пример. Пусть на отрезке пути длинной 100 км имеется 10 гаражей. В ходе сбора данных о числе предполагаемых ездок на заправку из каждого гаража получен следующий ряд распределения числа ездок по расстоянию от начала отрезка:
Где поставить автозаправочную станцию, чтобы общий пробег автомобилей на заправку был наименьшим? Чтобы ответить на этот вопрос, определим медиану. Номер варианты, соответствующий медиане, равен 100 (∑f : 2 = 200 : 2 = 100). Накопим частоты:

f 1 = 10;
f 1 + f 2 = 10 + 15 = 25;
f 1 + f 2 + f 3 = 25 + 5 = 30;
f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 30 + 20 = 50;
f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 = 50 + 5 = 55;
f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = 55 + 25 = 80;
f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 = 80 + 15 = 95;
f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 = 95 + 30 = 125.

Медиане соответствует варианта х8 = 78 км, следовательно, больше половины заправок производят автомобили из гаражей на расстоянии 78, 86 и 92 км от начала отрезка. Здесь и надо поставить бензоколонку.
25 слайд

Пример. Определим медиану заработной платы рабочих.
Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина — 20.
Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 160 руб., и есть медиана ряда.
Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.
26 слайд

Пример.
Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 — 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.
Известно, что:
27 слайд

Жилая площадь, м2
Число
семей
Накопленные частоты
Медиана
Ме
28 слайд

Пример. Рассмотрим расчет среднего уровня интервального ряда динамики, если известно количество поступивших редукторов на центральный склад ОАО «Уралкалий» в 2003-2008гг.:
На 01.08 сумма прихода редукторов составила 708450.00 рублей.
29 слайд

Пример. Определить дисперсию в дискретном ряду распределения, используя таблицу.
30 слайд

Пример. Имеются следующие данные о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:
31 слайд

Средние величины (комплексный пример)
32 слайд

Пример. Имеются данные о количестве заявок, поступающие на АТП по дням:
Первоначальный ряд:
Ранжированный ряд:
Величина вариации: =14 – 2 = 12

Величина интервала:

∑Хi = 755
N = 100
33 слайд

Для дискретного ряда:
Для интервального ряда
35 слайд

 — критерий согласия
P() = 0,1122
С вероятностью 0,1122 можно утверждать, что отклонения фактических частот от теоретических
в этом примере являются случайными. Следовательно, можно считать, что в основе фактического
распределения лежит закон нормального распределения.
36 слайд

Относительные показатели вариации
Коэффициент осцилляции –

Коэффициент относительного линейного отклонения –

Коэффициент вариации –

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 266 932 материала в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

05.08.2017
2113
2

05.08.2017
400
0

05.08.2017
1489
26

05.08.2017
346
1

05.08.2017
653
1

05.08.2017
1659
0

05.08.2017
576
0

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Источник

ВИДЕОУРОК

ЗАДАЧА:

Сельскохозяйственный техникум вырастил на трёх опытных
участках (по 1
га каждый) пшеницу разных
сортов. С одного поля собрали 36,5
ц, с другого 42,1
ц и с третьего 32,1 ц пшеницы. Сколько центнеров зерна собрано в
среднем с 1
га?

Вычислим сначала, сколько центнеров зерна было собрано с
трёх участков вместе. Получим:

36,5 + 42,1 + 32,1
= 110,7 (ц).

Средний урожай с 1
га показывает, сколько центнеров зерна
собрано с каждого гектара, если считать, что весь урожай распределён между
тремя участками поровну. Для этого нужно общее количество урожая разделить на 3.
Получим:

110,7 : 3 = 36,9 (ц).

Значит, средний урожай с
1 га равен 36,9
ц. В рассмотренном задаче мы разделили сумму чисел на число слагаемых.

(36,5 + 42,1 + 32,1)
: 3 = 36,9 (ц).

ЗАДАЧА:

Миша, Коля и Петя были в походе. Подойдя к лесу, они
решили отдохнуть. У Миши было 2 пирожка, у
Петрика 4 и у Николая 6.
Все пирожки мальчики поделили поровну и съели. Сколько пирожков съел каждой ?

РЕШЕНИЕ:

У мальчиков было

2
+ 4 + 6 = 12 пирожков.

Каждому из них досталось

12 : 3 = 4 пирожки.

ЗАДАЧА:

Ежедневно на протяжении пяти дней лев в зоопарке съедает соответственно

7,5
кг, 8,2
кг, 8,8
кг, 7,4
кг и
9,1
кг мяса.

Найдите среднее количество мяса, которое съедает лев за
один день.

РЕШЕНИЕ:

Получим:

(7,5 + 8,2 + 8,8 +
7,4 + 9,1) : 5 = 41: 5 = 8,2 (кг).

В среднем лев ежедневно съедает 8,2 кг мяса.

ЗАДАЧА:

Ежедневная зарплата рабочего в
течении пяти дней была:

7,5 руб, 8,2 руб, 8,8 руб, 7,4 руб, 9,1 руб.

Найдите среднюю зарплату
рабочего за один день.

РЕШЕНИЕ:

(7,5 + 8,2 + 8,8 + 7,4 + 9,1) : 5 =

= 41 : 5 = 8,2 (руб).

ЗАДАЧА:

Средний рост 10 баскетболистов – 192 см, а средний рост девяти из них – 191 см. Найдите рост десятого баскетболиста.

РЕШЕНИЕ:

192 ∙ 10 – 191 ∙
9 =

= 1920 – 1719 = 201 (см).

ЗАДАЧА:

Смешано печенье трех сортов. При этом взято 5
кг печенья ценой 0,9 рубля за килограмм, 7 кг
– ценой 1,2
рубля, и 8 кг – ценой 0,8 рубля за килограмм. Определить цену килограмма смеси.

РЕШЕНИЕ:

В задаче нужно определить цену килограмма смеси печенья.
Цену килограмма смеси печенья можно определить, зная общую стоимость печенья и
общий его вес. Общий вес печенья легко определить, потому что в условии дан вес
печенья каждого сорта. Общая стоимость печенья мы сможем вычислить, определив
стоимость каждой из составных частей смеси.

Определим стоимость каждой из частей печенья, из которых
состоит смесь. Это можно легко сделать, поскольку известны и цена и число
килограммов печенья каждого сорта:

0,9 ∙ 5 = 4,5 (крб),

1,2 ∙ 7 = 8,4 (крб),

0,8 ∙ 8 = 6,4 (крб).

Далее вычислим общую стоимость всего печенья, то есть
всей смеси:

4,5
+ 8,4 + 6,4 = 19,3 (крб).

Затем найдем число килограммов смеси:

5 + 7 + 8 = 20 (кг),

и, наконец, цену одного килограмма ее:

19,3 : 20 = 96,5 (коп/кг).

Запись решения задачи можно записать в виде числового
выражения

(коп/кг).

ЗАДАЧА:

С поля, площадь которого равна 3,2 га, собрали 160 ц
зерна. Найдите среднюю урожайность с 1 га.

РЕШЕНИЕ:

160 : 3,2 = 50 (ц/га).

ЗАДАЧА:

Найдём среднее арифметическое
суммы денег, потраченных в каждый из шести дней.

Нарисуем таблицу, в которую занесём расходы за
шесть дней.

Узнаем, сколько в
среднем тратили в каждом из шести дней:

ЗАДАЧА:

Найдите среднюю утреннюю температуру воздуха во второй
декаде октября, если на протяжении четырёх дней в это время термометр
показывал 10°, на протяжении трёх дней 12°, на протяжении двух дней
9° и один день
температура была 14°.

РЕШЕНИЕ:

Запись решения задачи можно
записать в виде числового выражения:

Когда мы ездим на
автомобиле или велосипеде, наша скорость часто меняется. Когда впереди нас
помехи, нам приходится сбавлять скорость. Когда же трасса свободна, мы
ускоряемся. При этом за время нашего ускорения скорость изменяется несколько
раз.

Речь идёт о средней
скорости движения. Чтобы её определить нужно сложить скорости движения, которые
были в каждом часе/минуте/секунде и результат разделить на время движения.

ЗАДАЧА:

Пешеход шёл 4 час. За первый час он прошёл 5,5 км, за второй
5,2 км, за третий
4,8 км, за четвёртый 4,1 км. С какою постоянной скоростью необходимо идти, чтобы преодолеть всё это расстояние за
4 час ?

РЕШЕНИЕ:

Весь путь равен

5,5 + 5,2 + 4,8 + 4,1 = 19,6 (км).

Чтобы решить задачу, нужно пройденный путь поделить на
время. Получим:

(5,5 + 5,2 + 4,8 +
4,1) : 4 =

= 19,6 : 4 = 4,9 (км/год).

Если бы путь 19,6 км пешеход прошел с постоянной скоростью, то эта
скорость была бы равна 4,9 км/ч. Такую скорость называют средней скоростью
движения.

ЗАДАЧА:

Автомобиль первые 3 час двигался со скоростью 66,2 км/час, а следующие 2 час – со скоростью 78,4 км/час. С какой средней скоростью двигался автомобиль ?

РЕШЕНИЕ:

Сложим скорости, которые
были у автомобиля в каждом часе и разделим на время движения (5 час).

Значит, автомобиль ехал со
средней скоростью 71,08 км/час.

Определить среднюю скорость
можно и по-другому – сначала найти расстояния, пройденные с одной скоростью,
затем сложить эти расстояния и результат разделить на время.

На рисунке видно, что первые
три часа скорость автомобиля не менялась. Тогда можно найти расстояние,
пройденное за три часа:

66,2 × 3 = 198,6 км.

Аналогично можно определить
расстояние, которое было пройдено со скоростью
78,4
км/час. В задаче сказано, что с такой скоростью автомобиль двигался 2 час.

78,4 × 2 = 156,8 км.

Сложим эти расстояния и результат разделим
на 5.

ЗАДАЧА:

Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 час он ехал со скоростью 13,5 км/час. Определить среднюю скорость велосипедиста.

Источник

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: . Здесь — работа, — время, а величина , которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

, то есть работа производительность время. Из этой формулы легко найти или .
Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
В качестве переменной удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.

1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 110 . В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за . Тогда производительность первого рабочего равна x+1 (он делает на одну деталь в час больше). $t=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle A}{displaystyle p}$ , время работы первого рабочего равно $t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x+1}$ , время работы второго равно $t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}$ .


первый рабочий		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x+1}$
второй рабочий		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}$

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, t_1 на меньше, чем t_2 , то есть

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x+1}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}-1$

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

Дискриминант равен 441 . Корни уравнения: x_1=10 , x_2=-11 . Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: .

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную удобно обозначить производительность. Пусть — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за .

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, 2x=3y . Отсюда $y=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}x$ .

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

$left( x+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}x right) cdot 12 = 1$

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 5}{displaystyle 3}x cdot 12 = 1$

20x=1

$x=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 20}$ .

Итак, первый рабочий за день выполняет $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 20}$ всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится дней.

Ответ: .

3. Первая труба пропускает на литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за . Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна x+1 , поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу


первая труба		$t_1=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}$
вторая труба		$t_2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 99}{displaystyle x+1}$

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, . Составим уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 110}{displaystyle x}-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 99}{displaystyle x+1}=2$ и решим его.

Ответ: .

. Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей — за часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на движение. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть — производительность Андрея, — производительность Паши, а — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

	производительность	работа
Андрей
Паша
Володя
Вместе

Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:

Аналогично,

Тогда
$x+y=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 9}$
$y+z=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 12}$
$x+z=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 18}$ .
Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
$2left( x+y+z right)=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 9}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 12}+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 18}$
Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за часов.
Ответ: .

Читаем дальше: Задачи на проценты

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи на работу на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Загрузить PDF

В математике среднее арифметическое — это среднее число, которое получается, если сложить несколько чисел и разделить результат на количество этих чисел. Это не единственный способ вычисления среднего числа, но именно о нем большинство людей думает, когда речь идет о среднем. Среднее арифметическое может пригодиться вам в быту для множества целей, от подсчета времени на дорогу с работы до установления среднего расхода денег за неделю.^[1]

1
Определите набор чисел для вычисления среднего арифметического. Числа могут быть большими или маленькими, их может быть сколько угодно. Главное, убедитесь, что речь идет о вещественных числах, а не о переменных.
- Пример: 2,3,4,5,6.
2
Сложите все эти числа, чтобы получить сумму. Воспользуйтесь калькулятором, электронной таблицей или просто запишите от руки, если набор чисел не слишком сложен.
- Пример:
3
Подсчитайте, сколько чисел входит в список. В счет идут все сложенные числа (сумму включать не нужно). Если некоторые числа повторяются, то каждое из них следует считать по отдельности.
- Пример: 2,3,4,5 и 6 в общей сложности составляют пять чисел.
4

Разделите сумму на количество чисел. Результат как раз и будет средним арифметическим для этого ряда. Таким образом, если бы каждое число было средним, то вместе они составили бы ту же сумму.

Реклама

Советы

Другие виды средних величин — это мода и медиана. Модой называют число, чаще всего повторяющееся в данном ряду чисел, а медиана представляет собой число в ряду, где равное количество чисел больше нее и равное количество — меньше. Эти средние числа часто будут отличаться от среднего арифметического в том же ряду чисел.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 112 972 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник