Как найти среднюю скорость перемещения тела

1. 

   1

   Помните, что скорость задается как численным значением, так и направлением. Скорость описывает быстроту изменения положения тела, а также направление, в котором движется это тело. Например, 100 м/с (на юг).

   • Величины, которые задаются как численным значением, так и направлением, называются векторными величинами.^[1]
     Над векторными величинами ставится значок в виде стрелки. Они отличаются от скалярных величин, которые задаются исключительно численным значением. Например, v^→ – это скорость.^[2]
     
   • В научных задачах рекомендуется использовать метрические единицы измерения перемещения (метры, километры и так далее), а в повседневной жизни пользуйтесь любыми удобными единицами измерения.

2. 

   2

   Найдите общее перемещение, то есть расстояние и направление между начальной и конечной точками пути. В качестве примера рассмотрим тело, движущееся с постоянной скоростью в одном направлении.

   • Например, ракета была запущена в северном направлении и двигалась в течение 5 минут с постоянной скоростью 120 метров в минуту. Чтобы вычислить общее перемещение, воспользуйтесь формулой s = vt: (5 минут) (120 м/мин) = 600 м (на север).
   • Если в задаче дано постоянное ускорение, воспользуйтесь формулой s = vt + ½at² (в следующем разделе описывается упрощенный способ работы с постоянным ускорением).

3. 

   3

   Найдите общее время в пути. В нашем примере ракета перемещается в течение 5 минут. Среднюю скорость можно выразить в любых единицах измерения, но в международной системе единиц скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Конвертируйте минуты в секунды: (5 минут) х (60 секунд/минута) = 300 секунд.

   • Если даже в научной задаче время дано в часах или других единицах измерения, лучше сначала вычислить скорость, а затем преобразовать ее в м/с.

4. 

   4

   Вычислите среднюю скорость. Если вы знаете значение перемещения и общее время в пути, вычислить среднюю скорость можно по формуле v_ср = Δs/Δt. В нашем примере средняя скорость ракеты равна 600 м (на север) / (300 секунд) = 2 м/с (на север).

   • Не забудьте указать направление движения (например, «вперед» или «на север»).
   • В формуле v_ср = Δs/Δt символ «дельта» (Δ) означает «изменение величины», то есть Δs/Δt означает «изменение положения к изменению времени».
   • Средняя скорость может быть записана как v_ср или как v с горизонтальной чертой сверху.

5. 

   5

   Решение более сложных задач, например, если тело вращается или ускорение не является постоянным. В этих случаях средняя скорость по-прежнему вычисляется как отношение общего перемещения к общему времени. Не имеет значения, что происходит с телом между начальной и конечной точками пути. Вот несколько примеров задач с одинаковым общим перемещением и общим временем (а, следовательно, и одинаковой средней скоростью).

   • Анна идет на запад со скоростью 1 м/с в течение 2 секунд, затем мгновенно ускоряется до 3 м/с и продолжает идти на запад в течение 2 секунд. Ее общее перемещение составляет (1 м/с)(2 с) + (3 м/с)(2 с) = 8 м (на запад). Общее время в пути: 2 с + 2 с = 4 с. Ее средняя скорость: 8 м / 4 с = 2 м/с (на запад).
   • Борис идет на запад со скоростью 5 м/с в течение 3 секунд, затем разворачивается и идет на восток со скоростью 7 м/с в течение 1 секунды. Мы можем рассматривать движение на восток как «отрицательное движение» на запад, поэтому общее перемещение равно (5 м/с)(3 с) + (-7 м/с)(1 с) = 8 метров. Общее время равно 4 с. Средняя скорость равна 8 м (на запад) / 4 с = 2 м/с (на запад).
   • Юля проходит 1 метр на север, затем проходит 8 метров на запад, а затем проходит 1 метр на юг. Общее время в пути составляет 4 секунды. Нарисуйте схему этого движения на бумаге, и вы увидите, что оно заканчивается в 8 метрах к западу от начальной точки, то есть общее перемещение равно 8 м. Общее время в пути составило 4 секунды. Средняя скорость равна 8 м (на запад) / 4 с = 2 м/с (на запад).

   Реклама

1. 

   1

   Обратите внимание на начальную скорость и постоянное ускорение. Например: велосипедист начинает движение направо со скоростью 5 м/с и с постоянным ускорением 2 м/с². Если общее время в пути составило 5 секунд, то какова средняя скорость велосипедиста?

   • Если вы не понимаете единицу измерения м/с², запишите ее как м/с/с или как метр в секунду за секунду.^[3]
     Ускорение 2 м/с/с означает, что скорость велосипедиста увеличивается на 2 м/с за каждую секунду.

2. 

   2

   Используя ускорение, найдите конечную скорость. Ускорение – это быстрота изменения скорости. Можно нарисовать таблицу и, используя значение ускорения, найти конечную скорость в различные промежутки времени. В нашем примере требуется найти скорость при t = 5 с, но мы построим большую таблицу, чтобы вы лучше уяснили процесс.

   • В начале (t = 0) велосипедист едет со скоростью 5 м/с.
   • Спустя 1 с (t = 1), велосипедист едет со скоростью 5 м/с + at = 5 м/с + (2 м/с²)(1 с) = 7 м/с.
   • Спустя 2 с (t = 2), велосипедист едет со скоростью 5 + (2)(2) = 9 м/с.
   • Спустя 3 с (t = 3), велосипедист едет со скоростью 5 + (2)(3) = 11 м/с.
   • Спустя 4 с (t = 4), велосипедист едет со скоростью 5 + (2)(4) = 13 м/с.
   • Спустя 5 с (t = 5), велосипедист едет со скоростью 5 + (2)(5) = 15 м/с.

3. 

   3

   Используйте следующую формулу, чтобы вычислить среднюю скорость. Только если ускорение постоянно, то средняя скорость равна половине суммы начальной и конечной скоростей: (v_н + v_к)/2. В нашем примере начальная скорость v_н = 5м/с, а конечная скорость v_к = 15 м/с. Средняя скорость велосипедиста равна (15 м/с + 5 м/с) / 2 = (20 м/с) / 2 = 10 м/с (вправо).

   • Не забудьте указать направление (в данном случае «вправо»).
   • Начальную скорость можно обозначить как v₀, а конечную как v.

4. 

   4

   Объяснение формулы. Чтобы найти среднюю скорость, необходимо вычислить скорость тела в каждый промежуток времени, сложить полученные результаты и разделить эту сумму на число временных промежутков. Однако это долго и утомительно. Вместо этого давайте найдем среднею скорость всего в двух (любых) временных промежутках.

5. 

   5

   Используйте приведенную выше таблицу конечных скоростей в различные моменты времени. Рассмотрим некоторые пары временных промежутков: (t = 0, t = 5), (t = 1, t = 4) или (t = 2, t = 3). Если хотите, проверьте процесс при дробных значениях t.

   • Независимо от того, какую пару временных промежутков вы выберите, вы получите одно и то же значение средней скорости. Например, (5 + 15)/2 = (7 + 13)/2 = (9 + 11)/2 = 10 м/с (вправо).

6. 

   6

   Если бы мы вычислили скорость тела в каждый промежуток времени, мы бы получили среднюю скорость в первой половине пути и среднюю скорость во второй половине пути. Так как временных промежутков в каждой половине равное количество, то вы не потеряете ни одного значения скорости на всем протяжении пути (то есть в результате все значения скоростей будут учтены).

   • Так как средняя скорость между любыми двумя промежутками времени остается постоянной, то общая средняя скорость равна средней скорости между любыми двумя промежутками времени.
   • Мы можем найти общую среднюю скорость, рассмотрев скорости в любых двух промежутках времени, например, начальную и конечную скорости. В нашем примере: (5 + 15) / 2 = 10 м/с (вправо).

7. 

   7

   Математическое обоснование формулы. Далее изложен математический вывод формулы.^[4]
   

   • s = v_нt + ½at² (правильнее писать Δs and Δt).
   • Средняя скорость v_ср = s/t.
   • v_ср = s/t = v_н + ½at
   • at = v_к — v_н
   • v_ср = v_н + ½(v_к — v_н).
   • v_ср = v_н + ½v_к — ½v_н = ½v_н + ½v_к = (v_н + v_к)/2.

   Реклама

Советы

• Скорость отличается от «значения скорости», потому что скорость является векторной величиной. Векторные величины определяются и значением, и направлением, а скалярные величины только значением.
• Если тело движется вперед и назад, можно использовать положительные числа, чтобы представить одно направление (например, вперед), и отрицательные числа, чтобы представить движение в другом направлении (например, назад). Запишите это в верхней части вашей работы, чтобы преподаватель понял ваши вычисления.

Реклама

1. График скорости при неравномерном прямолинейном движении
2. Как найти путь и перемещение по графику скорости?
3. Средняя скорость и средняя путевая скорость
4. Задачи
5. Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела

п.1. График скорости при неравномерном прямолинейном движении

Прямолинейное и равномерное движение возможно лишь на участке пути.
Любое тело со временем меняет свою скорость, как по величине, так и по направлению.

Движение с переменной скоростью называют неравномерным.

Для описания неравномерного движения его можно разбить на участки, на которых скорость постоянна, и свести задачу к уже известному нам равномерному прямолинейному движению.

Например, пусть велосипедист добрался из города A в город B за 1 час. Первые полчаса он ехал со скоростью 9 км/ч, а потом проколол шину, и вторые полчаса шел пешком со скоростью 3 км/ч.
Направим ось ОХ также от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9 text{км/ч}, v_{x2}=3 text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:

Графиком скорости (v_x=v_x(t)) при неравномерном прямолинейном движении, которое можно разбить на участки с постоянной скоростью, является ломаная линия.

п.2. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

Мы уже знаем, что путь равен площади прямоугольника, который образуется между отрезком графика скорости и отрезком (triangle t) на оси (t) (см. §8 данного справочника).

В таком случае, путь велосипедиста в нашем примере:
begin{gather*} s=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2\ s=9cdot 0,5+3cdot 0,5=4,5+1,5=6 text{(км)} end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км.
Общий путь велосипедиста равен 6 км. Расстояние между городами 6 км.

Если принять город A за начало отсчета с (x_0=0), то координата велосипедиста в конце пути: $$ x_{к}=x_0+s=0+6=6 text{(км)} $$ Перемещение по оси ОХ: (triangle x=x_{к}-x_0=6 text{(км)}).

Теперь рассмотрим другую ситуацию. Пусть велосипедист выехал из A в B и двигался со скоростью 9 км/ч в течение получаса. Но, после того как проколол шину, он развернулся и пошел пешком назад в A. Где будет находиться велосипедист через полчаса после разворота?
Снова направим ось ОХ от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9 text{км/ч}, v_{x2}=-3 text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:

Путь велосипедиста по-прежнему будет равен сумме площадей прямоугольников, которые образует ломаная (v_x(t)) с осью (t): begin{gather*} x=v_{x1}cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdottriangle t_2\ s=9cdot 0,5+3cdot 0,5=4,5+1,5=6 text{(км)} end{gather*}
Если мы учтем знак (v_{x2}) и уберем модуль, то получим величину перемещения по оси ОХ: begin{gather*} triangle x=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2\ triangle x=9cdot 0,5-3cdot 0,5=4,5-1,5=3 text{(км)} end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км в обратном направлении.
Конечная координата: $$ x_{к}=x_0+triangle x=0+3=3 text{(км)} $$
Ответ на вопрос задачи найден. Через полчаса после разворота велосипедист будет находиться в точке D в 3 км от города A.

Пусть неравномерное прямолинейное движение разбито на (n) участков с постоянными скоростями. Каждому такому участку соответствует промежуток времени (triangle t_i) и постоянная скорость (v_{xi}, i=overline{1,n}).
Тогда:
Весь пройденный путь равен сумме площадей прямоугольников на графике скорости: $$ s=|v_{x1}|cdottriangle t_1+|v_{x2}|cdottriangle t_2+…+|v_{xn}|cdottriangle t_n $$ Величина перемещения по оси ОХ равна сумме площадей прямоугольников с учетом знака: $$ triangle x=v_{x1}cdottriangle t_1+v_{x2}cdottriangle t_2+…+v_{xn}cdottriangle t_n $$ Конечная координата равна: (x_{к}=x_0+triangle x).

п.3. Средняя скорость и средняя путевая скорость

Средняя скорость на нескольких участках движения равна отношению общего перемещения к общему времени, затраченному на это перемещение: $$ overrightarrow{v_{cp}}=frac{overrightarrow{r_1}+overrightarrow{r_2}+…+overrightarrow{r_n}}{t_1+t_2+…+t_n}=frac{overrightarrow{r}}{t} $$

Средняя путевая скорость на нескольких участках движения равна отношению общего пути к общему времени, затраченному на этот путь: $$ v_{cp.п}=frac{s_1+s_2+…+s_n}{t_1+t_2+…+t_n}=frac{s}{t} $$

Если тело все время движется в одном направлении, величина средней скорости равна средней путевой скорости, т.к. на каждом участке путь совпадает с модулем перемещения.
Если тело меняет направление движения, величина средней скорости меньше средней путевой скорости.

В нашем примере с велосипедистом, который все время двигался в одну сторону и дошел до города B, получаем: begin{gather*} |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{|overrightarrow{r}|}{t}=frac{triangle x}{t}=frac 61=6 text{(км/ч)}\ v_{cp.п}=frac st=frac 61=6 text{(км/ч)} end{gather*} Величина средней скорости равна средней путевой скорости.

А вот для случая, когда велосипедист развернулся и пошел обратно: begin{gather*} |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{|overrightarrow{r}|}{t}=frac{triangle x}{t}=frac 31=3 text{(км/ч)}\ v_{cp.п}=frac st=frac 61=6 text{(км/ч)} end{gather*} Величина средней скорости меньше средней путевой скорости.

п.4. Задачи

Упростим сумму дробей: $$ t=frac{d}{20}+frac{d}{80}=frac{4d+d}{80}=frac{5d}{80}=frac{d}{16} $$ Получаем: $$ v_{cp}=frac st=frac{3d}{d/16}=3cdot 16=48 text{(км/ч)} $$
Ответ: 48 км/ч

Упростим сумму дробей: $$ t=frac{s}{180}+frac{s}{60}=frac{s+3s}{180}=frac{4s}{180}=frac{s}{45} $$ Получаем: $$ v_{cp}=frac st=frac{s}{s/45}=45 text{(км/ч)} $$
Ответ: 45 км/ч

По условию средняя скорость: $$ v_{cp}=frac st=frac{50d}{25t}=2cdot frac dt=32Rightarrow frac dt=16 $$ Получаем: begin{gather*} v_1=frac{d}{4t}=frac{16}{4}=4 text{(км/ч)}\ v_2=frac{4d}{t}=4cdot 16=64 text{(км/ч)}\ v_3=frac{9d}{4t}=frac{9}{4}cdot 16=36 text{(км/ч)} end{gather*}
Ответ: 4 км/ч, 64 км/ч и 36 км/ч

Упростим сумму дробей: $$ t=frac{s}{20v}+frac sv=frac svleft(frac{1}{20}+1right)=frac{21}{20}cdot frac sv $$ Средняя скорость: $$ v_{cp}=frac{s}{frac{21}{20}cdotfrac sv}=frac{20}{21}vgt v $$Средняя скорость поездки оказалась меньше пешей скорости туриста.
Значит, он не выиграл по времени.
Ответ: нет

п.5. Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела

Цель работы
Научиться определять среднюю скорость движения тела по данным измерений на разных участках. Научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности при подстановке данных измерений в формулы.

Теоретические сведения
В лабораторной работе изучается движение тела (шарика) по двум участкам (желобам) с различной скоростью.

Величина средней скорости при движении на двух участках определяется как средняя путевая скорость: $$ v_{cp}=frac{s_1+s_2}{t_1+t_2} $$ где (s_1) и (s_2) – длина первого и второго участка; (t_1) и (t_2) — время движения по каждому из участков.

Длина участков измеряется с помощью мерной ленты с ценой деления (triangle=1) см,
инструментальная погрешность равна: (d=frac{triangle}{2}=0,5) см
Абсолютная погрешность измерений при работе с мерной лентой равна инструментальной погрешности, поэтому: (triangle s_1=triangle s_2=d=0,5) см
Погрешность суммы двух длин: (triangle(s_1+s_2)= triangle s_1+triangle s_2=2d=1) см

Измерение времени на каждом участке проводится в сериях их 5 измерений по методике, описанной в Лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
Погрешность суммы двух измерений: (triangle(t_1+t_2)=triangle t_1+triangle t_2)

Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: $$ delta_{v_{cp}}=delta_{s_1+s_2}+delta_{t_1+t_2} $$ Абсолютная погрешность определения средней скорости: $$ triangle v_{cp}=v_{cp}cdot delta_{v_{cp}} $$

Приборы и материалы
Два желоба (не менее 1 м каждый), шарик, мерная лента, секундомер.

Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Соберите установку, как показано на рисунке. Установите один желоб под углом, другой – горизонтально, закрепите, поставьте в конце горизонтального участка упор. Подберите длину желобов и наклон так, чтобы движение по каждому участку было не менее 1 с.

3. Измерьте фактическую длину каждого участка движения в готовой установке с помощью мерной ленты.
4. Найдите относительную погрешность суммы двух длин (delta_{s_1+s_2}=frac{triangle(s_1+s_2)}{s_1+s_2})
5. Проведите серии по 5 экспериментов для определения (t_1) и (t_2) с помощью секундомера.
6. Найдите (triangle t_1, triangle t_2, triangle(t_1+t_2), delta_{t_1+t_2})
7. По результатам измерений и вычислений найдите (v_{cp}, delta_{v_{cp}}) и (triangle v_{cp}).
8. Сделайте выводы о проделанной работе.

Найдем среднее время спуска с наклонного желоба: $$ t_1=frac{1,5+1,6+1,5+1,4+1,4}{5}=frac{7,4}{5}=1,48 (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_1): $$ triangle_1=|1,5-1,48|=0,02; triangle_2=|1,6-1,48|=1,02 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0,02+0,12+0,02+0,08+0,08}{5}=frac{0,32}{5}=0,064 text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t_1=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,064right}=0,1 text{c} $$ Округляем полученное значение времени до десятых. begin{gather*} t_1=(1,5pm 0,1) text{c}\ delta_{t_1}=frac{0,1}{1,5}=frac{1}{15}approx 6,7text{%} end{gather*} Время движения по горизонтальному желобу

Найдем среднее время движения по горизонтали: $$ t_2=frac{2,3+2,4+2,2+2,2+2,4}{5}=frac{11,5}{5}=2,3 (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_2): $$ triangle_1=|2,3-2,3|=0; triangle_2=|2,4-2,3|=0,1 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0+0,1+0,1+0,1+0,1}{5}=frac{0,4}{5}=0,08 text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t_2=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,08right}=0,1 text{c} $$ Получаем: begin{gather*} t_2=(2,3pm 0,1) text{c}\ delta_{t_2}=frac{0,1}{2,3}=frac{1}{23}approx 4,4text{%} end{gather*}

3) Расчет погрешности суммы интервалов времени
Сумма интервалов времени: $$ t_1+t_2=1,5+2,3=3,8 text{(c)} $$ Абсолютная погрешность суммы: $$ triangle(t_1+t_2)=triangle t_1+triangle t_2=0,1+0,1=0,2 text{(c)} $$ Относительная погрешность суммы: $$ delta_{t_1+t_2}=frac{triangle (t_1+t_2)}{t_1+t_2}=frac{0,2}{3,8}=frac{1}{19}approx 5,3text{%} $$

4) Расчет средней скорости $$ v_{cp}=frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=frac{320}{3,8}approx 84,2 left(frac{text{см}}{text{c}}right) $$ Относительная ошибка частного: $$ delta_{v_{cp}}=delta_{s_1+s_2}+delta_{t_1+t_2}=frac{1}{320}+frac{1}{19}approx 0,003125+0,0526approx 0,0557approx 0,056=5,6text{%} $$ (оставляем две значащие цифры).
Абсолютная ошибка: $$ v_{cp}=v_{cp}cdotdelta_{v_{cp}}=84,2cdot 0,056approx 4,7 left(frac{text{см}}{text{c}}right) $$ Получаем: begin{gather*} v_{cp}=(84,2pm 4,7) text{см/с}\ delta_{v_{cp}}=5,6text{%} end{gather*}