Как найти среднюю скорость прямолинейного движения материальной

Средней скоростью ($leftlangle vrightrangle $) материальной точки за промежуток времени $Delta t$ называют физическую величину, которая равна отношению перемещения, которое совершило тело к этому промежутку времени:

[leftlangle vrightrangle =frac{Delta x}{Delta t}left(3right).]

Задание. Пешеход, потратил первую половину времени своего движения, двигаясь со скоростью $v_1=5frac{км}{ч}$, вторую половину времени он шел со скоростью $v_3=3frac{км}{ч}$. Какова средняя скорость движения человека?

Решение. Сделаем рисунок.

Для решения задачи используем формулу, определяющую среднюю скорость:

[leftlangle vrightrangle =frac{s}{t} left(1.1right),]

где путь складывается из двух участков движения:

[s=s_1+s_2left(1.2right).]

Причем по условию задачи:

[s_1=v_1t_1=v_1frac{t}{2}left(1.3right) и ]

[s_2=v_2t_2=v_2frac{t}{2}left(1.4right).]

Подставим в определение средней скорости (1.1) правые части выражений (1.2) — (1.4), и учтем, что $t=t_1+t_2$ имеем:

[leftlangle vrightrangle =frac{v_1frac{t}{2}+v_2frac{t}{2}}{t}=frac{v_1+v_2}{2}.]

Вычислим среднюю скорость пешехода:

[leftlangle vrightrangle =frac{5+3}{2}=4 (frac{м}{с}).]

Ответ. $leftlangle vrightrangle =4frac{м}{с}$

Задание. Какова средняя скорость, которую имела материальная точка за промежуток времени $tau $, если уравнение ее скорости имеет вид:

[vleft(tright)=A+Bt+Ct^2 left(0le tle tau right)left(2.1right).]

Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу ($t=tau $):

[leftlangle vrightrangle =frac{s}{t} left(2.1right).]

Найдем путь материальной точки, учитывая уравнение скорости из данных задачи:

[s=intlimits^{tau }_0{vdt=intlimits^{tau }_0{(A+Bt+Ct^2)dt=}}Atau +Bfrac{{tau }^2}{2}+Cfrac{{tau }^3}{3}left(2.2right).]

Подставим правую часть выражения (2.2) в (2.1), имеем:

[leftlangle vrightrangle =frac{Atau +Bfrac{{tau }^2}{2}+Cfrac{{tau }^3}{3}}{tau }=A+frac{Btau }{2}+frac{C{tau }^2}{3}.]

Ответ. $leftlangle vrightrangle =A+frac{Btau }{2}+frac{C{tau }^2}{3}$

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Даниэль Веньяминов

Вопрос задан 23 сентября 2019 в

10 — 11 классы,  

Алгебра.

• Комментариев (0)

Отмена

• Сайт
• Главная страница
• Напиши свой вопрос

• Кабинет
• Вход в личный кабинет
• Регистрация на сайте

1. 

   1

   Помните, что скорость задается как численным значением, так и направлением. Скорость описывает быстроту изменения положения тела, а также направление, в котором движется это тело. Например, 100 м/с (на юг).

   • Величины, которые задаются как численным значением, так и направлением, называются векторными величинами.^[1]
     Над векторными величинами ставится значок в виде стрелки. Они отличаются от скалярных величин, которые задаются исключительно численным значением. Например, v^→ – это скорость.^[2]
     
   • В научных задачах рекомендуется использовать метрические единицы измерения перемещения (метры, километры и так далее), а в повседневной жизни пользуйтесь любыми удобными единицами измерения.

2. 

   2

   Найдите общее перемещение, то есть расстояние и направление между начальной и конечной точками пути. В качестве примера рассмотрим тело, движущееся с постоянной скоростью в одном направлении.

   • Например, ракета была запущена в северном направлении и двигалась в течение 5 минут с постоянной скоростью 120 метров в минуту. Чтобы вычислить общее перемещение, воспользуйтесь формулой s = vt: (5 минут) (120 м/мин) = 600 м (на север).
   • Если в задаче дано постоянное ускорение, воспользуйтесь формулой s = vt + ½at² (в следующем разделе описывается упрощенный способ работы с постоянным ускорением).

3. 

   3

   Найдите общее время в пути. В нашем примере ракета перемещается в течение 5 минут. Среднюю скорость можно выразить в любых единицах измерения, но в международной системе единиц скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Конвертируйте минуты в секунды: (5 минут) х (60 секунд/минута) = 300 секунд.

   • Если даже в научной задаче время дано в часах или других единицах измерения, лучше сначала вычислить скорость, а затем преобразовать ее в м/с.

4. 

   4

   Вычислите среднюю скорость. Если вы знаете значение перемещения и общее время в пути, вычислить среднюю скорость можно по формуле v_ср = Δs/Δt. В нашем примере средняя скорость ракеты равна 600 м (на север) / (300 секунд) = 2 м/с (на север).

   • Не забудьте указать направление движения (например, «вперед» или «на север»).
   • В формуле v_ср = Δs/Δt символ «дельта» (Δ) означает «изменение величины», то есть Δs/Δt означает «изменение положения к изменению времени».
   • Средняя скорость может быть записана как v_ср или как v с горизонтальной чертой сверху.

5. 

   5

   Решение более сложных задач, например, если тело вращается или ускорение не является постоянным. В этих случаях средняя скорость по-прежнему вычисляется как отношение общего перемещения к общему времени. Не имеет значения, что происходит с телом между начальной и конечной точками пути. Вот несколько примеров задач с одинаковым общим перемещением и общим временем (а, следовательно, и одинаковой средней скоростью).

   • Анна идет на запад со скоростью 1 м/с в течение 2 секунд, затем мгновенно ускоряется до 3 м/с и продолжает идти на запад в течение 2 секунд. Ее общее перемещение составляет (1 м/с)(2 с) + (3 м/с)(2 с) = 8 м (на запад). Общее время в пути: 2 с + 2 с = 4 с. Ее средняя скорость: 8 м / 4 с = 2 м/с (на запад).
   • Борис идет на запад со скоростью 5 м/с в течение 3 секунд, затем разворачивается и идет на восток со скоростью 7 м/с в течение 1 секунды. Мы можем рассматривать движение на восток как «отрицательное движение» на запад, поэтому общее перемещение равно (5 м/с)(3 с) + (-7 м/с)(1 с) = 8 метров. Общее время равно 4 с. Средняя скорость равна 8 м (на запад) / 4 с = 2 м/с (на запад).
   • Юля проходит 1 метр на север, затем проходит 8 метров на запад, а затем проходит 1 метр на юг. Общее время в пути составляет 4 секунды. Нарисуйте схему этого движения на бумаге, и вы увидите, что оно заканчивается в 8 метрах к западу от начальной точки, то есть общее перемещение равно 8 м. Общее время в пути составило 4 секунды. Средняя скорость равна 8 м (на запад) / 4 с = 2 м/с (на запад).

   Реклама

1. 

   1

   Обратите внимание на начальную скорость и постоянное ускорение. Например: велосипедист начинает движение направо со скоростью 5 м/с и с постоянным ускорением 2 м/с². Если общее время в пути составило 5 секунд, то какова средняя скорость велосипедиста?

   • Если вы не понимаете единицу измерения м/с², запишите ее как м/с/с или как метр в секунду за секунду.^[3]
     Ускорение 2 м/с/с означает, что скорость велосипедиста увеличивается на 2 м/с за каждую секунду.

2. 

   2

   Используя ускорение, найдите конечную скорость. Ускорение – это быстрота изменения скорости. Можно нарисовать таблицу и, используя значение ускорения, найти конечную скорость в различные промежутки времени. В нашем примере требуется найти скорость при t = 5 с, но мы построим большую таблицу, чтобы вы лучше уяснили процесс.

   • В начале (t = 0) велосипедист едет со скоростью 5 м/с.
   • Спустя 1 с (t = 1), велосипедист едет со скоростью 5 м/с + at = 5 м/с + (2 м/с²)(1 с) = 7 м/с.
   • Спустя 2 с (t = 2), велосипедист едет со скоростью 5 + (2)(2) = 9 м/с.
   • Спустя 3 с (t = 3), велосипедист едет со скоростью 5 + (2)(3) = 11 м/с.
   • Спустя 4 с (t = 4), велосипедист едет со скоростью 5 + (2)(4) = 13 м/с.
   • Спустя 5 с (t = 5), велосипедист едет со скоростью 5 + (2)(5) = 15 м/с.

3. 

   3

   Используйте следующую формулу, чтобы вычислить среднюю скорость. Только если ускорение постоянно, то средняя скорость равна половине суммы начальной и конечной скоростей: (v_н + v_к)/2. В нашем примере начальная скорость v_н = 5м/с, а конечная скорость v_к = 15 м/с. Средняя скорость велосипедиста равна (15 м/с + 5 м/с) / 2 = (20 м/с) / 2 = 10 м/с (вправо).

   • Не забудьте указать направление (в данном случае «вправо»).
   • Начальную скорость можно обозначить как v₀, а конечную как v.

4. 

   4

   Объяснение формулы. Чтобы найти среднюю скорость, необходимо вычислить скорость тела в каждый промежуток времени, сложить полученные результаты и разделить эту сумму на число временных промежутков. Однако это долго и утомительно. Вместо этого давайте найдем среднею скорость всего в двух (любых) временных промежутках.

5. 

   5

   Используйте приведенную выше таблицу конечных скоростей в различные моменты времени. Рассмотрим некоторые пары временных промежутков: (t = 0, t = 5), (t = 1, t = 4) или (t = 2, t = 3). Если хотите, проверьте процесс при дробных значениях t.

   • Независимо от того, какую пару временных промежутков вы выберите, вы получите одно и то же значение средней скорости. Например, (5 + 15)/2 = (7 + 13)/2 = (9 + 11)/2 = 10 м/с (вправо).

6. 

   6

   Если бы мы вычислили скорость тела в каждый промежуток времени, мы бы получили среднюю скорость в первой половине пути и среднюю скорость во второй половине пути. Так как временных промежутков в каждой половине равное количество, то вы не потеряете ни одного значения скорости на всем протяжении пути (то есть в результате все значения скоростей будут учтены).

   • Так как средняя скорость между любыми двумя промежутками времени остается постоянной, то общая средняя скорость равна средней скорости между любыми двумя промежутками времени.
   • Мы можем найти общую среднюю скорость, рассмотрев скорости в любых двух промежутках времени, например, начальную и конечную скорости. В нашем примере: (5 + 15) / 2 = 10 м/с (вправо).

7. 

   7

   Математическое обоснование формулы. Далее изложен математический вывод формулы.^[4]
   

   • s = v_нt + ½at² (правильнее писать Δs and Δt).
   • Средняя скорость v_ср = s/t.
   • v_ср = s/t = v_н + ½at
   • at = v_к — v_н
   • v_ср = v_н + ½(v_к — v_н).
   • v_ср = v_н + ½v_к — ½v_н = ½v_н + ½v_к = (v_н + v_к)/2.

   Реклама

Советы

• Скорость отличается от «значения скорости», потому что скорость является векторной величиной. Векторные величины определяются и значением, и направлением, а скалярные величины только значением.
• Если тело движется вперед и назад, можно использовать положительные числа, чтобы представить одно направление (например, вперед), и отрицательные числа, чтобы представить движение в другом направлении (например, назад). Запишите это в верхней части вашей работы, чтобы преподаватель понял ваши вычисления.

Реклама