Как найти стабильность в математике

Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Пусть дана задача Коши

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Если функция f(t, х) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную Теория устойчивости дифференциальных уравнений в некоторой области Теория устойчивости дифференциальных уравнений изменения t, х, содержащей точку (tо, xo), то решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно. Если изменять значения t0 и хо, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется малопригодной для описания реального процесса.

Справедлива следующая теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий.

Теорема:

Если правая часть f(t, х) дифференциального уравнения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную Теория устойчивости дифференциальных уравнений в некоторой области G изменения t , х, то решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальному условию Теория устойчивости дифференциальных уравнений непрерывно зависит от начальных данных.

Иными словами, пусть через точку Теория устойчивости дифференциальных уравнений проходит решение x(t) уравнения (1), определенное на отрезке Теория устойчивости дифференциальных уравнений Тогда для любого Теория устойчивости дифференциальных уравнений найдется такое Теория устойчивости дифференциальных уравнений решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений уравнения (1), проходящее через точку Теория устойчивости дифференциальных уравнений существует на отрезке Теория устойчивости дифференциальных уравнений и отличается там от x(t) меньше чем на Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Аналогичная теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

При выполнении условий теоремы (1) решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то обстоятельство, что отрезок [а, b] изменения t конечен. Однако во многих задачах нас интересует зависимость решения от начальных данных в бесконечном промежутке Теория устойчивости дифференциальных уравнений Переход от конечного промежутка, в котором рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений, к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым.

Остановимся вкратце на понятии о продолжаемости решения. Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где t — независимая переменная (время); Теория устойчивости дифференциальных уравнений искомые функции; Теория устойчивости дифференциальных уравнений функции, определенные для Теория устойчивости дифференциальных уравнений из некоторой области Теория устойчивости дифференциальных уравнений Если функции

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

в их области определения непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по Теория устойчивости дифференциальных уравнений то для системы (3) справедлива локальная теорема существования:

для каждой системы значений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

существует единственное решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

системы (3), определенное в некотором интервале Теория устойчивости дифференциальных уравненийизменения t и удовлетворяющее начальным условиям

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Введем следующее понятие. Пусть

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

— решение задачи Коши (3)-(4), определенное на некотором интервале I = (t1,t2). Это решение может бьггь продолжено, вообще говоря, на больший интервал времени. Решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

называется продолжением решения Теория устойчивости дифференциальных уравнений если оно определено на большем интервале Теория устойчивости дифференциальных уравнений и совпадает с Теория устойчивости дифференциальных уравнений при Теория устойчивости дифференциальных уравнений Решение называется неограниченно продолжаемым (неограниченно продолжаемым вправо или влево), если его можно продолжить на всю ось Теория устойчивости дифференциальных уравнений(на полуось Теория устойчивости дифференциальных уравнений или Теория устойчивости дифференциальных уравнений соответственно).

Для дальнейших рассмотрений важен вопрос о существовании решения хi(t), Теория устойчивости дифференциальных уравнений (глобальная теорема существования). Этим свойством обладает линейная система

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где Теория устойчивости дифференциальных уравнений — непрерывные функции на Теория устойчивости дифференциальных уравнений Для нее каждое решение Теория устойчивости дифференциальных уравненийсуществует на Теория устойчивости дифференциальных уравнений(неограниченно продолжаемо вправо) и единственно.

Не все системы обладают таким свойством. Например, для скалярного уравнения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

функция

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

непрерывна и имеет производные всех порядков по х. Нетрудно проверить, что функция

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

является решением задачи

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Однако это решение существует только в интервале Теория устойчивости дифференциальных уравненийзависящем от начального условия, и не-продолжаемо на полуинтервал Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Уравнение (5) есть уравнение сверхбыстрого размножения, когда прирост пропорционален числу всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).

Задача:

Показать, что решения уравнения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

нельзя продолжить неограниченно ни вправо, ни влево.

Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где функция f(t,x) определена и непрерывна для Теория устойчивости дифференциальных уравнений и х из некоторой области D и имеет ограниченную частную производную Теория устойчивости дифференциальных уравнений . Пусть функция

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

есть решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Пусть, далее, функция

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Предполагается, что решения Теория устойчивости дифференциальных уравнений определены для всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений неограниченно продолжаемы вправо.

Определение:

Решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений уравнения (1) называется устойчивым по Ляпунову при Теория устойчивости дифференциальных уравнений если для любого Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что для всякого решения х = x(t) этого уравнения из неравенства

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

следует неравенство

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

для всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений (всегда можно считать, что Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Это значит, что решения, близкие по начальным значениям к решению Теория устойчивости дифференциальных уравнений остаются близкими и при всех Теория устойчивости дифференциальных уравненийГеометрически это означает следующее. Решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

уравнения (1) устойчиво, если, какой бы узкой ни была е-полоска, содержащая кривую Теория устойчивости дифференциальных уравнений, все достаточно близкие к ней в начальный момент Теория устойчивости дифференциальных уравнений интегральные кривые х = x(t) уравнения целиком содержатся в указанной е-полоске при всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений (рис. 1).

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Если при сколь угодно малом Теория устойчивости дифференциальных уравнений хотя бы для одного решения х = x(t) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений этого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Определение:

Решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если

1) решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений устойчиво;

2) существует Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что для любого решения х = x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию Теория устойчивости дифференциальных уравнений имеем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Это означает, что все решения х = x(t), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению Теория устойчивости дифференциальных уравнений, не только остаются близкими к нему при Теория устойчивости дифференциальных уравнений, но и неограниченно сближаются с ним при Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Вот простая физическая модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

уравнения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений, очевидно, удовлетворяет начальному условию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

имеет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Легко видеть (рис. 2), что, какова бы ни была Теория устойчивости дифференциальных уравнений-полоска вокруг интегральной кривой х = 0, существует Теория устойчивости дифференциальных уравнений, например, Теория устойчивости дифференциальных уравненийтакое, что любая интегральная кривая Теория устойчивости дифференциальных уравнений для которой Теория устойчивости дифференциальных уравненийцеликом содержится в указанной Теория устойчивости дифференциальных уравненийполоске для всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений Следовательно, решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, поскольку решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений при Теория устойчивости дифференциальных уравненийне стремится к прямой х = 0.

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение Теория устойчивости дифференциальных уравненийуравнения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Решение уравнения (**), удовлетворяющее начальному условию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

имеет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Возьмем любое Теория устойчивости дифференциальных уравнений > 0 и рассмотрим разность решений Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Поскольку Теория устойчивости дифференциальных уравнений для всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений, из выражения (***) следует, что существует Теория устойчивости дифференциальных уравнений например, Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что при Теория устойчивости дифференциальных уравненийимеем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Согласно определению (1) это означает, что решение Теория устойчивости дифференциальных уравненийуравнения (**) устойчиво. Кроме того, имеем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

поэтому решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений асимптотически устойчиво (рис. 3).

Пример:

Показать, что решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

уравнения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

неустойчиво.

В самом деле, при сколь угодно малом Теория устойчивости дифференциальных уравнений решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

этого уравнения не удовлетворяет условию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

при достаточно больших t > to. Более того, при любых Теория устойчивости дифференциальных уравнений имеем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

(рис.4).

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где функции fi определены для Теория устойчивости дифференциальных уравнений из некоторой области D изменения Теория устойчивости дифференциальных уравнений и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Предположим, что все решения системы (4) неограниченно продолжаемы вправо при Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Определение:

Решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

системы (4) называется устойчивым по Ляпунову при Теория устойчивости дифференциальных уравненийесли для любого Теория устойчивости дифференциальных уравнений > 0 существует Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что для всякого решения Теория устойчивости дифференциальных уравнений той же системы, начальные значения которого удовлетворяют условию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

выполняются неравенства

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

для всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Если при сколь угодно малом Теория устойчивости дифференциальных уравнений хотя бы для одного решения Теория устойчивости дифференциальных уравнений не все неравенства (5) выполняются, то решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений называется неустойчивым.

Определение:

Решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

системы (4) называется асимптотически устойчивым, если:

1) решение это устойчиво;

2) существует Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что всякое решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений системы, для которого

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

удовлетворяет условию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Пример:

Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

устойчиво.

Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям (**), есть

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Решение этой системы, удовлетворяющее условиям Теория устойчивости дифференциальных уравнений имеет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Возьмем произвольное Теория устойчивости дифференциальных уравнений > 0 и покажем, что существует Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что при Теория устойчивости дифференциальных уравнений выполняются неравенства

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

для всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений системы (*) устойчиво по Ляпунову. Очевидно, имеем:

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

то при Теория устойчивости дифференциальных уравнений будут иметь место неравенства

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

для всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений т.е. действительно нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.

Из устойчивости нетривиального решения дифференциального уравнения не следует ограниченности этого решения. Рассмотрим, например, уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию х(0) = 0, является функция

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Решение, удовлетворяющее начальному условию Теория устойчивости дифференциальных уравнений имеет вид Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Геометрически очевидно (рис.5), что для всякого Теория устойчивости дифференциальных уравнений существует Теория устойчивости дифференциальных уравнений например Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что любое решение x(t) уравнения, для которого верно неравенство Теория устойчивости дифференциальных уравнений удовлетворяет условию Теория устойчивости дифференциальных уравнений Последнее означает, что решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений устойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным при Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Из ограниченности решений дифференциального уравнения не следует устойчивости решений.
Рассмотрим уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Оно имеет очевидные решения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Интегрируя уравнение (6), находим

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Все решения (7) и (8) ограничены на Теория устойчивости дифференциальных уравнений Однако решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений неустойчиво при Теория устойчивости дифференциальных уравнений так как при любом Теория устойчивости дифференциальных уравнений имеем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

(рис. 6).

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Таким образом, ограниченность и устойчивость решений являются понятиями, независимыми друг от друга.

Замечание:

Исследуемое на устойчивость решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

системы (4) всегда можно преобразовать в тривиальное решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

другой системы заменой

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

В самом деле, пусть имеем (для простоты) одно дифференциальное уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и пусть требуется исследовать на устойчивость какое-либо решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений этого уравнения. Положим, что

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

(величину Теория устойчивости дифференциальных уравнений называют возмущением). Тогда

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и подстановка в (*) приводит к равенству

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Но Теория устойчивости дифференциальных уравнений — решение уравнения (*), поэтому

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и из (**) имеем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Обозначив здесь правую часть через F(t, у), получим

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Это уравнение имеет решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений так как при Теория устойчивости дифференциальных уравнений его левая и правая части тождественно по t равны нулю:

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Таким образом, вопрос об устойчивости решения Теория устойчивости дифференциальных уравнений уравнения (*) приводится к вопросу об устойчивости тривиального решения Теория устойчивости дифференциальных уравнений уравнения (***), к которому сводится (*). Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение.

Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя

Нормальная система дифференциальных уравнений называется автономной, если ее правые части fi не зависят явно от t, т. е. если она имеет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый автономной системой, не меняется со временем, как это бывает с физическими законами. Пусть имеем автономную систему

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и пусть (а1, a2, …, аn) — такая совокупность чисел, что

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Тогда система функций

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

будет решением системы (1). Точку Теория устойчивости дифференциальных уравнений фазового пространства (x1, x2,…, хn) называют точкой покоя (положением равновесия) данной системы. Рассмотрим автономную систему (1) , для которой

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

есть точка покоя этой системы. Обозначим через S(R) шар

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и будем считать, что для рассматриваемой системы в шаре S(R) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Определение:

Будем говорить, что точка покоя

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

системы (1) устойчива, если для любого Теория устойчивости дифференциальных уравненийТеория устойчивости дифференциальных уравненийсуществует такое Теория устойчивости дифференциальных уравнений что любая траектория системы, начинающаяся в начальный момент Теория устойчивости дифференциальных уравнений все время затем остается в шаре Теория устойчивости дифференциальных уравнений Точка покоя асимптотически устойчива, если:

1) она устойчива;

2) существует такое Теория устойчивости дифференциальных уравнений что каждая траектория системы, начинающаяся в точке Mо области Теория устойчивости дифференциальных уравнений стремится к началу координат, когда время t неограниченно растет (рис. 7).

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Поясним это определение примерами.

Пример:

Рассмотрим систему

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Траектории здесь — концентрические окружности

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

с центром в начале координат — единственной точкой покоя системы. Если взять Теория устойчивости дифференциальных уравнений то любая траектория, начинающаяся в круге Теория устойчивости дифференциальных уравнений, остается все время внутри Теория устойчивости дифференциальных уравнений, а следовательно, и внутри Теория устойчивости дифференциальных уравнений, так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат при Теория устойчивости дифференциальных уравненийи точка покоя не является асимптотически устойчивой.

Пример:

Пусть дана система

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Ее решения:

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Отсюда имеем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

поэтому траекториями являются лучи, входящие в начало координат (рис.8). Можно снова выбрать Теория устойчивости дифференциальных уравнений Любая точка траектории, находившаяся в начальный момент внутри Теория устойчивости дифференциальных уравнений, остается все время в круге Теория устойчивости дифференциальных уравнений и, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при Теория устойчивости дифференциальных уравнений Следовательно, наблюдается асимптотическая устойчивость.

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Пример:

Возьмем, наконец, систему

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Здесь также

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и траекториями являются лучи, исходящие из начала координат, но в отличие от примера 2 движение по лучам происходит в направлении от центра. Точка покоя неустойчива.

Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Решение будем искать в виде

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Для определения Теория устойчивости дифференциальных уравнений получаем характеристическое уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Величины Теория устойчивости дифференциальных уравнений с точностью до постоянного множителя определяются из системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Возможны следующие случаи.

А. Корни Теория устойчивости дифференциальных уравнений характеристического уравнения (3) — действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

  1. Пусть Теория устойчивости дифференциальных уравнений Точка покоя (0,0) в этом случае асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей Теория устойчивости дифференциальных уравнений все точки каждой траектории, находившиеся в начальный момент Теория устойчивости дифференциальных уравнений в произвольной Теория устойчивости дифференциальных уравненийокрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой, Теория устойчивости дифференциальных уравненийокрестности начала координат, а при Теория устойчивости дифференциальных уравнений стремятся к этому началу. Такая точка покоя называется устойчивым узлом

При С2 = 0 из (4) получаем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и траекториями являются два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Аналогично, при С1 = 0 получаем еще два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Пусть теперь Теория устойчивости дифференциальных уравнений и (для определенности) Теория устойчивости дифференциальных уравнений Тогда в силу (4)

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

т. е. все траектории (исключая лучи Теория устойчивости дифференциальных уравнений в окрестности точки покоя О(0,0) имеют направление луча

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

(рис. 9).

2. Если Теория устойчивости дифференциальных уравнений то расположение траекторий такое же, как и в предыдущем случае, но точки движутся по траекториям в противоположном направлении. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом (рис. 10).

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Пример:

Рассмотрим систему

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Для нее точка О(0,0) — точка покоя. Характеристическое уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

имеет корни Теория устойчивости дифференциальных уравнений так что налицо неустойчивый узел. Перейдем от данной системы к одному уравнению

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Оно имеет решения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

так что траекториями системы будут лучи падающие с координатными полуосями, семейство парабол, касающихся оси Oх в начале координат (рис. 11)

3. Пусть теперь Теория устойчивости дифференциальных уравнений тогда точка покоя неустойчива.

При С2 = 0 получаем решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

С возрастанием t точка этой траектории движется по лучу

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

в направлении от начала Теория устойчивости дифференциальных уравнений неограниченно удаляясь от него. При С1 = 0 имеем:

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Отсюда видно, что при возрастании t точка движется по лучу

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

в направлении к началу координат Теория устойчивости дифференциальных уравнений. Если Теория устойчивости дифференциальных уравнений так и при Теория устойчивости дифференциальных уравнений траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 12).

Пример:

Исследуем характер точки покоя О(0,0) системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Характеристическое уравнение системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

имеет корни Теория устойчивости дифференциальных уравнений Перейдем к одному уравнению

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

интегрируя которое получаем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Уравнение (6) имеет также решения Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Таким образом, интегральные кривые этого уравнения (траектории системы (5)) — равнобочные гиперболы и лучи, совпадающие с координатными полуосями.

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Б. Корни Теория устойчивости дифференциальных уравнений характеристического уравнения — комплексные: Теория устойчивости дифференциальных уравнений Общее решение системы (2) можно представить в виде

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где C1 и C2 — произвольные постоянные, а Теория устойчивости дифференциальных уравнений — некоторые линейные комбинации этих постоянных

  1. Пусть Теория устойчивости дифференциальных уравнений в этом случае множитель Теория устойчивости дифференциальных уравненийстремится к нулю при Теория устойчивости дифференциальных уравнений а вторые множители в (7) — ограниченные периодические функции. Траектории — спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Теория устойчивости дифференциальных уравнений Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом (рис. 13).,
  2. Если Теория устойчивости дифференциальных уравнений то этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t. Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении. Точка покоя неустойчива — неустойчивый фокус.
  3. Если же Теория устойчивости дифференциальных уравнений то решения системы (2) — периодические функции. Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром (рис. 14). Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение
Теория устойчивости дифференциальных уравнений

не стремится к нулю при Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Пример. Рассмотрим систему уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Характеристическое уравнение системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

имеет комплексные корни Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Перейдем от системы к одному уравнению

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и введем полярные координаты Теория устойчивости дифференциальных уравненийТогда

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Следовательно,

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Используя уравнение (9), находим, что

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Эти интегральные кривые являются логарифмическими спиралями, навивающимися на начало координат, которое достигается в пределе при Теория устойчивости дифференциальных уравнений в зависимости от того, будет ли а < 0 или а > 0. Налицо точка покоя типа фокуса. В частном случае, когда а = 0, уравнение (9) принимает вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Интегральные кривые этого уравнения — окружности с центром в начале координат, которое при а = 0 является точкой покоя системы (8) типа центра.

В. Корни Теория устойчивости дифференциальных уравнений характеристического уравнения кратные: Теория устойчивости дифференциальных уравненийСлучай этот — скорее исключение, а не правило, так как сколь угодно малое изменение коэффициентов системы разрушает его. Применяя метод исключения, находим, что общее решение системы уравнений (2) имеет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

(Теория устойчивости дифференциальных уравнений — некоторые линейные комбинации С1, С2).

  1. Если Теория устойчивости дифференциальных уравнений то из-за наличия множителя Теория устойчивости дифференциальных уравненийрешения х(t), y(t) стремятся к нулю при Теория устойчивости дифференциальных уравнений Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым вырожденным узлам (рис. 15). Он отличается от узла в случае А. 1 (там одна из траекторий имела касательную, отличную от всех остальных). Возможен также дикритический узел (см. рис. 8).
  2. При Теория устойчивости дифференциальных уравнений замена t на -t приводит к предыдущему случаю, но движение по траекториям происходит в противоположном направлении. Точка покоя в этом случае называется неустойчивым вырожденным узлом.

Пример:

Для системы уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

характеристическое уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

имеет кратные корни Теория устойчивости дифференциальных уравнений Деля второе уравнение системы на первое, найдем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

В этом случае

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Поэтому все интегральные кривые проходят через начало координат, и все они имеют там ось Оу общей касательной.

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Мы перебрали и исчерпали все возможности, поскольку случай Теория устойчивости дифференциальных уравнений исключен условием

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Пример:

Исследовать уравнение малых колебаний маятника с учетом трения.

Уравнение малых колебаний маятника в этом случае имеет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где x — угол малого отклонения маятника от вертикали, к — коэффициент трения. Заменим уравнение (*) эквивалентной системой

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Характеристическое уравнение для системы (**)

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

имеет корни

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Если 0 < к < 2, то эти корни будут комплексными с отрицательной действительной частью, так что нижнее положение равновесия маятника х = х1 = 0 будет устойчивом фокусом. Решением уравнения (*) является функция

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

— частота колебаний, а величины А, а определяются из начальных условий.

График решения и фазовая кривая при 0 < к < 2 имеют вид, изображенный на рис. 16. При Теория устойчивости дифференциальных уравнений т. е. с уменьшением коэффициента трения, фокус превращается в центр: маятник будет совершать незатухающие периодические колебания.

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Сформулируем результаты, касающиеся устойчивости решений системы п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Рассмотрим для системы (10) характеристическое уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Справедливы следующие предложения:

1) если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то все решения системы (10) асимптотически устойчивы. Действительно, в этом случае все слагаемые общего решения содержат множители Теория устойчивости дифференциальных уравненийстремящиеся к нулю при Теория устойчивости дифференциальных уравнений

2) если хотя бы один корень Теория устойчивости дифференциальных уравнений характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то все решения системы неустойчивы;

3) если характеристическое уравнение имеет простые корни с нулевой действительной частью (т. е. чисто мнимые или равные нулю корни), а остальные корни, если они есть, имеют отрицательную действительную часть, та все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет.

Эти результаты относятся и к одному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Следует обратить внимание на то, что для линейной системы все решения либо устойчивы, либо неустойчивы одновременна

Теорема:

Решения Системы линейных дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Преобразуем произвольное частное решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

системы (11) в тривиальное с помощью замены

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Система (11) преобразуется при этом в линейную однородную систему относительно yi(t):

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Следовательно, все частные решения системы (11) в смысле устойчивости ведут себя одинаково, а именно как тривиальное решение однородной системы (12).

В самом деле, пусть тривиальное решение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

системы (12) устойчиво. Это значит, что для любого Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что для всякого другого решения системы Теория устойчивости дифференциальных уравнений из условия Теория устойчивости дифференциальных уравнений следует, что

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Замечая, что Теория устойчивости дифференциальных уравнений получаем, что из условия

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

для всякого решения Теория устойчивости дифференциальных уравненийисходной системы (11). Согласно определению, это означает устойчивость решения Теория устойчивости дифференциальных уравнений этой системы.

Это предложение не имеет места для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.

Пример:

Рассмотрим нелинейное уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Оно имеет очевидные решения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Решение x(t) = -1 неустойчиво, а решение x(t) = 1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при Теория устойчивости дифференциальных уравнений все решения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение x(t) = 1 асимптотически устойчиво.

Замечание:

Как и в случае n = 2, можно исследовать расположение траекторий в окрестности точки покоя О(0,0,0) системы (10). Для n = 3 возможны так называемые узлофокусы (рис. 17), седлофокусы (рис. 18) и т. д.

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова состоит в исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений с помощью подходящим образом выбранной функции Теория устойчивости дифференциальных уравнений — так называемой функции Ляпунова, причем делается это без предварительного построения решения системы; в этом неоценимое преимущество метода.

Ограничимся рассмотрением автономных систем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

для которых Xi = 0, i = 1, 2,…, n, есть точка покоя.

Идея метода состоит в следующем. Предположим, что на устойчивость исследуется точка покоя Теория устойчивости дифференциальных уравнений системы (1). Если бы с возрастанием t точки всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него, то рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой. Проверка выполнения этого условия не требует знания решений системы. Действительно, если р — расстояние от точки траектории Теория устойчивости дифференциальных уравнений до начала координат

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

(производная вдоль траектории): Правая часть в (2) есть известная функция от х1, х2,…, хn, и можно исследовать ее знак. Если окажется, что Теория устойчивости дифференциальных уравнений то точки на всех траекториях не удаляются от начала координат при возрастании t и точка покоя хi = 0, i = 1, 2,…, n, устойчива. Однако точка покоя может быть устойчивой и при немонотонном приближении к ней с возрастанием t точек траекторий (например, в случае, когда траектории — эллипсы). Поэтому А. М. Ляпунов вместо функции р рассматривал функции v (x1, x2, … , хn), являющиеся в некотором смысле «обобщенным расстоянием» от начала координат.

Определение:

Функция v(x1, х2, … xn), определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (знакоположительной или знакоотрицательной), если в области G

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где h — достаточно малое положительное число, она может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль лишь при

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Так, в случае n = 3 функции

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

будут знакоположительными, причем здесь величина h > 0 может быть взята сколь угодно большой.

Определение:

Функция Теория устойчивости дифференциальных уравнений называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области G может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Например, функция

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию v(x1, x2, x3) можно представить так:

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

отсюда видно, что она неотрицательна всюду, но обращается в нуль и при Теория устойчивости дифференциальных уравнений а именно при X3 = 0 и любых, x1, х2 таких, что х1 = -х2.

Пусть Теория устойчивости дифференциальных уравнений — дифференцируемая функция своих аргументов, и пусть

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции v повремени имеем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Определение:

Величина Теория устойчивости дифференциальных уравнений определяемая формулой (3), называется полной производной функции v по времени, составленной в силу системы уравнений (1).

Определение:

Функций Теория устойчивости дифференциальных уравнений обладающую свойствами:

1) Теория устойчивости дифференциальных уравнений дифференцируема в некоторой окрестности Теория устойчивости дифференциальных уравнений начала координат;

2) Теория устойчивости дифференциальных уравнений определенно-положительна в Теория устойчивости дифференциальных уравнений и Теория устойчивости дифференциальных уравнений

3) полная производная Теория устойчивости дифференциальных уравнений функции Теория устойчивости дифференциальных уравнений, составленная в силу системы (1),

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

всюду в Теория устойчивости дифференциальных уравнений, называют функцией Ляпунова.

Теорема:

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая знакоопределенная функция Теория устойчивости дифференциальных уравнений, полная производная Теория устойчивости дифференциальных уравненийкоторой по времени, составленная в силу системы (1), есть знакопостоянная функция (знака, противоположного с v) или тождественно обращается в ноль, то тонка покоя Теория устойчивости дифференциальных уравнений системы (1) устойчива.

Приведем идею доказательства. Пусть для определенности Теория устойчивости дифференциальных уравнений есть знакоположительная функция, для которой Теория устойчивости дифференциальных уравнений Так как

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

причем v = 0 лишь при Теория устойчивости дифференциальных уравнений то начало координат есть точка строгого минимума функции Теория устойчивости дифференциальных уравнений В окрестности начала координат поверхности уровня

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

функции v являются, Как можно показать, замкнутыми поверхностями, внутри которых находится начало координат. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае n = 2. Так как Теория устойчивости дифференциальных уравнений только для Теория устойчивости дифференциальных уравнений то поверхность

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

в общих чертах напоминает параболоид, вогнутый Вверх (рис. 19).

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Линии уровня Теория устойчивости дифференциальных уравнений представляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат. При этом если Теория устойчивости дифференциальных уравнений то линия уровня Теория устойчивости дифференциальных уравнений целиком лежит внутри области, ограниченной линией Теория устойчивости дифференциальных уравнений Зададим Теория устойчивости дифференциальных уравнений При достаточно малом С > 0 линия уровня v = С целиком лежит в е-окрестности начала координат, но не проходит через начало. Следовательно, можно выбрать Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что окрестность начала координат целиком лежит внутри области, ограниченной линией v = С, причем в этой окрестности v < С (рис. 20).

Рассмотрим траекторию системы (1), выходящую в начальный момент времени t = to из какой-нибудь точки Теория устойчивости дифференциальных уравненийокрестности начала координат. Эта траектория при возрастании t никогда не пересечет ни одной из линий v(x1,x2) изнутри наружу. В самом деле, если бы такое пересечение было возможным в какой-нибудь точке, то в этой точке или в ее окрестности функция Теория устойчивости дифференциальных уравнений необходимо имела бы положительную производную Теория устойчивости дифференциальных уравнений так как при переходе от какой-нибудь линии v = С к другой линии этого семейства, охватывающей первую, функция v(x1,x2) возрастает. Но это невозможно в силу того, что по условию Теория устойчивости дифференциальных уравнений Значит, если в начальный момент времени какая-нибудь траектория находилась внутри области, ограниченной линией v = С, то она и в дальнейшем будет все время оставаться внутри этой области. Отсюда ясно, что для всякого Теория устойчивости дифференциальных уравнений существует Теория устойчивости дифференциальных уравнений такое, что любая траектория системы, выходящая в начальный момент времени Теория устойчивости дифференциальных уравненийокрестности начала координат, для всех Теория устойчивости дифференциальных уравнений будет содержаться в е-окрестности начала. Это и означает устойчивость точки покоя Теория устойчивости дифференциальных уравнений системы (1).

Теорема:

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая знакоопределенная функция Теория устойчивости дифференциальных уравнений полная производная которой по времени, составленная в силу системы, есть также знакоопределенная функция знака, противоположного с v, то тонка покоя Теория устойчивости дифференциальных уравнений системы (1) асимптотически устойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Выберем в качестве функции v(x, y) функцию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Эта функция знакоположительная. В силу системы (*) найдем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Из теоремы 3 следует, что точка покоя О(0,0) системы (*) устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет, так как траектория системы (*) — окружности.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Беря опять

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Таким образом, Теория устойчивости дифференциальных уравнений есть знакоотрицательная функция. В силу теоремы 4 точка покоя О(0,0) системы (**) устойчива асимптотически.

Теорема:

О неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция Теория устойчивости дифференциальных уравнений такая, что v(0,0,…, 0) = 0. Если ее полная производная Теория устойчивости дифференциальных уравнений составленная в силу системы (4), есть знакоположительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция Теория устойчивости дифференциальных уравнений принимает положительные значения, то точка покоя Теория устойчивости дифференциальных уравнений системы (4) неустойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Возьмем функцию

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Для нее функция

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

знакоположительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых v > 0 (например, Теория устойчивости дифференциальных уравнений вдоль прямой у = 0), то выполнены все условия теоремы 5 и точка покоя О(0,0) неустойчива (седло).

Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным для широкого круга проблем теории устойчивости. Недостаток же метода в том, что достаточно общего конструктивного способа построения функций Ляпунова пока нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Устойчивость по первому (линейному) приближению

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и пусть Теория устойчивости дифференциальных уравнений есть точка покоя системы, т. е.

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Будем предполагать, что функции Теория устойчивости дифференциальных уравненийдифференцируемы в окрестности начала координат достаточное число раз. Применяя формулу Тейлора, разложим функции fi по х в окрестности качала координат

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

а слагаемые Ri содержат члены не ниже второго порядка малости относительно Теория устойчивости дифференциальных уравненийСистема дифференциальных уравнений (1) примет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Так как понятие устойчивости точки покоя O(0,0,…, 0) связано с малой окрестностью начала координа’т в- фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения (1) будет определяться главными линейными членами разложения функций fi по х. Поэтому наряду с системой (3) рассмотрим систему

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

называемую системой уравнений первого (линейного) приближения для системы (3).

Вообще говоря, строгой связи между системами (3) и (4) нет. Рассмотрим, например, уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Здесь f(x) = 0; линеаризированное уравнение для уравнения (5) имеет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений уравнения (6) является устойчивым. Оно же, будучи решением исходного уравнения (5), не является для него устойчивым. В самом деле, каждое действительное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию Теория устойчивости дифференциальных уравненийимеет вид Теория устойчивости дифференциальных уравнений и перестает существовать при Теория устойчивости дифференциальных уравнений (решение не продолжаемо вправо).

Теорема:

Если все корни характеристического уравнения

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

имеют отрицательные действительные части, то точка покоя Теория устойчивости дифференциальных уравнений системы (4) и системы (3) асимптотически устойчива.

При выполнении условий теоремы возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Теорема:

Если хотя бы один корень характеристического уравнения (7) имеет положительную действительную часть, то точка покоя Xi= 0 системы (4) и системы (3) неустойчива.

В этом случае также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Наметим идею доказательства теорем 6 и 7.

Пусть для простоты корни Теория устойчивости дифференциальных уравнений характеристического уравнения (7) — действительные и различные. В этом случае существует такая невырожденная матрица Т с постоянными элементами, что матрица Теория устойчивости дифференциальных уравнений будет диагональной:

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где Теория устойчивости дифференциальных уравнений — матрица из коэффициентов системы (4). Положим

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

и система (4) преобразуется к виду

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Отсюда получаем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

или, в силу выбора матрицы Т,

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Система (3) при том же преобразовании перейдет в систему

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

причем в Теория устойчивости дифференциальных уравненийопять входят члены не ниже второго порядка малости относительно Yi при Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Рассмотрим следующие возможности:

1. Все корни Теория устойчивости дифференциальных уравнений — отрицательные. Положим

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

тогда производная Теория устойчивости дифференциальных уравнений в силу системы (8) будет иметь вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где Теория устойчивости дифференциальных уравнений малая более высокого порядка, чем квадратичная форма Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Таким образом, в достаточно малой окрестности Теория устойчивости дифференциальных уравнений точки O(0, 0,…, 0) функция у(y1,y2, …, yn) знакоположительна, а производная Теория устойчивости дифференциальных уравнений знакоотрицательна, и, значит, точка покоя O (0,0,…, 0) асимптотически устойчива.

2. Некоторые из корней Теория устойчивости дифференциальных уравнений положительные, а остальные — отрицательные. Положим

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Отсюда видно, что сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых Теория устойчивости дифференциальных уравнений Что касается производной Теория устойчивости дифференциальных уравнений то, поскольку Теория устойчивости дифференциальных уравнений отрицательны, производная Теория устойчивости дифференциальных уравнений — знакоположительная функция. В силу теоремы 5 точка покоя O (0,0,…, 0) неустойчива.

В критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (3) начинают влиять нелинейные члены Ri и исследование на устойчивость по первому приближению становится невозможным.

Пример:

Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Система первого приближения имеет вид

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок не меньше 2. Составляем характеристическое уравнение для системы (**):

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Корни характеристического уравнения Теория устойчивости дифференциальных уравнений нулевое решение Теория устойчивости дифференциальных уравнений Теория устойчивости дифференциальных уравнений системы (*) неустойчиво.

Пример:

Исследуем на устойчивость точку покоя О(0, 0) системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Точка покоя х = 0, у = 0 системы (*) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция Ляпунова

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

В то же время точка покоя х = 0, у = 0 системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

неустойчива.

В самом деле, для функции Теория устойчивости дифференциальных уравнений в силу системы (**) имеем

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

т.е. Теория устойчивости дифференциальных уравнений — функция знакоположительная. Сколь угодно близко от начала координат 0(0,0) имеются точки, в которых Теория устойчивости дифференциальных уравнений

В силу теоремы 5 заключаем о неустойчивости точки покоя О(0,0) системы (**).

Для системы (*) и (**) система первого приближения одна и та же:

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

Характеристическое уравнение

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

для системы (***) имеет чисто мнимые корни — критический случай (действительные части корней характеристического уравнения равны нулю). Для системы первого приближения (***) начало координат является устойчивой точкой покоя — центром. Системы (*) и (**) получаются малым возмущением правых частей (***) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что для системы (*) точка покоя О(0,0) становится асимптотически устойчивой, а для системы (**) неустойчивой.

Этот пример показывает, что в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.

Задача. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Теория устойчивости дифференциальных уравнений

где функция f(х,у) разлагается в сходящийся отеленной ряд и f(0,0) = 0.

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые второго порядка
  111. Кривые и поверхности второго порядка
  112. Числовые ряды
  113. Степенные ряды
  114. Ряды Фурье
  115. Преобразование Фурье
  116. Функциональные ряды
  117. Функции многих переменных
  118. Метод координат
  119. Гармонический анализ
  120. Вещественные числа
  121. Предел последовательности
  122. Аналитическая геометрия
  123. Аналитическая геометрия на плоскости
  124. Аналитическая геометрия в пространстве
  125. Функции одной переменной
  126. Высшая алгебра
  127. Векторная алгебра
  128. Векторный анализ
  129. Векторы
  130. Скалярное произведение векторов
  131. Векторное произведение векторов
  132. Смешанное произведение векторов
  133. Операции над векторами
  134. Непрерывность функций
  135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  136. Предел и непрерывность функции одной переменной
  137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  140. Матрицы
  141. Линейные и евклидовы пространства
  142. Линейные отображения
  143. Дифференциальные теоремы о среднем
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

frac{dx_i}{dt}=f_i(x_1,x_2,ldots,x_n,t),quad i=1,2,ldots,n.

(1)

Решение varphi_i(t),~ i=1,2,ldots,n, системы (1), удовлетворяющее начальным условиям varphi_i(t_0)=varphi_{i0}, i=1,2,ldots,n, называется устойчивым no Ляпунову при ttoinfty, если для любого varepsilon&gt;0 существует delta(varepsilon)&gt;0 такое, что для всякого решения x_i(t), i=1,2,ldots,n, системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям

|x_i(t_0)-varphi_{io}|&lt;delta,quad i=1,2,ldots,n,qquad mathsf{(2)}

имеют место неравенства

|x_i(t)-varphi_{i}(t)|&lt;varepsilon,quad i=1,2,ldots,n,qquad mathsf{(3)}

для всех tgeqslant t_0.

Если при сколь угодно малом delta&gt;0 хотя бы для одного решения x_i(t), i=1,2,ldots,n, неравенства (3) не выполняются, то решение varphi_i(t) называется неустойчивым.

Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие

lim_{ttoinfty}|x_i(t)-varphi_{i}(t)|=0,quad i=1,2,ldots,n,

(4)

то решение varphi_i(t),~i=1,2,ldots,n, называется асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость решения varphi_i(t), i=1,2,ldots,n, системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения x_iequiv0, i=1,2,ldots,n, некоторой системы, аналогичной системе (1),

frac{dx_i}{dt}=F_i(x_1,x_2,ldots,x_n,t),quad i=1,2,ldots,n,

(1′)

где F_i(0,0,ldots,0,t)equiv0.~i=1,2,ldots,n.

Говорят, что точка x_i=0,~i=1,2,ldots,n, есть точка покоя системы (1′).

Интегральные кривые внутри цилиндра

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя x_i=0, i=1,2,ldots,n, устойчива по Ляпунову, если, каково бы ни было varepsilon&gt;0, можно найти такое delta&gt;0, что для любого решения x_i(t), i=1,2,ldots,n, начальные данные которого x_{i0}=x_i(t_0), i=1,2,ldots,n, удовлетворят условию

|x_{i0}&lt;delta,quad i=1,2,ldots,n,

(2′)

выполняются неравенства

|x_i(t)|&lt;varepsilon,quad i=1,2,ldots,n,

(3′)

для всех tgeqslant t_0.

Для случая n=2 геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиус varepsilon цилиндра с осью Ot, в плоскости t=t_0 найдется δ-окрестность точки (0,0,t_0) такая, что все интегральные кривые x_1=x_1(t), x_2=x_2(t), выходящие из этой окрестности, для всех tgeqslant t_0 будут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 30).

Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие lim_{tto+infty}|x_i(t)|=0,~i=1,2,ldots,n, то устойчивость асимптотическая.

Точка покоя x_1=0,~i=1,2,ldots,n, неустойчива, если при сколь угодно малом delta&gt;0 хотя бы для одного решения x_i(t), i=1,2,ldots,n, условие (3′) не выполняется.


Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойчивость решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию x(0)=0

frac{dx}{dt}=1+t-x,.

(5)

Решение. Уравнение (5) есть линейное неоднородное уравнение. Его общее решение x(t)=Ce^{-t}+t. Начальному условию x(0)=0 удовлетворяет решение

varphi(t)=t

(6)

уравнения (5). Начальному условию x(0)=x_0 удовлетворяет решение

x(t)=x_0e^{-t}+t,.

(7)

Рассмотрим разность решений (7) и (6) уравнения (5) и запишем ее так:

x(t)-varphi(t)=x_0e^{-t}+t-t=(x_0-0)e^{-t}.

Отсюда видно, что для всякого varepsilon&gt;0 существует delta&gt;0 (например, delta=varepsilon) такое, что для всякого решения x(t) уравнения (5), начальные значения которого удовлетворяют условию |x_0-0|&lt;delta, выполняется неравенство

|x(t)-varphi(t)|=|x_0-0|e^{-t}&lt;varepsilon

для всех tgeqslant0. Следовательно, решение varphi(t)=t является устойчивым. Более того, поскольку

lim_{tto+infty}x(t)-varphi(t)|= lim_{tto+infty}|x_0-0|e^{-t}=0,

решение varphi(t)=t является асимптотически устойчивым.

Это решение varphi(t)=t является неограниченным при tto+infty.

Приведенный пример показывает, что из устойчивости решения дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.


Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения

frac{dx}{dt}=sin^2x,.

(8)

Решение. Оно имеет очевидные решения

x=kpi,quad k=0,pm1,pm2,ldots

(9)

Интегрируем уравнение (8): operatorname{ctg}x=C-t, или operatorname{ctg}x= operatorname{ctg}x_0-t, откуда

x=operatorname{arcctg}(operatorname{ctg}x_0-t),quad xne kpi,~kinmathbb{Z}.

(10)

Все решения (9) и (10) ограничены на (-infty,+infty). Однако решение x(t)equiv0 неустойчиво при tto+infty, так как при любом x_0in(0,pi) имеем lim_{tto+infty}x(t)=pi (рис.31).

Следовательно, из ограниченности решений дифференциального уравнения, вообще говоря, не следует их устойчивости. Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем.

Неустойчивое решение дифференциального уравнения


Пример 3. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=0,~y(0)=0, устойчиво

begin{cases}x'(t)=-y(t),\y'(t)=x(t).end{cases}

(11)

Решение. Решение системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям, есть x(t)equiv0, y(t)equiv0. Любое решение этой системы, удовлетворяющее условиям x(0)=x_0, y(0)=y_0, имеет вид

begin{cases}x(t)=x_0cos{t}-y_0sin{t},,\ y(t)=x_0sin{t}+y_0cos{t},.end{cases}

Возьмем произвольное varepsilon&gt;0 и покажем, что существует delta(varepsilon)&gt;0 такое, что при |x_0-0|&lt;delta, |y_0-0|&lt;delta имеют место неравенства

|x(t)-0|=|x_0cos{t}-y_0sin{t}|&lt;varepsilon,quad |y(t)-0|=|x_0sin{t}+y_0cos{t}|&lt;varepsilon, для всех tgeqslant0.

Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение x(t)equiv0, y(t)equiv0 системы (11) устойчиво по Ляпунову. Имеем, очевидно,

begin{aligned}|x_0cos{t}-y_0sin{t}|&leqslant |x_0cos{t}|+|y_0sin{t}|leqslant |x_0|+|y_0|,\ |x_0sin{t}+y_0cos{t}|&leqslant |x_0sin{t}|+|y_0cos{t}|leqslant |x_0|+|y_0| end{aligned}

(12)

для всех t. Поэтому, если |x_0|+|y_0|&lt;varepsilon то и подавно

|x_0cos{t}-y_0sin{t}|&lt;varepsilon,quad |x_0sin{t}+y_0cos{t}|&lt;varepsilon

(13)

для всех t.

Следовательно, если, например, взять delta(varepsilon)=varepsilon/2, то при |x_0|&lt;delta и |y_0|&lt;delta в силу (12) будут иметь место неравенства (13) для всех tgeqslant0, т.е. действительно нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.

Теорема. Решения системы линейных дифференциальных уравнений

frac{dx_i}{dt}= sum_{j=1}^{n}a_{ij}(t)x_j+f_i(t),quad i=1,2,ldots,n,

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Это предложение не верно для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.


Пример 4. Исследовать на устойчивость решение нелинейного уравнения

frac{dx}{dt}=1-x^2(t).

(14)

Решение. Оно имеет очевидные решения varphi(t)=-1 и varphi(t)=1.

Решение varphi(t)=-1 этого уравнения неустойчиво, а решение varphi(t)=1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при tto+infty все решения уравнения (14)

x(t)= frac{(1+x_0)e^{2(t-t_0)}-(1-x_0)}{(1+x_0)e^{2(t-t_0)}+(1-x_0)}quad (x_0ne-1)

стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение varphi(t)=1 уравнения асимптотически устойчиво.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

В результате получим замкнутую систему, в которой будут наблюдаться незатухающие колебания с постоянной амплитудой, а, как мы знаем, это характерно для систем, находящихся на границе устойчивости (см. рис. 7.2,е в разделе 7.1). Таким образом, прохождение графика АФХ разомкнутой системы через точку (–1, 0i) свидетельствует о нахождении соответствующей замкнутой системы на границе устойчивости.
Теперь рассмотрим второй случай. Предположим, в ходе того же самого опыта на выходе разомкнутой системы установились колебания с тем же сдвигом фазы π, но с меньшей амплитудой:

φ = ±π ; Aвых < Aвх.

Это состояние соответствует точке АФХ разомкнутой системы, лежащей на вещественной оси правее точки (–1, 0i) (Mраз(ω) = Aвых/Aвх < 1, φраз(ω) = ±π).
После отключения генератора колебаний и замыкания отрицательной обратной связи на вход Wраз() поступит сигнал с меньшей амплитудой, чем создавал генератор. Пройдя через регулятор и объект, этот сигнал снова будет несколько ослаблен (так как Mраз(ω) < 1), в следующий момент времени поступит по обратной связи на вход Wраз() с еще меньшей амплитудой, и это будет повторяться снова и снова. Таким образом, в данном случае с течением времени амплитуда колебаний в замкнутой системе будет непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю, т.е. будет наблюдаться затухающий процесс, что, как известно, характерно для устойчивых систем (рис. 7.2,г).
В третьем возможном случае на выходе разомкнутой системы установятся колебания со сдвигом фазы π и большей амплитудой, нежели входные колебания:

φ = ±π ; Aвых > Aвх,

что соответствует точке АФХ разомкнутой системы, лежащей на вещественной оси левее точки (–1, 0i) (Mраз(ω) = Aвых/Aвх > 1, φраз(ω) = ±π).
Здесь при прохождении через регулятор и объект сигнал усиливается (Mраз(ω) > 1), и его подача по обратной связи на вход Wраз() приводит к возникновению колебательного процесса с непрерывно нарастающей амплитудой («расходящегося»), как на рис. 7.2,д, т.е. замкнутая система оказывается неустойчивой.
Из сказанного становится ясно, что об устойчивости замкнутой системы можно судить на основании расположения амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы относительно точки с координатами (–1, 0i) (рис. 7.7).
Критерий Найквиста – Михайлова формулируется следующим образом.
Замкнутая система устойчива, если она устойчива в разомкнутом состоянии, и ее амплитудно-фазовая характеристика (построенная для всех значений ω от 0 до бесконечности) не охватывает точку с координатами (–1, 0i).
Если амплитудно-фазовая характеристика проходит через точку с координатами (–1, 0i), система находится на границе устойчивости. Если АФХ охватывает точку с координатами (–1, 0i), то система неустойчива.

Приветствую
Не знаю как обозвать то, что мне надо, постараюсь разъяснить. Для примера возьмем несколько последовательностей:

1, 2, 3, 4, 5 (рост, стабильно)
5, 4, 3, 2, 1 (спад, стабильно)
5, 50, 4, 3, 1 (в общем — это спад, нестабильный)
1, 2, 1, 2, 1 (колебания, стабильно)
2, 1, 2, 1, 2 (колебания, стабильно)
1, 5, 2, 5, 1 (колебания, нестабильно)
5, 4, 4, 5, 4 (колебания, стабильно)

Есть ли какие-то формулы/алгоритмы, которые могут определить состояние последовательности? Например, такие:
— стабильность (небольшие отклонения в колебаниях)
— нестабильность (значительные отклонения)
— рост, спад (стремительный, стабильный).
Визуально и логически я могу определить состояние последовательности, но обличить это дело в скрипт расчета затрудняюсь. Люди добрые, расскажите пожалуйста что почитать, чтобы понять реализацию, а если покажете примеры — вообще отлично!

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти площадь всех фигур 4 класс
  • Как найти то что плохо лежит
  • Как найти трис в ведьмаке
  • Как исправить ошибку в протоколе общего собрания участников ооо
  • Как найти людей для курсовой