Как найти стационарные точки условия

1. Стационарные точки функции.
   Необходимое условие локального
   экстремума функции

2. Первое достаточное условие локального
   экстремума

3. Второе и третье достаточные условия
   локального экстремума

4. Наименьшее и наибольшее
   значения функции на сегменте

5. Выпуклые функции и точки перегиба

1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

_{Определение 1.}
Пусть функция
определена на _{.
Точка
называется стационарной точкой функции
,
если
дифференцирована в точке
и .}

Теорема 1 (необходимое
условие локального экстремума функции).
Пусть функция
определена на
_{и имеет в точке
локальный экстремум. Тогда выполняется
одно из условий:}

1. функция
   _{не имеет в точке
   производной;}

2. функция
   _{имеет в точке
   производную и .}

_{Таким образом, для того,
чтобы найти точки, которые являются
подозрительными на экстремум, надо
найти стационарные точки функции и
точки, в которых производная функции
не существует, но которые принадлежат
области определения функции.}

_{Пример.
Пусть .
Найти для нее точки, которые являются
подозрительными на экстремум. Для
решения поставленной задачи, в первую
очередь, найдем область определения
функции: .
Найдем теперь производную функции:}

_.

_{Точки, в которых производная
не существует: .
Стационарные точки функции:}

_.

_{Поскольку и ,
и
принадлежат области определения функции,
то они обе будут подозрительными на
экстремум. Но для того, чтобы сделать
вывод, будет ли там действительно
экстремум, надо применять достаточные
условия экстремума.}

2. Первое достаточное условие локального экстремума

Теорема 1 (первое достаточное
условие локального экстремума).
Пусть функция
определена на
_{и дифференцирована на этом интервале
везде за исключением, возможно, точки
,
но в этой точке
функция является
непрерывной. Если
существуют такие правая и левая
полуокрестности точки ,
в каждой из которых
сохраняет определенный знак, то}

_{1) функция
имеет локальный экстремум в точке ,
если
принимает значения разных знаков в
соответствующих полуокрестностях;}

<sub>2) функция
не имеет локальный экстремум в точке
,
если справа и слева от точки

имеет одинаковый знак.</sub>

_{Доказательство.
1) Предположим, что в полуокрестности
производная ,
а в
.}

_{Таким образом в точке
функция
имеет локальный экстремум, а именно —
локальный максимум, что и нужно было
доказать.}

_{2) Предположим, что слева
и справа от точки
производная сохраняет свой знак,
например, .
Тогда на
и
функция
строго монотонно возрастает, то есть:}

_,

_.

_{Таким образом экстремума
в точке
функция
не имеет, что и нужно было доказать.}

_{Замечание 1.
Если производная
при прохождении через точку
меняет знак с «+» на «-», то в точке
функция
имеет локальный максимум, а если знак
меняется с «-» на «+», то локальный
минимум.}

_{Замечание 2.
Важным является условие непрерывности
функции
в точке .
Если это условие не выполняется, то
теорема 1 может не иметь места.}

_{Пример.
Рассматривается функция (рис.1):}

Эта функция определена на
<sub>и непрерывна везде, кроме точки ,
где она имеет устранимый разрыв. При
прохождении через точку

меняет знак с «-» на «+», но локального
минимума в этой точке функция не имеет,
а имеет локальный максимум по определению.
Действительно, около точки
можно построить такую окрестность, что
для всех аргументов из этой окрестности
значения функции будут меньше, чем
значение .
Теорема 1 не сработала потому, что в
точке
функция имела разрыв.</sub>

_{Замечание 3.
Первое достаточное условие локального
экстремума не может быть использовано,
когда производная функции
меняет свой знак в каждой левой и каждой
правой полуокрестности точки .}

_{Пример.
Рассматривается функция:}

_{Поскольку ,
то ,
а потому ,
но .
Таким образом:}

_,

_{т.е. в точке
функция
имеет локальный минимум по определению.
Посмотрим, сработает ли здесь первое
достаточное условие локального
экстремума.}

_{Для :}

_.

Для первого слагаемого правой
части полученной формулы имеем:

_,

_{а потому в малой окрестности
точки
знак производной определяется знаком
второго слагаемого, то есть:}

_,

<sub>а это означает, что в любой
окрестности точки

будет принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Действительно,
рассмотрим произвольную окрестность
точки :
.
Когда</sub>

_,

_то

_{(рис.2), а
меняет свой знак здесь бесконечно много
раз. Таким образом, нельзя использовать
в приведенном примере первое достаточное
условие локального экстремума.}

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Экстремум функции двух переменных

Как найти?

Постановка задачи

Найти экстремум функции двух переменных $ z = z(x,y) $

План решения

Экстремумы функции двух переменных возможны в стационарных точках функции. Стационарными точками называются точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)… $, в которых первые частные производные функции равны нулю: $ z(x,y) = 0 $

Для нахождения стационарных точек (подозрительных на экстремум) составляем систему:

$$ begin{cases} z’_x = 0 \ z’_y = 0 end{cases} $$

Решая систему получаем точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)… $, каждую из которых нужно проверить на экстремум.

Проверку осуществляется с помощью подстановки точек в выражение, называемое достаточным условием существования экстремума:

$$ A = z»_{xx} cdot z»_{yy} — (z»_{xy})^2 $$

Если в точке $ M(x_1,y_1) $:

1. $ A>0 $ и $ z»_{xx} > 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка минимума
2. $ A >0 $ и $ z»_{xx} < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка максимума
3. $ A < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ не является точкой экстремума
4. $ A = 0 $, то требуется дополнительное исследование (по определению)

Итак, необходимо выполнить действия:

1. Найти частные производные первого порядка. Приравнять их к нулю и решить систему уравнений. Получить точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $
2. Найти частные производные второго порядка в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $
3. Используя достаточное условие существования экстремума делаем вывод о наличии экстремума в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $

Примеры решений

Пример 1

Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x^2 -xy +y^2 $

Решение

Находим частные производные первого порядка: $$ z’_x = 2x — y $$ $$ z’_y = -x + 2y $$ Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему двух уравнений: $$ begin{cases} 2x-y = 0 \ -x + 2y = 0 end{cases} $$ Решив систему получаем стационарную точку (подозрительные на экстремум): $$ M (0,0) $$ Далее вычисляем значения частных производных второго порядка в точке $ M $: $$ z»_{xx} Big |_M = 2 $$ $$ z»_{yy} Big |_M= 2 $$ $$ z»_{xy} Big |_M = -1 $$ Подставляя найденные значения в достаточное условие экстремума функции, проводим исследование знаков: $$ A = Big |_M = z»_{xx} Big |_M cdot z»_{yy} Big |_M — (z»_{xy} Big |_M)^2 = 2 cdot 2 — (-1)^2 = 3 $$ Так как получили $ A > 0 $ и $ z»_{xx} > 0 $, то получается $ M(0,0) $ точка минимума. Наименьшее значение находится в минимуме и равно: $$ z_{min} (0,0) = 0^2 — 0 cdot 0 + 0^2 = 0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

В точке $ M(0,0) $ находится минимум функции; $ z_{min} = 0 $

Пример 2

Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x^3 + y^3 — 15xy $

Решение

Составляем систему уравнений из частных производных первого порядка: $$ begin{cases} z’_x = 3x^2 — 15y = 0 \ z’_y = 3y^2 — 15x =0 end{cases} $$ Получаем стационарные точки $ M_1(0,0) $ и $ M_2(5,5) $, которые необходимо проверить через достаточное условие экстремума. Вычисляем значение частных прозводных второго порядка в точке $ M_1 $: $$ z»_{xx} Big |_{M_1} = 6x Big |_{M_1} = 0 $$ $$ z»_{yy} Big |_{M_1} = 6y Big |_{M_2} = 6y Big |_{M_2} = 0 $$ $$ z»_{xy} Big |_{M_1} = -15 $$ Подставляем данные значения в формулу достаточного условия экстремума: $$ A Big |_{M_1} = 0 cdot 0 — (-15)^2 = -225 $$ Так как $ A < 0 $, то в точке $ M_1(0,0) $ экстремума нет. Получаем значения частных производных 2 порядка в $ M_2 $: $$ z»_{xx} Big |_{M_2} = 6x Big |_{M_2} = 6 cdot 5 = 30 $$ $$ z»_{yy} Big |_{M_2} = 6y Big |_{M_2} = 6 cdot 5 = 30 $$ $$ z»_{xy} Big |_{M_2} = -15 $$ Вычисляем значение выражения достаточного условия экстремума: $$ A = 30 cdot 30 — (-15)^2 = 900 — 225 = 675 $$ Получили $ A > 0 $ и $ z»_{xx} > 0 $, то значит, $ M_2(5,5) $ точка минимума. Наименьшее значение функции $ z = x^3 + y^3 — 15xy $ равно: $$ z_{min} |_{M_2} = 5^3 + 5^3 — 15 cdot 5 cdot 5 = 125 + 125 — 375 = -125 $$

Ответ

В $ M_1 (0,0) $ экстремума нет, в $ M_2(5,5) $ минимум функции $ z_{min}=-125 $

Содержание:

• Необходимое условие экстремума
• Первое достаточное условие экстремума
• Второе достаточное условие экстремума

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума —
локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
максимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет справедливо
строгое неравенство $f(x) lt fleft(x_{0}right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
минимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет
справедливо строгое неравенство $f(x)>fleft(x_{0}right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Необходимое условие экстремума

Точки, в которых производная равна нулю: $f^{prime}(x)=0$,
называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются
критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения
уравнения $f^{prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная
$f^{prime}(x)$ не существует.

Первое достаточное условие экстремума

Если производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку
$x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке
$x=x_{0}$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$
на экстремум, необходимо:

Второе достаточное условие экстремума

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

Содержание:

1. Экстремум функции
2. Необходимые условия экстремума
3. Достаточные условия экстремума
4. Аналогично доказывается достаточность условия существования максимума
5. Общая постановка задачи оптимизации и основные положения
6. Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума

Экстремум функции

Понятие экстремума:

Будем рассматривать непрерывные функции, которые не меняются монотонно, то есть такие, которые на отдельных промежутках возрастают, а на других убывают. Графики таких функций схематически можно изобразить рисунком 9.

Тогда существуют такие значение функции f (x), которые по сравнению с другими соседними значения являются наибольшими или наименьшими. Такие значения называют соответственно максимумами и минимумами.

  Рис. 9.
На рисунке 9   — максимумы, — минимумы.

Определение 1. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (), которое не меньше всех значений функции в точках, достаточно близких к . При этом выполняется неравенство для любых достаточно малых .

Точка , в которой функция f (x) достигает максимума f (), называется точкой максимума.

Определение 2. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (), которое не больше всех значений функции в точках, достаточно близких к . При этом имеем  для любых достаточно малых .

Точка , в которой функция f (x) достигает минимума f (), называется точкой минимума.

Максимумы и минимумы вместе называют экстремумами. Функция может иметь внутри интервала (a, b) несколько экстремумов.

Необходимые условия экстремума

Для отыскания экстремумов рассмотрим сначала необходимые условия экстремума.

ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума). Если функция f (x) имеет в точке экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, или не существует.

Доказательство. Пусть в точке функция f (x) имеет производную и достигает максимума. Это означает, что при достаточно малом  имеем  Из этого следует, что отношение  ,   если и ,  если Переходя в неравенствах к пределам, получим
  и  

А это может одновременно выполняться только при

Аналогично доказывается первая часть теоремы в случае, когда функция f (x) достигает в точке минимума.

Но непрерывная функция f (x) может иметь экстремум в точках, в которых производная не существует. Например, функция в точке x = 0 не дифференцируема, но достигает в ней минимума, что видно из графика (рис. 3). Такие точки называют угловыми. Но эти условия не являются достаточными. Производная может быть равна нулю не только в точках экстремума.

Так производной функции является . В точке x = 0   y’= 0, но в этой точке функция не достигает экстремального значения.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются стационарными или критическими точками первого рода.

Достаточные условия экстремума

ТЕОРЕМА (первое правило). Если производная функции f ‘(x) при переходе через критическую точку слева направо изменяет знак с «+» на «-», то f (x) имеет максимум в точке , если изменение знака происходит с «-» на «+», то функция имеет минимум в этой точке. Отсутствие изменения знака указывает на отсутствие экстремума.

Доказательство. Если производная f ‘(x) при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то это означает, что при достаточно малом    производная f’ (x) положительная на промежутке и отрицательная на промежутке Следовательно, функция f (x) возрастает на промежутке и убывает на промежутке , то есть в точке достигает максимума.

Аналогично доказывается утверждение теоремы относительно минимума функции.

ТЕОРЕМА (второе правило). Если в точке первая производная f ‘(x) функции f (x) равна нулю, а ее вторая производная f «(x) непрерывна в окрестности этой точки и f «(x) ≠ 0, то функция f (x) имеет максимум в точке , когда и минимум, когда

Доказательство. Пусть и . Тогда в результате непрерывности  f »(x) она положительная на малом интервале  Это означает, что f ‘(x), для которой f» (x) является производной, возрастает на этом интервале.  Поскольку  то на промежутке  производная  а на промежутке  производная f'(x) > 0.

Поэтому f (x) в интервале  убывает, а в интервале возрастает. Значит, в точке функция f (x) имеет минимум.

Аналогично доказывается достаточность условия существования максимума

Замечание. Надо иметь в виду, что вторым правилом нельзя пользоваться в случае, когда критическая точка получена от того, что в ней производная не существует, а также если Тогда пользуются первым правилом.

Пример. Найти максимум и минимум функции 
Решение. Данная функция определена на промежутке ( ). Находим производную и приравниваем ее к нулю.

Корни данного уравнения

Сначала используем первое правило

Область определения функции критическими точками делится на промежутки (рис. 10). Найдем знаки производной в каждом из этих промежутков, подставив конкретные числа из них в производную.

Рис. 10.

Например,

Итак, в точке x = 1 — максимум.

В точке x = 3 — минимум.   
При применении второго правила находим вторую производную
y» = 2x – 4.

Подставляем значение  и  во вторую производную:

В точке — максимум, в точке  — минимум.

Общая постановка задачи оптимизации и основные положения

Постановка задачи поиска минимума функций содержит:

Требуется найти такой вектор из множества допустимых решений, которому соответствует минимальное значение целевой функции на этом множестве:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Замечания 1.1.

1. Задача поиска максимума функции сводится к задаче поиска минимума путем замены знака перед функцией на противоположный (рис. 1.1):

2. Задача поиска минимума и максимума целевой функции называется задачей поиска экстремума

3. Если множество допустимых решений X задается ограничениями (условиями), накладываемыми на вектор , то решается задача поиска условного экстремума. Если , т.е. ограничения (условия) на вектор х отсутствуют, решается задача поиска безусловного экстремума.

4. Решением задачи поиска экстремума является пара , включающая точку и значение целевой функции в ней.

5. Множество точек минимума (максимума) целевой функции на множестве X обозначим . Оно может содержать конечное число точек (в том числе одну), бесконечное число точек или быть пустым.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Определение 1.1. Точка называется точкой глобального (абсолютного) минимума функции на множестве X, если функция достигает в этой точке своего наименьшего значения, т.е.

Определение 1.2. Точка называется точкой локального (относительного) минимума функции на множестве X, если существует , такое, что если — евклидова норма вектора х.

Замечания 1.2.

1. В определении 1.1 точка сравнивается по величине функции со всеми точками из множества допустимых решений X, а в определении 1.2 — только с принадлежащими ее е — окрестности (рис. 1.2).

2. Если в определениях 1.1 и 1.2 знак неравенства заменить на , то получатся определения глобального (абсолютного) и локального (относительного) максимумов.

3. Глобальный экстремум всегда является одновременно локальным, но не наоборот.

Определение 1.3. Поверхностью уровня функции называется множество точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е. . Если поверхность уровня изображается линией уровня на плоскости .

Пример с решением

Пример 1.1.

Построить линии уровня функций:

а)

В)

Уравнения линий уровня имеют следующий вид:

а) — уравнение окружностей с центром в точке и радиусом, равным (рис. 1.3, );

Пример 1.2.

На рис. 1.4 изображены линии уровня функции. Цифры указывают значение функции на соответствующей линии. Точкам Л и 5 соответствуют значения функции . Требуется классифицировать точки экстремума.

Функция рассматривается на множестве , т.е. решается задача поиска безусловного экстремума.

В точке А с координатами достигается локальный минимум; в точке В с координатами достигается локальный и глобальный минимум одновременно; в точке С нет ни минимума, ни максимума, так как по одним направлениям функция убывает, а по другим возрастает. Заметим, что изображенная структура линий уровня типична для так называемых многоэкстремальных задач.

Пример 1.3.

На рис. 1.5 изображен график функции , определенной на множестве X = R. Требуется классифицировать точки экстремума.

Решается задача поиска безусловного экстремума. На рис. 1.5 выделим -окрестности точек A,B,…,F и проверим выполнение определений 1.1 и 1.2 с учетом пп. 1, 2 замечаний 1.1, 1.2. В результате получаем: точка А — точка локального минимума; точки В, Е — точки локального максимума; бесконечное множество точек из отрезка CD — точки локального минимума; точка F — точка локального и одновременно глобального минимума; глобальный максимум отсутствует.

Пример 1.4.

Найти точки экстремума функций и на множестве . Обе целевые функции имеют в точке локальный и одновременно глобальный минимум, а локальных и глобальных максимумов не имеют (см. рис. 1.3 а,6}.

Пример 1.5.

Найти точки экстремума функции на множестве Решается задача поиска условного экстремума. Линии уровня функции представляются окружностями (см. рис. 1.3, о), а множество допустимых решений X — параболой с уравнением . В точке достигается глобальный минимум (рис. 1.6). Заметим, что эта точка является точкой касания линии уровня и кривой, описывающей множество X. Глобальный максимум на данном множестве не достигается. Если поменять знак перед функцией на противоположный, то в точке функция будет достигать глобального максимума на множестве X, что соответствует п. 1 замечаний 1.1.

Пример 1.6.

Найти точки экстремума функции на множестве

Решается задача поиска условного экстремума. Линии уровня функции представляются окружностями (см. рис. 1.3, о), а множество допустимых решений X — графиком прямой. В точке достигается глобальный минимум (рис. 1.7). Глобальный максимум на данном множестве не существует. Заметим, что, как и в, примере 1.5, в точке линии уровня касаются кривой, описывающей ограничения.

Пример 1.7.

Найти точки экстремума функции на множестве Решается задача поиска условного экстремума. Линии уровня функции /(х) представляются окружностями (см. рис. 1.3, а), а множество X — гиперболой (рис. 1.8). Имеются две точки глобального минимума:

В них выполняется свойство касания линий уровня и кривых, описывающих множество X, отмеченное при решении примеров 1.5, 1.6. Точки глобального и локального максимума отсутствуют.

Пример 1.8.

Найти точки экстремума функции на множестве допустимых решений

Решается задача поиска условного экстремума. Линии уровня функции имеют уравнение и представляются прямыми, параллельными оси . Множество допустимых решений, где все ограничения выполняются одновременно, заштриховано на рис. 1.9. В точке достигается глобальный максимум, на множестве точек отрезка АВ достигается глобальный минимум с значением целевой функции

Пример 1.9.

Найти точки экстремума функции на множестве

Решается задача поиска условного экстремума. Глобальный максимум достигается в точке В при . Локальный минимум достигается в точке С при , а глобальный минимум — в точке А при (рис. 1.10).

Пример 1.10.

Найти точки экстремума функции на множестве

Решается задача поиска условного экстремума. Функция не имеет точек локального и глобального экстремума, так как не выполняются определения 1.1 и 1.2 (рис 1.11). При приближении к левой границе значение функции стремится к (функция является неограниченной снизу), а при приближении к правой границе функция возрастает, но не имеет максимума, так как точка не принадлежит множеству X.

Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума

Постановка задачи  

Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция , определенная на множестве .

Требуется исследовать функцию на экстремум, т.е. определить точки ее локальных минимумов и максимумов на :

Стратегия решения задачи

Находятся точки локальных экстремумов с помощью необходимых условий первого и второго порядка (порядок условий определяется порядком используемых производных), а также достаточных условий безусловного локального экстремума. Вычисляются значения функции в найденных точках локальных экстремумов. Утверждение 2.1 (необходимые условия экстремума первого порядка).

Пусть есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве и дифференцируема в точке . Тогда градиент функции в точке равен нулю, т.е.

или

Определение 2.1. Точки , удовлетворяющие условию (2.2) или (2.3), называются стационарными.

Утверждение 2.2 (необходимые условия экстремума второго порядка).

Пусть точка есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве и функция дважды дифференцируема в этой точке. Тогда матрица Гессе функции , вычисленная в точке , является положительно полуопределенной (отрицательно полуопределенной), т.е.

Утверждение 2.3 (достаточные условия экстремума).

Пусть функция в точке дважды дифференцируема, ее градиент равен нулю, а матрица Гессе является положительно определенной (отрицательно определенной), т.е.

Тогда точка есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве .

Определение 2.2. Рассмотрим определитель матрицы Гессе , вычисленной в стационарной точке

1. Определители называются угловыми минорами.

2. Определители -го порядка , получающиеся из определителя матрицы вычеркиванием каких-либо строк и столбцов с одними и теми же номерами, называются главными минорами.

Для проверки выполнения достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка используются два способа.

Первый способ (с помощью угловых и главных миноров).

А. Критерий проверки достаточных условий экстремума (критерий Сильвестра). 1. Для того чтобы матрица Гессе была положительно определенной и точка являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров были строго положительны:

2. Для того чтобы матрица Гессе была отрицательно определенной и точка являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного:

Б. Критерий проверки необходимых условий экстремума второго порядка.

1. Для того чтобы матрица Гессе была положительно полуопределенной и точка может быть являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны.

2. Для того чтобы матрица Гессе была отрицательно полуопределенной и точка может быть являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны, а все главные миноры нечетного порядка — неположительны. Второй способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе).

Определение 2.3. Собственные значения матрицы размера находятся как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения степени):

Замечание 2.1. Собственные значения вещественной симметрической матрицы вещественны.

Оба способа проверки достаточных и необходимых условий экстремума второго порядка приведены в табл. 2.1.

Алгоритм решения задачи

Шаг 1. Записать необходимые условия экстремума первого порядка в форме (2.3) и найти стационарные точки в результате решения системы в общем случае нелинейных алгебраических уравнений с неизвестными. Для численного решения системы могут использоваться методы простой итерации, Зейделя, Ньютона. Имя Шаг 2. В найденных стационарных точках проверить выполнение достаточных, а если они не выполняются, то необходимых условий второго порядка с помощью одного из двух способов (см. табл. 2.1).

Шаг 3. Вычислить значения в точках экстремума.

Описанный алгоритм отображен на рис. 2.1, где показана последовательность действий в случаях выполнения и невыполнения соответствующих условий экстремума при применении первого способа.

Замечания 2.2.

1. Продолжение исследований, которое требуется в ряде случаев, разобранных в табл. 2.1, при решении практических задач, как правило, не проводится, за исключением небольшого числа модельных примеров. 2. Если требуется определить глобальные экстремумы, то они находятся результате сравнения значений функции в точках локальных минимумов и максимумов с учетом ограниченности функции на .

3. Для случая функции одной переменной можно сформулировать правило, заменяющее п. 2 алгоритма:

Если функция и ее производные непрерывны, то точка является точкой экстремума тогда и только тогда, когда число — четное, где — порядок первой не обращающейся в нуль в точке производной. Если , то в точке — локальный минимум, а если , то в точке — локальный максимум. Если число нечетное, в точке нет экстремума.

4. Часто на практике, особенно при применении численных методов поиска экстремума, рассматриваемых в последующих разделах, требуется проверить, выполняются ли необходимые и достаточные условия экстремума в некоторой точке. Такой анализ необходим, так как многие численные методы позволяют найти лишь стационарную точку, тип которой требует уточнения.

Пример 2.1.

Найти экстремум функции на множестве .

1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

В результате решения системы получаем стационарную точку 2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Первый способ. Матрица Гессе имеет вид . Так как то в точке локальный минимум (строка 1 в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя (2.10):

Отсюда Так как все собственные значения положительны, то в точке локальный минимум (строка 1 в табл. 2.1). Из примера 1.19 следует, что функция является строго выпуклой на множестве . Поэтому точка локального минимума является и точкой глобального минимума (см. п. 3 утверждения 1.1).

3. Вычислим значение функции в точке глобального минимума: .

Пример 2.2.

Найта экстремум функции на множестве .

1. Запишем необходимые условия первого порядка: В результате решения системы получаем стационарную точку .

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка. Первый способ. Матрица Гессе имеет вид Так как выполняются (строки 1 и 2 в табл. 2.1). Согласно схеме (рис. 2.1)?проверим выполнение необходимых условий второго порядка. Главные миноры первого порядка () получаются из Д 2 в результате вычеркивания строк и столбцов с одинаковыми номерами: -2, 2. Главный минор второго порядка () получается из в результате вычеркивания строк и столбцов, т.е. совпадает с : -4. Отсюда следует, что необходимые условия экстремума второго порядка не выполняются (строки 3 и 4 в табл. 2.1). Так как матрица Гессе не является нулевой, то можно сделать вывод о том, что в точке нет экстремума (строка 6 в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя (2.10):

Отсюда т.е. собственные значения имеют разные знаки. Поэтому точка не является точкой минимума или максимума (строка 6 в табл. 2.1), а является седловой точкой (аналогична изображенной на рис. 1.3, в). 3. Так как экстремум не достигается ни в одной точке, не вычисляется.

Пример 2.3.

Найти экстремум функции на множестве

1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

В результате решения системы получаем стационарную точку

2. Проверим выполнение достаточных и необходимых условий второго по-Матрица Гессе имеет вид Так как , то достаточные условаия экстремума не выполняются (строки 1 и 2 в табл. 2.1). Согласно схеме (рис. 2.1) проверим выполнение необходимых условий экстремума второго порядка. Аналогично решению примера 2.2 получаем главные миноры первого порядка: 2, 0 и главный минор второго порядка: 0. Так как все главные миноры неотрицательные, то в точке х’ может быть минимум и требуется дополнительное исследование (строка 3 в табл. 2.1).

3. Вычислим значение целевой функции в точке и рассмотрим -окрестность точки х’, а также поведение функции на множестве При любых имеем: (см. рис. 1.2), что соответствует не только определению 1.2, но и определению 1.1. Поэтому точка является точкой глобального минимума.

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок № 16. Экстремумы функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку  х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

2) Найти f’ (x).

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

экстремума.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

• Точку х = х₀ называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀).
• Точку х = х₀ называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х² -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

2x-8=0

х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t² − 48t + 15, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени. 

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc

Ответ: V=12 мc

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3