Как найти стандартное отклонение числового набора

Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.

Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.

Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).

Стандартное отклонение также называется:

• среднеквадратическое отклонение,
• среднее квадратическое отклонение,
• среднеквадратичное отклонение,
• квадратичное отклонение,
• стандартный разброс.

Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Стандартное отклонение используется:

• в финансах в качестве меры волатильности,
• в социологии в опросах общественного мнения — оно помогает в расчёте погрешности.

Пример:

Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.

	День 1	День 2	День 3	День 4
Пред.А	19	21	19	21
Пред.Б	15	26	15	24

В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:

• А -> (19 + 21 + 19+ 21) / 4 = 20
• Б -> (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

Однако, глядя на цифры, можно заметить:

• в компании A количество товара всех четырёх дней очень близко находится к этому среднему значению 20 (колеблется лишь между 19 ед. и 21 ед.),
• в компании Б существует большая разница со средним количеством товара (колеблется между 15 ед. и 26 ед.).

Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что

• стандартное отклонение компании A = 1,
• стандартное отклонение компании Б ≈ 5.

Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).

Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения

Формулы вычисления стандартного отклонения

Разница между формулами S и σ («n» и «n–1»)

Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:

• только её часть – используется формула S (с «n–1»),
• полностью все данные – используется формула σ (с «n»).

Как рассчитать стандартное отклонение?

Пример 1 (с σ)

Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.

	День 1	День 2	День 3	День 4
Пред.Б	15	26	15	24

Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:

Применяем эти шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

x1 — μ = 15 — 20 = -5

x2 — μ = 26 — 20 = 6

x3 — μ = 15 — 20 = -5

x4 — μ = 24 — 20 = 4

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(x1 — μ)² = (-5)² = 25

(x2 — μ)² = 6² = 36

(x3 — μ)² = (-5)² = 25

(x4 — μ)² = 4² = 16

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (xi — μ)² = 25 + 36+ 25+ 16 = 102

5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):

(Σ (xi — μ)²)/n = 102 / 4 = 25,5

6. Найти квадратный корень:

√((Σ (xi — μ)²)/n) = √ 25,5 ≈ 5,0498

Пример 2 (с S)

Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.

У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.

Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.

Яблоня 1	Яблоня 2	Яблоня 3	Яблоня 4	Яблоня 5	Яблоня 6
9	2	5	4	12	7

Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:

Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.

Применяем практически те же шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5

X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5

X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5

X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5

X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5

X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(X1 – Xср)² = (2,5)² = 6,25

(X2 – Xср)² = (–4,5)² = 20,25

(X3 – Xср)² = (–1,5)² = 2,25

(X4 – Xср)² = (–2,5)² = 6,25

(X5 – Xср)² = 5,5² = 30,25

(X6 – Xср)² = 0,5² = 0,25

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5

5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):

(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1

6. Найти квадратный корень:

S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193

Дисперсия и стандартное отклонение

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).

Дисперсия — в статистике это «среднее квадратов отклонений от среднего». Чтобы её вычислить нужно:

1. Вычесть среднее значение из каждого числа
2. Возвести каждый результат в квадрат (так получатся квадраты разностей)
3. Найти среднее значение квадратов разностей.

Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:

Правило трёх сигм

Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.

Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:

• одного среднеквадратического отклонения заключаются 68,26% значений (Xср ± 1σ или μ ± 1σ),
• двух стандартных отклонений — 95,44% (Xср ± 2σ или μ ± 2σ),
• трёх стандартных отклонений — 99,72% (Xср ± 3σ или μ ± 3σ).

Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.

Стандартное отклонение в excel

Вычисление стандартного отклонения с «n – 1» в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):

1. Занесите все данные в документ Excel.

2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.

3. Введите в этом поле «=СТАНДОТКЛОНА(«

4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.

5. Нажмите Ввод (Enter).

В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.

Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.

Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:

• при <10% выборка слабо вариабельна,
• при 10% – 20 % — средне вариабельна,
• при >20 % — выборка сильно вариабельна.

Узнайте также про:

• Корреляции,
• Метод Крамера,
• Метод наименьших квадратов,
• Теорию вероятностей
• Интегралы.

Стандартное отклонение — это распространенная математическая формула, которая измеряет разброс чисел в наборе данных по сравнению со средним значением этих чисел. Эта формула распространена во многих отраслях, которые опираются на цифры и данные, например, в финансовой сфере, где специалисты используют формулу стандартного отклонения для оценки риска, определения нормы прибыли и руководства портфельными менеджерами. Понимание того, как работает эта формула и как ее можно использовать, может помочь вам улучшить свои навыки и продвинуться по карьерной лестнице.

В этой статье мы обсудим, что такое стандартное отклонение, когда его следует использовать, как его рассчитать и чем оно отличается от относительного стандартного отклонения.

Ключевые выводы:

• Стандартное отклонение — это статистическое измерение того, насколько точка данных отличается от среднего значения.

• Стандартное отклонение — один из ключевых методов, который используют финансовые аналитики и менеджеры портфелей для определения инвестиционного риска.

• Существует два типа стандартного отклонения — популяционное и выборочное, и популяционное отклонение является наиболее распространенным.

Что такое стандартное отклонение?

Стандартное отклонение — это измерение того, насколько число отличается от среднего числа в ряду. Когда все числа в вашем наборе данных близки к среднему значению набора, он имеет низкое стандартное отклонение, что означает, что данные надежны.

Когда ваши данные сильно отличаются от среднего значения, они имеют высокое стандартное отклонение, что означает, что они могут быть ненадежными. Формула стандартного отклонения может измерять всю совокупность или выборку группы, что означает, что вы можете использовать ее с параметрами и статистикой.

Существует две версии формулы стандартного отклонения:

• Популяционная версия: Вы используете популяционную версию формулы, когда вы можете измерить всю популяцию или весь набор данных. Это наиболее распространенная версия формулы.

• Версия для примера: Вы используете выборочную версию формулы, когда невозможно измерить всю популяцию или набор данных. Вместо этого вы работаете со случайной выборкой данных из совокупности. Хотя иногда это необходимо, версия для примера менее точна и дает только оценку.

Таким образом, формула стандартного отклонения имеет вид:

Например:

• ? = стандартное отклонение

• ? = среднее значение всех величин

• x? = индивидуальные значения x

• x = значение в наборе данных

• N = количество точек данных

• i = все значения от 1 до N

Важные замечания:

• ? это греческая буква сигма

• ? греческая буква mu

• ? это обозначение сигмы для суммирования

• v — символ квадратного корня

Похожие: Что такое стандартное отклонение? Как это работает и другие часто задаваемые вопросы

Когда вычислять стандартное отклонение

Формула стандартного отклонения имеет реальное применение во многих областях, особенно в финансах. Стандартное отклонение — это одно из фундаментальных измерений риска, которое используют аналитики, менеджеры портфелей и инвестиционные консультанты. Вот несколько примеров, когда вы можете его использовать:

• Чтобы найти годовую норму доходности инвестиций или изучить историческую волатильность инвестиций, выполните следующие действия

• Для отчетности по взаимным фондам и другим продуктам, так как показывает, отклоняется ли доходность от нормальных ожиданий

• Для прогнозирования тенденций производительности или помощи в разработке торговых стратегий

• Чтобы провести различие между фондами агрессивного роста, которые имеют высокое стандартное отклонение, и более стабильными фондами роста, которые имеют более низкое стандартное отклонение, выполните следующие действия

Связанные вопросы: Дисперсия: Определение, формула и пошаговые примеры

Как рассчитать стандартное отклонение

В реальных приложениях вы редко решаете формулу стандартного отклонения с помощью карандаша и бумаги. Можно использовать компьютерные программы или электронные таблицы, чтобы помочь в расчетах, но может быть полезно просмотреть и решить проблемы самостоятельно, пока вы изучаете формулу. Выполните следующие шаги, чтобы рассчитать стандартное отклонение, используя формулу стандартного отклонения популяции:

1. Вычислите среднее значение чисел в наборе данных

Вы можете найти среднее значение, также известное как среднее, путем сложения всех чисел в наборе данных и последующего деления на количество чисел в наборе. Например, набор данных для этого примера задачи: 6, 8, 12 и 14. Сложите все числа в наборе данных, а затем разделите на четыре, чтобы получить среднее значение 10:

(6 + 8 + 12 + 14) ? 4 = 10

Похожие: Как рассчитать выборочное среднее (с формулой и примерами)

2. Вычтите среднее значение из каждого, затем возведите результат в квадрат

Далее вы можете взять каждое из чисел в наборе данных и вычесть его из среднего значения, которое равно 10. После вычитания возьмите каждый ответ и возведите его в квадрат. Используя приведенные выше данные, вы получите четыре точки данных:

(6-10)? = (-4)? = 16

(8 — 10)? = (-2)? = 4

(12 — 10)? = (2)? = 4

(14 — 10)? = (4)? = 16

Похожие: Как провести тест хи-квадрат в Excel (с 2 методами)

3. Вычислите среднее квадратичное отклонение

Далее, найдите среднее значение нового набора чисел: 16, 4, 4 и 16. Для этого можно сложить их вместе и разделить на четыре, чтобы определить среднее квадратичное отклонение, равное 10:

(16 + 4 + 4 + 16) ? 4 = 10

Связанные вопросы: Что такое стандартная ошибка среднего (SEM)?

4. Найти квадратный корень

Для последнего шага возьмите квадратный корень из ответа выше, который был равен 10:

v10 = 3.1622776601684

Проверьте, какой метод округления предпочтителен для вашего расчета, поскольку профессионалы часто округляют результаты до двух или трех знаков после запятой. Округление до трех знаков дает стандартное отклонение 3.162. Это означает, что каждое из чисел в наборе данных равно 3.162 единицы от среднего значения.

Похожие: Когда и как находить среднее значение (с примерами)

Стандартное отклонение против. относительное стандартное отклонение

Относительное стандартное отклонение (RSD) — это особая форма стандартного отклонения, которую при определенных обстоятельствах может быть удобнее вычислять. Часто используется в статистике, теории вероятности, химии и математике.

Это также полезно в бизнесе при сравнении данных, например, в финансовой сфере, такой как фондовый рынок. Чтобы найти ответ на проблему относительного стандартного отклонения, вы умножаете стандартное отклонение на 100, а затем делите это произведение на среднее, чтобы выразить его в процентах.

Например, если у вас есть те же четыре измерения 6, 12 и 14 и вы хотите найти относительное стандартное отклонение, сначала найдите среднее и стандартное отклонение, которые равны 10 и 3.162, соответственно. Затем, используя формулу, вы найдете относительное стандартное отклонение следующим образом:

RSD = (3.162 10) x 100 = 31.62%

стандартное отклонение калькулятор

Среднеквадратическое отклонение‭ (‬СО‭) ‬-‭ ‬это показатель рассеяния значений во множестве данных относительно их математического ожидания.‭ ‬Обозначается также как СО.‭ ‬Символом среднеквадратического отклонения является‭ ‬σ‭(‬сигма‭)‬.‭ ‬Можно также сказать,‭ ‬что это показатель изменчивости или дисперсии в этом множестве данных.‭
‬Находите математическое ожидание,‭ ‬дисперсию,‭ ‬среднеквадратическое отклонение данных чисел с помощью этих бесплатных арифметических онлайн-калькуляторов среднеквадратического отклонения.

Среднеквадратическое отклонение‭ (‬СО‭) ‬-‭ ‬это показатель рассеяния значений во множестве данных относительно их математического ожидания.‭ ‬Обозначается также как СО.‭ ‬Символом среднеквадратического отклонения является‭ ‬σ‭(‬сигма‭)‬.‭ ‬Можно также сказать,‭ ‬что это показатель изменчивости или дисперсии в этом множестве данных.‭
‬Находите математическое ожидание,‭ ‬дисперсию,‭ ‬среднеквадратическое отклонение данных чисел с помощью этих бесплатных арифметических онлайн-калькуляторов среднеквадратического отклонения.

Этот инструмент поможет вам динамически вычислять статистические проблемы. Расчет среднее значение, дисперсия, стандартное отклонение легче.

Стандартное отклонение (σ, s) – это мера разброса в наборе числовых данных. Выражаясь простыми словами, насколько далеко от Cреднего арифметического (Mean) находятся точки данных. Его также можно назвать мерой центральной тенденции: чем меньше стандартное отклонение, тем более «сгруппированы» данные вокруг центра (среднего). Чем отклонение больше, тем больше разброс значений.

Стандартное отклонение в статистике

Метрика рассчитывается с помощью следующей формулы:

$$σ = sqrt{frac{Σ_{i=1}^n(x_i — bar{X})^2}{n}}, где$$
$$σspace(малаяspaceсигма)space–spaceстандартноеspaceотклонение$$
$$Σspace–spaceсумма$$
$$xspace–space{i-й}spaceэлементspaceвыборки$$
$$bar{X}space–spaceсреднееspaceзначениеspaceвыборки$$
$$nspace–spaceколичествоspaceэлементовspaceвspaceвыборке$$

Пример. Мы располагаем Выборкой (Sample) из 10 наблюдений, где указано, сколько килограммов томатов собрали дачники в этом месяце:

Средним значением выборки будет 7,7:

$$bar{X} = (5 + 7 + 8 + 11 + 12 + 7 + 5 + 4 + 10 + / 10 = 7,7$$

Следуя формуле, вычислим квадрат разницы между i-м элементом выборки и средним значением. К примеру, для первого вхождения это будет:

$$x_i – bar{X} = (5 — 7,7)^2 = 7,29$$

Причина, по которой мы возводим разницы в квадрат, заключается в том, что большие отклонения от среднего как бы «наказываются» более сурово. Возведение в квадрат также приводит одинаковому учету отклонений в обоих направлениях (положительном и отрицательном), то есть расстояние от среднего значения у отрицательного и положительного числа будет рассчитано верно в обоих случаях.

Суммой значений правого столбца является число 64,1. Итак, согласно формуле стандартное отклонение будет равно:

$$σ = frac{64,1}{10} = 6,41$$

Стандартное отклонение в Машинном обучении

Представьте, что перепись «томатного» населения приобрела более широкие масштабы, и исследователи собрали данные о целом климатическом поясе. Мало тех, кто собрал по 2 килограмма, и тех, кто собрал 50. В среднем, садоводы собирали 25 кг.

При создании модели прогнозирования урожая стандартное отклонение уточняет наши предположения с помощью следующих принципов:

• С вероятностью 68% следующее наблюдение будет лежать в пределах одного отклонения от среднего (25 ± 6,41), то есть в диапазоне 18,59 — 31,41 кг.
• С вероятностью 95% следующий дачник сообщит, что собрал томатов. в пределах двух стандартных отклонений от среднего значения (25 ± 2 × 6,41), то есть 12,18 – 37,82 кг.
• С вероятностью 99% размер урожая будет лежать в пределах 3 отклонений (25 ± 3 × 6,41): 5,77 – 44,23 кг.

Библиотека Statistics

Рассчитывание стандартного отклонения выполняется мгновенно с помощью библиотеки statistics:

import statistics 
sample = [1, 2, 3, 4, 5] 
statistics.stdev(sample)

На выводе получаем следующее:

1.5811388300841898

Фото: @danielodowd