Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.
Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.
Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).
Стандартное отклонение также называется:
- среднеквадратическое отклонение,
- среднее квадратическое отклонение,
- среднеквадратичное отклонение,
- квадратичное отклонение,
- стандартный разброс.
Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения
Стандартное отклонение используется:
- в финансах в качестве меры волатильности,
- в социологии в опросах общественного мнения — оно помогает в расчёте погрешности.
Пример:
Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.
День 1 | День 2 | День 3 | День 4 | |
---|---|---|---|---|
Пред.А | 19 | 21 | 19 | 21 |
Пред.Б | 15 | 26 | 15 | 24 |
В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:
- А -> (19 + 21 + 19+ 21) / 4 = 20
- Б -> (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20
Однако, глядя на цифры, можно заметить:
- в компании A количество товара всех четырёх дней очень близко находится к этому среднему значению 20 (колеблется лишь между 19 ед. и 21 ед.),
- в компании Б существует большая разница со средним количеством товара (колеблется между 15 ед. и 26 ед.).
Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что
- стандартное отклонение компании A = 1,
- стандартное отклонение компании Б ≈ 5.
Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).
Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения
Формулы вычисления стандартного отклонения
σ — стандартное отклонение,
xi — величина отдельного значения выборки,
μ — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.
Эта формула применяется, когда анализируются все значения выборки.
S — стандартное отклонение,
n — размер выборки,
xi — величина отдельного значения выборки,
xср — среднее арифметическое выборки.
Эта формула применяется, когда присутствует очень большой размер выборки, поэтому на анализ обычно берётся только её часть.
Единственная разница с предыдущей формулой: “n — 1” вместо “n”, и обозначение «xср» вместо «μ».
Разница между формулами S и σ («n» и «n–1»)
Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:
- только её часть – используется формула S (с «n–1»),
- полностью все данные – используется формула σ (с «n»).
Как рассчитать стандартное отклонение?
Пример 1 (с σ)
Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.
День 1 | День 2 | День 3 | День 4 | |
Пред.Б | 15 | 26 | 15 | 24 |
Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:
Применяем эти шаги:
1. Найти среднее арифметическое выборки:
μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20
2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:
x1 — μ = 15 — 20 = -5
x2 — μ = 26 — 20 = 6
x3 — μ = 15 — 20 = -5
x4 — μ = 24 — 20 = 4
3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:
(x1 — μ)² = (-5)² = 25
(x2 — μ)² = 6² = 36
(x3 — μ)² = (-5)² = 25
(x4 — μ)² = 4² = 16
4. Сделать сумму полученных значений:
Σ (xi — μ)² = 25 + 36+ 25+ 16 = 102
5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):
(Σ (xi — μ)²)/n = 102 / 4 = 25,5
6. Найти квадратный корень:
√((Σ (xi — μ)²)/n) = √ 25,5 ≈ 5,0498
Пример 2 (с S)
Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.
У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.
Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.
Яблоня 1 | Яблоня 2 | Яблоня 3 | Яблоня 4 | Яблоня 5 | Яблоня 6 |
9 | 2 | 5 | 4 | 12 | 7 |
Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:
Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.
Применяем практически те же шаги:
1. Найти среднее арифметическое выборки:
Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5
2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:
X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5
X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5
X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5
X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5
X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5
X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5
3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:
(X1 – Xср)² = (2,5)² = 6,25
(X2 – Xср)² = (–4,5)² = 20,25
(X3 – Xср)² = (–1,5)² = 2,25
(X4 – Xср)² = (–2,5)² = 6,25
(X5 – Xср)² = 5,5² = 30,25
(X6 – Xср)² = 0,5² = 0,25
4. Сделать сумму полученных значений:
Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5
5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):
(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1
6. Найти квадратный корень:
S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193
Дисперсия и стандартное отклонение
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).
Дисперсия — в статистике это «среднее квадратов отклонений от среднего». Чтобы её вычислить нужно:
- Вычесть среднее значение из каждого числа
- Возвести каждый результат в квадрат (так получатся квадраты разностей)
- Найти среднее значение квадратов разностей.
Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:
S² — выборочная дисперсия,
Xi — величина отдельного значения выборки,
Xср (может появляться как X̅) — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.
Правило трёх сигм
Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.
Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:
- одного среднеквадратического отклонения заключаются 68,26% значений (Xср ± 1σ или μ ± 1σ),
- двух стандартных отклонений — 95,44% (Xср ± 2σ или μ ± 2σ),
- трёх стандартных отклонений — 99,72% (Xср ± 3σ или μ ± 3σ).
Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.
Стандартное отклонение в excel
Вычисление стандартного отклонения с «n – 1» в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):
1. Занесите все данные в документ Excel.
2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.
3. Введите в этом поле «=СТАНДОТКЛОНА(«
4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.
5. Нажмите Ввод (Enter).
В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.
Коэффициент вариации
Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.
Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.
Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:
- при <10% выборка слабо вариабельна,
- при 10% – 20 % — средне вариабельна,
- при >20 % — выборка сильно вариабельна.
Узнайте также про:
- Корреляции,
- Метод Крамера,
- Метод наименьших квадратов,
- Теорию вероятностей
- Интегралы.
-
1
Look at your data set. This is a crucial step in any type of statistical calculation, even if it is a simple figure like the mean or median.[2]
- Know how many numbers are in your sample.
- Do the numbers vary across a large range? Or are the differences between the numbers small, such as just a few decimal places?
- Know what type of data you are looking at. What do your numbers in your sample represent? this could be something like test scores, heart rate readings, height, weight etc.
- For example, a set of test scores is 10, 8, 10, 8, 8, and 4.
-
2
Gather all of your data. You will need every number in your sample to calculate the mean.[3]
- The mean is the average of all your data points.
- This is calculated by adding all of the numbers in your sample, then dividing this figure by the how many numbers there are in your sample (n).
- In the sample of test scores (10, 8, 10, 8, 8, 4) there are 6 numbers in the sample. Therefore n = 6.
Advertisement
-
3
Add the numbers in your sample together. This is the first part of calculating a mathematical average or mean.[4]
- For example, use the data set of quiz scores: 10, 8, 10, 8, 8, and 4.
- 10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48. This is the sum of all the numbers in the data set or sample.
- Add the numbers a second time to check your answer.
-
4
Divide the sum by how many numbers there are in your sample (n). This will provide the average or mean of the data.[5]
- In the sample of test scores (10, 8, 10, 8, 8, and 4) there are six numbers, so n = 6.
- The sum of the test scores in the example was 48. So you would divide 48 by n to figure out the mean.
- 48 / 6 = 8
- The mean test score in the sample is 8.
Advertisement
-
1
Find the variance. The variance is a figure that represents how far the data in your sample is clustered around the mean.[6]
- This figure will give you an idea of how far your data is spread out.
- Samples with low variance have data that is clustered closely about the mean.
- Samples with high variance have data that is clustered far from the mean.
- Variance is often used to compare the distribution of two data sets.
-
2
Subtract the mean from each of your numbers in your sample. This will give you a figure of how much each data point differs from the mean.[7]
- For example, in our sample of test scores (10, 8, 10, 8, 8, and 4) the mean or mathematical average was 8.
- 10 — 8 = 2; 8 — 8 = 0, 10 — 8 = 2, 8 — 8 = 0, 8 — 8 = 0, and 4 — 8 = -4.
- Do this procedure again to check each answer. It is very important you have each of these figures correct as you will need them for the next step.
-
3
Square all of the numbers from each of the subtractions you just did. You will need each of these figures to find out the variance in your sample.[8]
- Remember, in our sample we subtracted the mean (8) from each of the numbers in the sample (10, 8, 10, 8, 8, and 4) and came up with the following: 2, 0, 2, 0, 0 and -4.
- To do the next calculation in figuring out variance you would perform the following: 22, 02, 22, 02, 02, and (-4)2 = 4, 0, 4, 0, 0, and 16.
- Check your answers before proceeding to the next step.
-
4
Add the squared numbers together. This figure is called the sum of squares.[9]
- In our example of test scores, the squares were as follows: 4, 0, 4, 0, 0, and 16.
- Remember, in the example of test scores we started by subtracting the mean from each of the scores and squaring these figures: (10-8)^2 + (8-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (4-8)^2
- 4 + 0 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24.
- The sum of squares is 24.
-
5
Divide the sum of squares by (n-1). Remember, n is how many numbers are in your sample. Doing this step will provide the variance. The reason to use n-1 is to have sample variance and population variance unbiased. [10]
- In our sample of test scores (10, 8, 10, 8, 8, and 4) there are 6 numbers. Therefore, n = 6.
- n-1 = 5.
- Remember the sum of squares for this sample was 24.
- 24 / 5 = 4.8
- The variance in this sample is thus 4.8.
Advertisement
-
1
Find your variance figure. You will need this to find the standard deviation for your sample.[11]
- Remember, variance is how spread out your data is from the mean or mathematical average.
- Standard deviation is a similar figure, which represents how spread out your data is in your sample.
- In our example sample of test scores, the variance was 4.8.
-
2
Take the square root of the variance. This figure is the standard deviation.[12]
- Usually, at least 68% of all the samples will fall inside one standard deviation from the mean.
- Remember in our sample of test scores, the variance was 4.8.
- √4.8 = 2.19. The standard deviation in our sample of test scores is therefore 2.19.
- 5 out of 6 (83%) of our sample of test scores (10, 8, 10, 8, 8, and 4) is within one standard deviation (2.19) from the mean (8).
-
3
Go through finding the mean, variance and standard deviation again. This will allow you to check your answer.[13]
- It is important that you write down all steps to your problem when you are doing calculations by hand or with a calculator.
- If you come up with a different figure the second time around, check your work.
- If you cannot find where you made a mistake, start over a third time to compare your work.
Advertisement
Practice Problems and Answers
Add New Question
-
Question
What is the standard deviation of 10 samples with a mean of 29.05?
Depends on the 10 samples of data. If all ten numbers were 29.05 then the standard deviation would be zero. Standard deviation is a measure of how much the data deviates from the mean.
-
Question
How do I calculate the standard deviation of 5 samples with the mean of 26?
You take the average of 26 and 5, divide by b squared and multiply by deviation equation constant.
-
Question
How do I find the standard deviation of 10 samples with a mean of 29.05?
Take each sample and subract the mean. Next, square each result, getting rid of the negative. Add the 10 results and divide the sun by 10 — 1 or 9. That is the standard deviation.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
Thanks for submitting a tip for review!
References
About This Article
Article SummaryX
To calculate standard deviation, start by calculating the mean, or average, of your data set. Then, subtract the mean from all of the numbers in your data set, and square each of the differences. Next, add all the squared numbers together, and divide the sum by n minus 1, where n equals how many numbers are in your data set. Finally, take the square root of that number to find the standard deviation. To learn how to find standard deviation with the help of example problems, keep reading!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,560,276 times.
Reader Success Stories
-
«This article was the best statistics instructor I have ever been taught by. I have learned more from this little…» more
Did this article help you?
В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.
Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).
Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”
Что такое дисперсия
Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.
Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:
- Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
- Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
- Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).
Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.
Порода собаки | Рост в миллиметрах |
Ротвейлер | 600 |
Бульдог | 470 |
Такса | 170 |
Пудель | 430 |
Мопс | 300 |
Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:
Среднее мм.
Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.
Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:
Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:
Дисперсия мм2.
Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм2.
Как найти среднеквадратическое отклонение
Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:
мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).
Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).
Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.
То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.
Что такое стандартное отклонение
Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.
Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.
Если есть значений, то:
Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.
Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:
Дисперсия выборки = мм2.
При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).
Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.
Примечание. Почему именно квадраты разностей?
Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:
.
Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?
.
На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:
.
Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.
А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).
Для первого примера получится:
.
Для второго примера получится:
.
Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.
Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.
И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.
О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич
Стандартное отклонение — это распространенная математическая формула, которая измеряет разброс чисел в наборе данных по сравнению со средним значением этих чисел. Эта формула распространена во многих отраслях, которые опираются на цифры и данные, например, в финансовой сфере, где специалисты используют формулу стандартного отклонения для оценки риска, определения нормы прибыли и руководства портфельными менеджерами. Понимание того, как работает эта формула и как ее можно использовать, может помочь вам улучшить свои навыки и продвинуться по карьерной лестнице.
В этой статье мы обсудим, что такое стандартное отклонение, когда его следует использовать, как его рассчитать и чем оно отличается от относительного стандартного отклонения.
Ключевые выводы:
-
Стандартное отклонение — это статистическое измерение того, насколько точка данных отличается от среднего значения.
-
Стандартное отклонение — один из ключевых методов, который используют финансовые аналитики и менеджеры портфелей для определения инвестиционного риска.
-
Существует два типа стандартного отклонения — популяционное и выборочное, и популяционное отклонение является наиболее распространенным.
Что такое стандартное отклонение?
Стандартное отклонение — это измерение того, насколько число отличается от среднего числа в ряду. Когда все числа в вашем наборе данных близки к среднему значению набора, он имеет низкое стандартное отклонение, что означает, что данные надежны.
Когда ваши данные сильно отличаются от среднего значения, они имеют высокое стандартное отклонение, что означает, что они могут быть ненадежными. Формула стандартного отклонения может измерять всю совокупность или выборку группы, что означает, что вы можете использовать ее с параметрами и статистикой.
Существует две версии формулы стандартного отклонения:
-
Популяционная версия: Вы используете популяционную версию формулы, когда вы можете измерить всю популяцию или весь набор данных. Это наиболее распространенная версия формулы.
-
Версия для примера: Вы используете выборочную версию формулы, когда невозможно измерить всю популяцию или набор данных. Вместо этого вы работаете со случайной выборкой данных из совокупности. Хотя иногда это необходимо, версия для примера менее точна и дает только оценку.
Таким образом, формула стандартного отклонения имеет вид:
Например:
-
? = стандартное отклонение
-
? = среднее значение всех величин
-
x? = индивидуальные значения x
-
x = значение в наборе данных
-
N = количество точек данных
-
i = все значения от 1 до N
Важные замечания:
-
? это греческая буква сигма
-
? греческая буква mu
-
? это обозначение сигмы для суммирования
-
v — символ квадратного корня
Похожие: Что такое стандартное отклонение? Как это работает и другие часто задаваемые вопросы
Когда вычислять стандартное отклонение
Формула стандартного отклонения имеет реальное применение во многих областях, особенно в финансах. Стандартное отклонение — это одно из фундаментальных измерений риска, которое используют аналитики, менеджеры портфелей и инвестиционные консультанты. Вот несколько примеров, когда вы можете его использовать:
-
Чтобы найти годовую норму доходности инвестиций или изучить историческую волатильность инвестиций, выполните следующие действия
-
Для отчетности по взаимным фондам и другим продуктам, так как показывает, отклоняется ли доходность от нормальных ожиданий
-
Для прогнозирования тенденций производительности или помощи в разработке торговых стратегий
-
Чтобы провести различие между фондами агрессивного роста, которые имеют высокое стандартное отклонение, и более стабильными фондами роста, которые имеют более низкое стандартное отклонение, выполните следующие действия
Связанные вопросы: Дисперсия: Определение, формула и пошаговые примеры
Как рассчитать стандартное отклонение
В реальных приложениях вы редко решаете формулу стандартного отклонения с помощью карандаша и бумаги. Можно использовать компьютерные программы или электронные таблицы, чтобы помочь в расчетах, но может быть полезно просмотреть и решить проблемы самостоятельно, пока вы изучаете формулу. Выполните следующие шаги, чтобы рассчитать стандартное отклонение, используя формулу стандартного отклонения популяции:
1. Вычислите среднее значение чисел в наборе данных
Вы можете найти среднее значение, также известное как среднее, путем сложения всех чисел в наборе данных и последующего деления на количество чисел в наборе. Например, набор данных для этого примера задачи: 6, 8, 12 и 14. Сложите все числа в наборе данных, а затем разделите на четыре, чтобы получить среднее значение 10:
(6 + 8 + 12 + 14) ? 4 = 10
Похожие: Как рассчитать выборочное среднее (с формулой и примерами)
2. Вычтите среднее значение из каждого, затем возведите результат в квадрат
Далее вы можете взять каждое из чисел в наборе данных и вычесть его из среднего значения, которое равно 10. После вычитания возьмите каждый ответ и возведите его в квадрат. Используя приведенные выше данные, вы получите четыре точки данных:
(6-10)? = (-4)? = 16
(8 — 10)? = (-2)? = 4
(12 — 10)? = (2)? = 4
(14 — 10)? = (4)? = 16
Похожие: Как провести тест хи-квадрат в Excel (с 2 методами)
3. Вычислите среднее квадратичное отклонение
Далее, найдите среднее значение нового набора чисел: 16, 4, 4 и 16. Для этого можно сложить их вместе и разделить на четыре, чтобы определить среднее квадратичное отклонение, равное 10:
(16 + 4 + 4 + 16) ? 4 = 10
Связанные вопросы: Что такое стандартная ошибка среднего (SEM)?
4. Найти квадратный корень
Для последнего шага возьмите квадратный корень из ответа выше, который был равен 10:
v10 = 3.1622776601684
Проверьте, какой метод округления предпочтителен для вашего расчета, поскольку профессионалы часто округляют результаты до двух или трех знаков после запятой. Округление до трех знаков дает стандартное отклонение 3.162. Это означает, что каждое из чисел в наборе данных равно 3.162 единицы от среднего значения.
Похожие: Когда и как находить среднее значение (с примерами)
Стандартное отклонение против. относительное стандартное отклонение
Относительное стандартное отклонение (RSD) — это особая форма стандартного отклонения, которую при определенных обстоятельствах может быть удобнее вычислять. Часто используется в статистике, теории вероятности, химии и математике.
Это также полезно в бизнесе при сравнении данных, например, в финансовой сфере, такой как фондовый рынок. Чтобы найти ответ на проблему относительного стандартного отклонения, вы умножаете стандартное отклонение на 100, а затем делите это произведение на среднее, чтобы выразить его в процентах.
Например, если у вас есть те же четыре измерения 6, 12 и 14 и вы хотите найти относительное стандартное отклонение, сначала найдите среднее и стандартное отклонение, которые равны 10 и 3.162, соответственно. Затем, используя формулу, вы найдете относительное стандартное отклонение следующим образом:
RSD = (3.162 10) x 100 = 31.62%
Стандартное отклонение (σ, s) – это мера разброса в наборе числовых данных. Выражаясь простыми словами, насколько далеко от Cреднего арифметического (Mean) находятся точки данных. Его также можно назвать мерой центральной тенденции: чем меньше стандартное отклонение, тем более «сгруппированы» данные вокруг центра (среднего). Чем отклонение больше, тем больше разброс значений.
Стандартное отклонение в статистике
Метрика рассчитывается с помощью следующей формулы:
$$σ = sqrt{frac{Σ_{i=1}^n(x_i — bar{X})^2}{n}}, где$$
$$σspace(малаяspaceсигма)space–spaceстандартноеspaceотклонение$$
$$Σspace–spaceсумма$$
$$xspace–space{i-й}spaceэлементspaceвыборки$$
$$bar{X}space–spaceсреднееspaceзначениеspaceвыборки$$
$$nspace–spaceколичествоspaceэлементовspaceвspaceвыборке$$
Пример. Мы располагаем Выборкой (Sample) из 10 наблюдений, где указано, сколько килограммов томатов собрали дачники в этом месяце:
Средним значением выборки будет 7,7:
$$bar{X} = (5 + 7 + 8 + 11 + 12 + 7 + 5 + 4 + 10 + / 10 = 7,7$$
Следуя формуле, вычислим квадрат разницы между i-м элементом выборки и средним значением. К примеру, для первого вхождения это будет:
$$x_i – bar{X} = (5 — 7,7)^2 = 7,29$$
Причина, по которой мы возводим разницы в квадрат, заключается в том, что большие отклонения от среднего как бы «наказываются» более сурово. Возведение в квадрат также приводит одинаковому учету отклонений в обоих направлениях (положительном и отрицательном), то есть расстояние от среднего значения у отрицательного и положительного числа будет рассчитано верно в обоих случаях.
Суммой значений правого столбца является число 64,1. Итак, согласно формуле стандартное отклонение будет равно:
$$σ = frac{64,1}{10} = 6,41$$
Стандартное отклонение в Машинном обучении
Представьте, что перепись «томатного» населения приобрела более широкие масштабы, и исследователи собрали данные о целом климатическом поясе. Мало тех, кто собрал по 2 килограмма, и тех, кто собрал 50. В среднем, садоводы собирали 25 кг.
При создании модели прогнозирования урожая стандартное отклонение уточняет наши предположения с помощью следующих принципов:
- С вероятностью 68% следующее наблюдение будет лежать в пределах одного отклонения от среднего (25 ± 6,41), то есть в диапазоне 18,59 — 31,41 кг.
- С вероятностью 95% следующий дачник сообщит, что собрал томатов. в пределах двух стандартных отклонений от среднего значения (25 ± 2 × 6,41), то есть 12,18 – 37,82 кг.
- С вероятностью 99% размер урожая будет лежать в пределах 3 отклонений (25 ± 3 × 6,41): 5,77 – 44,23 кг.
Библиотека Statistics
Рассчитывание стандартного отклонения выполняется мгновенно с помощью библиотеки statistics:
import statistics
sample = [1, 2, 3, 4, 5]
statistics.stdev(sample)
На выводе получаем следующее:
1.5811388300841898
Фото: @danielodowd