Как найти стандартную неопределенность по типу а

5.3 Понятие оцениваний неопределенности типов A и B

5.3.1 Общие сведения

Оценивание стандартной неопределенности классифицируется по типу A или типу B в зависимости от метода оценки. Оценивание по типу A осуществляется путем статистического анализа значений измеряемых величин. Оценивание по типу B выполняется при помощи других средств, отличающихся от оценивания по типу A. Стоит отметить, что оценивания по типу A и B являются взаимоисключающими. Поэтому при заполнении бюджета неопределенности сразу становится ясно, есть ли вклад в неопределенность от оценивания одного или другого типа. Для разработки стандартов классификационная схема типов A и B не является проблематичной.

Еще одна важная классификация относится к характеру погрешности измерений: погрешность, которая в повторных измерениях остается неизменной или меняется в предсказуемом (ожидаемом) направлении называются систематической погрешностью. С другой стороны, погрешность, которая в повторяющихся измерениях изменяется непрогнозируемо, называется случайной погрешностью. Классификация погрешностей на систематические и случайные, совершенно противоположная типам A и B, требует обдумывания, так как отсылает каждого к опыту физического мира. Другие определения систематических и случайных погрешностей допускается давать исходя из способа их оценивания (т.е. на основании действующих определений). Систематическая погрешность — это разность среднего значения, которое может быть получено из бесконечного числа измерений одной и той же измеряемой величины и значения этой измеряемой величины. Случайная погрешность — разность измеряемого значения и среднего, которое будет результатом бесконечного числа измерений этой измеряемой величины. В обоих случаях измерения осуществляют с помощью одинаковых методик измерений, одинаковыми операторами, одинаковыми измерительными системами, в одинаковых рабочих условиях, в одном месте и при выполнении повторяемых измерений одинаковых или похожих объектов в течение короткого промежутка времени (повторяющиеся условия).

Оценка систематической погрешности требует наличия стабильности исходной величины, для которой известно, что ее отклонение от неизвестного значения измеряемой величины априори мало относительно оценки систематической погрешности (см. примечание 1). Это обычная практика при калибровке оборудования. Рассмотрим случай, где стандартный источник высокочастотного напряжения используется для калибровки приемника. Исходное значение амплитуды напряжения должно отличаться от фактического значения производимого источником, меньше, чем на погрешность приемника (т.е. быть величиной одного порядка), указанную в спецификации прибора.

В принципе, оценка систематических и случайных погрешностей требовала бы вычисления среднего значения бесконечного числа измерений. На практике число измерений N должно быть достаточно велико, чтобы отклонение между средним значением выборки из N измерений и того же значения для бесконечных измерений было мало с учетом оценки систематических и случайных погрешностей (см. примечание 1). Это отклонение может быть охарактеризовано как экспериментальное стандартное отклонение среднего значения, которое уменьшается пропорционально при возрастании N.

Примечание 1 — Повторение аргументов присуще оцениванию как систематических, так и случайных погрешностей.

Последующий текст связан с неопределенностью, а не с погрешностями, и говорит о неопределенностях, происходящих из-за систематических или случайных эффектов, а не о систематических или случайных погрешностях. Неопределенность связана с вероятностью, в то время как погрешность связана с детерминизмом. К оценке надежности измерений гораздо удобнее применять вероятностный подход, а не детерминированный. Тем не менее, оперирование терминами погрешностей часто бывает полезно, поскольку они опираются на значительный опыт. Кроме того, характеристики средств измерений даны в терминах точности их измерений, которая является комбинацией правильности измерений, тесно связанной с систематическими погрешностями, и точности измерений, тесно связанной со случайными погрешностями.

Иногда одна и та же погрешность в зависимости от обстоятельств может быть классифицирована как систематическая или случайная. Например, погрешность амплитуды приемника на фиксированной частоте может быть классифицирована как систематическая, т.к. показания не меняются при повторном измерении на той же частоте. Однако эта же погрешность амплитуды приемника проявляется как случайная во всем частотном диапазоне приемника, так как произвольно меняется при переходе от одной частоты к другой. Разработчик приемника затем определяет предел погрешности (неопределенности), в котором случайная частота определяет погрешность, ограниченную во всем частотном диапазоне приемника. Неоднозначность систематической и случайной классификации является одной из причин для введения классификации типов A и типа B. Поэтому, неопределенности классифицируется в соответствии с путем, при помощи которого они оценены, а не в зависимости от их природы.

Примечание 2 — Это верно, если источник стабилен и создает сигнал, амплитуда которого намного больше, чем уровень шума приемника.

5.3.2 Оценивание стандартной неопределенности по типу A

Оценивание по типу A состоит в определении наилучшей оценки q величины Q и стандартной неопределенности путем статистического анализа выборки N повторяющихся показаний Q_i, где i = 1,2,…,N. Наилучшая оценка выражается средним арифметическим значением показаний

, (27)

в таком случае .

Необходимо отметить, что заглавную букву, в данном примере Q, в одно и то же время используют здесь для обозначения:

a) названия величины;

b) уникального, хотя и неизвестного значения величины;

c) любого произвольного значения, связанного с этой величиной.

Значения могут отличаться в зависимости от контекста. Строчную букву используют для наилучшей оценки величины, следовательно, q является наилучшей оценкой Q.

Мера дисперсии случайных значений Q_i в окрестности задана экспериментальным стандартным отклонением s(Q_i):

. (28)

Экспериментальное стандартное отклонение равно среднеквадратичному значению отклонений Q_i от . Принимают, что показания независимы; поэтому нет причин полагать, что между ними существует значительная связь. Среднее значение квадратов вычисляют с помощью деления на N — 1 вместо деления на N. Этот выбор может быть оправдан несколькими аргументами. Во-первых, дисперсия не может быть оценена исходя из одного показания. Как следствие, если пытаться оценить уравнение (28) в случае N = 1, то будет получена неопределенность вида 0/0, а не ошибочное нулевое значение, полученное заменой N на N — 1 в уравнении (28). Во-вторых, число независимых отклонений равно N — 1, так как исходя из уравнения (27), . Поэтому при делении на N может быть получена более оптимистичная оценка дисперсии. Число v = N — 1 называется числом степеней свободы. Одну степень свободы фиксируют путем выбора среднего арифметического в качестве центрального значения для вычисления отклонения. В общем случае число степеней свободы — это разность числа независимых показаний и числа параметров, полученных на основе показаний. Необходимо отметить, что если дисперсию вычисляют около значения, которое не было получено путем объединения выборки показаний (например, значения, полученного из усреднения генеральной совокупности данных, или эталонного, или известного значения), более целесообразным будет деление на N, а не на N — 1 потому что никакая степень свободы не фиксирована выбором центрального значения, и v = N.

Арифметическое значение выборки N случайных значений также является случайным значением. Это означает, что если вычисляют арифметическое значение каждой выборки M, полученной из N случайных показаний, то получены M значений , j = 1,2,…,M, которые меняются случайно. Очевидно, что чем больше N, тем меньше отклонение (в среднем) среди значений . Например, чтобы оценить дисперсию значений вокруг основания общего среднего , допускается использовать уравнение (28), чтобы получить

. (29)

Может быть показано (см. [7]), что , где — экспериментальное стандартное отклонение среднего.

(30)

или

, (31)

где — количественное описание распределения значений в окрестности .

Если M большое, как это подразумевается в равенстве (29), то экспериментальное стандартное отклонение среднего показывает оценку отклонения между средним выборки N наблюдений и средним бесконечного числа наблюдений. Равенство (30) очень полезно, потому что оно допускает необязательность M выборок из N наблюдений как в уравнении (29) для того чтобы оценить надежность среднего значения выборки из N наблюдений, и становиться возможным опираться на одну выборку.

Равенство (31) требует некоторых комментариев. С возрастанием N оценка дисперсии случайных наблюдений s(Q_i), которая тоже является случайной, имеет тенденцию становиться более и более надежной. Может быть показано (см. [7] и Руководство ISO/IEC 98-3, приложение E), что относительная дисперсия s(Q_i) примерно равна при N >= 3² (см. примечание 1). Следовательно, s(Q_i) стремится к константе при N, стремящемся к бесконечности, и стремится к нулю. Таким образом, стандартное отклонение экспериментального среднего может быть уменьшено увеличением числа измерений. Это дает довольно очевидный результат благодаря тому факту, что среднее N наблюдений стремится к константе при увеличении N. Менее очевидно то, что дисперсия среднего уменьшается пропорционально .

Примечание 1 — То же самое верно для благодаря равенству (28). Также относительная дисперсия равна 76% при N = 2 (см. Руководство ISO/IEC 98-3, Приложение E, таблица E.1).

Важная рекомендация: не следует путать экспериментальное стандартное отклонение со стандартным отклонением экспериментального среднего. Они представляют собой отличающиеся величины, используемые для ответа на два абсолютно различных вопроса. Экспериментальное стандартное отклонение может быть использовано для оценки повторяемости измерений или воспроизводимости измерений, так как они являются величинами, направленными на описание возможностей средства измерений и/или метода, обеспечивающих хорошее согласование результатов. Повторяемость измерений или воспроизводимость измерений не должна зависеть от числа N повторяемых измерений, которые выбираются для их оценки, как если бы при использовании среднего экспериментального стандартного отклонения. Не ожидается, в частности, что они будут уменьшаться при увеличении N. С другой стороны, неопределенность среднего арифметического серии показаний обычно уменьшается при увеличении длины серии, и она соответствующе описывается экспериментальным стандартным отклонением среднего. В общем, выбор между экспериментальным стандартным отклонением и экспериментальным стандартным отклонением среднего продиктован принятой измерительной моделью.

Экспериментальное стандартное отклонение или экспериментальное стандартное отклонение среднего являются необходимым шагом, но не конечным результатом оценки неопределенности типа A. Действительно, мы говорили о ненадежности экспериментального стандартного отклонения, особенно если число показаний N мало. Например, при N = 10, т.е. относительно большом числе повторных измерений, относительная дисперсия этого параметра будет около 24%.

Гораздо предпочтительнее иметь значение неопределенности, которое можно было бы считать точным для всех ее последующих использований. В самом деле, интерпретация неопределенности более конкретная, вычисления ее легче (см. примечание 1), и выбор согласуется с результатом оценивания по типу B, где вычисление результата оценки не является неопределенным. Ценою точности является несколько большее значение неопределенности. Если Q придерживается нормальной ФПВ, тогда и экспериментальное стандартное отклонение, и экспериментальное стандартное отклонение среднего увеличатся на соответствующий коэффициент , чтобы получить оценивание стандартной неопределенности по типу A u(Q_i):

(32)

и оценивание стандартной неопределенности среднего по типу A :

, (33)

где

(34)

Выбор значений для интервала 1 <= v <= 99 (т.е. 2 <= N <= 100) показан в таблице 4. и — числовые значения, полученные как и соответственно. t_p(v) является верхним критическим значением t-ФПВ Стьюдента с степенями свободы, соответствующим вероятности p на краю. Действительно, t_0,025(1) = 12,71 и , следовательно, . Далее t_0,025(2) = 4,30, поэтому . Значение вероятности p связано с вероятностью охвата P, которую принимают для окончательного описания неопределенности, т.е. (например, P = 0,95 подразумевает p = 0,025). При N >= 3 получается независимо от значения p.

Примечание 2 — Такой подход позволяет избавиться от концепции эффективных степеней свободы и использования формулы Велч-Саттерсвэйта (см. Руководство ISO/IEC 98-3, приложение G).

Таблица 4

Значения коэффициента расширения , который приводит

стандартное отклонение к Типу A стандартной неопределенности

Стандартная неопределенность типа A и стандартная неопределенность среднего типа A являются результатом оценки типа A стандартной неопределенности.

Пример 1

Оценка и проверка повторяемости измерений. Стадия оценки: оценивают неповторяемость (например, ежегодно) с помощью формулы (32) путем объединения относительно большого числа N независимых показаний (например, N = 10) для получения u(Q_i). Стадия проверки: воспроизводимость может быть быстро проверена (например, ежемесячно) с помощью двух показаний Q₁ и Q₂, полученных при использовании одинаковых процедур измерения, настройки и одинакового оборудования, применяемых для определения u(Q_i). Если , то можно утверждать с вероятностью ошибки менее 5%, что измерение, приводящее к ранее оцененной дисперсии u(Q_i), проводилось не при тех же условиях повторяемости. Предметом (объектом) этого примера могут быть выбраны ток, подаваемый с помощью датчика объемного тока, пиковое значение электростатического разряда, время нарастания импульса тока короткого замыкания и т.д.

Примечание 3 — Разность Q₁ — Q₂ соответствует нормальной ФПВ, с ожидаемым значением, равным 0 и стандартным отклонением .

Пример 2

Оценивание однородности поля в плоскости однородного поля (ПОП) при испытании на устойчивость к излучаемому электромагнитному полю, описываемому в IEC 61000-4-3. Неоднородность поля может быть оценена с помощью уравнения (32). Так как амплитуда поля является положительной величиной с большой дисперсией, результат вычислений обычно выражается в бюджете неопределенности с использованием логарифмических единиц. Удобно преобразовывать результаты измерений поля из В/м в дБ (В/м), чтобы вычислить дисперсию значений, выраженных в дБ (В/м), для получения результата в децибелах.

5.3.3 Оценивание стандартной неопределенности по типу B

Во многих случаях лучшая оценка и стандартная неопределенность величины получаются не с помощью статистического анализа выборок наблюдений, а при использовании доступной информации о значениях, которые могут достигаться теми же величинами. Имеющаяся информация может состоять из спецификации средств измерений производителя, отчетов о калибровке, технических примечаний и указаний по применению, научной литературы, предыдущего опыта (в том числе записи данных).

Например, известно, что инструментальная погрешность приемника, соответствующего требованиям CISPR 16-1-1, для синусоидального напряжения должна быть в пределах +/- 2 дБ. Тем самым установлено, что предел (или допускаемое значение) погрешности приемника должно быть +/- 2 дБ. Неизвестна фактическая инструментальная погрешность на конкретной частоте и при конкретных настройках приемника, но известно, что это, безусловно, граница допустимого интервала. Оценивание неопределенности по типу B состоит в том, что погрешность измерений является случайной величиной E, принимающей значения в допустимом интервале (E_min,E_max). В примере E_min = -2 дБ, а E_max = +2 дБ. С рациональной точки зрения более вероятно, что E будет ближе к центру допустимого интервала, чем к его границам. Более консервативные предположения показывают, что E равномерно распределяется в допустимом интервале. Это предположение выбирается более часто, по крайней мере, если нет возражений. В общих чертах значения E распределены на допустимом интервале в соответствии со статистическим распределением, которое соответствует допустимой информации. В примере приемника, если рассматривается консервативная точка зрения, ФПВ погрешности является константой, отличной от нуля внутри допустимого интервала, и равна нулю вне его. Такая ФПВ называется прямоугольной или равномерной. В противном случае может быть выбрана треугольная ФПВ, если есть убедительные доказательства того, что значения сконцентрированы в окрестности центра интервала.

Эти положения объясняются следующей математической формулой. Статистическое распределение погрешности описывается ФПВ g(E), которая может быть определена как

, (35)

где — вероятность того, что E лежит между и , и dE — бесконечно малый интервал. Функция g(E) является плотностью, потому что описывает вероятность, приходящуюся на бесконечно малый интервал погрешности. В таком случае единица измерений ФПВ является обратной к единицам измерений величины E (вероятность — безразмерная величина).

ФПВ имеют следующие общие свойства:

g(E) >= 0 для любого E; (36)

интеграл по всем возможным значениям E. (37)

В примере, приведенном выше, . В общих чертах интервал (E_min,E_max) включает в себя большую часть p возможных значений E, где обычно p = 1 или p = 0,95, следовательно

. (38)

Свойство (37) позволяет получить математическое выражение прямоугольной ФПВ. Действительно, так как площадь прямоугольника единична и ширина основания равна E_max — E_min, то ее высота равна 1/(E_max — E_min). В случае треугольной ФПВ ширина основания опять равна E_max — E_min, а высота в этом случае равна 2/(E_max — E_min).

С учетом знания ФПВ, можно вывести наилучшую оценку E погрешности измерений и стандартной неопределенности по типу B. Для этого необходимо рассмотреть значение Eg(E)dE, являющееся результатом частной погрешности значения E и вероятности достижения значений погрешности в узкой окрестности E. Если просуммировать Eg(E)dE по всем возможным значениям E, получают взвешенное среднее, называемое ожидаемым значением E или кратко , где

(39)

интеграл по всем возможным значениям E. Можно легко показать, что является предельным значением арифметического среднего бесконечно большой выборки возможных значений E. Это свойство может быть продемонстрировано оценкой вероятности в формуле (35) с отношением между числом значений выборок, попадающих в интервал и общим числом значений выборок. показывает ширину интервала, содержащего значительное число значений выборок. Наконец, в схеме оценки типа B ожидаемое значение является аналогом среднего арифметического, которое является лучшей оценкой в схеме оценки типа A. Следовательно, лучшей оценкой погрешности измерений будет . Таким образом, интегрирование в формуле (39) может быть упрощено для симметричной ФПВ. Для симметричных распределений, таких как прямоугольное и треугольная ФПВ, e = 1/2·(E_min + E_max).

Если рассмотреть теперь величину , которая соответствует отклонению между значением частной погрешности и лучшей оценкой погрешности, взвешенное среднее квадратов отклонения может быть вычислено следующим образом

. (40)

(Интегрирование снова идет по всем возможным значениям E.)

Необходимо заметить, что член в левой части уравнения (40) является ожидаемым значением квадрата отклонения и называется дисперсией E, обычно обозначаемой, как . В продолжение линии рассуждений в предыдущем абзаце, может быть показано, что дисперсия есть предельное значение квадрата экспериментального стандартного отклонения бесконечно большой выборки возможных значений E. Вывод — стандартная неопределенность по типу B есть квадратный корень из дисперсии, т.е.

, (41)

где для однородных обозначений со стандартной неопределенностью по типу A принимают . Решая интеграл в формуле (41), находят в случае прямоугольной ФПВ

, (42)

в то время, как в случае треугольной ФПВ получают

. (43)

Если возвратиться к предыдущему примеру, можно рассмотреть погрешность амплитуды приемника при E_min = -2 дБ и E_max = +2 дБ. Если ФПВ — прямоугольная, то u(e) = 1,2 дБ. Если ФПВ — треугольная, то u(e) = 0,8 дБ. В обоих случаях, благодаря симметрии, лучшая оценка погрешности равна e = 0 дБ.

Пример 1

Стандартная неопределенность по типу B получена из отчета о калибровке (т.е. усиление антенны для ЭМС), устанавливая лучшую оценку и охватывающий интервал, соответствующий вероятности охвата 95%, для нормальной ФПВ. Необходимо заметить, что в значении эффективной степени свободы нет необходимости [можно утверждать в отчете о калибровке: в любом случае, при делении E_max — E_min на 2·1,96 = 3,92 получают u(e)].

Примечание — Символ E используют в местах, более подходящих для X, потому что пример, приведенный здесь, имеет отношение к погрешности измерений. Тем не менее полученные результаты — общие.

Скачать документ целиком в формате PDF