Как найти старший коэффициент что это такое

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax 2 + c = 0, при b = 0;
• ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
• разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n 2 — ac;
• если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Старший коэффициент многочлена это

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · ( − 2 ) · y 12 , – 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 – 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.

Рассмотрим еще определения.

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен.

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 – 3 x + 11 .

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и – 3 , 5 х и 2 х . Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и – 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Степень многочлена произвольного числа – это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.

Коэффициенты членов многочлена

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Старший коэффициент у многочлена, это коэффициент при одночлене высшей степени.

Напоминание: у a²b⁴ степень 2+4=6;

у ab⁴d² степень 1+4+2=7.

Определю старший коэффициент на примерах:

x+3-5x²: одночлен высшей степени (-5x²); стар. коэф. (-5)

От изучения одночленов переходим к знакомству с еще одним видом выражений – многочленами. В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.

Навигация по странице.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и – это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b , где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x 2 +b·x+c , где a , b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 , x·7,2−4 , а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые. Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов.

Многочлен стандартного вида

Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, каждый член которого является одночленом стандартного вида и который не содержит подобных членов.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2 и −x 2 , а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2 , вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду.

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов, находящихся в его составе.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12 )− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 .

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена.

Коэффициенты членов многочлена

Пусть все члены многочлена являются одночленами стандартного вида. Коэффициенты одночленов в этом случае называют коэффициентами членов многочлена. Часто можно слышать, что коэффициенты членов многочлена называют коэффициентами многочлена.

Приведем пример. Рассмотрим многочлен 2·x−0,5·x·y+3·x+7 . Он состоит из четырех одночленов 2·x , −0,5·x·y , 3·x и 7 , их коэффициенты равны 2 , −0,5 , 3 и 7 соответственно. Таким образом, 2 , −0,5 , 3 и 7 – это коэффициенты членов 2·x , −0,5·x·y , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .

Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры

В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.

Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.

Квадратное уравнение, его виды

Квадратное уравнение – это уравнение, записанное как a · x 2 + b · x + c = 0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, при этом a не есть нуль.

Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.

Приведем пример для иллюстрации заданного определения: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0 ; 7 , 5 · x 2 + 3 , 1 · x + 0 , 11 = 0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Числа a , b и c – это коэффициенты квадратного уравнения a · x 2 + b · x + c = 0 , при этом коэффициент a носит название первого, или старшего, или коэффициента при x 2 , b – второго коэффициента, или коэффициента при x , а c называют свободным членом.

К примеру, в квадратном уравнении 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0 старший коэффициент равен 6 , второй коэффициент есть − 2 , а свободный член равен − 11 . Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты b и/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0 , а не 6 · x 2 + ( − 2 ) · x + ( − 11 ) = 0 .

Уточним также такой аспект: если коэффициенты a и/или b равны 1 или − 1 , то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении y 2 − y + 7 = 0 старший коэффициент равен 1 , а второй коэффициент есть − 1 .

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.

Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен 1 . При иных значениях старшего коэффициента квадратное уравнение является неприведенным.

Приведем примеры: квадратные уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 являются приведенными, в каждом из которых старший коэффициент равен 1 .

9 · x 2 − x − 2 = 0 — неприведенное квадратное уравнение, где первый коэффициент отличен от 1 .

Любое неприведенное квадратное уравнение возможно преобразовать в приведенное уравнение, если разделить обе его части на первый коэффициент (равносильное преобразование). Преобразованное уравнение будет иметь такие же корни, как и заданное неприведенное уравнение или так же не иметь корней вовсе.

Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Задано уравнение 6 · x 2 + 18 · x − 7 = 0 . Необходимо преобразовать исходное уравнение в приведенную форму.

Решение

Cогласно указанной выше схеме разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 6 . Тогда получим: ( 6 · x 2 + 18 · x − 7 ) : 3 = 0 : 3 , и это то же самое, что: ( 6 · x 2 ) : 3 + ( 18 · x ) : 3 − 7 : 3 = 0 и далее: ( 6 : 6 ) · x 2 + ( 18 : 6 ) · x − 7 : 6 = 0 . Отсюда: x 2 + 3 · x — 1 1 6 = 0 . Таким образом, получено уравнение, равносильное заданному.

Ответ: x 2 + 3 · x — 1 1 6 = 0 .

Полные и неполные квадратные уравнения

Обратимся к определению квадратного уравнения. В нем мы уточнили, что a ≠ 0 . Подобное условие необходимо, чтобы уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 было именно квадратным, поскольку при a = 0 оно по сути преобразуется в линейное уравнение b · x + c = 0 .

В случае же, когда коэффициенты b и c равны нулю (что возможно, как по отдельности, так и совместно), квадратное уравнение носит название неполного.

Неполное квадратное уравнение – такое квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 , где хотя бы один из коэффициентов b и c (или оба) равен нулю.

Полное квадратное уравнение – квадратное уравнение, в котором все числовые коэффициенты не равны нулю.

Порассуждаем, почему типам квадратных уравнений даны именно такие названия.

При b = 0 квадратное уравнение примет вид a · x 2 + 0 · x + c = 0 , что то же самое, что a · x 2 + c = 0 . При c = 0 квадратное уравнение записано как a · x 2 + b · x + 0 = 0 , что равносильно a · x 2 + b · x = 0 . При b = 0 и c = 0 уравнение примет вид a · x 2 = 0 . Уравнения, которые мы получили, отличны от полного квадратного уравнения тем, что в их левых частях не содержится либо слагаемого с переменной x , либо свободного члена, либо обоих сразу. Собственно, этот факт и задал название такому типу уравнений – неполное.

Например, x 2 + 3 · x + 4 = 0 и − 7 · x 2 − 2 · x + 1 , 3 = 0 – это полные квадратные уравнения; x 2 = 0 , − 5 · x 2 = 0 ; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Заданное выше определение дает возможность выделить следующие виды неполных квадратных уравнений:

• a · x 2 = 0 , такому уравнению соответствуют коэффициенты b = 0 и c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 при b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 при c = 0 .

Рассмотрим последовательно решение каждого вида неполного квадратного уравнения.

Решение уравнения a·x 2 =0

Как уже было указано выше, такому уравнению отвечают коэффициенты b и c , равные нулю. Уравнение a · x 2 = 0 возможно преобразовать в равносильное ему уравнение x 2 = 0 , которое мы получим, поделив обе части исходного уравнения на число a , не равное нулю. Очевидный факт, что корень уравнения x 2 = 0 это нуль, поскольку 0 2 = 0 . Иных корней это уравнение не имеет, что объяснимо свойствами степени: для любого числа p , не равного нулю, верно неравенство p 2 > 0 , из чего следует, что при p ≠ 0 равенство p 2 = 0 никогда не будет достигнуто.

Таким образом, для неполного квадратного уравнение a · x 2 = 0 существует единственный корень x = 0 .

Для примера решим неполное квадратное уравнение − 3 · x 2 = 0 . Ему равносильно уравнение x 2 = 0 , его единственным корнем является x = 0 , тогда и исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.

Кратко решение оформляется так:

− 3 · x 2 = 0 , x 2 = 0 , x = 0 .

Решение уравнения a · x 2 + c = 0

На очереди — решение неполных квадратных уравнений, где b = 0 , c ≠ 0 , то есть уравнений вида a · x 2 + c = 0 . Преобразуем это уравнение, перенеся слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив знак на противоположный и разделив обе части уравнения на число, не равное нулю:

• переносим c в правую часть, что дает уравнение a · x 2 = − c ;
• делим обе части уравнения на a , получаем в итоге x = — c a .

Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения. От того, каковы значения a и c зависит значение выражения — c a : оно может иметь знак минус (допустим, если a = 1 и c = 2 , тогда — c a = — 2 1 = — 2 ) или знак плюс (например, если a = − 2 и c = 6 , то — c a = — 6 — 2 = 3 ); оно не равно нулю, поскольку c ≠ 0 . Подробнее остановимся на ситуациях, когда — c a 0 и — c a > 0 .

В случае, когда — c a 0 , уравнение x 2 = — c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при — c a 0 ни для какого числа p равенство p 2 = — c a не может быть верным.

Все иначе, когда — c a > 0 : вспомним о квадратном корне, и станет очевидно, что корнем уравнения x 2 = — c a будет число — c a , поскольку — c a 2 = — c a . Нетрудно понять, что число — — c a — также корень уравнения x 2 = — c a : действительно, — — c a 2 = — c a .

Прочих корней уравнение не будет иметь. Мы можем это продемонстрировать, используя метод от противного. Для начала зададим обозначения найденных выше корней как _{x 1} и _{− x 1} . Выскажем предположение, что уравнение x 2 = — c a имеет также корень x 2 , который отличается от корней _{x 1} и _{− x 1} . Мы знаем, что, подставив в уравнение вместо x его корни, преобразуем уравнение в справедливое числовое равенство.

Для _{x 1} и _{− x 1} запишем: x 1 2 = — c a , а для x 2 — x 2 2 = — c a . Опираясь на свойства числовых равенств, почленно вычтем одно верное равенство из другого, что даст нам: x 1 2 − x 2 2 = 0 . Используем свойства действий с числами, чтобы переписать последнее равенство как ( x 1 − x 2 ) · ( x 1 + x 2 ) = 0 . Известно, что произведение двух чисел есть нуль тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел является нулем. Из сказанного следует, что x 1 − x 2 = 0 и/или x 1 + x 2 = 0 , что то же самое, x 2 = x 1 и/или x 2 = − x 1 . Возникло очевидное противоречие, ведь вначале было условлено, что корень уравнения x 2 отличается от _{x 1} и _{− x 1} . Так, мы доказали, что уравнение не имеет иных корней, кроме x = — c a и x = — — c a .

Резюмируем все рассуждения выше.

Неполное квадратное уравнение a · x 2 + c = 0 равносильно уравнению x 2 = — c a , которое:

• не будет иметь корней при — c a 0 ;
• будет иметь два корня x = — c a и x = — — c a при — c a > 0 .

Приведем примеры решения уравнений a · x 2 + c = 0 .

Задано квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 . Необходимо найти его решение.

Решение

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, тогда уравнение примет вид 9 · x 2 = − 7 .
Разделим обе части полученного уравнения на 9 , придем к x 2 = — 7 9 . В правой части мы видим число со знаком минус, что означает: у заданного уравнения нет корней. Тогда и исходное неполное квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не будет иметь корней.

Ответ: уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не имеет корней.

Необходимо решить уравнение − x 2 + 36 = 0 .

Решение

Перенесем 36 в правую часть: − x 2 = − 36 .
Разделим обе части на − 1 , получим x 2 = 36 . В правой части — положительное число, отсюда можно сделать вывод, что x = 36 или x = — 36 .
Извлечем корень и запишем окончательный итог: неполное квадратное уравнение − x 2 + 36 = 0 имеет два корня x = 6 или x = − 6 .

Ответ: x = 6 или x = − 6 .

Решение уравнения a·x 2 +b·x=0

Разберем третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0 . Чтобы найти решение неполного квадратного уравнения a · x 2 + b · x = 0 , воспользуемся методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который находится в левой части уравнения, вынеся за скобки общий множитель x . Этот шаг даст возможность преобразовать исходное неполное квадратное уравнение в равносильное ему x · ( a · x + b ) = 0 . А это уравнение, в свою очередь, равносильно совокупности уравнений x = 0 и a · x + b = 0 . Уравнение a · x + b = 0 линейное, и корень его: x = − b a .

Таким образом, неполное квадратное уравнение a · x 2 + b · x = 0 будет иметь два корня x = 0 и x = − b a .

Закрепим материал примером.

Необходимо найти решение уравнения 2 3 · x 2 — 2 2 7 · x = 0 .

Решение

Вынесем x за скобки и получим уравнение x · 2 3 · x — 2 2 7 = 0 . Это уравнение равносильно уравнениям x = 0 и 2 3 · x — 2 2 7 = 0 . Теперь следует решить полученное линейное уравнение: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Далее осуществим деление смешанного числа на обыкновенную дробь и определяем, что x = 3 3 7 . Таким образом, корни исходного уравнения это: x = 0 и x = 3 3 7 .

Кратко решение уравнения запишем так:

2 3 · x 2 — 2 2 7 · x = 0 x · 2 3 · x — 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 · x — 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Ответ: x = 0 , x = 3 3 7 .

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Для нахождения решения квадратных уравнений существует формула корней:

x = — b ± D 2 · a , где D = b 2 − 4 · a · c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

Запись x = — b ± D 2 · a по сути означает, что x 1 = — b + D 2 · a , x 2 = — b — D 2 · a .

Нелишним будет понимать, как была выведена указанная формула и каким образом ее применять.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Пускай перед нами стоит задача решить квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 . Осуществим ряд равносильных преобразований:

• разделим обе части уравнения на число a, отличное от нуля, получим приведенное квадратное уравнение: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• выделим полный квадрат в левой части получившегося уравнения:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 — b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 — b 2 · a 2 + c a
  После этого уравнения примет вид: x + b 2 · a 2 — b 2 · a 2 + c a = 0 ;
• теперь возможно сделать перенос двух последних слагаемых в правую часть, сменив знак на противоположный, после чего получаем: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 — c a ;
• наконец, преобразуем выражение, записанное в правой части последнего равенства:
  b 2 · a 2 — c a = b 2 4 · a 2 — c a = b 2 4 · a 2 — 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 .

Таким образом, мы пришли к уравнению x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , равносильному исходному уравнению a · x 2 + b · x + c = 0 .

Решение подобных уравнений мы разбирали в предыдущих пунктах (решение неполных квадратных уравнений). Уже полученный опыт дает возможность сделать вывод касательно корней уравнения x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 :

• при b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 0 уравнение не имеет действительных решений;
• при b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 = 0 уравнение имеет вид x + b 2 · a 2 = 0 , тогда x + b 2 · a = 0 .

Отсюда очевиден единственный корень x = — b 2 · a ;

• при b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 > 0 верным будет: x + b 2 · a = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 или x = b 2 · a — b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , что то же самое, что x + — b 2 · a = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 или x = — b 2 · a — b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , т.е. уравнение имеет два корня.

Возможно сделать вывод, что наличие или отсутствие корней уравнения x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 (а значит и исходного уравнения) зависит от знака выражения b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , записанного в правой части. А знак этого выражения задается знаком числителя, (знаменатель 4 · a 2 всегда будет положителен), то есть, знаком выражения b 2 − 4 · a · c . Этому выражению b 2 − 4 · a · c дано название — дискриминант квадратного уравнения и определена в качестве его обозначения буква D . Здесь можно записать суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, будет ли квадратное уравнение иметь действительные корни, и, если будет, то каково количество корней — один или два.

Вернемся к уравнению x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 . Перепишем его, используя обозначение дискриминанта: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Вновь сформулируем выводы:

• при D 0 уравнение не имеет действительных корней;
• при D = 0 уравнение имеет единственный корень x = — b 2 · a ;
• при D > 0 уравнение имеет два корня: x = — b 2 · a + D 4 · a 2 или x = — b 2 · a — D 4 · a 2 . Эти корни на основе свойства радикалов возможно записать в виде: x = — b 2 · a + D 2 · a или — b 2 · a — D 2 · a . А, когда раскроем модули и приведем дроби к общему знаменателю, получим: x = — b + D 2 · a , x = — b — D 2 · a .

Так, результатом наших рассуждений стало выведение формулы корней квадратного уравнения:

x = — b + D 2 · a , x = — b — D 2 · a , дискриминант D вычисляется по формуле D = b 2 − 4 · a · c .

Данные формулы дают возможность при дискриминанте больше нуля определить оба действительных корня. Когда дискриминант равен нулю, применение обеих формул даст один и тот же корень, как единственное решение квадратного уравнения. В случае, когда дискриминант отрицателен, попытавшись использовать формулу корня квадратного уравнения, мы столкнемся с необходимостью извлечь квадратный корень из отрицательного числа, что выведет нас за рамки действительных чисел. При отрицательном дискриминанте у квадратного уравнения не будет действительных корней, но возможна пара комплексно сопряженных корней, определяемых теми же полученными нами формулами корней.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Решить квадратное уравнение возможно, сразу задействуя формулу корней, но в основном так поступают при необходимости найти комплексные корни.

В основной же массе случаев обычно подразумевается поиск не комплексных, а действительных корней квадратного уравнения. Тогда оптимально перед тем, как использовать формулы корней квадратного уравнения, сначала определить дискриминант и удостовериться, что он не является отрицательным (в ином случае сделаем вывод, что у уравнения нет действительных корней), а после приступить к вычислению значения корней.

Рассуждения выше дают возможность сформулировать алгоритм решения квадратного уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 , необходимо:

• по формуле D = b 2 − 4 · a · c найти значение дискриминанта;
• при D 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• при D = 0 найти единственный корень уравнения по формуле x = — b 2 · a ;
• при D > 0 определить два действительных корня квадратного уравнения по формуле x = — b ± D 2 · a .

Отметим, что, когда дискриминант есть нуль, можно использовать формулу x = — b ± D 2 · a , она даст тот же результат, что и формула x = — b 2 · a .

Примеры решения квадратных уравнений

Приведем решение примеров при различных значениях дискриминанта.

Необходимо найти корни уравнения x 2 + 2 · x − 6 = 0 .

Решение

Запишем числовые коэффициенты квадратного уравнения: a = 1 , b = 2 и c = − 6 . Далее действуем по алгоритму, т.е. приступим к вычислению дискриминанта, для чего подставим коэффициенты a , b и c в формулу дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 4 + 24 = 28 .

Итак, мы получили D > 0 , а это означает, что исходное уравнение будет иметь два действительных корня.
Для их нахождения используем формулу корня x = — b ± D 2 · a и, подставив соответствующие значения, получим: x = — 2 ± 28 2 · 1 . Упростим полученное выражение, вынеся множитель за знак корня с последующим сокращением дроби:

x = — 2 + 2 · 7 2 или x = — 2 — 2 · 7 2

x = — 1 + 7 или x = — 1 — 7

Ответ: x = — 1 + 7 ​​​​​​, x = — 1 — 7 .

Необходимо решить квадратное уравнение − 4 · x 2 + 28 · x − 49 = 0 .

Решение

Определим дискриминант: D = 28 2 − 4 · ( − 4 ) · ( − 49 ) = 784 − 784 = 0 . При таком значении дискриминанта исходное уравнение будет иметь лишь один корень, определяемый по формуле x = — b 2 · a .

x = — 28 2 · ( — 4 ) x = 3 , 5

Ответ: x = 3 , 5 .

Необходимо решить уравнение 5 · y 2 + 6 · y + 2 = 0

Решение

Числовые коэффициенты этого уравнения будут: a = 5 , b = 6 и c = 2 . Используем эти значения для нахождения дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Вычисленный дискриминант отрицателен, таким образом, исходное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

В случае, когда стоит задача указать комплексные корни, применим формулу корней, выполняя действия с комплексными числами:

x = — 6 + 2 · i 10 или x = — 6 — 2 · i 10 ,

x = — 3 5 + 1 5 · i или x = — 3 5 — 1 5 · i .

Ответ: действительные корни отсутствуют; комплексные корни следующие: — 3 5 + 1 5 · i , — 3 5 — 1 5 · i .

В школьной программе стандартно нет требования искать комплексные корни, поэтому, если в ходе решения дискриминант определен как отрицательный, сразу записывается ответ, что действительных корней нет.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней x = — b ± D 2 · a ( D = b 2 − 4 · a · c ) дает возможность получить еще одну формулу, более компактную, позволяющую находить решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при x (либо с коэффициентом вида 2 · n , к примеру, 2 · 3 или 14 · ln 5 = 2 · 7 · ln 5 ). Покажем, как выводится эта формула.

Пусть перед нами стоит задача найти решение квадратного уравнения a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Действуем по алгоритму: определяем дискриминант D = ( 2 · n ) 2 − 4 · a · c = 4 · n 2 − 4 · a · c = 4 · ( n 2 − a · c ) , а затем используем формулу корней:

x = — 2 · n ± D 2 · a , x = — 2 · n ± 4 · n 2 — a · c 2 · a , x = — 2 · n ± 2 n 2 — a · c 2 · a , x = — n ± n 2 — a · c a .

Пусть выражение n 2 − a · c будет обозначено как D 1 (иногда его обозначают D ‘ ). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 · n примет вид:

x = — n ± D 1 a , где D 1 = n 2 − a · c .

Легко увидеть, что что D = 4 · D 1 , или D 1 = D 4 . Иначе говоря, D 1 – это четверть дискриминанта. Очевидно, что знак D 1 такой же, как знак D , а значит знак D 1 также может служить индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Таким образом, чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 · n , необходимо:

• найти D 1 = n 2 − a · c ;
• при D 1 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• при D 1 = 0 определить единственный корень уравнения по формуле x = — n a ;
• при D 1 > 0 определить два действительных корня по формуле x = — n ± D 1 a .

Необходимо решить квадратное уравнение 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 .

Решение

Второй коэффициент заданного уравнения можем представить как 2 · ( − 3 ) . Тогда перепишем заданное квадратное уравнение как 5 · x 2 + 2 · ( − 3 ) · x − 32 = 0 , где a = 5 , n = − 3 и c = − 32 .

Вычислим четвертую часть дискриминанта: D 1 = n 2 − a · c = ( − 3 ) 2 − 5 · ( − 32 ) = 9 + 160 = 169 . Полученное значение положительно, это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Определим их по соответствующей формуле корней:

x = — n ± D 1 a , x = — — 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 или x = 3 — 13 5

x = 3 1 5 или x = — 2

Возможно было бы произвести вычисления и по обычной формуле корней квадратного уравнения, но в таком случае решение было бы более громоздким.

Ответ: x = 3 1 5 или x = — 2 .

Упрощение вида квадратных уравнений

Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.

К примеру, квадратное уравнение 12 · x 2 − 4 · x − 7 = 0 явно удобнее для решения, чем 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 .

Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 , полученную делением обеих его частей на 100 .

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Как пример используем квадратное уравнение 12 · x 2 − 42 · x + 48 = 0 . Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД ( 12 , 42 , 48 ) = НОД(НОД ( 12 , 42 ) , 48 ) = НОД ( 6 , 48 ) = 6 . Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 1 6 · x 2 + 2 3 · x — 3 = 0 перемножить с НОК ( 6 , 3 , 1 ) = 6 , то оно станет записано в более простом виде x 2 + 4 · x − 18 = 0 .

Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на − 1 . К примеру, от квадратного уравнения − 2 · x 2 − 3 · x + 7 = 0 можно перейти к упрощенной его версии 2 · x 2 + 3 · x − 7 = 0 .

Связь между корнями и коэффициентами

Уже известная нам формула корней квадратных уравнений x = — b ± D 2 · a выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:

x 1 + x 2 = — b a и x 2 = c a .

В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 возможно сразу определить, что сумма его корней равна 7 3 , а произведение корней — 22 3 .

Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:

x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 — 2 · x 1 · x 2 = — b a 2 — 2 · c a = b 2 a 2 — 2 · c a = b 2 — 2 · a · c a 2 .

…Забавное число — ноль. На что ни умножь — само же в результате и получается! Прямо загляденье:

Однако, интересно, а будет ли выполняться равенство 0 × a = 0², если вместо нуля поставить произвольное число? Например, какое удвоенное число равно своему квадрату, то есть x × 2 = x²? Или утроенное x × 3 = x²?

Поставим задачу в общем виде: найти число, квадрат которого, равен произведению этого числа на конкретное данное число a. Построим модель: xx = ax или x² = ax.

Так как мы ищем число, отличное от нуля, то, разделив обе части построенного равенства на x, получим, что x = a.

То есть, если удвоенное число равно своему квадрату, то это число 2, а если утроенное, то 3.

Можно этот факт запомнить — вдруг пригодится?..

…Инструктаж судьи на одном из этапов туристической эстафеты:

— Вам необходимо огородить участок прямоугольной формы, площадью 1 ар для стоянки. Дополнительные очки той команде, которая затратит как можно меньше страховочной верёвки. На старт, внимание, начали!

1 ар — это 100 квадратных метров. Участок может иметь размеры 20 × 5 или 25 × 4. Но наша команда знает, что наименьший периметр прямоугольника при его заданной площади будет в том случае, если он — квадрат (теперь и вы это помните!). Отлично! Значит необходимо найти сторону квадрата, если его площадь равна 100. Ну, это легко! Ещё с младших классов, благодаря большой вычислительной практике, помним, что число 10 умноженное на себя даёт сто.

Хорошо, что мы не на уроке математики, а то пришлось бы составлять уравнение x² = 100…

…Не так давно с нами эксперимент проводили: надо было из множества прямоугольников разнообразной формы выбрать один, который покажется самым приятным на вид. Многочисленные повторения этого опыта показали, что чаще всего люди выбирают те прямоугольники, стороны которого относятся как «золотая пропорция». Золотое (или гармоническое) сечение — это такое деление отрезка, при котором отношение всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей 1: x = x: (1 — x).

Если воспользоваться свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), то можно получить уравнение, чтобы найти длину большей части этого отрезка: x² = 1 — x.

…В каком прямоугольном треугольнике стороны выражаются тремя последовательными натуральными числами?

Пусть n длина меньшего катета, тогда второй катет и гипотенуза выражаются как (n +1) и (n +2).

По теореме Пифагора все длины увязываем в уравнение:

Пифагорейцы исследовали фигурные числа, в частности, треугольные (их можно изобразить в виде треугольника).

Треугольное число с номером n можно найти как половину произведения n× (n+1). Для ответа на вопрос, является ли треугольным число 45 и если да, то каков его номер, надо решить уравнение n× (n+1) = 90…

Задумайте два натуральных числа от 1 до 20. Найдите их сумму и произведение. Сообщите мне. Я отгадаю задуманные вами числа. Вам интересно, как я это сделаю?..

Квадратным называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые заданные действительные числа, причём a ≠ 0, а x принимается за неизвестное.

Числа a, b, c называют так:

a — старшим или первым коэффициентом,

b — вторым,

c — свободным или третьим¹.

«Нумерация» коэффициентов зависит не от их реального месторасположения, а от того, при какой степени неизвестной они находятся. Например, число 2 будет первым коэффициентом в любом из трёх уравнений:

А вот число 5 в третьем уравнении является свободным коэффициентом, а в первом уравнении — вторым коэффициентом.

То есть первый (старший) коэффициент — это множитель при квадрате неизвестной, второй — при первой степени. Свободный (третий) коэффициент — это слагаемое без неизвестной, то есть «свободный от неизвестной».

Очевидно, что в качестве неизвестного необязательно брать букву x. Более того, привыкнув за школьные годы к этому неизменному обозначению, среднестатистический ученик начинает испытывать затруднения в восприятии (узнавании, интерпретации) квадратных уравнений, встречающихся при решении более сложных математических (физических и других) задач.

Собственно говоря, и коэффициенты квадратного уравнения не всегда могут обозначаться указанными выше буквами. Одним словом, квадратное уравнение имеет вполне определённую структуру, а как обозначаются элементы этой структуры — дело десятое. Человек со сложившимся математическим стилем мышления понимает, что квадратным уравнением будет являться любое равенство, в правой части которого стоит ноль, а в левой — сумма трёх слагаемых, одно из которых является произвольным числом, другое — произведением произвольного числа на первую степень неизвестного и третье — произведением ненулевого числа на вторую степень неизвестного.

Тогда квадратными будут уравнения:

mx² + nx + k = 0 (относительно x, m ≠ 0),

xa² + ya + z = 0 (относительно a, x ≠ 0).

Уравнение y² + xy + x² = 0 можно рассматривать как квадратное, но только либо относительно x, либо только относительно y.

Пока же договоримся, что теоретические вопросы будем излагать на привычных обозначениях.

Вернёмся к определению. Давайте выделим внешние, «бросающиеся в глаза», черты квадратного уравнения. Во-первых, наличие знака равенства. Отсутствие его с очевидностью снимает вопрос о правомерности называть объект уравнением.

(Любое ли равенство является уравнением — разговор особый и не в рамках этой книги.)

Во-вторых, левая часть нашего равенства представляет собой алгебраическую сумму трёх слагаемых.

Возникает первый вопрос: обязательно трёх?

Другими словами количество слагаемых — это определяющий признак или нет? Давайте посмотрим.

Значения второго и свободного коэффициентов квадратного уравнения в определении никак не ограничиваются (в отличие от первого). Следовательно, они могут быть равными нулю. Тогда под определение квадратного подходят уравнения вида

ax² + bx = 0 (c = 0, ab ≠ 0),

ax² + c = 0 (b = 0, ac ≠ 0),

ax² = 0 (b = c = 0, a ≠ 0).

Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых!

Тем не менее, это — квадратные уравнения, потому что их можно записать так

ax² + bx +0 = 0,

ax² +0 · x + c = 0,

ax² +0 · x +0 = 0.

Так как количество слагаемых левой части уравнений ax² + bx = 0, ax² + c = 0, ax² = 0 визуально меньше, чем может быть, их называют неполными квадратными уравнениями. Тогда как квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным.

Таким образом, отсутствие в записи конкретного уравнения свободного члена или слагаемого с первой степенью неизвестного не даёт нам права сомневаться в том, что уравнение всё-таки квадратное. Однако и наличие их не является веской причиной отнести уравнение к квадратным. Об этом чуть ниже.

Следующим возникает вопрос, а почему, собственно a ≠ 0? (Конечно, искушённый читатель знает почему.) Можно ли, например, уравнение вида ax² + (a — 1) x + a = 0 (или в общем виде f (a) x² + g (a) x + h (a) = 0) называть квадратным?

Давайте похулиганим и поставим в качестве первого коэффициента ноль. Тогда уравнение примет вид bx + c = 0.

Но это же линейное уравнение! Оно имеет свою теорию, свои изюминки.

Пусть будут «мухи отдельно, котлеты отдельно».

Теперь понятно, что требование a ≠ 0 необходимо для сохранения в квадратном уравнении второй степени — квадрата — неизвестного. Вот этот признак будет определяющим!

В дальнейшем, говоря о квадратном уравнении, мы будем помнить, что старший коэффициент не равен нулю, не оговаривая это каждый раз. Договорились?

Тогда уравнение f (a) x² + g (a) x + h (a) = 0 правильно называть уравнением с параметром второй степени, которое при определённых условиях может быть квадратным, а может им и не быть (стать линейным).

Однако не будем торопиться. Наличие второй степени неизвестного — необходимый, но не достаточный признак квадратного уравнения.

Рассмотрим следующие уравнения:

Выполним сравнительный анализ этих уравнений с квадратным ax² + bx + c = 0 по трём признакам:

— наличие второй степени неизвестной,

— наибольшая степень неизвестной,

— количество неизвестных.

Зафиксируем для каждого уравнения эти параметры.

Результаты сравнительного анализа организуем в таблицу.

Итак, что мы имеем?

Наличие второй степени неизвестного является общим для всех трёх уравнений. Но по двум другим признакам сравнения, квадратное уравнение отличается: в квадратном уравнении вторая степень неизвестной является наибольшей и неизвестная только одна.

Именно это и важно!

Собственно говоря, квадратным является целое рациональное (или по-другому — алгебраическое) уравнение второй степени с одним неизвестным².

Процесс ограничения класса алгебраических уравнений можно представить в двух направлениях:

алгебраическое уравнение → первой степени, второй степени и так далее;

алгебраическое уравнение → с одной неизвестной, с двумя неизвестными и так далее.

Приведём примеры:

ax + b = 0 — уравнение первой степени с одной неизвестной;

ax + by + c = 0 — уравнение первой степени с двумя неизвестными;

ax² + bx + c = 0 — уравнение второй степени с одной неизвестной;

ax² + bxy + cy² + kx + ly + m = 0 — уравнение второй степени с двумя неизвестными.

Тогда ближайшими родовыми понятиями для квадратного уравнения будут: алгебраическое уравнение второй степени или алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Выбирая в качестве родового понятия разные объекты, мы сможем получить различные формулировки определения квадратного уравнения. Попробуйте!

Наконец, рассмотрим правую часть равенства в определении квадратного уравнения. Она представляет собой конкретное число — ноль. А может быть что-нибудь другое?

Если мы хотим видеть квадратное уравнение «в чистом виде», то ничего, кроме нуля, в правой части быть не должно. Но…

Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = m, где m число отличное от нуля. Тогда мы, основываясь на равносильности преобразований уравнений³, можем записать

ax² + bx + c — m = 0

ax² + bx + (c — m) = 0

ax² + bx + c₁ = 0.

То есть мы, собственно, получили квадратное уравнение.

Ещё пример:

ax² + bx + c = mx + n

ax² + bx + c — mx — n = 0

ax² + bx — mx + c — n = 0

ax² + (b — m) x + (c — n) = 0

ax² + b₁ x + c₁ = 0.

Таким образом, уравнения двух приведённых выше видов

ax² + bx + c = m и ax² + bx + c = mx + n есть смысл назвать сводящимися к квадратным. То есть, если в правой части стоит многочлен с одной (той же, что и в левой части!) неизвестной степени не выше первой, то с помощью соответствующих преобразований квадратное уравнение мы получим без проблем.

Если же в правой части будет стоять многочлен с одной неизвестной второй степени, то квадратное уравнение может и не получиться.

Ситуация первая: ax² + bx + c =ay² + by + c.

Как бы ни старались, квадратного уравнения мы не получим. Неизвестных две, и это равенство не входит в множество математических объектов «квадратные уравнения». Вывод: неизвестная правой части должна быть такой же, что и в левой!

Ситуация вторая. Преобразуйте самостоятельно, например, два следующих уравнения:

ax² + bx + c = kx² + mx + n

ax² + bx + c = ax² + mx + n.

Получилось ли у вас квадратное уравнение в первом случае? А во втором? Как будет называться уравнение, которое сведётся не к квадратному?

Определите условие, при котором уравнение такого вида всё-таки будет сводиться к квадратному⁴.

Как ещё один пример рассмотрите уравнение

x² — 9 = (x — 5) (x +7).

Таким образом, наличие второй степени неизвестной в записи уравнения не всегда будет означать, что оно квадратное.

Очевидно, что если в правой части стоит многочлен с одной переменной степени выше второй, то квадратного уравнения мы ни при каких условиях не получим.

Итак, есть квадратные уравнения, а есть уравнения, сводящиеся к квадратным.

Квадратное уравнение — это уравнение такого вида:

a * x² + b * x + с = 0.

Кроме переменных, в таком уравнении присутствуют и коэффициенты. Каждый из коэффициентов имеет свое название:

— a называется старшим коэффициентом, или первым, также, коэффициентом при x²;

— b называется средним коэффициентом, или вторым, также, коэффициентом при x;

— с — это свободный член.

Если дано квадратное уравнение, но не в виде стандартного трехчлена, то необходимо привести его к такому виду и только тогда находить старший коэффициент. Если в уравнении нет значения x², но есть только x, значит, старший коэффициент равен 0.