Как посчитать степень
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Как посчитать степень
Для того чтобы возвести любое число в любую степень воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Просто введите число и степень, в которую хотите его возвести, и получите ответ.
Теория
Возведение в степень – это математическая операция, при которой число умножается само на себя энное количество раз в зависимости от значения степени.
Формула
an=a⋅a⋅a…и так n-раз
Пример
К примеру, возведём число 2 в 3-ю степень:
23 = 2⋅2⋅2 = 4⋅2 = 8
Как посчитать отрицательную степень
Возведение в отрицательную (минусовую) степень происходит по следующей формуле:
Формула
a-n = 1/an
Пример
К примеру, возведём число 2 в −3-ю степень:
2-3 = 1/(2⋅2⋅2) = 1/(4⋅2) = 1/8 = 0,125
Как посчитать дробную степень
Возведение числа в дробную степень происходит по следующей формуле:
Формула
an/m = m√an
Пример
К примеру, возведём число 4 в степень 0.5:
40.5 = 4½ = 2√41 = 2
Теперь пример посложней: возведём число 2 в степень ¾:
2¾ = 4√23 ≈ 1.6817
См. также
В статье мы введём понятие степени числа, на простых и понятных примерах объясним, что такое степень с целым показателем, натуральным, рациональным, действительным и иррациональным. Заодно покажем несколько поучительных примеров и задач, которые помогут читателю лучше понять и полнее уяснить тему.
Степень с натуральным показателем
Определение 1 + формула
Степенью числа a с натуральным показателем n называют число, полученное в результате умножения числа a самого на себя n количество раз. В виде формулы выше сказанное можно записать так:
[a^{n}=a*a* ldots * a]
Читается запись, как «a» в степени «n». Для a2 и для a3 можно сказать «a в степени два» и «a в степени три» или «a во второй степени» и «a в третьей степени». Однако гораздо чаще говорят: «a в квадрате» и «a в кубе». Это устоявшиеся, общеупотребительные названия. Например, «3 в квадрате» или «7 в кубе». Формулировки типа «3 в степени два» и «7 в степени три» ошибочными не считаются, но употребляются гораздо реже, a называется основанием степени.
Запомните, n обозначает количество множителей, то, сколько раз a нужно само на себя перемножить.
Примеры 1 — 6
47 читается, как «четыре в седьмой степени». В виде произведения 47 может быть записано, как 4*4*4*4*4*4*4. При этом 4 является основанием, а 7 её показателем.
193. Может быть прочтено, как «19 в кубе». Оба прочтения будут одинаково верными.
(8,234)5. Читается, как «8,234 в пятой степени». Обратите внимание, в данном случае основанием является десятичная дробь.
(2/5)9 . Здесь основанием будет обычная дробь, она правильная.
(43/7)3 тоже отвечает определению. Из указанного примера видно, что основанием может быть и не правильная дробь.
Записи (8(3/7))8, (-5/9)5. (√3)7, (-√8)2 есть степени с целым n. Однако надо понимать разницу между (-5)3 и –53. Первое является степенью отрицательного числа, а второе можно записать как –(53). Оно соответствует числу, которое противоположно 53.
Отдельно рассмотрим пример, когда n равен 1. Любое число с ним можно записать в виде a1. Некоторые почему-то считают, что этом случае следует выполнить умножение столько раз, сколько указано в показателе. На самом деле ничего умножать не нужно. Степень любого числа с n равным 1 будет самим этим числом.
Т. е. 561 = 56, (1/456)1 равно 1/456, (-86)1 равно -86.
Запись 0n тоже имеет право на существование. По сути она означает, что нуль нужно помножить на себя самого n раз. Умножение на нуль всегда даёт нуль. Получается, любая степень с основанием нуль, независимо от её показателя всегда будет равна нулю.
Значительно реже всех выше перечисленных случаев встречается запись типа a^n. Она соответствует записи an.
Примеры 7 — 9
9^8 читается, как «9 в восьмой степени», n может быть и многозначным числом.
5^(237). Читается, как «5 в двести тридцать седьмой степени».
Выражения 78,4, (3/56)1/2, 8 √3 не являются степенями с натуральным показателем.
Запомните, основанием степени с натуральным n может быть практически любое число (хоть дробь, хоть корень и т. д.), а вот в показателе должно обязательно находиться натуральное число, т. е. не дробное и не отрицательное.
Основные свойства степени с натуральным показателем
Они следующие:
- Когда происходит умножение степеней с равным основанием, то оно остаётся прежним. Показатели при этом складываются.
am*an = am+n
- Когда степени с одинаковыми основаниями делятся, то основание сохраняется прежним, а показатели вычитаются.
am/an = am-n При этом m > n и a не равно нулю.
- Когда степень возводят в степень, то основание не меняют, а сами степени перемножаются.
(am)n = am*n
- Если в степень возводится дробь, то в неё возводится как числитель дроби, так и её знаменатель.
(a/b)n = an/bn При этом b не должно быть равно нулю.
Примеры 10 — 12
21*22*23. Складываем 1, 2 и 3. В итоге 21+2+3=26
(-3/7)5: (-3/7)3. Из 5 вычитаем 3. В результате имеем (-3/7)5-3 = (-3/7)2.
Нужно возвести в степень выражение (a2*b3)4. Сначала на 4 умножаем 2, затем 3. Итогом будет выражение a8b12.
О сравнении степеней
Если сравниваемые степени имеют равные основания, большие числа 1, то большим считается та из них, у которой показатель степени выше.
Примеры 13 — 16
Какое из чисел больше: 217 или 227. Основания одинаковые, но 27 больше, чем 17. 27>17. Значит 227 больше, чем 217.
Если n одинаковые, но основание находится в промежутке от 0 до 1, то большим будет степень, у которой показатель меньше.
Сравнить числа (0,3)11 и (0,3)7. Основание больше ноля, но не доходит до единицы. Значит, в отличие от предыдущего примера, здесь всё наоборот. Большим будет считаться число, с меньшим показателем. Т. к. 11>7, то (0,3)11<(0,3)7.
Если n одинаковые, а основания разные, то большим будет то, у которого больше основание.
Сравнить между собой числа 73 и 153. 15 >7, значит 153 больше, чем 73.
Если различаются и показатели, и основания, то числа, посредством тех или иных преобразований, сначала приводят к вида, когда у них либо то, либо другое одинаково, а уже потом сравнивают по приведённым выше правилам.
Выясните, какое из чисел больше 3200 или 2300.
2300 = 23*100 = (23)100 =8100
3200 = 32*100 = (32)100 = 9100
9 больше, чем 8. Значит 9100 больше 8100.
Соответственно 3200 будет больше, чем 2300.
Степень с целым показателем
Определение 2
Степенью с целым показателем называется степень, показателем которой является любое целое число. Это своего рода расширение множества чисел с натуральным показателем. К последним прибавляются числа с отрицательным значением и ноль.
Рассмотрим степень с целым отрицательным n. Любое число вида a-n можно представить в виде 1/an. При этом a не должно быть равно нулю. n может быть любым натуральным числом.
Примеры 17 — 18
7-5 не является степенью с натуральным показателем, но в то же самое время является степенью с целым показателем. Примечательно, что равное ему число (1/7)5 будет степенью с целым n. Мы рассматриваем 7-5 и (1/7)5, как равные, но, всё-таки, разные числа.
(4/5)-1 можно представить как 1/(4/5)1.
Сложнее дело обстоит с понятием нулевой степени. Чтобы её объяснить, ещё раз приведём правило по делению степеней с равными основаниями.
Правило 1
Равенство am/an = am-n остаётся верным лишь в том случае, когда m и n будут натуральными числами, m < n и a не равно нулю. Последнее условие позволяет нам избежать деления на нуль. Если m и n окажутся равными, то мы придём к результату (an/an) = an-n = a0
Т. е. при делении степеней, которые имеют одно и тоже основание из показателя делимого следует вычесть n делителя. В случае, когда и они одинаковы, например, если a3 разделить на a3, мы получим a0.
Как известно из курса элементарной математики, частное от деления любого числа на самого себя всегда равно единице. Из этого напрямую следует, что нулевая степень любого числа всегда равна 1.
Пример 19
70= 1, -50= 1, (3/5)0 = 1, (√8)0 = 1, (7567776)0 = 1.
Несколько неожиданным для многих является тот факт, что ноль в степени ноль тоже равен единице 00 = 1. Положение осложняет тот факт, что на ноль делить нельзя. Так откуда же тогда взяли, что нулевая степень нуля есть 1.
На самом деле, хотя на ноль никакое число не делится, оно может делится на сколь угодно малое, т. е. близкое к нулю число. В высшей математике доказывается, что предел (a/a), когда a является бесконечно малой величиной, действительно стремится к 1.
Свойства степени с целым показателем практически ничем не отличаются от её свойств с натуральным. Нужно только помнить, что в показателе появляются отрицательные числа и их следует складывать и вычитать по строго определённым для этого правилам.
Примеры 20 — 21
57* 5-3= 57-3 = 54.
84/8-2 = 84-(-2)= 86.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Степень с рациональным показателем
Определение 3
Степенью с рациональным показателем называется степень, показатель которой, есть рациональное число, т. е. помимо целых и отрицательных значений, может иметь ещё и дробные. Записывается это в виде am/n. Из определения дробной степени известно, что am/n можно записать в виде n√am. n не должно быть равно нулю, ведь на ноль делить нельзя.
Если m и n делятся нацело, то получаем степень с целым показателем. Если при этом ещё и частное от деления больше нуля, то получим степень с натуральным.
Правило 2
Любое число am * k/n *k можно заменить на am/n.
Теперь о том, почему в дроби требуется замена сократимого показателя на несократимый. Если этого не делать, то может возникнуть, например, следующая ситуация:
(-1)6/10 = (-1)2/5, однако, если посчитать получится
(-1)6/10 = 10√(-1)6 = 10√1 = 1.
(-1)3/5 = 5√(-1)3 = 5√(-1) = -1
Примеры степеней с рациональным n: (31/2), 75/4, 74/2. Основание может быть и многозначным числом, в частности, 128-2/7 тоже степень с рациональным.
Примеры 22 — 24
-161/4 является степенью с рациональным показателем.
(-16)1/4 смысла не имеет. Оно равносильно выражению 4√(-16). Какое число нужно возвести в четвёртую степень, чтобы получить -16 ? Ответ – никакое. Такого числа не существует.
Казалось бы, √(-8) имеет право на существование. Оно равно -2 И действительно, можно записать (-8)1/3= -2. Однако, если мы запишем 1/3.
по-другому, то результат окажется совершенно иным. Смотрите:
(-8)1/3 = (-8)2/6 = 6√(-8)2 = 6√(64) = 2.
Получается парадокс, поэтому запись √(-8) лишено смысла.
Из примеров выше становится ясно, что извлечение чётных корней из отрицательных чисел категорически запрещено.
Не будет ошибкой замена любого из дробных показателей смешанным (например, 52,1 на 52(1/10), однако, чтобы не запутаться, при проведении вычислений, всегда, когда это возможно, лучше заменяйте подобные числа и корень числа дробной степенью. Это делает запись более наглядной и позволяет избежать многих ошибок.
Свойства степени с рациональным показателем аналогичны с натуральным или целым n, только дело приходится иметь с дробями. В первую очередь это касается деления и перемножения степеней с одинаковыми основаниями, а также их сравнения. Вспомните, как оно проводится для обыкновенных дробей.
пример 25
72/3 * 78/4 = 732/12 = 716/6
Степень числа с иррациональным показателем
Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно разобраться в том, что является иррациональным числом. Любое рациональное число допускает его представление в виде бесконечной периодической десятичной дроби либо как обыкновенную дробь типа (m/n). Об иррациональных числах этого не скажешь. Десятичные дроби, с помощью которых выражаются иррациональные числа, бесконечны и апериодичны. Примерами иррациональных чисел являются √7, число [pi], √2 + √3.
Строится степень с рациональным n с помощью так называемого предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями. Они с недостатком либо с избытком приближаются к степени иррациональным n.
Покажем как это происходит. Пусть нам дано иррациональное число a.
a0 = 1,6 , a1 = 1,67, a2 = 1,671…
a0 = 1,67, a1 = 1,6717, a2 = 1,671753…
И т. д. Заметьте – сами приближения, это рациональные числа.
Последовательности приближений нам нужно поставить в соответствие последовательность степеней αa0, αa1, αa2. Значения этих степеней можно подсчитать.
a = 1,67175331. Пусть для примера у нас будет α = 3
Тогда получается αa0 = 3,167; αa1 = 3,16717; αa2= 3,1671753 и т. д.
Указанная последовательность сводится к числу, которое окажется значением степени с основанием α и иррациональным показателем a. После некоторой работы в итоге получаем 31,67175331 = 6,27.
Свойства у степени с иррациональным n в целом такие же, как рациональным. В частности, сложение показателей при перемножении, сравнение иррациональных степеней происходят аналогичным образом. Нужно только иметь в виду, что при бесконечности и апериодичности иррациональной дроби вы имеете дело с приближёнными с той или иной точностью значениями. Впрочем, в зависимости от поставленной задачи, нужной точности достичь можно в любом случае. Очень осторожны будьте с приближениями. У новичков здесь очень часто случаются ошибки. После некоторого опыта и практики действия совершаются автоматически. Старайтесь на первых порах порешать как можно больше примеров. Пусть они кажутся вам однотипным, но навык отточить и закрепить позволяют.
Степень числа
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 215.
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 215.
Степень – это еще один тема в изучении арифметических действий. Первой было сложение и вычитание, второй – умножение и деление, третьей станет возведение в степень и извлечение корня. Знание степеней и их свойств позволяет значительно ускорить счет, а зачастую без этих знаний не обойтись при решении уравнений математики 5 класса.
Определение
Что значит возвести в степень? Это значит умножить число само на себя какое-то количество раз. Какое именно – показывает показатель степени. Сама степень состоит из двух частей. Основание – это то число, которое мы будем умножать само на себя. Показатель – это число, показывающее сколько раз число нужно умножить само на себя. Вот и вся формула степени числа.
Понимание разных частей формулы степени обязательно. Поскольку без него будет трудно в дальнейшем понять, что же такое логарифм.
Например, ${2^3}$ – означает, что число 2 нужно умножить само на себя 3 раза.
$$2^3=2*2*2=8$$
Чаще всего возводится в квадрат, потому что числа в квадрате очень часто применяются в физических и математических вычислениях. Но и более высокие степени есть и нужно уметь их вычислять. Специально для квадратов и кубов составлены краткие таблицы, которые позволяют быстро вычислить то или иное значение степени, без вычислений по возведению.
Свойство степеней
У степени всего 6 свойств. Для каждого из них есть буквенная формулировка.
- Если делятся степени с одинаковым основанием, то основание остается прежним, а степени вычитаются.
$$5^8 : 5^3=5^{8-3}=5^5$$
- Если степень числа возводится в степень, то основание остается прежним, а степени числа перемножаются.
$$(5^8)^3=5^{8*3}=5^{24}$$
- Если числа в скобке перемножаются, а сама скобка возводится в степень, то каждый множитель возводится в степень.
$$(5*11)^{14}=5^{14}*11^{14}$$
- Если в степень возводится дробь, то в степень возводится числитель и знаменатель дроби.
$$({3over5})^7={3^7over5^7}$$
- Отрицательный знак показателя означает, что в степень возводится дробь, знаменатель которой равен основанию степени, а числитель единице
$$3^{-5}=({1over3})^5={1over(3^5)}$$
- Дробный показатель степени означает, что из основания нужно извлечь корень той же степени, что и знаменатель, и возвести в ту же степень, что и числитель.
$$3^{3over2}= sqrt{3^2}$$
Свойства это хороший вариант быстро подсчитать результат больших чисел. Найти число в степени не так трудно, особенно с современными калькуляторами и таблицами степеней. А вот понять, какое именно число и в какую степень возводить, это уже задача для человеческого ума.
Корень
Обратное действие для возведения в степень это извлечение корня. Извлечение корня подразумевает под собой необходимость узнать, какое число возводили в ту или иную степень, чтобы получилось искомое число.
Если мы ищем квадратный корень из 4, то необходимо узнать, какое натуральное число возводилось в квадрат для получения числа 4.
$$sqrt{4}=2$$
Что мы узнали?
Мы дали определение степени числа, разобрали, как расписывается степень в выражениях. Определили 6 свойств степени, привели формулировку и буквенную запись для каждой из них. Поговорили об обратном для степени действии – корне, о его значении и способах вычисления.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Лаки Сахалина
4/5
-
Лада Суркова
5/5
-
Telefoshka Pushkina
4/5
-
Таня Фомченко
5/5
Оценка статьи
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 215.
А какая ваша оценка?
Возведение в степень, формула
Формула возведения в степень
Степенью числа a с показателем n, называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен a.
a — действительное число,
n — натуральное число.
Калькулятор возведения в степень онлайн
Правило возведения в степень
Степень показывает количество раз, которое некое число умножается на себя. Она обозначается малой цифрой (показателем степени) справа вверху от основного числа (основани степени).
Возведение в степень — действие нахождения степени:
Умножение числа на себя один раз называется возведением числа в квадрат.
Умножение числа на себя два раза называется возведением в куб.
Свойства возведения в степень
1. Если отрицательно число возвести в четную степень, то получим положительное число.
Пример
(-3)34 > 0;
(-5)88 > 0.
2.Если отрицательное число возвести в нечетную степень, то получим отрицательное число.
Пример
(-3)33 < 0;
(-5)81 < 0.
! Возведение в степень — действие третьей ступени, его выполняют перед действиями второй ступени (умножением и делением) и первой ступени (сложением и вычитанем).
Возведение в степень примеры
1. x3 = x • x • x ;
a = x ;
2. k5 = k • k • k • k • k ;
a = k ;
3. 181 = 18 ;
a = 18;
4. 118 = 1;
a = 1 ;
5. 0 7 = 0;
a = 0;
6. 53 = 5 • 5 • 5 = 125 ;
a = 5 ;
7. 74 = 7 • 7 • 7 • 7 = 2 401 ;
a = 5 ;