Как найти степень числа примеры - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Что такое степень?

Степенью называют произведение из нескольких одинаковых множителей. Например:

2 × 2 × 2

Значение данного выражения равно 8

2 × 2 × 2 = 8

Левую часть этого равенства можно сделать короче – сначала записать повторяющийся множитель и указать над ним сколько раз он повторяется. Повторяющийся множитель в данном случае это 2. Повторяется он три раза. Поэтому над двойкой записываем тройку:

2³ = 8

Это выражение читается так: «два в третьей степени равно восемь» или «третья степень числа 2 равна 8».

Короткую форму записи перемножения одинаковых множителей используют чаще. Поэтому надо помнить, что если над каким-то числом надписано другое число, то это есть перемножение нескольких одинаковых множителей.

Например, если дано выражение 5³, то следует иметь ввиду, что это выражение равносильно записи 5 × 5 × 5.

Число, которое повторяется называют основанием степени. В выражении 5³основанием степени является число 5.

А число, которое надписано над числом 5 называют показателем степени. В выражении 5³показателем степени является число 3. Показатель степени показывает сколько раз повторяется основание степени. В нашем случае основание 5 повторяется три раза

Саму операцию перемножения одинаковых множителей называют возведением в степень.

Например, если нужно найти произведение из четырёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, то говорят, что число 2 возводится в четвёртую степень:

Видим, что число 2 в четвёртой степени есть число 16.

Отметим, что в данном уроке мы рассматриваем степени с натуральным показателем. Это вид степени, показателем которой является натуральное число. Напомним, что натуральными называют целые числа, которые больше нуля. Например, 1, 2, 3 и так далее.

Вообще, определение степени с натуральным показателем выглядит следующим образом:

Степень числа a с натуральным показателем n — это выражение вида aⁿ, которое равно произведению n множителей, каждый из которых равен a

Примеры:

Следует быть внимательным при возведении числа в степень. Часто по невнимательности человек умножает основание степени на показатель.

Например, число 5 во второй степени есть произведение двух множителей каждый из которых равен 5. Это произведение равно 25

Теперь представим, что мы по невнимательности умножили основание 5 на показатель 2

Получилась ошибка, поскольку число 5 во второй степени не равно 10.

Дополнительно следует упомянуть, что степень числа с показателем 1, есть само это число:

Например, число 5 в первой степени есть само число 5

Соответственно, если у числа отсутствует показатель, то надо считать, что показатель равен единице.

Например, числа 1, 2, 3 даны без показателя, поэтому их показатели будут равны единице. Каждое из этих чисел можно записать с показателем 1

А если возвести 0 в какую-нибудь степень, то получится 0. Действительно, сколько бы раз ничего не умножалось на само себя получится ничего. Примеры:

А выражение 0⁰ не имеет смысла. Но в некоторых разделах математики, в частности анализе и теории множеств, выражение 0⁰ может иметь смысл.

Для тренировки решим несколько примеров на возведение чисел в степени.

Пример 1. Возвести число 3 во вторую степень.

Число 3 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 3

3² = 3 × 3 = 9

Пример 2. Возвести число 2 в четвертую степень.

Число 2 в четвертой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен 2

2⁴ =2 × 2 × 2 × 2 = 16

Пример 3. Возвести число 2 в третью степень.

Число 2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 2

2³ =2 × 2 × 2 = 8

Возведение в степень числа 10

Чтобы возвести в степень число 10, достаточно дописать после единицы количество нулей, равное показателю степени.

Например, возведем число 10 во вторую степень. Сначала запишем само число 10 и в качестве показателя укажем число 2

10²

Теперь ставим знак равенства, записываем единицу и после этой единицы записываем два нуля, поскольку количество нулей должно быть равно показателю степени

10² = 100

Значит, число 10 во второй степени это число 100. Связано это с тем, что число 10 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 10

10² = 10 × 10 = 100

Пример 2. Возведём число 10 в третью степень.

В данном случае после единицы будут стоять три нуля:

10³ = 1000

Пример 3. Возведем число 10 в четвёртую степень.

В данном случае после единицы будут стоять четыре нуля:

10⁴ = 10000

Пример 4. Возведем число 10 в первую степень.

В данном случае после единицы будет стоять один нуль:

10¹ = 10

Представление чисел 10, 100, 1000 в виде степени с основанием 10

Чтобы представить числа 10, 100, 1000 и 10000 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать число, равное количеству нулей исходного числа.

Представим число 10 в виде степени с основанием 10. Видим, что в нём один нуль. Значит, число 10 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10¹

10 = 10¹

Пример 2. Представим число 100 в виде степени основанием 10. Видим, что число 100 содержит два нуля. Значит, число 100 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10²

100 = 10²

Пример 3. Представим число 1 000 в виде степени с основанием 10.

1 000 = 10³

Пример 4. Представим число 10 000 в виде степени с основанием 10.

10 000 = 10⁴

Возведение в степень отрицательного числа

При возведении в степень отрицательного числа, его обязательно нужно заключить в скобки.

Например, возведём отрицательное число −2 во вторую степень. Число −2 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен (−2)

(−2)² = (−2) × (−2) = 4

Если бы мы не заключили в скобки число −2, то получилось бы что мы вычисляем выражение −2², которое не равно 4. Выражение −2² будет равно −4. Чтобы понять почему, коснёмся некоторых моментов.

Когда мы ставим перед положительным числом минус, мы тем самым выполняем операцию взятия противоположного значения.

Допустим, дано число 2, и нужно найти его противоположное число. Мы знаем, что противоположное числу 2 это число −2. Иными словами, чтобы найти противоположное число для 2, достаточно поставить минус перед этим числом. Вставка минуса перед числом уже считается в математике полноценной операцией. Эту операцию, как было указано выше, называют операцией взятия противоположного значения.

В случае с выражением −2² происходит две операции: операция взятия противоположного значения и возведение в степень. Возведение в степень является более приоритетной операцией, чем взятие противоположного значения.

Поэтому выражение −2² вычисляется в два этапа. Сначала выполняется операция возведения в степень. В данном случае во вторую степень было возведено положительное число 2

Затем выполнилось взятие противоположного значения. Это противоположное значение было найдено для значения 4. А противоположное значение для 4 это −4

−2² = −4

Скобки же имеют самый высокий приоритет выполнения. Поэтому в случае вычисления выражения (−2)² сначала выполняется взятие противоположного значения, а затем во вторую степень возводится отрицательное число −2. В результате получается положительный ответ 4, поскольку произведение отрицательных чисел есть положительное число.

Пример 2. Возвести число −2 в третью степень.

Число −2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен (−2)

(−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Пример 3. Возвести число −2 в четвёртую степень.

Число −2 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен (−2)

(−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Легко заметить, что при возведении в степень отрицательного числа может получиться либо положительный ответ либо отрицательный. Знак ответа зависит от показателя исходной степени.

Если показатель степени чётный, то ответ будет положительным. Если показатель степени нечётный, ответ будет отрицательным. Покажем это на примере числа −3

В первом и в третьем случае показатель был нечётным числом, поэтому ответ стал отрицательным.

Во втором и в четвёртом случае показатель был чётным числом, поэтому ответ стал положительным.

Пример 7. Возвести число −5 в третью степень.

Число −5 в третьей степени это произведение трёх множителей каждый из которых равен −5. Показатель 3 является нечётным числом, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет отрицательным:

(−5)³ = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Пример 8. Возвести число −4 в четвёртую степень.

Число −4 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен −4. При этом показатель 4 является чётным, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет положительным:

(−4)⁴ = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Нахождение значений выражений

При нахождении значений выражений, не содержащих скобки, возведение в степень будет выполняться в первую очередь, далее умножение и деление в порядке их следования, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.

Пример 1. Найти значение выражения 2 + 5²

Сначала выполняется возведение в степень. В данном случае во вторую степень возводится число 5 — получается 25. Затем этот результат складывается с числом 2

2 + 5² = 2 + 25 = 27

Пример 10. Найти значение выражения −6² × (−12)

Сначала выполняется возведение в степень. Заметим, что число −6 не взято в скобки, поэтому во вторую степень будет возведено число 6, затем перед результатом будет поставлен минус:

−6² × (−12) = −36 × (−12)

Завершаем пример, умножив −36 на (−12)

−6² × (−12) = −36 × (−12) = 432

Пример 11. Найти значение выражения −3 × 2²

Сначала выполняется возведение в степень. Затем полученный результат перемножается с числом −3

−3 × 2² = −3 × 4 = −12

Если выражение содержит скобки, то сначала нужно выполнить действия в этих скобках, далее возведение в степень, затем умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Пример 12. Найти значение выражения (3² + 1 × 3) − 15 + 5

Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок применяем ранее изученные правила, а именно сначала возводим во вторую степень число 3, затем выполняем умножение 1 × 3, затем складываем результаты возведения в степень числа 3 и умножения 1 × 3. Далее выполняется вычитание и сложение в порядке их следования. Расставим такой порядок выполнения действия над исходным выражением:

(3² + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2

Пример 13. Найти значение выражения 2 × 5³ + 5 × 2³

Сначала возведем числа в степени, затем выполним умножение и сложим полученные результаты:

2 × 5³ + 5 × 2³ = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290

Тождественные преобразования степеней

Над степенями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым упрощая их.

Допустим, потребовалось вычислить выражение (2³)². В данном примере два в третьей степени возводится во вторую степень. Иными словами, степень возводится в другую степень.

(2³)² это произведение двух степеней, каждая из которых равна 2³

При этом каждая из этих степеней является произведением трёх множителей, каждый из которых равен 2

Получили произведение 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, которое равно 64. Значит значение выражения (2³)² или равно 64

Этот пример можно значительно упростить. Для этого показатели выражения (2³)² можно перемножить и записать это произведение над основанием 2

Получили 2⁶. Два в шестой степени это произведение шести множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение равно 64

Данное свойство работает по причине того, что 2³ это произведение 2 × 2 × 2, которое в свою очередь повторяется два раза. Тогда получается, что основание 2 повторяется шесть раз. Отсюда можно записать, что 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 это 2⁶

Вообще, для любого основания a с показателями m и n, выполняется следующее равенство:

(aⁿ)^m = a^n × m

Это тождественное преобразование называют возведением степени в степень. Его можно прочитать так: «При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают».

После перемножения показателей, получится другая степень, значение которой можно найти.

Пример 2. Найти значение выражения (3²)²

В данном примере основанием является 3, а числа 2 и 2 являются показателями. Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Основание оставим без изменений, а показатели перемножим:

Получили 3⁴. А число 3 в четвёртой степени есть 81

Рассмотрим остальные преобразования.

Умножение степеней

Чтобы перемножить степени, нужно по отдельности вычислить каждую степень, и полученные результаты перемножить.

Например, умножим 2² на 3³.

2² это число 4, а 3³ это число 27. Перемножаем числа 4 и 27, получаем 108

2² × 3³ = 4 × 27 = 108

В этом примере основания степеней были разными. В случае, если основания будут одинаковыми, то можно записать одно основание, а в качестве показателя записать сумму показателей исходных степеней.

Например, умножим 2² на 2³

В данном примере основания у степеней одинаковые. В этом случае можно записать одно основание 2 и в качестве показателя записать сумму показателей степеней 2² и 2³. Иными словами, основание оставить без изменений, а показатели исходных степеней сложить. Выглядеть это будет так:

Получили 2⁵. Число 2 в пятой степени есть 32

Данное свойство работает по причине того, что 2² это произведение 2 × 2, а 2³ это произведение 2 × 2 × 2. Тогда получается произведение из пяти одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение представимо в виде 2⁵

Вообще, для любого a и показателей m и n выполняется следующее равенство:

Это тождественное преобразование носит название основного свойства степени. Его можно прочитать так: «При перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают».

Отметим, что данное преобразование можно применять при любом количестве степеней. Главное, чтобы основание было одинаковым.

Например, найдем значение выражения 2¹ × 2² × 2³. Основание 2 оставим без изменений, а показатели сложим:

В некоторых задачах достаточным бывает выполнить соответствующее преобразование, не вычисляя итоговую степень. Это конечно же очень удобно, поскольку вычислять большие степени не так-то просто.

Пример 1. Представить в виде степени выражение 5⁸ × 25

В данной задаче нужно сделать так, чтобы вместо выражения 5⁸ × 25 получилась одна степень.

Число 25 можно представить в виде 5². Тогда получим следующее выражение:

В этом выражении можно применить основное свойство степени — основание 5 оставить без изменений, а показатели 8 и 2 сложить:

Задачу можно считать решённой, поскольку мы представили выражение 5⁸ × 25 в виде одной степени, а именно в виде степени 5¹⁰.

Запишем решение покороче:

Пример 2. Представить в виде степени выражение 2⁹ × 32

Число 32 можно представить в виде 2⁵. Тогда получим выражение 2⁹ × 2⁵. Далее можно применить основание свойство степени — основание 2 оставить без изменений, а показатели 9 и 5 сложить. В результате получится следующее решение:

Пример 3. Вычислите произведение 3 × 3, используя основное свойство степени.

Все хорошо знают, что три умножить на три равно девять, но задача требует в ходе решения воспользоваться основным свойством степени. Как это сделать?

Вспоминаем, что если число дано без показателя, то показатель нужно считать равным единице. Стало быть сомножители 3 и 3 можно записать в виде 3¹ и 3¹

3¹ × 3¹

Теперь воспользуемся основным свойством степени. Основание 3 оставляем без изменений, а показатели 1 и 1 складываем:

3¹ × 3¹ = 3²

Далее вычисляем значение выражения. Число 3 во второй степени равно числу 9

3¹ × 3¹ = 3² = 9

Пример 4. Вычислите произведение 2 × 2 × 3² × 3³, используя основное свойство степени.

Произведение 2 × 2 заменим на 2¹ × 2¹, затем на 2^1 + 1, а затем на 2². Произведение 3² × 3³ заменим на 3^2 + 3, а затем на 3⁵

Далее вычисляем значение каждой степени и находим произведение:

Пример 5. Выполнить умножение x × x

Это два одинаковых буквенных сомножителя с показателями 1. Для наглядности запишем эти показатели. Далее основание x оставим без изменений, а показатели сложим:

Находясь у доски, не следует записывать перемножение степеней с одинаковыми основаниями так подробно, как это сделано здесь. Такие вычисления нужно выполнять в уме. Подробная запись скорее всего будет раздражать учителя и он снизит за это оценку. Здесь же подробная запись дана, чтобы материал был максимально доступным для понимания.

Решение данного примера желательно записать так:

Пример 6. Выполнить умножение x² × x

Показатель второго сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:

Пример 7. Выполнить умножение y³y²y

Показатель третьего сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:

Пример 8. Выполнить умножение aa³a²a⁵

Показатель первого сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:

Пример 9. Представить степень 3⁸ в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.

В данной задаче нужно составить произведение степеней, основания которых будут равны 3, и сумма показателей которых будет равна 8. Можно использовать любые показатели. Представим степень 3⁸ в виде произведения степеней 3⁵ и 3³

В данном примере мы опять же опирались на основное свойство степени. Ведь выражение 3⁵ × 3³ можно записать как 3^5 + 3, откуда 3⁸.

Конечно можно было представить степень 3⁸ в виде произведения других степеней. Например, в виде 3⁷ × 3¹, поскольку это произведение тоже равно 3⁸

Представление степени в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями это по большей части творческая работа. Поэтому не нужно бояться экспериментировать.

Пример 10. Представить степень x¹² в виде различных произведений степеней с основаниями x.

Воспользуемся основным свойство степени. Представим x¹² в виде произведений с основаниями x, и сумма показателей которых равна 12

Конструкции с суммами показателей были записаны для наглядности. Чаще всего их можно пропустить. Тогда получится компактное решение:

Возведение в степень произведения

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в указанную степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты.

Например, возведём во вторую степень произведение 2 × 3. Возьмём в скобки данное произведение и в качестве показателя укажем 2

Теперь возведём во вторую степень каждый множитель произведения 2 × 3 и перемножим полученные результаты:

Принцип работы данного правила основан на определении степени, которое было дано в самом начале.

Возвести произведение 2 × 3 во вторую степень означает повторить данное произведение два раза. А если повторить его два раза, то можно получить следующее:

2 × 3 × 2 × 3

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Это позволяет сгруппировать одинаковые множители:

2 × 2 × 3 × 3

Повторяющиеся множители можно заменить на короткие записи — основания с показателями. Произведение 2 × 2 можно заменить на 2², а произведение 3 × 3 можно заменить на 3². Тогда выражение 2 × 2 × 3 × 3 обращается в выражение 2² × 3².

Пусть ab исходное произведение. Чтобы возвести данное произведение в степень n, нужно по отдельности возвести множители a и b в указанную степень n

Данное свойство справедливо для любого количества множителей. Следующие выражения также справедливы:

Пример 2. Найти значение выражения (2 × 3 × 4)²

В данном примере нужно возвести во вторую степень произведение 2 × 3 × 4. Чтобы сделать это, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты:

Пример 3. Возвести в третью степень произведение a × b × c

Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем число 3

Далее возводим в третью степень каждый множитель данного произведения:

Пример 4. Возвести в третью степень произведение 3xyz

Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем 3

(3xyz)³

Возведём в третью степень каждый множитель данного произведения:

(3xyz)³ = 3³x³y³z³

Число 3 в третьей степени равно числу 27. Остальное оставим без изменений:

(3xyz)³ = 3³x³y³z³ = 27x³y³z³

В некоторых примерах умножение степеней с одинаковыми показателями можно заменять на произведение оснований с одним показателем.

Например, вычислим значение выражения 5² × 3². Возведем каждое число во вторую степень и перемножим полученные результаты:

5² × 3² = 25 × 9 = 225

Но можно не вычислять по отдельности каждую степень. Вместо этого, данное произведение степеней можно заменить на произведение с одним показателем (5 × 3)². Далее вычислить значение в скобках и возвести полученный результат во вторую степень:

5² × 3² = (5 × 3)² = (15)² = 225

В данном случае опять же было использовано правило возведения в степень произведения. Ведь, если (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ, то aⁿ × bⁿ= (a × b)ⁿ. То есть левая и правая часть равенства поменялись местами.

Возведение степени в степень

Это преобразование мы рассматривали в качестве примера, когда пытались понять суть тождественных преобразований степеней.

При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают:

(aⁿ)^m = a^n × m

К примеру, выражение (2³)² является возведением степени в степень — два в третьей степени возводится во вторую степень. Чтобы найти значение этого выражения, основание можно оставить без изменений, а показатели перемножить:

(2³)² = 2^3 × 2 = 2⁶

Далее вычислить степень 2⁶, которая равна 64

(2³)² = 2^3 × 2 = 2⁶ = 64

Данное правило основано на предыдущих правилах: возведении в степень произведения и основного свойства степени.

Вернёмся к выражению (2³)². Выражение в скобках 2³ представляет собой произведение из трёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Тогда в выражении (2³)² степень, находящуюся внутри скобок можно заменить на произведение 2 × 2 × 2.

(2 × 2 × 2)²

А это есть возведение в степень произведения, которое мы изучили ранее. Напомним, что для возведения в степень произведения, нужно возвести в указанную степень каждый множитель данного произведения и полученные результаты перемножить:

(2 × 2 × 2)² = 2² × 2² × 2²

Теперь имеем дело с основным свойством степени. Основание оставляем без изменений, а показатели складываем:

(2 × 2 × 2)² = 2² × 2² × 2² = 2^{2 + 2 + 2} = 2⁶

Как и раньше получили 2⁶. Значение этой степени равно 64

(2 × 2 × 2)² = 2² × 2² × 2² = 2^{2 + 2 + 2} = 2⁶ = 64

В степень также может возводиться произведение, сомножители которого тоже являются степенями.

Например, найдём значение выражения (2² × 3²)³. Здесь показатели каждого множителя нужно умножить на общий показатель 3. Далее найти значение каждой степени и вычислить произведение:

(2² × 3²)³= 2^2×3 × 3^2×3 = 2⁶× 3⁶ = 64 × 729 = 46656

Примерно тоже самое происходит при возведении в степени произведения. Мы говорили, что при возведении в степень произведения, в указанную степень возводится каждый множитель этого произведения.

Например, чтобы возвести произведение 2 × 4 в третью степень, нужно записать следующее выражение:

Но ранее было сказано, что если число дано без показателя, то показатель надо считать равным единице. Получается, что множители произведения 2 × 4 изначально имеют показатели равные 1. Значит в третью степень возводилось выражение 2¹ × 4¹. А это есть возведение степени в степень.

Перепишем решение с помощью правила возведения степени в степень. У нас должен получиться тот же результат:

Пример 2. Найти значение выражения (3³)²

Основание оставляем без изменений, а показатели перемножаем:

Получили 3⁶. Число 3 в шестой степени есть число 729

Пример 3. Выполнить возведение в степень в выражении (xy)³

Возведём в третью степень каждый множитель произведения:

Пример 4. Выполнить возведение в степень в выражении (abc)⁵

Возведём в пятую степень каждый множитель произведения:

Пример 5. Выполнить возведение в степень в выражении (−2ax)³

Возведём в третью степень каждый множитель произведения:

Поскольку в третью степень возводилось отрицательное число −2, оно было взято в скобки.

Далее нужно вычислить то, что вычисляется. В данном случае можно вычислить (−2)³ — получится −8. Буквенная часть останется без изменений:

Пример 6. Выполнить возведение в степень в выражении (10xy)²

Пример 7. Выполнить возведение в степень в выражении (−5x)³

Пример 8. Выполнить возведение в степень в выражении (−3y)⁴

Пример 9. Выполнить возведение в степень в выражении (−2abx)⁴

Пример 10. Упростите выражение x⁵ × (x²)³

Степень x⁵ пока оставим без изменений, а в выражении (x²)³ выполним возведение степени в степени:

x⁵ × (x²)³ = x⁵ × x^2 × 3 = x⁵ × x⁶

Теперь выполним умножение x⁵× x⁶. Для этого воспользуемся основным свойством степени — основание x оставим без изменений, а показатели сложим:

x⁵ × (x²)³ = x⁵ × x^2× 3 = x⁵ × x⁶ = x^5 + 6 = x¹¹

Пример 9. Найти значение выражения 4³ × 2², используя основное свойство степени.

Основное свойство степени можно использовать в случае, если основания исходных степеней одинаковы. В данном примере основания разные, поэтому для начала исходное выражение нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы основания степеней стали одинаковыми.

Посмотрим внимательно на степень 4³. Основание у этой степени есть число 4, которое можно представить в виде 2². Тогда исходное выражение примет вид (2²)³ × 2². Выполнив возведение степени в степень в выражении (2²)³, мы получим 2⁶. Тогда исходное выражение примет вид 2⁶ × 2², вычислить которое можно, используя основное свойство степени.

Запишем решение данного примера:

Деление степеней

Чтобы выполнить деление степеней, нужно найти значение каждой степени, затем выполнить деление обыкновенных чисел.

Например, разделим 4³ на 2².

Вычислим 4³, получим 64. Вычислим 2², получим 4. Теперь разделим 64 на 4, получим 16

Если при делении степеней основания окажутся одинаковыми, то основание можно оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Например, найдем значение выражения 2³ : 2²

Основание 2 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

Значит, значение выражения 2³ : 2² равно 2.

Данное свойство основано на умножении степеней с одинаковыми основаниями, или как мы привыкли говорить на основном свойстве степени.

Вернемся к предыдущему примеру 2³ : 2². Здесь делимое это 2³, а делитель 2².

Разделить одно число на другое означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст в результате делимое.

В нашем случае, разделить 2³ на 2² означает найти такую степень, которая при умножении на делитель 2² даст в результате 2³. А какую степень можно умножить на 2², чтобы получить 2³ ? Очевидно, что только степень 2¹. Из основного свойства степени имеем:

Убедиться, что значение выражения 2³ : 2² равно 2¹ можно непосредственно вычислив само выражение 2³ : 2². Для этого сначала найдём значение степени 2³, получим 8. Затем найдём значение степени 2², получим 4. Разделим 8 на 4, получим 2 или 2¹, поскольку 2 = 2¹.

2³ : 2² = 8 : 4 = 2

Таким образом, при делении степеней с одинаковыми основаниями выполняется следующее равенство:

Может случиться и так, что одинаковыми могут оказаться не только основания, но и показатели. В этом случае в ответе получится единица.

Например, найдём значение выражения 2² : 2². Вычислим значение каждой степени и выполним деление получившихся чисел:

При решении примера 2² : 2² также можно применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получается число в нулевой степени, поскольку разность показателей степеней 2² и 2² равна нулю:

В математике принято считать, что любое число в нулевой степени есть единица:

Почему число 2 в нулевой степени равно единице мы выяснили выше. Если вычислить 2² : 2² обычным методом, не используя правило деления степеней, получится единица.

Пример 2. Найти значение выражения 4¹² : 4¹⁰

Воспользуемся правилом деления степеней. Основание 4 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

4¹² : 4¹⁰ = 4^{12 − 10} = 4² = 16

Пример 3. Представить частное x³ : x в виде степени с основанием x

Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя. Показатель делителя равен единице. Для наглядности запишем его:

Пример 4. Представить частное x³ : x² в виде степени с основанием x

Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

Деление степеней можно записывать в виде дроби. Так, предыдущий пример можно записать следующим образом:

Числитель и знаменатель дроби разрешается записывать в развёрнутом виде, а именно в виде произведений одинаковых множителей. Степень x³ можно записать как x × x × x, а степень x² как x × x. Тогда конструкцию x^3 − 2 можно будет пропустить и воспользоваться сокращением дроби. В числителе и в знаменателе можно будет сократить по два множителя x. В результате останется один множитель x

Или ещё короче:

Также, полезно уметь быстро сокращать дроби, состоящие из степеней. Например, дробь можно сократить на x². Чтобы сократить дробь на x² нужно числитель и знаменатель дроби разделить на x²

Деление степеней подробно можно не расписывать. Приведённое сокращение можно выполнить короче:

Или ещё короче:

Пример 5. Выполнить деление x¹² : x³

Запишем решение при помощи сокращения дроби. Деление степеней x¹² : x³ запишем в виде . Далее сократим данную дробь на x³.

Пример 6. Найти значение выражения

В числителе выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:

Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Основание 7 оставляем без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

Завершаем пример, вычислив степень 7²

Пример 7. Найти значение выражения

Выполним в числителе возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (2³)⁴

Теперь выполним в числителе умножение степеней с одинаковыми основаниями:

Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Значит, значение выражения равно 16

В некоторых примерах можно сокращать одинаковые множители в ходе решения. Это позволяет упростить выражение и само вычисление в целом.

Например, найдём значение выражения . Степень 4³ запишем в виде возведения степени в степень (2²)³. Тогда получим следующее выражение:

В числителе выполним возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (2²)³

В числителе и в знаменателе получившегося выражения содержится степень 2⁶, которую можно сократить на 2⁶

Видим, что в результате осталась единственная степень 3², значение которой равно 9.

Пример 8. Найти значение выражения

В знаменателе содержится произведение степеней с одинаковыми показателями. Согласно правилу возведения в степень произведения, конструкцию 7⁵ × 4⁵ можно представить в виде степени с одним показателем (7 × 4)⁵. Далее перемножим выражение в скобках, получим 28⁵. В результате исходное выражение примет следующий вид:

Теперь можно применить правило деления степеней:

Значит, значение выражения равно 28. Запишем решение полностью:

Возведение в степень обыкновенных дробей

Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень числитель и знаменатель этой дроби.

Например, возведём обыкновенную дробь во вторую степень. Возьмём в скобки данную дробь и в качестве показателя укажем 2

Если не брать в скобки всю дробь, то это равносильно возведению в степень только числителя данной дроби. Иными словами, если мы хотим возвести во вторую степень дробь , мы не должны записывать это как .

Итак, чтобы вычислить значение выражения , нужно возвести во вторую степень числитель и знаменатель данной дроби:

Получили дробь в числителе и в знаменателе которой содержатся степени. Вычислим каждую степень по отдельности

Значит обыкновенная дробь во второй степени равна дроби .

Приведённое правило работает следующим образом. Дробь во второй степень это произведение двух дробей, каждая из которых равна

Мы помним, что для перемножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели:

А поскольку в числителе и в знаменателе происходит перемножение одинаковых множителей, то выражения 2 × 2 и 3 × 3 можно заменить на 2² и 3² соответственно:

Откуда и получится ответ .

Вообще, для любого a и b ≠ 0 выполняется следующее равенство:

Это тождественное преобразование называют возведением в степень обыкновенной дроби.

Пример 2. Возвести дробь в третью степень

Заключим данную дробь в скобки и в качестве показателя укажем число 3. Далее возведём числитель и знаменатель данной дроби в третью степень и вычислим получившуюся дробь:

Отрицательная дробь возводится в степень таким же образом, но перед вычислениями надо определиться какой знак будет иметь ответ. Если показатель четный, то ответ будет положительным. Если показатель нечетный, то ответ будет отрицательным.

Например, возведём дробь во вторую степень:

Показатель является чётным числом. Значит ответ будет положительным. Далее применяем правило возведения в степень дроби и вычисляем получившуюся дробь:

Ответ положителен по причине того, что выражение представляет собой произведение двух сомножителей, каждый из которых равен дроби

А произведение отрицательных чисел (в том числе и рациональных) есть положительное число:

Если возводить дробь в третью степень, то ответ будет отрицательным, поскольку в данном случае показатель будет нечётным числом. Правило возведения в степень остаётся тем же, но перед выполнением этого возведения, нужно будет поставить минус:

Здесь ответ отрицателем по причине того, что выражение представляет собой произведение трёх множителей, каждый из которых равен дроби

Сначала перемножили и , получили , но затем умножив на мы получим отрицательный ответ

Пример 3. Найти значение выражения

Выполним возведение в степень обыкновенной дроби:

Далее вычислим значение получившегося выражения:

Возведение в степень десятичных дробей

При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки. Например, возведём во вторую степень десятичную дробь 1,5

Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень эту обыкновенную дробь. Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную:

Пример 2. Найти значение степени (−1,5)³

Показатель степени является нечётным числом. Значит ответ будет отрицательным

Пример 3. Найти значение степени (−2,4)²

Показатель степени является чётным числом. Значит ответ будет положительным:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 6. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 7. Представьте в виде степени произведение:

Решение:

Задание 8. Представьте в виде степени произведение:

Решение:

Задание 9. Представьте в виде степени произведение:

Решение:

Задание 10. Представьте в виде степени произведение:

Решение:

Задание 11. Представьте в виде степени произведение:

Решение:

Задание 12. Представьте в виде степени произведение:

Решение:

Задание 13. Представьте в виде степени частное:

Решение:

Задание 14. Представьте в виде степени частное:

Решение:

Задание 15. Представьте в виде степени частное:

Решение:

Задание 16. Представьте в виде степени частное:

Решение:

Задание 17. Представьте в виде степени частное:

Решение:

Задание 18. Представьте в виде степени частное и найдите значение получившейся степени при x = 3 и n = 2

Решение:

Задание 19. Представьте в виде степени частное:

Решение:

Задание 20. Сократите дробь на c¹

Решение:

Задание 21. Представьте в виде степени следующее произведение:

Решение:

Задание 22. Представьте в виде степени следующее произведение:

Решение:

Задание 23. Представьте в виде степени следующее произведение:

Решение:

Задание 24. Представьте в виде степени следующее произведение:

Решение:

Задание 25. Представьте в виде степени следующее произведение:

Решение:

Задание 26. Представьте следующую степень в виде произведения степеней:

Решение:

Задание 27. Представьте следующую степень в виде произведения степеней:

Решение:

Задание 28. Представьте следующую степень в виде произведения степеней:

Решение:

Задание 29. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения:

Решение:

Задание 30. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения:

Решение:

Задание 31. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения:

Решение:

Задание 32. Представьте в виде степени следующее выражение:

Решение:

Задание 33. Представьте в виде степени следующее выражение:

Решение:

Задание 34. Представьте в виде степени следующее выражение:

Решение:

Задание 35. Представьте в виде степени следующее выражение:

Решение:

Задание 36. Представьте в виде степени следующее выражение:

Решение:

Задание 37. Представьте в виде степени следующее выражение:

Решение:

Задание 38. Найдите значение следующего выражения:

Решение:

Задание 39. Найдите значение следующего выражения:

Решение:

Задание 40. Найдите значение следующего выражения:

Решение:

Задание 41. Найдите значение следующего выражения:

Решение:

Задание 42. Найдите значение следующего выражения:

Решение:

Задание 43. Найдите значение следующего выражения:

Решение:

Задание 44. Найдите значение следующего выражения:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается
понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями
(с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа.
Для записи произведения числа самого на себя несколько раз
применяют сокращённое обозначение.

Вместо
произведения шести одинаковых множителей
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут
4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁶

Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:

4 — основание степени;
⁶ — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и
показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запомните!

Степенью числа «a» с натуральным показателем «n»,
бóльшим 1, называется произведение «n»
одинаковых множителей, каждый из которых равен числу
«a».

Запись «aⁿ» читается так:
«а в степени
n» или «n-ая степень числа
a».

Исключение составляют записи:

a² — её можно произносить как «а в квадрате»;
a³ — её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

a² — «а во второй степени»;
a³ — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

Запомните!

Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
a¹ = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a⁰ = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0ⁿ = 0

Единица в любой степени равна 1.
1ⁿ = 1

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.

(−32)⁰ = 1
0²⁵³ = 0
1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в
степень.

Пример. Возвести в степень.

5³ = 5 · 5 · 5 = 125
2,5² = 2,5 · 2,5 = 6,25
()⁴
=
·

·

·

=

3 · 3 · 3 · 3

4 · 4 · 4 · 4

=

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым
числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!

При возведении в степень положительного числа
получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться
как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или
нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень,
то получается отрицательное число. Так как произведение
нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число.
Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в
чётную степень, есть число
положительное.

Отрицательное число, возведённое в
нечётную степень, — число
отрицательное.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a² ≥ 0 при любом a.

2 · (−3)² = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
−5 · (−2)³ = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи
(−5)⁴ и
−5⁴ это разные выражения. Результаты возведения
в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5)⁴ означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5)⁴ = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5⁴» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

Возвести в четвёртую степень положительное число 5.

5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить
действие вычитание).

−5⁴ = −625

Пример. Вычислить: −6² − (−1)⁴

−6² − (−1)⁴ = −37

6² = 6 · 6 = 36
−6² = −36
(−1)⁴ = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
−(−1)⁴ = −1
−36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют
вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в
конце сложение и вычитание.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках,
а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться
таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором
«Возведение в степень онлайн».

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

14 апреля 2020 в 14:01

Bmw Touring
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Bmw Touring
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Скажите пожалуйста почему или как получился такой ответ?
Как именно получилось 10⁴ ?
0,4 · 10^{5 =}4 · 10^{4
спасибо за внимание!}

0
Спасибо thanks
Ответить

3 мая 2020 в 20:38
Ответ для Bmw Touring

Денис Волков
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

(^-^)
Денис Волков
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

0.4 · 10⁵ = 0.4 · 10 · 10⁴=(0.4 · 10 ) · 10⁴=4 · 10⁴

0
Спасибо thanks
Ответить

5 марта 2017 в 17:00

Виктория Горловская
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Виктория Горловская
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

помогите пожалуйста
нужно правило что такое степень с натуральным показателем

0
Спасибо thanks
Ответить

5 марта 2017 в 18:22
Ответ для Виктория Горловская

Виктория Горловская
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Виктория Горловская
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

cry

0
Спасибо thanks
Ответить

7 марта 2017 в 20:29
Ответ для Виктория Горловская

Валерий Шакиров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Валерий Шакиров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Степенью числа a споказателем 1 называется само число a (a¹ = a).. Степенью ненулевого числа a с показателем 0 равна единице (a⁰ = 1).

0
Спасибо thanks
Ответить

7 декабря 2016 в 8:58

Мирослава Заруцкая
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

(^-^)
Мирослава Заруцкая
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

мне не понятны степени как их упрощать cry 2³^·2^{4 можно с объяснением}

0
Спасибо thanks
Ответить

7 декабря 2016 в 9:01
Ответ для Мирослава Заруцкая

Мирослава Заруцкая
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

(^-^)
Мирослава Заруцкая
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

СРОЧНО ОТВЕТЬТЕ ПОЖАЛУЙТА

0
Спасибо thanks
Ответить

7 декабря 2016 в 9:03
Ответ для Мирослава Заруцкая

Мирослава Заруцкая
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

(^-^)
Мирослава Заруцкая
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

ПОЖАЛУЙСТАААА

0
Спасибо thanks
Ответить

7 декабря 2016 в 12:12
Ответ для Мирослава Заруцкая

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

А учебник открыть лень?

0
Спасибо thanks
Ответить

20 ноября 2016 в 22:14

Злата Крамаренко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

(^-^)
Злата Крамаренко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

2x²+ 2y² — 2xy + 1 — 2y = 1/3

0
Спасибо thanks
Ответить

21 ноября 2016 в 4:21
Ответ для Злата Крамаренко

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

x = 1/3; y = 2/3.

0
Спасибо thanks
Ответить

21 ноября 2016 в 22:31
Ответ для Злата Крамаренко

Злата Крамаренко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

(^-^)
Злата Крамаренко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

Спасибо. А как разложить данное уравнение? Можно узнать, пожалуйста?

0
Спасибо thanks
Ответить

22 ноября 2016 в 1:12
Ответ для Злата Крамаренко

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

Сверни квадраты
+ = 0.

0
Спасибо thanks
Ответить

1 марта 2016 в 10:42

Екатерина Гулиева
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Екатерина Гулиева
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

какое число больше 7

в 3 раза, какое число меньше 7

в 3 раза

0
Спасибо thanks
Ответить

1 марта 2016 в 14:12
Ответ для Екатерина Гулиева

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

Если число больше в 3 раза, это значит, что текущее число, надо умножить на 3, а если меньше в 3 раза-разделить.
1) 7 ·3= ·3==21
Ответ : 21 в 3 раза больше, чем 7
2)7 : 3 = : 3 = = =2 =2
Ответ: 2 в 3 раза меньше, чем 7

0
Спасибо thanks
Ответить

27 декабря 2015 в 19:36

Надежда Егина
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Надежда Егина
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

5^{6 ·}125 : 25⁴

0
Спасибо thanks
Ответить

10 января 2016 в 1:43
Ответ для Надежда Егина

Татьяна Почтарёва
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Татьяна Почтарёва
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

5⁶·5³:5⁸=5¹=5

0
Спасибо thanks
Ответить

25 октября 2015 в 10:21

Валерия Соколова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Валерия Соколова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

((?2)^?2)^?2

0
Спасибо thanks
Ответить

12 июня 2016 в 2:47
Ответ для Валерия Соколова

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

0
Спасибо thanks
Ответить

16 октября 2015 в 18:02

Влада Данилова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Влада Данилова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Представьте в виде степени с основание 4 число 16

0
Спасибо thanks
Ответить

17 октября 2015 в 0:14
Ответ для Влада Данилова

Людмила Кундина
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Людмила Кундина
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

4²

0
Спасибо thanks
Ответить

7 октября 2015 в 18:02

Елена Облупина
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Елена Облупина
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Число 9 возвели в степень 5, полученный результат возвели в степень2. В какую степень за два раза возвели число 9????

0
Спасибо thanks
Ответить

12 сентября 2016 в 16:02
Ответ для Елена Облупина

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(9⁵)²=9¹⁰При возведении степени в степень, степени перемножаются. Свойство №3

0
Спасибо thanks
Ответить

16 сентября 2015 в 15:45

Евгений Куринной
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

(^-^)
Евгений Куринной
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

Помогите пожалуйста решить: корень 4 степени из дроби: в числителе 81, в знаменателе 16

0
Спасибо thanks
Ответить

16 сентября 2015 в 15:54
Ответ для Евгений Куринной

Евгений Куринной
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

(^-^)
Евгений Куринной
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

Это я уже решил, помогите решить этот: корень 8 степени из 16 в -4 степени

0
Спасибо thanks
Ответить

16 сентября 2015 в 16:00
Ответ для Евгений Куринной

Евгений Куринной
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

(^-^)
Евгений Куринной
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

Уже решил

0
Спасибо thanks
Ответить

5 сентября 2016 в 14:24
Ответ для Евгений Куринной

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

Отличная ветка математического форума ) Так держать! =) Если будет необходимо, подробнее о действиях со степенями можно прочесть здесь: http://math-prosto.ru/index.php?page=pages/stepeni/stepeni2.php

0
Спасибо thanks
Ответить

Источник

Степень числа (выражения) представляет собой произведение множителей из этого же числа (выражения). Так число хх в степени nn это:

x2=x⋅xx^2=xcdot x

Выражение хх называют основанием степени, число nn – ее показателем.

Аналогично можно представить любое выражение:

(x+8)3=(x+8)(x+8)(x+8){(x+8)}^3=(x+8)(x+8)(x+8)

4553=455⋅455⋅455{sqrt[5]{45}}^3=sqrt[5]{45}cdotsqrt[5]{45}cdotsqrt[5]{45}

Базовые положения степеней

Число в степени 1 равно самому себе.
Число в степени 0 равно 1.
Отрицательное число в четной степени становится числом положительным.
Отрицательное число в нечетной степени есть число отрицательное.

Свойства степеней и примеры решения

Произведение (частное) чисел с одинаковым основанием, но в разной степени

xa⋅xb=xa+bx^acdot x^b=x^{a+b}

xaxb=xa−bfrac{x^a}{x^b}=x^{a-b}

Например, необходимо упростить выражение

(y+2)5⋅(y+2)1510(y+2)510=(y+2)5+1510−510=(y+2)5+1010=(y+2)6{(y+2)}^5cdotfrac{left(y+2right)^frac{15}{10}}{left(y+2right)^frac{5}{10}}=left(y+2right)^{5+frac{15}{10}-frac{5}{10}}=left(y+2right)^{5+frac{10}{10}}=left(y+2right)^6

Возведение степени числа в степень

(xa)b=xa⋅bleft(x^aright)^b=x^{acdot b}

Например, требуется вычислить

(52)12=52⋅12=522=5left(5^2right)^frac{1}{2}=5^{2cdotfrac{1}{2}}=5^frac{2}{2}=5

Произведение (частное) чисел в степени

(x⋅y)n=xn⋅yn(xy)n=xnyn{(xcdot y)}^n=x^ncdot y^n
left(frac{x}{y}right)^n=frac{x^n}{y^n}

Например, требуется вычислить

(132⋅552)2=(132)2⋅52(52)2=1352=1325{(frac{sqrt[2]{13}cdot5}{5^2})}^2=frac{left(sqrt[2]{13}right)^2cdot5^2}{left(5^2right)^2}=frac{13}{5^2}=frac{13}{25}

Частное единицы и числа в степени nn

1xn=x−nfrac{1}{x^n}=x^{-n}

Например, необходимо преобразовать выражение

1(18−x6)2⋅x0=(18−x6)−2⋅1=(18−x6)−2frac{1}{{(18-x^6)}^2}cdot x^0=left(18-x^6right)^{-2}cdot1=left(18-x^6right)^{-2}

Дробная степень выражения

xab=xabx^frac{a}{b}=sqrt[b]{x^a}

следствие: y=x n → yn=xy=sqrt[n]{x } rightarrow y^n=x

Например, необходимо упростить выражение

183×2=120y218^{frac{3x}{2}}=sqrt[2]{120y}
183×2⋅2=120y18^{frac{3x}{2}cdot2}=120y
183x=120y{18}^{3x}=120y

Практическое применение свойств степеней

Пример 1

Упростить выражение

((x3)10⋅x13)52⋅y16(x−4⋅x−24):y6frac{left(left(x^3right)^{10}cdot x^frac{1}{3}right)^frac{5}{2}cdot y^frac{1}{6}}{left(x^{-4}cdot sqrt[4]{x^{-2}}right):y^6}

Решение

Упростим выражение в числителе, для этого выполним действия в скобках

x3⋅10⋅x13=x30+13=x913x^{3cdot10}cdot x^frac{1}{3}=x^{30+frac{1}{3}}=x^frac{91}{3}

Получим,

(x913)52⋅y16(x−4⋅x−24):y6frac{left(x^frac{91}{3}right)^frac{5}{2}cdot y^frac{1}{6}}{left(x^{-4}cdotsqrt[4]{x^{-2}}right):y^6}

Раскроем скобки в числителе

x913⋅52⋅y16(x−4⋅x−24):y6=x4556⋅y16(x−4⋅x−24):y6frac{x^{frac{91}{3}cdotfrac{5}{2}}cdot y^frac{1}{6}}{left(x^{-4}cdotsqrt[4]{x^{-2}}right):y^6}=frac{x^frac{455}{6}cdot y^frac{1}{6}}{left(x^{-4}cdotsqrt[4]{x^{-2}}right):y^6}

Упростим выражение в знаменателе, для чего преобразуем корень к виду степени

x−24=x−24sqrt[4]{x^{-2}}=x^frac{-2}{4}

Получим,

x4556⋅y16(x−4⋅x−24):y6=x4556⋅y16(x−4+−24):y6=x4556⋅y16(x−184):y6frac{x^frac{455}{6}cdot y^frac{1}{6}}{left(x^{-4}cdot x^frac{-2}{4}right):y^6}=frac{x^frac{455}{6}cdot y^frac{1}{6}}{left(x^{-4+frac{-2}{4}}right):y^6}=frac{x^frac{455}{6}cdot y^frac{1}{6}}{left(x^frac{-18}{4}right):y^6}

Перенесем знаменатель в верхнюю часть дроби

x4556⋅y16:x−184⋅y6=x4556:x−184⋅y16⋅y6=x4556−(−184)⋅y16+6×4556+(184)⋅y16+366=x910+5412⋅y376=x96412⋅y376=x2413⋅y376x^frac{455}{6}cdot y^frac{1}{6}:x^frac{-18}{4}cdot y^6=x^frac{455}{6}:x^frac{-18}{4}cdot y^frac{1}{6}cdot y^6=x^{frac{455}{6}-left(frac{-18}{4}right)}cdot y^{frac{1}{6}+6}
x^{frac{455}{6}+left(frac{18}{4}right)}cdot y^{frac{1}{6}+frac{36}{6}}=x^frac{910+54}{12}cdot y^frac{37}{6}=x^frac{964}{12}cdot y^frac{37}{6}=x^frac{241}{3}cdot y^frac{37}{6}

Ответ:

((x3)10⋅x13)52⋅ y16(x−4⋅x−24): y6=x2413⋅y376frac{left(left(x^3right)^{10}cdot x^frac{1}{3}right)^frac{5}{2}cdot y^frac{1}{6}}{left(x^{-4}cdotsqrt[4]{x^{-2}}right): y^6}=x^frac{241}{3}cdot y^frac{37}{6}

Пример 2

Вычислить выражение, при x=1x=1

((x2−2x+1)3)2⋅(x−23+x0)(x−33+x16x63)⋅(x2−2x+1)23frac{left(left(x^2-2x+1right)^3right)^2cdotleft(x^frac{-2}{3}+x^0right)}{left(x^frac{-3}{3}+frac{x^frac{1}{6}}{x^frac{6}{3}}right)cdotsqrt[3]{left(x^2-2x+1right)^2}}

Решение

Упростим выражение в числителе, для этого выполним действия в обеих скобках

((x2−2x+1)3)2⋅(x−23+x0)(x−33+x16x63)⋅(x2−2x+1)23=(x2−2x+1)3⋅2⋅(x13⋅2+1)(x−33+x16x63)⋅(x2−2x+1)23(x2−2x+1)6⋅(x16+1)(x−33+x16x63)⋅(x2−2x+1)23frac{left(left(x^2-2x+1right)^3right)^2cdotleft(x^frac{-2}{3}+x^0right)}{left(x^frac{-3}{3}+frac{x^frac{1}{6}}{x^frac{6}{3}}right)cdotsqrt[3]{left(x^2-2x+1right)^2}}=frac{left(x^2-2x+1right)^{3cdot2}cdotleft(x^frac{1}{3cdot2}+1right)}{left(x^frac{-3}{3}+frac{x^frac{1}{6}}{x^frac{6}{3}}right)cdotsqrt[3]{left(x^2-2x+1right)^2}}
frac{left(x^2-2x+1right)^6cdotleft(x^frac{1}{6}+1right)}{left(x^frac{-3}{3}+frac{x^frac{1}{6}}{x^frac{6}{3}}right)cdotsqrt[3]{left(x^2-2x+1right)^2}}

Упростим знаменатель

(x2−2x+1)6⋅(x16+1)(x−1+x16−63)⋅(x2−2x+1)23=(x2−2x+1)6⋅(x16+1)(1x+x16−126)⋅(x2−2x+1)23(x2−2x+1)6⋅(x16+1)(1x+x−116)⋅(x2−2x+1)23frac{left(x^2-2x+1right)^6cdotleft(x^frac{1}{6}+1right)}{left(x^{-1}+x^{frac{1}{6}-frac{6}{3}}right)cdotleft(x^2-2x+1right)^frac{2}{3}}=frac{left(x^2-2x+1right)^6cdotleft(x^frac{1}{6}+1right)}{left(frac{1}{x}+x^{frac{1}{6}-frac{12}{6}}right)cdotleft(x^2-2x+1right)^frac{2}{3}}
frac{left(x^2-2x+1right)^6cdotleft(x^frac{1}{6}+1right)}{left(frac{1}{x}+x^{-frac{11}{6}}right)cdotleft(x^2-2x+1right)^frac{2}{3}}

Выражение из числителя перенесем в знаменатель

(x2−2x+1)6:(x2−2x+1)23⋅(x16+1):(1x+x−116)==(x2−2x+1)6−23⋅(x16+1):(1x+1×116)==(x2−2x+1)163⋅(x16+1):(1x+1×116)left(x^2-2x+1right)^6:left(x^2-2x+1right)^frac{2}{3}cdotleft(x^frac{1}{6}+1right):left(frac{1}{x}+x^{-frac{11}{6}}right)=
=left(x^2-2x+1right)^{6-frac{2}{3}}cdotleft(x^frac{1}{6}+1right):left(frac{1}{x}+frac{1}{x^frac{11}{6}}right)==left(x^2-2x+1right)^frac{16}{3}cdotleft(x^frac{1}{6}+1right):left(frac{1}{x}+frac{1}{x^frac{11}{6}}right)

Заменяем переменную xx значением по условию x=1x=1

(12−2⋅1+1)163⋅(116+1):(11+11116)=0163⋅(1+1):(1+1)=0⋅1=0left(1^2-2cdot1+1right)^frac{16}{3}cdotleft(1^frac{1}{6}+1right):left(frac{1}{1}+frac{1}{1^frac{11}{6}}right)=0^frac{16}{3}cdotleft(1+1right):left(1+1right)=0cdot1=0

Ответ: При x=1x=1, выражение
((x2−2x+1)3)2⋅(x−23+x0)(x−33+x16x63)⋅(x2−2x+1)23=0frac{left(left(x^2-2x+1right)^3right)^2cdotleft(x^frac{-2}{3}+x^0right)}{left(x^frac{-3}{3}+frac{x^frac{1}{6}}{x^frac{6}{3}}right)cdotsqrt[3]{left(x^2-2x+1right)^2}}=0

Источник

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.

Сложение

( 2+2+2+2+2+2+2+2=16 )

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.

Умножение

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: (displaystyle 2cdot 8=16).

Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».

В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением.

Согласись, (displaystyle 2cdot 8=16) считается легче и быстрее, чем (displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше.

Круто, да?

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.

И другая таблица, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

Далее, почему говорят «степень числа с натуральным показателем»?

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам.

Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число ( displaystyle 0) . Ноль понять легко – это когда ничего нет.

А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне ( displaystyle -100) рублей, это значит, что ты должен оператору ( displaystyle 100) рублей.

Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число ( displaystyle 3,141592…).

Итак…

Откуда взялись, например, первые два свойства? Сейчас покажу.

1. ( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}})

Посмотрим: что такое ( displaystyle {{a}^{n}}) и ( displaystyle {{a}^{m}}) ?

По определению:

( displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }end{array} right|Rightarrow text{ }{{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }leftarrow )

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к ( displaystyle n) множителям мы дописали ( displaystyle m) множителей, итого получилось ( displaystyle n+m) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{n+mtext{ множителей}})

Но по определению это степень числа ( displaystyle a) с показателем ( displaystyle n+m) , то есть: ( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}) , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение ( displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}) .

Решение: ( displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}={{5}^{4+7+9}}={{5}^{20}})

Пример: Упростите выражение ( displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}) .

Решение:

Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания!

Поэтому степени с основанием ( displaystyle 3) мы объединяем, а ( displaystyle {{5}^{7}}) остается отдельным множителем:

( displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{5+8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{13}}cdot {{5}^{7}})

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что ( displaystyle {{2}^{4}}+{{2}^{6}}={{2}^{10}}).

Начнем с показателя, равного ( displaystyle 0) .

Любое число в нулевой степени равно единице:

( displaystyle {{a}^{0}}=1, ane 0)

Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием ( displaystyle 3). Возьмем, например ( displaystyle {{3}^{5}}), и домножим на ( displaystyle {{3}^{0}}):

( displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{0}}underset{text{по правилу умножения}}{mathop{=}},{{3}^{5+0}}={{3}^{5}})

Итак, мы умножили число ( displaystyle {{3}^{5}}) на ( displaystyle {{3}^{0}}) и получили то же, что и было – ( displaystyle {{3}^{5}}). А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на ( displaystyle 1) . Значит ( displaystyle {{3}^{0}}=1) .

Можем проделать то же самое уже с произвольным числом ( displaystyle a):

( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{0}}underset{по правилу умножения}{mathop{=}},{{a}^{n+0}}={{a}^{n}}={{a}^{n}}cdot 1text{ }Rightarrow text{ }{{a}^{0}}=1)

Повторим правило:

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть – это число ( displaystyle 0) (в качестве основания).

С одной стороны, ( displaystyle 0) в любой степени должен равняться ( displaystyle 0) – сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, ( displaystyle {{0}^{0}}) , как и любое число в нулевой степени, должен равняться ( displaystyle 1) . Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень.

То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа ( displaystyle 0) к целым относятся отрицательные числа.

Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

( displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{-5}}underset{text{по правилу умножения}}{mathop{=}},{{3}^{5+left( -5 right)}}={{3}^{5-5}}={{3}^{0}}=1)

Отсюда уже несложно выразить искомое ( displaystyle {{3}^{-5}}) :

( displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{-5}}=1text{ }Rightarrow text{ }{{3}^{-5}}=frac{1}{{{3}^{5}}})

Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{-n}}={{a}^{n+left( -n right)}}={{a}^{0}}=1text{ }Rightarrow text{ }{{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}})

Итак, сформулируем правило:

Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: ( displaystyle ane 0) (т.к. на ( displaystyle 0) делить нельзя).

( displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0)

Подведем итоги:

I. Выражение ( {{0}^{k}}) не определено в случае ( kle 0) . Если ( k>0) , то ( {{0}^{k}}=0) .

II. Любое число в нулевой степени равно единице: ( displaystyle {{a}^{0}}=1, ane 0) .

III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: ( displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0).

( displaystyle {{6}^{-1}}=frac{1}{6})

( displaystyle {{left( frac{3}{2} right)}^{-2}}=frac{4}{9})

Чтобы понять, что такое «дробная степень», рассмотрим дробь ( displaystyle frac{1}{n}) :

пусть ( displaystyle {{3}^{frac{1}{n}}}=x) .

Возведем обе части уравнения в степень ( displaystyle n) :

( displaystyle {{left( {{3}^{frac{1}{n}}} right)}^{n}}={{x}^{n}})

Теперь вспомним правило про «степень в степени»:

( displaystyle {{x}^{n}}={{left( {{3}^{frac{1}{n}}} right)}^{n}}={{3}^{frac{1}{n}cdot n}}={{3}^{1}}=3)

Какое число надо возвести в степень ( displaystyle n) , чтобы получить ( displaystyle 3) ?

Эта формулировка – определение корня ( displaystyle n) -ой степени.

Напомню: корнем ( displaystyle n) -ой степени числа ( displaystyle a) (( displaystyle sqrt[n]{a}) ) называется число, которое при возведении в степень ( displaystyle n) равно ( displaystyle a) .

То есть, корень ( displaystyle n) -ой степени – это операция, обратная возведению в ( displaystyle n) степень: ( displaystyle sqrt[n]{a}=btext{ }Leftrightarrow text{ }a={{b}^{n}}) .

Получается, что ( displaystyle x={{3}^{frac{1}{n}}}=sqrt[n]{3}) . Очевидно, этот частный случай можно расширить: ( displaystyle {{a}^{frac{1}{n}}}=sqrt[n]{a}) .

Теперь добавляем числитель: что такое ( displaystyle {{a}^{frac{m}{n}}}) ? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:

( displaystyle {{a}^{frac{m}{n}}}={{a}^{frac{1}{n}cdot m}}={{left( {{a}^{frac{1}{n}}} right)}^{m}}={{left( sqrt[n]{a} right)}^{m}}) или ( displaystyle sqrt[n]{{{a}^{m}}}) .

Но может ли основание ( displaystyle a) быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.

Например, можно ли посчитать число ( displaystyle sqrt[4]{-16}) ? То есть, какое число нужно возвести в ( displaystyle 4) степень, чтобы получить ( displaystyle -16) ?

Никакое!

Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень – число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!

А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение ( displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{1}{2}}}) не имеет смысла.

А что насчет выражения ( displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{1}{3}}}) ?

Его уже вроде бы можно посчитать: это ( displaystyle sqrt[3]{-1}=-1) .

Но тут возникает проблема.

Число ( displaystyle frac{1}{3}) можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, ( displaystyle frac{2}{6}) или ( displaystyle frac{4}{12}) .

И получается, что ( displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{1}{3}}}) существует, но ( displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{2}{6}}}) не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.

Или другой пример: раз ( displaystyle sqrt[3]{-8}=-2) , то можно записать ( displaystyle {{left( -8 right)}^{frac{1}{3}}}=-2) . Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: ( displaystyle {{left( -8 right)}^{frac{1}{3}}}={{left( -8 right)}^{frac{2}{6}}}=sqrt[6]{{{left( -8 right)}^{2}}}=sqrt[6]{64}=2) (то есть, получили совсем другой результат!).

Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем.

Итак, если:

( a>0);
( m) – натуральное число;
( n) – целое число;

Тогда:

( {{a}^{frac{n}{m}}}=sqrt[m]{a^n})

Примеры:

( {{a}^{frac{1}{2}}}=sqrt{a})

( {{a}^{frac{1}{5}}}=sqrt[5]{a})

( {{a}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{sqrt[4]{a^3}})

( displaystyle frac{{{5}^{-frac{1}{2}}}cdot {{left( {{5}^{frac{5}{6}}} right)}^{frac{3}{10}}}cdot {{3}^{-frac{5}{4}}}}{{{3}^{-frac{3}{2}}}}={{5}^{-frac{1}{2}}}cdot {{5}^{frac{5}{6}cdot frac{3}{10}}}cdot {{3}^{left( -frac{5}{4}+frac{3}{2} right)}}=)

( displaystyle={{5}^{left( -frac{1}{2}+frac{1}{4} right)}}cdot {{3}^{frac{1}{4}}}={{5}^{-frac{1}{4}}}cdot {{3}^{frac{1}{4}}}={{left( frac{3}{5} right)}^{frac{1}{4}}}=sqrt[4]{frac{3}{5}})

Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

( displaystyle frac{sqrt[9]{6}cdot sqrt[18]{6}}{sqrt[6]{6}}=frac{{{6}^{frac{1}{9}}}cdot {{6}^{frac{1}{18}}}}{{{6}^{frac{1}{6}}}}={{6}^{frac{1}{9}+frac{1}{18}-frac{1}{6}}}={{6}^{frac{2+1-3}{18}}}={{6}^{0}}=1)

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.

Например, степень с натуральным показателем – это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени – это как-бы число, умноженное само на себя ( 0) раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось – поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число ( 1) ; степень с целым отрицательным показателем – это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель – это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например: ( {{3}^{sqrt{2}}}cdot {{3}^{1-sqrt{2}}}={{3}^{sqrt{2}+1-sqrt{2}}}=3)

Или: ( frac{{{2}^{3sqrt{3}}}}{{{8}^{sqrt{3}-1}}}=frac{{{2}^{3sqrt{3}}}}{{{2}^{3left( sqrt{3}-1 right)}}}={{2}^{3sqrt{3}-3sqrt{3}+3}}=8)

И еще: ( {{left( {{5}^{sqrt[3]{4}}} right)}^{sqrt[3]{2}}}={{5}^{sqrt[3]{8}}}={{5}^{2}}=25).

Определение степени

Степенью называется выражение вида: ( {{a}^{b}}), где ( a) – основание степени и ( b) – показатель степени.

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,…}

( {{a}^{1}}=a)
( {{a}^{2}}=acdot a)
( {{a}^{3}}=acdot acdot a)

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя ( n) раз:

( {{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot acdot …a}_{n})

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

Если показателем степени является целое положительное число:

( {{a}^{n}}={{a}^{n}}, n>0)

Возведение в нулевую степень:

( {{a}^{0}}=1, ane 0) . ( {{0}^{0}}) – выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, ( 0) в любой степени – это ( 0) , а с другой – любое число в ( 0) -ой степени – это ( 1) .

Если показателем степени является целое отрицательное число:

( {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0) (т.к. на ( 0) делить нельзя).

Еще раз о нулях: выражение ( {{0}^{k}}) не определено в случае ( kle 0). Если ( k>0) , то ( {{0}^{k}}=0) .

Примеры:

( {{6}^{-1}}=frac{1}{6})

( {{left( frac{3}{2} right)}^{-2}}=frac{4}{9})

Степень с рациональным показателем

Если,

( a>0);
( m) – натуральное число;
( n) – целое число;

Тогда:

( {{a}^{frac{n}{m}}}=sqrt[m]{{{a}^{n}}})

Примеры:

( {{a}^{frac{1}{2}}}=sqrt{a})

( {{a}^{frac{1}{5}}}=sqrt[5]{a})

( {{a}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{sqrt[4]{{{a}^{3}}}})

Свойства степеней

Произведение степеней	( {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}) ( {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}={{left( acdot b right)}^{n}})
Деление степеней	( frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}}) ( frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{left( frac{a}{b} right)}^{n}})
Возведение степени в степень	( {{left( {{a}^{m}} right)}^{n}}={{a}^{mcdot n}})

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

Доказательства свойств степени

1. ( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}})

Посмотрим: что такое ( displaystyle {{a}^{n}}) и ( displaystyle {{a}^{m}}) ?

По определению:

Сколько здесь множителей всего? Очень просто: к ( displaystyle n) множителям мы дописали ( displaystyle m) множителей, итого получилось ( displaystyle n+m) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{n+mtext{ множителей}})

Но по определению это степень числа ( displaystyle mathbf{a}) с показателем ( displaystyle mathbf{n}+mathbf{m}), то есть:

( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}) , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение ( displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}) .

Решение: ( displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}={{5}^{4+7+9}}={{5}^{20}}) .

Пример: Упростите выражение ( displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}) .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием ( displaystyle 3) мы объединяем, а ( displaystyle {{5}^{7}}) остается отдельным множителем:

( displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{5+8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{13}}cdot {{5}^{7}}) .

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нелья написать, что ( displaystyle {{2}^{4}}+{{2}^{6}}={{2}^{10}}) .

2. ( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}={{left( acdot b right)}^{n}})

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

( displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{b}^{n}}=underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}end{array} right|Rightarrow text{ }{{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}) .

Перегруппируем это произведение так:

( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}=underbrace{left( acdot b right)cdot left( acdot b right)cdot …cdot left( acdot b right)}_{ntext{ множителей}}).

Получается, что выражение ( displaystyle acdot b) умножается само на себя ( displaystyle n) раз, то есть, согласно определению, это и есть ( displaystyle n) -я степень числа ( displaystyle acdot b) :

( displaystyle {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}={{left( acdot b right)}^{n}}), ч.т.д.

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: ( displaystyle {{2}^{4}}+{{3}^{4}}ne {{left( 2+3 right)}^{4}}) !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать ( displaystyle {{left( a+b right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}) ? Но это неверно, ведь ( displaystyle {{left( a+b right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}) .

3. ( displaystyle frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}})

И снова используем определение степени:

( displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }end{array} right|Rightarrow text{ }frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}}{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}})

Здесь, очевидно, можем сократить. Но с одной оговоркой: чтобы степень получилась натуральная, нам придется предположить, что ( displaystyle n>m) (то есть, в числителе множителей должно быть больше, чем в знаменателе). Тогда ( displaystyle m) множителей числителя сокращаются со всеми ( displaystyle m) множителями знаменателя. Таким образом множители остаются только в числителе, причем в количестве ( displaystyle n-m) штук:

( displaystyle frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}}{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{n-mtext{ множителей}}}{1}={{a}^{n-m}}) , ч.т.д.

4. ( displaystyle frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{left( frac{a}{b} right)}^{n}})

Все как обычно – записываем определение степеней ( displaystyle {{a}^{n}}) и ( displaystyle {{b}^{n}}) , делим их друг на друга, разбиваем на пары ( displaystyle frac{a}{b}) и получаем:

( displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{b}^{n}}=underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}end{array} right|Rightarrow text{ }frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}}{underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}}=underbrace{frac{a}{b}cdot frac{a}{b}cdot …cdot frac{a}{b}}_{ntext{ множителей}}={{left( frac{a}{b} right)}^{n}}) , ч.т.д.

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

Источник

Возведение числа в степень является важнейшей математической операцией, часто используемой для различных вычислений. В зависимости от вида основания и показателя значение степени рассчитывается по-разному. Ниже будут подробно рассмотрены основные правила нахождения значений степеней.

Возведение числа в степень с натуральным показателем

Прежде чем приступить к изучению операции возведения в степень необходимо рассмотреть базовое понятие натуральной степени числа.

Определение

Натуральной степенью n числа а называют произведение, состоящее из n множителей, каждый из которых равен a.

[a^{n}=underbrace{a times a times ldots times a}_{text {п множсителей }}]

Таким образом, для натурального показателя степень представляет собой укороченную запись умножения одинаковых множителей. В данном случае чтобы найти значение степени, следует перемножить число, которое является основанием, само на себя указанное количество раз.

Пример 1

Рассмотрим возведение числа 3 в степень 5. Согласно приведенному выше базовому определению:

3⁵= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Для операций возведения во вторую и третью степень имеются устоявшиеся названия: возведение в квадрат и куб, соответственно. Таким образом, выражение «3²» может быть прочитано как «три во второй степени» или «три в квадрате», оба варианта будут верными.

Значение степенных выражений с дробным основанием и натуральным показателем находится по той же схеме. В то же время, в соответствии с правилом умножения дробей, операция возведения дроби в степень может быть разбита на два действия, когда числитель и знаменатель возводятся в соответствующую показателю степень по отдельности.

Пример 2

Найдем, чему будут равны [ frac{2}{5} ] в степени 3:

[left(frac{2}{5}right)^{3}=frac{2}{5} times frac{2}{5} times frac{2}{5}=frac{2^{3}}{5^{3}}=frac{8}{125}]

Операция возведения в натуральную степень имеет определенные особенности при работе с отрицательными числами. Рассмотрим следующий пример:

Пример 3

Найдем значения степенных выражений (-5)³ и (-5)⁴. Для этого, согласно базовому определению, необходимо умножить основание само на себя 3 и 4 раза соответственно:

(-5)³ = (-5) × (-5) × (-5) = -125

(-5)⁴ =(-5) × (-5) × (-5) × (-5) = 625

Из приведенного примера можно видеть, что в первом случае полученный результат является отрицательным числом, а во втором – положительным. Это связано с правилом перемножения отрицательных чисел. Следствием из него является то, что если показатель степени отрицательного числа представляет собой четное число, результат будет положительным, если нечетное – отрицательным. Таким образом, степень с отрицательным основанием и четным показателем будет равна степени с таким же показателем и основанием, равным по модулю, но противоположным по знаку.

(-a)²ⁿ = a²ⁿ

Если требуется возвести в натуральную степень иррациональное число, то его необходимо предварительно округлить до той значащей цифры, которая позволит получить ответ с требуемой точностью. Рассмотрим данный случай на примере числа π.

Пример 4

Выполним возведение в степень 3 числа π.

π – это бесконечное иррациональное число. С точностью до 10 знаков после запятой оно записывается следующим образом:

π = 3,1415926536

Допустим, нам необходим результат с точностью два знака после запятой. Тогда число π может быть округлено до 3,14.

(3,14)³ = 3,14 × 3,14 × 3,14 ≈ 30,96

Отдельно следует отметить, чему будет равно число в степени 1. В соответствии с базовым определением

[a^{n}=underbrace{a times a times ldots times a}_{text {п множсителей }}]

вне зависимости от значения основания, число в степени 1 равно самому себе.

На практике возможны и более сложные случаи, когда требуется найти значение степенного выражения, в котором показатель не является натуральным числом. Ниже будут рассмотрены ситуации, когда показатель степени представляет собой целое, дробное, рациональное или иррациональное число.

Вычисление степеней с целым показателем

Все операции по возведению в целую степень можно разделить на три группы: когда показатель является целым положительным (натуральным) числом, когда он равен нулю, и когда он является отрицательным числом.

Случай с натуральным показателем был рассмотрен ранее, поэтому мы не будем к нему возвращаться.

В случае, когда показатель равен нулю, для любого не равного нулю основания значение степени будет равно единице. Если же и основание, и показатель степени равны нулю значение выражения будет не определено.

Пример 5

Рассмотрим возведение в нулевую степень натурального, дробного, иррационального чисел, а также нуля:

10⁰= 1

0,5⁰ = 1

π⁰ = 1

0⁰ – не определено.

Осталось рассмотреть нахождение значения степенного выражения с целым отрицательным показателем. Число а в степени -n представляет собой дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель – числу а в степени n.

[a^{-n}=frac{1}{a^{n}}]

Можно видеть, что знаменатель дроби является натуральной степенью, вычисление которой было рассмотрено ранее. Таким образом, две степени, у которых основания одинаковы, а показатели противоположны по знаку, но равны по модулю, будут являться обратными числами. Рассмотрим возведение в отрицательную степень целого и дробного чисел:

Пример 6

Вычислим, чему равно 7 в степень -3:

[7^{-3}=frac{1}{7^{3}}=frac{1}{7 times 7 times 7}=frac{1}{343}]

Пример 7

Найдем значение степенного выражения [left(frac{2}{9}right)^{-2}]

При возведении дробного числа в отрицательную степень на определенном этапе осуществляется «переворот» дроби. Он может быть выполнен как в конце вычислений:

[left(frac{2}{9}right)^{-2}=frac{1}{left(frac{2}{9}right)^{2}}=frac{1}{frac{2}{9} times frac{2}{9}}=frac{1}{frac{4}{81}}=frac{81}{4}=20 frac{1}{4}]

так и в начале:

[left(frac{2}{9}right)^{-2}=left(frac{9}{2}right)^{2}=frac{81}{4}=20 frac{1}{4}]

Из-за указанного в примере «переворота», при возведении десятичной дроби в отрицательную степень рекомендуется предварительно преобразовать основание к форме обыкновенной дроби. Рассмотрим данную ситуацию на примере:

Пример 8

Найдем значение степенного выражения 0,5^-2:

[0,5^{-2}=left(frac{5}{10}right)^{-2}=left(frac{10}{5}right)^{2}=frac{10^{2}}{5^{2}}=frac{100}{25}=4]

Отдельно следует упомянуть о выражениях с целым отрицательным показателем, основание которых равно нулю. Подобное выражение будет не определено, поскольку его преобразование будет приводить к дроби, знаменатель которой равен нулю.

[0^{-n}=frac{1}{0^{n}}] ‒ выражение не определено.

Возведение числа в дробную степень

Прежде чем приступить к вычислению, следует рассмотреть базовое определение степени с дробным показателем. В виде формулы оно может быть записано следующим образом:

[a^{m / n}=sqrt[n]{a^{m}}, text { где }]

a – положительное число;

m – целое число;

n – натуральное число.

Из указанного определения следует, что операция нахождения алгебраического корня любой степени также может быть представлена в форме возведения в дробную степень, когда числитель показателя равен единице, а знаменатель – основанию корня.

[sqrt[n]{a}=a^{1 / n}]

При этом не следует воспринимать данное свойство как способ преобразования иррационального числа в рациональное. Изменяется только форма записи. Например, если число √2 является иррациональным, то при записи его в форме [2^{1 / 2}] оно также останется иррациональным.

При нахождении значения степени с дробным показателем следует последовательно выполнить два математических действия: возведение основания в степень с целым показателем m и извлечение корня n-ной степени. При этом согласно свойству корней, указанные действия можно выполнить и в обратной последовательности, то есть можно сначала извлечь из основания корень n-й степени, а затем возвести полученный результат в степень m.

[sqrt[n]{a^{m}}=(sqrt[n]{a})^{m}]

Рассмотрим оба способа вычисления степеней с дробным показателем на конкретном примере.

Пример 9

Найдем значение степенного выражения [128^{5 / 7}].

Способ 1. Возведение в степень подкоренного выражения с последующим извлечением корня

[128^{5 / 7}=sqrt[7]{128^{5}}=sqrt[7]{34359738368}=32]

В данном случае из-за большого значения числа под корнем найти значение выражения, не прибегая к помощи калькулятора, невозможно.

Способ 2. Извлечение корня из основания с последующим возведением в степень.

[128^{5 / 7}=(sqrt[7]{128})^{5}=2^{5}=32]

Указанный способ нахождения значения степени существенно легче. При этом результат вычислений не отличается, то есть можно выбирать тот способ, который будет удобнее в конкретном случае.

Если показатель степени представлен в форме десятичной дроби, то удобнее будет записать его в виде обычной.

Пример 10

Вычислим значение степени [243^{0,4}]:

[243^{0,4}=243^{4 / 10}=243^{2 / 5}=(sqrt[5]{243})^{2}=3^{2}=9]

В случае, когда показатель представляет собой смешанное число, для удобства вычислений он может быть записан в виде неправильной дроби.

Пример 11

Вычислим значение выражения:

[left(12 frac{1}{4}right)^{1 frac{1}{2}}=left(frac{49}{4}right)^{3 / 2}=left(sqrt{frac{49}{4}}right)^{3}=left(frac{7}{2}right)^{3}=frac{343}{8}=42 frac{7}{8}]

Следует обратить внимание на математическую операцию возведения в отрицательную дробную степень. В этом случае вычисления производятся в три этапа: нахождение числа, обратного исходному, извлечение корня, степень которого соответствует значению знаменателя показателя, и возведение в степень, соответствующую числителю дробного показателя. Как и в случае с положительным дробным показателем, указанные действия могут выполняться в любой последовательности.

Пример 12

Найдем значение выражения [49^{-1 / 2}].

Выполним преобразование числа в обратное ему:

[49^{-1 / 2}=frac{1}{49^{1 / 2}}]

Найдем значение степени в знаменателе полученной дроби:

[frac{1}{49^{1 / 2}}=frac{1}{sqrt{49}}=frac{1}{7}]

Также необходимо рассмотреть случай, когда основанием степени является ноль, а показателем – дробное число. Как и в случае с целыми показателями, подобные выражения имеют смысл лишь в том случае, когда показатель больше нуля. В противном случае выражение будет не определено.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Нахождение степеней с иррациональным показателем

Иногда возникает необходимость нахождения значения степени, показатель которой представляет собой иррациональное число. Проблема заключается в том, что найти точное значение подобного выражения невозможно. Однако для решения любой практической задачи, как правило, достаточно нахождения значения степенного выражения с определенной степенью точности. В этом случае иррациональный показатель округляется до требуемого десятичного знака, после чего вычисление осуществляется согласно правилам, принятым для дробного показателя.

Рассмотрим решение подобной задачи на конкретном примере:

Пример 13

Предположим, что нам необходимо найти значение выражения 2 в степени √2. Показатель степени является иррациональным числом. В виде бесконечной десятичной дроби оно может быть записано следующим образом:

√2 = 1,41421356…

Найдем значение выражения с различной степенью приближения.

Вариант 1.

Округлим значение иррационального числа до двух цифр после запятой и найдем приближенное значение степени:

[√2≈1,41]

[2^{sqrt{2}} approx 2^{1,41} approx 2,65737]

Вариант 2.

Округлим значение иррационального числа до четырех цифр после запятой и найдем приближенное значение степени:

[√2≈1,4142]

[2^{sqrt{2}} approx 2^{1,4142} approx 2,66512]

Можно видеть, что полученные значения различаются во втором знаке после запятой, при этом второе значение является более точным.

В большинстве случаев вычисление степеней с иррациональными показателями является сложной задачей, для решения которой используется вычислительная техника.

Источник