Как найти степень числа в математике

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается
понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями
(с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа.
Для записи произведения числа самого на себя несколько раз
применяют сокращённое обозначение.

Вместо
произведения шести одинаковых множителей
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут
4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁶

Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:

• 4 — основание степени;
• ⁶ — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и
показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запись «aⁿ» читается так:
«а в степени
n» или «n-ая степень числа
a».

Исключение составляют записи:

• a² — её можно произносить как «а в квадрате»;
• a³ — её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

• a² — «а во второй степени»;
• a³ — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.

• (−32)⁰ = 1
• 0²⁵³ = 0
• 1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в
степень.

Пример. Возвести в степень.

• 5³ = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5² = 2,5 · 2,5 = 6,25
• ()⁴
  =
  ·

  ·

  ·

  =

  3 · 3 · 3 · 3

  4 · 4 · 4 · 4

  =

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым
числом — положительным, отрицательным или нулём.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться
как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или
нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень,
то получается отрицательное число. Так как произведение
нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число.
Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

• 2 · (−3)² = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2)³ = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи
(−5)⁴ и
−5⁴ это разные выражения. Результаты возведения
в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5)⁴ означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5)⁴ = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5⁴» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
   
   5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить
   действие вычитание).
   
   −5⁴ = −625

Пример. Вычислить: −6² − (−1)⁴

−6² − (−1)⁴ = −37

1. 6² = 6 · 6 = 36
2. −6² = −36
3. (−1)⁴ = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1)⁴ = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться
таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором
«Возведение в степень онлайн».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.

Сложение

( 2+2+2+2+2+2+2+2=16 )

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.

Умножение

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: (displaystyle 2cdot 8=16).

Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».

В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. 

Согласись, (displaystyle 2cdot 8=16) считается легче и быстрее, чем (displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше. 

Круто, да?

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.

И другая таблица, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

Далее, почему говорят «степень числа с натуральным показателем»?

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам.

Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число (  displaystyle 0) . Ноль понять легко – это когда ничего нет.

А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне (  displaystyle -100) рублей, это значит, что ты должен оператору (  displaystyle 100) рублей.

Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число (  displaystyle 3,141592…).

Итак…

Откуда взялись, например, первые два свойства? Сейчас покажу.

1. (  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}})

Посмотрим: что такое ( displaystyle {{a}^{n}})  и (  displaystyle {{a}^{m}}) ? 

По определению:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }end{array} right|Rightarrow text{ }{{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }leftarrow )

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к (  displaystyle n) множителям мы дописали (  displaystyle m) множителей, итого получилось (  displaystyle n+m) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{n+mtext{ множителей}})

Но по определению это степень числа (  displaystyle a) с показателем (  displaystyle n+m) , то есть: (  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}) , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение (  displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}) .

Решение: (  displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}={{5}^{4+7+9}}={{5}^{20}})

Пример: Упростите выражение (  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}) .

Решение: 

Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания!

Поэтому степени с основанием (  displaystyle 3) мы объединяем, а (  displaystyle {{5}^{7}})  остается отдельным множителем:

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{5+8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{13}}cdot {{5}^{7}})

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что (  displaystyle {{2}^{4}}+{{2}^{6}}={{2}^{10}}).

Начнем с показателя, равного (  displaystyle 0) .

Любое число в нулевой степени равно единице:

(  displaystyle {{a}^{0}}=1, ane 0)

Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием (  displaystyle 3). Возьмем, например (  displaystyle {{3}^{5}}), и домножим на (  displaystyle {{3}^{0}}):

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{0}}underset{text{по правилу умножения}}{mathop{=}},{{3}^{5+0}}={{3}^{5}})

Итак, мы умножили число (  displaystyle {{3}^{5}})  на (  displaystyle {{3}^{0}})  и получили то же, что и было – (  displaystyle {{3}^{5}}). А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на (  displaystyle 1) . Значит (  displaystyle {{3}^{0}}=1) .

Можем проделать то же самое уже с произвольным числом (  displaystyle a):

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{0}}underset{по правилу умножения}{mathop{=}},{{a}^{n+0}}={{a}^{n}}={{a}^{n}}cdot 1text{ }Rightarrow text{ }{{a}^{0}}=1)

Повторим правило:

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть – это число (  displaystyle 0) (в качестве основания).

С одной стороны, (  displaystyle 0) в любой степени должен равняться (  displaystyle 0) – сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, (  displaystyle {{0}^{0}}) , как и любое число в нулевой степени, должен равняться (  displaystyle 1) . Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень.

То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа (  displaystyle 0) к целым относятся отрицательные числа.

Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{-5}}underset{text{по правилу умножения}}{mathop{=}},{{3}^{5+left( -5 right)}}={{3}^{5-5}}={{3}^{0}}=1)

Отсюда уже несложно выразить искомое (  displaystyle {{3}^{-5}}) :

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{-5}}=1text{ }Rightarrow text{ }{{3}^{-5}}=frac{1}{{{3}^{5}}})

Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{-n}}={{a}^{n+left( -n right)}}={{a}^{0}}=1text{ }Rightarrow text{ }{{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}})

Итак, сформулируем правило:

Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (  displaystyle ane 0) (т.к. на (  displaystyle 0) делить нельзя).

(  displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0)

(  displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0)

(  displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0)

Подведем итоги:

I. Выражение (  {{0}^{k}}) не определено в случае (  kle 0) . Если (  k>0) , то (  {{0}^{k}}=0) .

II. Любое число в нулевой степени равно единице: (  displaystyle {{a}^{0}}=1, ane 0) .

III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: (  displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0).

(  displaystyle {{6}^{-1}}=frac{1}{6})

(  displaystyle {{left( frac{3}{2} right)}^{-2}}=frac{4}{9})

Чтобы понять, что такое «дробная степень», рассмотрим дробь (  displaystyle frac{1}{n}) :

пусть (  displaystyle {{3}^{frac{1}{n}}}=x) .

Возведем обе части уравнения в степень (  displaystyle n) :

(  displaystyle {{left( {{3}^{frac{1}{n}}} right)}^{n}}={{x}^{n}})

Теперь вспомним правило про «степень в степени»:

(  displaystyle {{x}^{n}}={{left( {{3}^{frac{1}{n}}} right)}^{n}}={{3}^{frac{1}{n}cdot n}}={{3}^{1}}=3)

Какое число надо возвести в степень (  displaystyle n) , чтобы получить (  displaystyle 3) ?

Эта формулировка – определение корня (  displaystyle n) -ой степени.

Напомню: корнем (  displaystyle n) -ой степени числа (  displaystyle a) ((  displaystyle sqrt[n]{a}) ) называется число, которое при возведении в степень (  displaystyle n) равно (  displaystyle a) .

То есть, корень (  displaystyle n) -ой степени – это операция, обратная возведению в (  displaystyle n) степень: (  displaystyle sqrt[n]{a}=btext{ }Leftrightarrow text{ }a={{b}^{n}}) .

Получается, что (  displaystyle x={{3}^{frac{1}{n}}}=sqrt[n]{3}) . Очевидно, этот частный случай можно расширить: (  displaystyle {{a}^{frac{1}{n}}}=sqrt[n]{a}) .

Теперь добавляем числитель: что такое (  displaystyle {{a}^{frac{m}{n}}}) ? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:

(  displaystyle {{a}^{frac{m}{n}}}={{a}^{frac{1}{n}cdot m}}={{left( {{a}^{frac{1}{n}}} right)}^{m}}={{left( sqrt[n]{a} right)}^{m}})  или (  displaystyle sqrt[n]{{{a}^{m}}}) .

Но может ли основание (  displaystyle a) быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.

Например, можно ли посчитать число (  displaystyle sqrt[4]{-16}) ? То есть, какое число нужно возвести в (  displaystyle 4) степень, чтобы получить (  displaystyle -16) ?

Никакое!

Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень – число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!

А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение (  displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{1}{2}}})  не имеет смысла.

А что насчет выражения (  displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{1}{3}}}) ?

Его уже вроде бы можно посчитать: это (  displaystyle sqrt[3]{-1}=-1) .

Но тут возникает проблема.

Число (  displaystyle frac{1}{3}) можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, (  displaystyle frac{2}{6}) или (  displaystyle frac{4}{12}) .

И получается, что (  displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{1}{3}}})  существует, но (  displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{2}{6}}}) не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.

Или другой пример: раз (  displaystyle sqrt[3]{-8}=-2) , то можно записать (  displaystyle {{left( -8 right)}^{frac{1}{3}}}=-2) . Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (  displaystyle {{left( -8 right)}^{frac{1}{3}}}={{left( -8 right)}^{frac{2}{6}}}=sqrt[6]{{{left( -8 right)}^{2}}}=sqrt[6]{64}=2)  (то есть, получили совсем другой результат!).

Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем.

Итак, если:

• (  a>0);
• (  m) – натуральное число;
• (  n) – целое число;

Тогда:

(  {{a}^{frac{n}{m}}}=sqrt[m]{a^n})

Примеры:

(  displaystyle={{5}^{left( -frac{1}{2}+frac{1}{4} right)}}cdot {{3}^{frac{1}{4}}}={{5}^{-frac{1}{4}}}cdot {{3}^{frac{1}{4}}}={{left( frac{3}{5} right)}^{frac{1}{4}}}=sqrt[4]{frac{3}{5}})

Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

(  displaystyle frac{sqrt[9]{6}cdot sqrt[18]{6}}{sqrt[6]{6}}=frac{{{6}^{frac{1}{9}}}cdot {{6}^{frac{1}{18}}}}{{{6}^{frac{1}{6}}}}={{6}^{frac{1}{9}+frac{1}{18}-frac{1}{6}}}={{6}^{frac{2+1-3}{18}}}={{6}^{0}}=1)

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.

Например, степень с натуральным показателем – это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени – это как-бы число, умноженное само на себя (  0) раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось – поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число (  1) ; степень с целым отрицательным показателем – это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель – это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например: (  {{3}^{sqrt{2}}}cdot {{3}^{1-sqrt{2}}}={{3}^{sqrt{2}+1-sqrt{2}}}=3)

Или: (  frac{{{2}^{3sqrt{3}}}}{{{8}^{sqrt{3}-1}}}=frac{{{2}^{3sqrt{3}}}}{{{2}^{3left( sqrt{3}-1 right)}}}={{2}^{3sqrt{3}-3sqrt{3}+3}}=8)

И еще: (  {{left( {{5}^{sqrt[3]{4}}} right)}^{sqrt[3]{2}}}={{5}^{sqrt[3]{8}}}={{5}^{2}}=25).

Определение степени

Степенью называется выражение вида: (  {{a}^{b}}), где (  a) – основание степени и (  b) – показатель степени.

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,…}

• (  {{a}^{1}}=a)
• (  {{a}^{2}}=acdot a)
• (  {{a}^{3}}=acdot acdot a)

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя (  n) раз:

• (  {{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot acdot …a}_{n})

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

Если показателем степени является целое положительное число:

(  {{a}^{n}}={{a}^{n}}, n>0)

Возведение в нулевую степень:

(  {{a}^{0}}=1, ane 0) . (  {{0}^{0}}) – выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, (  0) в любой степени – это (  0) , а с другой – любое число в (  0) -ой степени – это (  1) .

Если показателем степени является целое отрицательное число:

(  {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0) (т.к. на (  0) делить нельзя).

Еще раз о нулях: выражение (  {{0}^{k}}) не определено в случае (  kle 0). Если (  k>0) , то (  {{0}^{k}}=0) .

Примеры:

(  {{6}^{-1}}=frac{1}{6})

(  {{left( frac{3}{2} right)}^{-2}}=frac{4}{9})

Степень с рациональным показателем

Если,

• (  a>0);
• (  m) – натуральное число;
• (  n) – целое число;

Тогда:

• (  {{a}^{frac{n}{m}}}=sqrt[m]{{{a}^{n}}})

Примеры:

(  {{a}^{frac{1}{2}}}=sqrt{a})

(  {{a}^{frac{1}{5}}}=sqrt[5]{a})

(  {{a}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{sqrt[4]{{{a}^{3}}}})

Свойства степеней

Произведение степеней	(  {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}})  (  {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}={{left( acdot b right)}^{n}})
Деление степеней	(  frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}})  (  frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{left( frac{a}{b} right)}^{n}})
Возведение степени в степень	(  {{left( {{a}^{m}} right)}^{n}}={{a}^{mcdot n}})

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

Доказательства свойств степени

1. (  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}})

Посмотрим: что такое (  displaystyle {{a}^{n}}) и (  displaystyle {{a}^{m}}) ?

По определению:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }end{array} right|Rightarrow text{ }{{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}})

Сколько здесь множителей всего? Очень просто: к (  displaystyle n) множителям мы дописали (  displaystyle m) множителей, итого получилось (  displaystyle n+m) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{n+mtext{ множителей}})

Но по определению это степень числа (  displaystyle mathbf{a}) с показателем (  displaystyle mathbf{n}+mathbf{m}), то есть:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}) , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение (  displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}) .

Решение: (  displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}={{5}^{4+7+9}}={{5}^{20}}) .

Пример: Упростите выражение (  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}) .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием (  displaystyle 3) мы объединяем, а (  displaystyle {{5}^{7}}) остается отдельным множителем:

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{5+8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{13}}cdot {{5}^{7}}) .

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нелья написать, что (  displaystyle {{2}^{4}}+{{2}^{6}}={{2}^{10}}) .

2. (  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}={{left( acdot b right)}^{n}})

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{b}^{n}}=underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}end{array} right|Rightarrow text{ }{{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}) .

Перегруппируем это произведение так:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}=underbrace{left( acdot b right)cdot left( acdot b right)cdot …cdot left( acdot b right)}_{ntext{ множителей}}).

Получается, что выражение (  displaystyle acdot b) умножается само на себя (  displaystyle n) раз, то есть, согласно определению, это и есть (  displaystyle n) -я степень числа (  displaystyle acdot b) :

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}={{left( acdot b right)}^{n}}), ч.т.д.

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: (  displaystyle {{2}^{4}}+{{3}^{4}}ne {{left( 2+3 right)}^{4}}) !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать (  displaystyle {{left( a+b right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}) ? Но это неверно, ведь (  displaystyle {{left( a+b right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}) .

3. (  displaystyle frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}})

И снова используем определение степени:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }end{array} right|Rightarrow text{ }frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}}{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}})

Здесь, очевидно, можем сократить. Но с одной оговоркой: чтобы степень получилась натуральная, нам придется предположить, что (  displaystyle n>m) (то есть, в числителе множителей должно быть больше, чем в знаменателе). Тогда (  displaystyle m) множителей числителя сокращаются со всеми (  displaystyle m) множителями знаменателя. Таким образом множители остаются только в числителе, причем в количестве (  displaystyle n-m) штук:

(  displaystyle frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}}{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{n-mtext{ множителей}}}{1}={{a}^{n-m}}) , ч.т.д.

4. (  displaystyle frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{left( frac{a}{b} right)}^{n}})

Все как обычно – записываем определение степеней (  displaystyle {{a}^{n}}) и (  displaystyle {{b}^{n}}) , делим их друг на друга, разбиваем на пары (  displaystyle frac{a}{b}) и получаем:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{b}^{n}}=underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}end{array} right|Rightarrow text{ }frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}}{underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}}=underbrace{frac{a}{b}cdot frac{a}{b}cdot …cdot frac{a}{b}}_{ntext{ множителей}}={{left( frac{a}{b} right)}^{n}}) , ч.т.д.

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

В статье мы введём понятие степени числа, на простых и понятных примерах объясним, что такое степень с целым показателем, натуральным, рациональным, действительным и иррациональным. Заодно покажем несколько поучительных примеров и задач, которые помогут читателю лучше понять и полнее уяснить тему.

Степень с натуральным показателем

Запомните, n обозначает количество множителей, то, сколько раз a нужно само на себя перемножить.

Отдельно рассмотрим пример, когда n равен 1. Любое число с ним можно записать в виде a¹. Некоторые почему-то считают, что этом случае следует выполнить умножение столько раз, сколько указано в показателе. На самом деле ничего умножать не нужно. Степень любого числа с n равным 1 будет самим этим числом.

Т. е. 56¹ = 56, (1/456)¹ равно 1/456, (-86)¹ равно -86.

Запись 0ⁿ тоже имеет право на существование. По сути она означает, что нуль нужно помножить на себя самого n раз. Умножение на нуль всегда даёт нуль. Получается, любая степень с основанием нуль, независимо от её показателя всегда будет равна нулю.

Значительно реже всех выше перечисленных случаев встречается запись типа a^n. Она соответствует записи aⁿ.

Запомните, основанием степени с натуральным n может быть практически любое число (хоть дробь, хоть корень и т. д.), а вот в показателе должно обязательно находиться натуральное число, т. е. не дробное и не отрицательное.

Основные свойства степени с натуральным показателем

Они следующие:

• Когда происходит умножение степеней с равным основанием, то оно остаётся прежним. Показатели при этом складываются.
  a^m*aⁿ = a^m+n

• Когда степени с одинаковыми основаниями делятся, то основание сохраняется прежним, а показатели вычитаются.
  a^m/aⁿ = a^m-n При этом m > n и a не равно нулю.

• Когда степень возводят в степень, то основание не меняют, а сами степени перемножаются.
  (a^m)ⁿ = a^m*n

• Если в степень возводится дробь, то в неё возводится как числитель дроби, так и её знаменатель.
  (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ При этом b не должно быть равно нулю.

О сравнении степеней

Если сравниваемые степени имеют равные основания, большие числа 1, то большим считается та из них, у которой показатель степени выше.

Степень с целым показателем

Рассмотрим степень с целым отрицательным n. Любое число вида a^-n можно представить в виде 1/aⁿ. При этом a не должно быть равно нулю. n может быть любым натуральным числом.

Сложнее дело обстоит с понятием нулевой степени. Чтобы её объяснить, ещё раз приведём правило по делению степеней с равными основаниями.

Как известно из курса элементарной математики, частное от деления любого числа на самого себя всегда равно единице. Из этого напрямую следует, что нулевая степень любого числа всегда равна 1.

Несколько неожиданным для многих является тот факт, что ноль в степени ноль тоже равен единице 0⁰ = 1. Положение осложняет тот факт, что на ноль делить нельзя. Так откуда же тогда взяли, что нулевая степень нуля есть 1.

На самом деле, хотя на ноль никакое число не делится, оно может делится на сколь угодно малое, т. е. близкое к нулю число. В высшей математике доказывается, что предел (a/a), когда a является бесконечно малой величиной, действительно стремится к 1.

Свойства степени с целым показателем практически ничем не отличаются от её свойств с натуральным. Нужно только помнить, что в показателе появляются отрицательные числа и их следует складывать и вычитать по строго определённым для этого правилам.

Степень с рациональным показателем

Если m и n делятся нацело, то получаем степень с целым показателем. Если при этом ещё и частное от деления больше нуля, то получим степень с натуральным.

Теперь о том, почему в дроби требуется замена сократимого показателя на несократимый. Если этого не делать, то может возникнуть, например, следующая ситуация:

(-1)^6/10 = (-1)^2/5, однако, если посчитать получится

(-1)^6/10 = ¹⁰√(-1)⁶ = ¹⁰√1 = 1.

(-1)^3/5 = ⁵√(-1)³ = ⁵√(-1) = -1

Примеры степеней с рациональным n: (3^1/2), 7^5/4, 7^4/2. Основание может быть и многозначным числом, в частности, 128^-2/7 тоже степень с рациональным.

Из примеров выше становится ясно, что извлечение чётных корней из отрицательных чисел категорически запрещено.

Не будет ошибкой замена любого из дробных показателей смешанным (например, 5^2,1 на 5^2(1/10), однако, чтобы не запутаться, при проведении вычислений, всегда, когда это возможно, лучше заменяйте подобные числа и корень числа дробной степенью. Это делает запись более наглядной и позволяет избежать многих ошибок.

Свойства степени с рациональным показателем аналогичны с натуральным или целым n, только дело приходится иметь с дробями. В первую очередь это касается деления и перемножения степеней с одинаковыми основаниями, а также их сравнения. Вспомните, как оно проводится для обыкновенных дробей.

Степень числа с иррациональным показателем

Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно разобраться в том, что является иррациональным числом. Любое рациональное число допускает его представление в виде бесконечной периодической десятичной дроби либо как обыкновенную дробь типа (m/n). Об иррациональных числах этого не скажешь. Десятичные дроби, с помощью которых выражаются иррациональные числа, бесконечны и апериодичны. Примерами иррациональных чисел являются √7, число [pi], √2 + √3.

Строится степень с рациональным n с помощью так называемого предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями. Они с недостатком либо с избытком приближаются к степени иррациональным n.

Покажем как это происходит. Пусть нам дано иррациональное число a.

a0 = 1,6 , a1 = 1,67, a2 = 1,671…

a0 = 1,67, a1 = 1,6717, a2 = 1,671753…

И т. д. Заметьте – сами приближения, это рациональные числа.

Последовательности приближений нам нужно поставить в соответствие последовательность степеней α^a0, α^a1, α^a2. Значения этих степеней можно подсчитать.

a = 1,67175331. Пусть для примера у нас будет α = 3

Тогда получается α^a0 = 3,167; α^a1 = 3,16717; α^a2= 3,1671753 и т. д.

Указанная последовательность сводится к числу, которое окажется значением степени с основанием α и иррациональным показателем a. После некоторой работы в итоге получаем 3^1,67175331 = 6,27.

Свойства у степени с иррациональным n в целом такие же, как рациональным. В частности, сложение показателей при перемножении, сравнение иррациональных степеней происходят аналогичным образом. Нужно только иметь в виду, что при бесконечности и апериодичности иррациональной дроби вы имеете дело с приближёнными с той или иной точностью значениями. Впрочем, в зависимости от поставленной задачи, нужной точности достичь можно в любом случае. Очень осторожны будьте с приближениями. У новичков здесь очень часто случаются ошибки. После некоторого опыта и практики действия совершаются автоматически. Старайтесь на первых порах порешать как можно больше примеров. Пусть они кажутся вам однотипным, но навык отточить и закрепить позволяют.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Натуральные числа и действия над ними
5. Степень числа. Квадрат и куб числа

Советуем посмотреть:

Понятие о натуральном числе

Сложение натуральных чисел

Вычитание натуральных чисел

Умножение натуральных чисел

Деление натуральных чисел

Порядок выполнения действий

Меньше или больше

Меньше или больше на сколько? во сколько раз?

Формулы

Уравнения

Натуральные числа и действия над ними

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 652,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 655,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 656,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 722,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 801,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 831,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 7,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1

Номер 632,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 639,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1195,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 171,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 626,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 629,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 738,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 751,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 762,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1046,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 703,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 865,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 2,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

7 класс

Номер 129,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 140,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 144,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 145,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 564,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 770,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1001,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1003,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1138,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 7,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 388,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 394,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 397,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 404,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 413,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 484,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 498,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 502,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---