Как найти степень корня комплексного числа

Извлечение корня из комплексного числа

30 ноября 2021

Третий урок по комплексным числам. В этом уроке вы узнаете:

1. Определение комплексного корня;
2. Основная формула — как извлекать корни;
3. Геометрическая интерпретация;
4. Почему корней всегда ровно n;
5. Краткие выводы — если лень читать урок.:)

Начнём с ключевого определения.

1. Определение комплексного корня

Определение. Корнем $n$-й степени из комплексного числа $z$, где $nin mathbb{N}$, $n gt 1$, называется такое комплексное число $omega $, что

[{{omega }^{n}}=z]

т.е. $n$-я степень числа $omega $ равна $z$.

Таких корней на множестве комплексных чисел всегда будет ровно $n$ штук. Все они обозначаются привычным знаком радикала:

[omega =sqrt[n]{z}]

Пример. Вычислить $sqrt[3]{-1}$ на множестве комплексных чисел.

Очевидно, привычная нам единица является таким корнем, потому что ${{left( -1 right)}^{3}}=-1$. Но есть ещё два корня:

[begin{align} {{left( frac{1}{2}+icdot frac{sqrt{3}}{2} right)}^{3}} &={{left( 1cdot left( cos frac{pi }{3}+icdot sin frac{pi }{3} right) right)}^{3}}= \ & =1cdot left( cos pi +isin pi right)=-1 \ {{left( frac{1}{2}-icdot frac{sqrt{3}}{2} right)}^{3}} &={{left( 1cdot left( cos left( -frac{pi }{3} right)+icdot sin left( -frac{pi }{3} right) right) right)}^{3}}= \ & =1cdot left( cos left( -pi right)+isin left( -pi right) right)=-1 end{align}]

Итого три корня. Как и предполагалось.

Теорема. Для любого комплексного числа $zne 0$ существует ровно $n$ комплексных чисел, каждое из которых является корнем $n$-й степени из числа $z.$

Все эти корни считаются по следующей формуле.

2. Формула корней

Теорема. Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме:

[z=left| z right|cdot left( cos varphi +isin varphi right)]

Тогда все корни степени $n$ из этого числа можно найти по формуле:

[begin{align} sqrt[n]{z} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) \ k & in left{ 0,1,2,…,n-1 right} \ end{align}]

По сути, эта теорема является обратной к формуле Муавра:

[{{z}^{n}}={{left| z right|}^{n}}cdot left( cos nvarphi +isin n varphi right)]

Почему степень всегда одна, а корней несколько — об этом в конце урока. Сейчас для нас главное — алгоритм извлечения корня из комплексного числа. Он состоит из четырёх шагов:

1. Перевести комплексное число в тригонометрическую форму;
2. Записать общую формулу корня степени $n$;
3. Подставить в эту формулу $k=0$, затем $k=1$ и так до $k=n-1$.
4. Получим $n$ комплексных корней. Вместе они и будут ответом.

В ответе всегда будет набор из $n$ чисел. Потому что невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа $zne 0$.

Пример. Вычислить $sqrt[3]{-8i}$.

Представим число $-8i$ в тригонометрической форме:

[begin{align} -8i &=0+left( -8 right)cdot i= \ & =8cdot left( 0+left( -1 right)cdot i right)= \ & =8cdot left( cos left( -frac{pi }{2} right)+isin left( -frac{pi }{2} right) right) end{align}]

Запишем формулу корней в общем виде:

[begin{align} sqrt[3]{-8i} & =sqrt[3]{8cdot left( cos left( -frac{pi }{2} right)+isin left( -frac{pi }{2} right) right)}= \ & =sqrt[3]{8}cdot left( cos frac{-frac{pi }{2}+2pi k}{3}+isin frac{-frac{pi }{2}+2pi k}{3} right)= \ & =2cdot left( cos left( -frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right)+isin left( -frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right) right) \ end{align}]

Подставим $k=0$:

[sqrt[3]{-8i}=2cdot left( cos left( -frac{pi }{6} right)+isin left( -frac{pi }{6} right) right)=sqrt{3}-i]

Подставим $k=1$:

[sqrt[3]{-8i}=2cdot left( cos frac{pi }{2}+isin frac{pi }{2} right)=2i]

И, наконец, $k=2$:

[sqrt[3]{-8i}=2cdot left( cos frac{7pi }{6}+isin frac{7pi }{6} right)=-sqrt{3}-i]

В ответе нужно указать все три числа: $2i$; $sqrt{3}-i$; $-sqrt{3}-i$.

Ещё раз: подставляя разные $k$, мы будем получать разные корни. Всего таких корней будет ровно $n$. А если взять $k$ за пределами диапазона $left{ 0,1,…,n-1 right}$, то корни начнут повторяться, и ничего нового мы не получим.

3. Геометрическая интерпретация

Если отметить на комплексной плоскости все значения корня $n$-й степени из некоторого комплексного числа $zne 0$, то все они будут лежать на окружности с центром в начале координат и радиусом $R=sqrt[n]{left| z right|}$. Более того: эти точки образуют правильный $n$-угольник.

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[3]{i}$.

Представим число $z=i$ в тригонометрической форме:

[begin{align} z & =1cdot left( 0+icdot 1 right)= \ & =1cdot left( cos frac{pi }{2}+isin frac{pi }{2} right) end{align}]

Формула комплексных корней:

[sqrt[3]{z}=1cdot left( cos left( frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right)+isin left( frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right) right)]

Это три точки ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{z}_{3}}$ на окружности радиуса $R=1$:

Получили правильный треугольник. Его первая вершина лежит на пересечении окружности радиуса 1 и начального луча, который образован поворотом оси $OX$ на угол ${pi }/{6};$.

Рассмотрим более сложный пример:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[4]{1+i}$.

Сразу запишем формулу корней с выделением начального луча:

[sqrt[4]{z}=sqrt[8]{2}cdot left( cos left( frac{pi }{16}+frac{pi k}{2} right)+isin left( frac{pi }{16}+frac{pi k}{2} right) right)]

Отмечаем эти точки на комплексной плоскости. Радиус окружности $R=sqrt[8]{2}$, начальный луч ${pi }/{16};$:

И вновь всё чётко: четыре точки — правильный четырёхугольник, т.е. квадрат. С отклонением начального луча ${pi }/{16};$.

Ну и ещё один пример — вновь без промежуточных вычислений. Только формулировка задачи, формула корней и окончательный чертёж:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[6]{-64}$.

Формула корней с выделением начального луча:

[sqrt[6]{z}=2cdot left( cos left( frac{pi }{6}+frac{pi k}{3} right)+isin left( frac{pi }{6}+frac{pi k}{3} right) right)]

Получили правильный шестиугольник со стороной 2 и начальным лучом ${pi }/{6};$.

Таким образом, мы получаем «графический» алгоритм извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $zne 0$:

1. Перевести число в тригонометрическую форму;
2. Найти модуль корня: $sqrt[n]{left| z right|}$ — это будет радиусом окружности;
3. Построить начальный луч с отклонением $varphi ={arg left( z right)}/{n};$;
4. Построить все остальные лучи с шагом ${2pi }/{n};$;
5. Получим точки пересечения лучей с окружностью — это и есть искомые корни.

Такой алгоритм прекрасно работает, когда аргумент исходного числа и отклонение начального луча $varphi $ — стандартные «табличные» углы вроде ${pi }/{6};$. На практике чаще всего именно так и бывает. Поэтому берите на вооружение.:)

4. Почему корней всегда ровно n

С геометрической точки зрения, всё очевидно: если мы будем последовательно зачёркивать вершины правильного $n$-угольника, то ровно через $n$ шагов все вершины будут зачёркнуты. И для дальнейшего зачёркивания придётся выбирать вершину среди уже зачёркнутых.

Однако рассмотрим проблему с точки зрения алгебры. Ещё раз запишем формулу корня $n$-й степени:

[begin{align} sqrt[n]{z} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) \ k & in left{ 0;1;2;…;n-1 right} \ end{align}]

Последовательно подставим в эту формулу указанные значения параметра $k$:

[begin{align} {{omega }_{0}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi }{n}+isin frac{varphi }{n} right) \ {{omega }_{1}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi }{n}+isin frac{varphi +2pi }{n} right) \ & … \ {{omega }_{n-1}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi cdot left( n-1 right)}{n}+isin frac{varphi +2pi cdot left( n-1 right)}{n} right) \ end{align}]

Очевидно, последняя строка получена при $k=n-1$. Подставим теперь $k=n$:

[begin{align} {{omega }_{n}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi n}{n}+isin frac{varphi +2pi n}{n} right)= \ & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos left( frac{varphi }{n}+2pi right)+isin left( frac{varphi }{n}+2pi right) right)= \ & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi }{n}+isin frac{varphi }{n} right)={{omega }_{0}} \ end{align}]

Поскольку синус и косинус — периодические функции с периодом $2pi $, ${{omega }_{n}}={{omega }_{0}}$, и далее корни будут повторяться. Как мы и заявляли в самом начале урока.

5. Выводы

Ключевые факты из урока.

Определение. Корень степени $n$ из комплексного числа $z$ — это такое число $omega $, что ${{omega }^{n}}=z$.

Обозначение. Для обозначения комплексных корней используется знакомый знак радикала: $omega =sqrt[n]{z}$.

Замечание. Если $zne 0$, таких чисел корней будет ровно $n$ штук.

Алгоритм нахождения корней состоит из двух шагов.

Шаг 1. Представить исходное число в тригонометрической форме:

[z=left| z right|cdot left( cos varphi +isin varphi right)]

Шаг 2. Воспользоваться формулой Муавра для вычисления корней:

[begin{align} sqrt[n]{z} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) \ k & in left{ 0;1;2;…;n-1 right} \ end{align}]

Все полученные корни лежат на окружности радиуса $sqrt[n]{left| z right|}$ с центром в начале координат и являются вершинами правильного $n$-угольника. Первая вершина лежит на т.н. «начальном луче», который отклонён от положительной полуоси $OX$ на угол ${varphi }/{n};$. Остальные вершины обычно легко находятся из соображений симметрии с помощью циркуля и линейки.

Геометрическую интерпретацию можно использовать для быстрого «графического» извлечения корней. Но это требует практики и хорошего понимания, что именно и зачем вы делаете. Технология такого извлечения корней описана выше в разделе «Геометрическая интерпретация».

Всё. В следующем уроке начнём решать уравнения в комплексных числах.:)

Смотрите также:

1. Тригонометрическая форма комплексного числа
2. Системы линейных уравнений: основные понятия
3. Радианная мера угла
4. Как представить обычную дробь в виде десятичной
5. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты
6. Логарифмические уравнения в задаче C1

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №41. Извлечение корня из комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие корня из комплексного числа;

2) алгоритмы извлечения корня из комплексного числа;

3) пример извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме.

Глоссарий по теме

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа ω называется комплексное число z такое, что zn=ω. Множество всех корней n-ой степени из ω обозначается через .

Теорема. Уравнение zⁿ=ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Все n корней z_k лежат на оркужности радиусом с центом в начале кооринат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа ω называется комплексное число z такое, что zn=ω. Множество всех корней n-ой степени из ω обозначается через .

Теорема. Уравнение zⁿ=ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Доказательство. Пусть ω=|ω|∙(cosφ+isinφ), число z будем искать в виде

z=|z|∙(cosα+isinα).

Преобразуем уравнение zⁿ=ω, используя формулу Муавра:

|z|n(cosnζ+isinnζ)=|ω|∙(cosθ+isinθ).

Отсюда вытекают равенства:

|z|ⁿ=|ω|, nζ= θ+2πk, k- целое,

Из которых для модуля искомого корня получается определенное значение , тогда как его аргумент , k- целое, может принимать различные значения при разных k. При этом значениям k= 0, 1, 2, …, n-1 соответствуют различные значения корня, а при k= n значение корня совпадает с его значением при k=0. При k=n+1 получим значение корня, что и при k=1, и т.д.

Таким образом, число различных значений корня равно n- это

, где k=0, 1, 2,…, n-1 что и требовалось доказать.

Все n корней z_k лежат на оркужности радиусом с центом в начале кооринат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

Пример 1. Найдите все корни n-ой степени из действительного числа x>0.

Решение. Если х- положительное действительное число, то |x|=x, θ=arg x=0. Формула корней в этом случае дает ответ:

, где k=0, 1, 2,…, n-1.

При k=0 получим – это арифметический корень. При четном n=2m имеется еще один дейсвтиельный корень., получающийся при k=m. (ζ= arg z_m=π):

Корни n-ой степени из 1 часто обозначают через ε_k, k= 0, 1, 2, …, n-1. Согласно предыдущему примеру:

Пример 2. Вычислите корни третьей степени из комплексного числа 2+2i.

Решение: Найдем тригонометрическую форму данного числа:

По формуле корней из комплексного числа имеем:

, где k пробегает значения 0, 1, 2. Запишем полученные корни:

Используя формулы для косинуса и синуса разности углов, получаем:

Ответ: ; -1+i; .

Немного иначе извлекаются корни из комплексных чисел, аргумент которых не приводится к виду , где m, n – целые числа.

Пример 3. Найдите

Решение. Пусть ω=3+4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Запишем подробнее:

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

Ответ:

Пример 4. Выполнить операцию извлечения корня z³ для заданных комплексных чисел в алгебраической форме представления: .

Решение: Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r(cosφ+i⋅sinφ). По условию . Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):. Подставим полученные значения и получим:

Для k=0 получаем:

Для k=1 получим:

Для k=2 получим:

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: множественный выбор

Найдите

Выберите верные ответы из предложенных:

1. 2+i
2. -2+i
3. -2-i
4. 2-i

Решение. Пусть ω=3-4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Запишем подробнее:

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

Ответ: 2+i; -2-i

Верные ответы: 1, 3

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Чему будет равно произведение: (5 + 3i)∙(1 — 2i)=______

Решение:

((5 + 3i) · (1 — 2i) = 5·1 — 5·2i + 3·1i — 3·2i² = 5 — 10i + 3i + 6 =11 — 7i

Ответ: 11-7i

• Возведение
  комплексного числа в целую положительную
  степень Формула Муавра

в алгебраической
форме zⁿ=(а+i·b)ⁿ
– по формулам сокращенного умножения;

в тригонометрической
форме
[r(cos+isin)]ⁿ=rⁿ(cosn+isinn).

при возведении
комплексного числа (в
тригонометрической форме)
в целую положительную степень модуль
возводится в эту степень, а аргумент
умножается на показатель степени.

• Извлечение корня
  n-ой
  из комплексного числа

в алгебраической
форме не
представляется возможным;

в тригонометрической
форме

Определение:
Корнем п-й
степени
из
комплексного числа называется такое
комплексное число, п-я
степень которого
равняется подкоренному числу, т. е.

Придавая k
значения 0,
1, 2, …, n-1,
получим n
различных значений корня. Для других
значений k
аргументы
будут отличаться от полученных на число,
кратное 2,
и, следовательно, получатся значения
корня, совпадающие с рассмотренными.

Итак, корень n-й
степени из комплексного числа имеет n
различных значений.

Корень n-й
степени из действительного числа А,
отличного
от нуля, также имеет п
значений, так
как действительное число является
частным случаем комплексного и может
быть представлено в тригонометрической
форме:

A=|A|(cos0+isin0)
при А>0,

A=|A|(cos+isin)
при А<0.

Например:
Вычислить
все корни третьей степени из комплексного
числа z=-3-3i.

Например:
Вычислить
все корни второй степени из комплексного
числа z=-9.

Комплексные числа

b=0
a=0

Комплексные числа и действия над ними.

	В алгебраической форме: z1=а1+i·b1; z2=а2+i·b2;	В тригонометрической форме: z1=r1·(cos1+i·sin1); z2=r2·(cos2+i·sin2);	В показательной форме: z1=r1·еi·1; z2=r2·еi·2;
−
Сложение	z1+z2=(а1+а2)+i·(b1+b2)	−	−
Вычитание	z1—z2=(а1-а2)+i·(b1—b2)	−	−
Умножение	z1z2=(а1а2—b1b2)+i(а2b1+a1b2)	z1·z2=r1·r2·[cos(1+2)+i·sin(1+2)]	z1z2=r1·r2·еi·(1+2)
Деление
Возведение в степень	zn=(а+i·b)n – по формулам сокращенного умножения	[r·(cos+i·sin)]n=rn·(cos n·+i·sinn·)	[r·еi·]n=rn·еi··n
Извлечение корня	−	, k=0, 1, 2, n-1.	, k=0, 1, 2, n-1.

5

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Корень $n$-ой степени из комплексного числа
$z$ обозначается символом
$sqrt[n]{z}$ и на множестве комплексных чисел
имеет ровно $n$ значений.

Если комплексное число $z$ задано в
тригонометрической форме: $z=|z|(cos phi+i sin phi)$, то все значения корня
$n$-ой степени вычисляются по формуле Муавра
(Абрахам де Муавр (1667 — 1754) — английский математик):

$sqrt[n]{z}=sqrt[n]{|z|}left(cos frac{phi+2 n k}{n}+i sin frac{phi+2 n k}{n}right), k=0,1,2, ldots, n-1$

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса
$sqrt[n]{|z|}$ с центром в начале координат и образуют правильный
$n$-угольник.

Читать дальше: формула Эйлера для комплексных чисел.

Извлечение корня из некоторого комплексного числа выполняется для чисел, которые представлены в тригонометрической форме.

«Извлечение корня из комплексного числа» 👇