Как найти степень мнимой единицы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Тема: Мнимая единица, ее степени.
Комплексные числа.

Алгебраическая форма комплексного
числа.

Цели: расширить понятие числа, ввести понятие мнимой единицы и ее степеней,
понятие комплексного числа; рассмотреть алгебраическую форму
комплексного числа; развивать умения обобщать полученные знания,
способствовать развитию логического мышления;

воспитывать
у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.

План (изучаемые вопросы)

Мнимые числа.
Определение мнимой единицы. Степени мнимой единицы.
Определение
комплексного числа.
Алгебраическая
форма комплексного числа.

1.Мнимые числа

Определение. Число, квадрат которого равняется -1, называется мнимой единицей и

обозначается і; і ²= -1

Определение. Числа, которые имеют вид bі, где b — действительное число, называются

мнимыми числами.

Например:

Известно, что
действительные числа изображаются точками на оси ОХ. Мнимые числа изображаются
точками на оси ОУ, в связи с чем ось ОХ называется действительной осью, а ось
ОУ — мнимой осью. Множество мнимых чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством действительных чисел.

Определение. Два мнимых числа b₁i и b₂i называются
равными, если b₁₌b₂

Определение. Мнимое число (-bi) называется
противоположным мнимому числу bі.

Например: и и .

Теорема. Любая натуральная степень числа і может быть преобразована к

одной из четырех видов 1;
і; -1; -і.

Доказательство.

Рассмотрим выражение і^m, где m — натуральное число. Понятно, что возможны четыре
случая:

1) m = 4k, k=1,2,…

2) m=4k +1, k=0, 1,2,…

3)
m 4k
+2, k = 0,1,2,…

4)
m=4k+3, k=0,1,2,….

Пусть
m = 4k, тогда і^м=і^Ак=(і^А)^к=1^к =1

Пусть
m=4k +1, тогда і^м = і^Ак+1 = і^Ак
і=1і=і

Пусть
m= 4k +2, тогда
і^м=і^Ак+2 = і^Ак і ² =1(-1)=-1

Пусть m=4k+3, тогда і^м

Пример. Вычислить
значение выражения

Решение:

Замечание. Для того, чтобы вычислить степень мнимой единицы, удобно
пользоваться таким правилом:

1)
разделить показатель степени на 4;

2)
заменить і^м на і^р, где р — остаток, полученный при
делении т на 4, то есть число р находится из равенства т = 4к + р.

2.Комплексные числа

Определение. Комплексным числом называется число, которое имеет вид а+bi,
где а, b –

действительные числа, i — мнимая
единица. При этом число «а» называется

действительной частью комплексного
числа, «b» — мнимой частью

комплексного числа.

Символически действительную и мнимую части комплексного
числа обозначают так: (ре зет), (им
зет).

В основе этих обозначений использованы первые буквы
латинских слов , что означает «действительный» и
«Imaginaries», что означает «мнимый».

Замечание. Иногда мнимой частью комплексного числа z= а+ bі называют
bi.

Определение. Два комплексных числа Z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = а₂
+ b₁i называются
равными, если

Re z₁ = Re z₂, Im z₁ = Im z₂.

Для комплексных чисел не существует понятий больше и
меньше, то есть комплексные числа не сравнимы.

Определение. Комплексное число (-а-bi) называется
противоположным комплексному числу

а + bі.

Определение. Два комплексных числа, у которых действительные части
равны, а мнимые

части противоположные,
называются комплексно сопряженными числами и

обозначаются соответственно и .

3.Алгебраическая
форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в
алгебраической форме.

Комплексное число, представленное в виде называется комплексным числом в алгебраической
форме.

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется

комплексное число .

Итак, (1)

Таким образом,
чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные части, и
это дает действительную часть суммы, и сложить мнимые части, что дает мнимую
часть суммы.

Сумма сопряженных
чисел всегда является действительным
числом

то есть, . (2)

Вычитание
комплексных чисел

Определение. Разностью двух комплексных чисел и называется такое

комплексное число , которое в сумме с числом дает число .

Вычитание
комплексных чисел всегда возможно.

Теорема. Для любых комплексных чисел и всегда существует разница , которая определена однозначно.

Таким образом, для
того, чтобы вычесть комплексные числа, достаточно вычесть их действительные
части и их разницу взять за действительную часть разности, а также вычесть
мнимую часть разности

Получается, (3)

Разность двух
сопряженных чисел всегда является мнимым числом. ,

то есть, (4)

Умножение
комплексных чисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется
такое комплексное число, которое определяется формулой: (5)

Чтобы умножить
комплексные числа следует умножить их по правилу умножения многочленов, заменив
при этом на -1 и привести подобные члены.

В процессе
умножения комплексных чисел лучше выполнять непосредственное умножение.
Произведение сопряженных чисел всегда является действительным числом

Пример.
Найти значение выражения .

Решение: .

Деление
комплексных чисел

Определение. Частным двух комплексных чисел и называется такое

комплексное
число z, которое в произведении с дает .

Всегда существует
частное от деления двух комплексных чисел, если знаменатель отличается от нуля.

Теорема. Частное определено и к тому же
однозначно для всех комплексных чисел и , если только , то
есть .

(7)

Пример. Вычислить значение выражения .

Решение:

Над комплексными
числами в алгебраической форме возможно выполнять и такие действия, как
возведение в степень, извлечения корня. Но выполнение этих действий в
алгебраической форме довольно трудоемкое.

Закрепление
изученного материала.

1. Вычислить:

2. Среди приведенных примеров укажите :

а) чисто мнимые комплексные числа;

б) чисто действительные комплексные числа;

в) сопряженные комплексные числа;

г) равные комплексные числа:

3. Выполнить действия: Ответ.

4. На основании равенства комплексных чисел найти
действительные числа и если Ответ.

5. Решить квадратные уравнения и проверить
выполнение теоремы Виета:

а) б) Ответ. а) б)

Контрольные
вопросы:

1.Дать определение комплексного числа.

2.Сформулировать определение мнимой единицы.

3.Как найти степень мнимой единицы.

4.Какие комплексные числа называют равными,
сопряженными?

5.Записать формулу для нахождения произвольного степени
мнимой единицы.

6. Приведите примеры чисто мнимых чисел.

7. Дать определение суммы, произведения и частного двух
комплексных чисел.

Литература

1. Письменный, Д. Т. Конспект
лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.:
Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).

2. Лунгу, К. Н. Сборник задач
по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю.
А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее
образование).

3. Григорьев В. П. Элементы
высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В. П.
Григорьев, Ю. А. Дубинский. – 10-е изд., стер. – М. Издательский центр
«Академия», 2014. – 320 с.

Источник

Комплексные числа

1. Понятие мнимой единицы

Допустим,
что существует такое число, квадрат
которого равен – 1. Обозначим это число
буквой i;
тогда можно записать: i²
= – 1.

Число
i
будем называть мнимой
единицей (i
– начальная буква французского слова
imaginaire – «мнимый»), а предыдущее равенство
будем считать определением мнимой
единицы.

Из
этого равенства находим

Введение
мнимой единицы позволяет нам теперь
извлекать корни квадратные из отрицательных
чисел.

Например,

2. Степени мнимой единицы

Рассмотрим
степени мнимой единицы:

i²
= – 1;

i³
= i²*i
= (– 1)i
= – i;

i⁴
= i^3*i
= – i*i
= – i²
= – (– 1) = 1;

i⁵
= i^4*i
= 1*i
= i;

i⁶
= i^5*i
= i*i
= i²
= – 1;

i⁷
= i^6*i
= (– 1)*i
= – i;

i⁸
= i^7*i
= – i*i
= 1;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Если
выписать все значения степеней числа
i,
то мы получим такую последовательность:
i,
– 1, – i,
1, i,
– 1, – i,
1
и т. д. Легко видеть, что значения степеней
числа i
повторяются с периодом, равным 4.

Так,
i
= i,
i²
= – 1, i³
= – i,
i⁴
= 1, i⁵
= i,
i⁶
= – 1, i⁷
= – i,
i⁸
= 1, i⁹
= i,
i¹⁰
= – 1, i¹¹
= – i,
i¹²
= 1.

Таким
образом, если показатель степени числа
i
делится на 4, то значение степени равно
1; если при делении показателя степени
на 4 в остатке получается 1, то значение
степени равно i;
если при делении показателя степени на
4 получается остаток 2, то значение
степени равно – 1; наконец, если при
делении на 4 остаток равен 3, то значение
степени равно – i.
Пользуясь этим, можно вычислять любую
степень числа i.

Пример
1.
Найти: i²⁸;
i³³;
i¹³⁵.

Решение.
Имеем 28
= 4Ч7
(нет остатка); 33
= 4Ч8 + 1; 135 = 4Ч33 + 3.

Соответственно
получим i²⁸
= 1; i³³
= i;
i¹³⁵
= – i.

1–7.
Вычислите:

1.
i⁶⁶;
i¹⁴³;
i²¹⁶;
i¹³⁷.

2.
i⁴³
+ i⁴⁸
+ i⁴⁴
+ i⁴⁵.

3.
(i³⁶
+ i¹⁷)i²³.

4.
(i¹³³
+ i¹¹⁵
+ i²⁰⁰
+ i¹⁴²)(i¹⁷
+ i³⁶).

5.
i¹⁴⁵
+ i¹⁴⁷
+ i²⁶⁴
+ i³⁴⁵
+ i¹¹⁷.

6.
(i¹³
+ i¹⁴
+ i¹⁵)i³².

7.
(i⁶⁴
+ i¹⁷
+ i¹³
+ i⁸²)(i⁷²
– i³⁴).

3. Определение комплексного числа

Мы
знакомы с действительными числами и с
мнимыми единицами. Рассмотрим теперь
числа нового вида.

Определение
1.
Числа вида a
+ bi,
где a
и b
– действительные числа, i – мнимая
единица, будем называть комплексными.

Число
a
будем назвать действительной
частью
комплексного числа, bi
– мнимой
частью
комплексного числа, b
– коэффициентом
при мнимой части.
Возможны случаи, когда действительные
числа a
и b
могут быть равными нулю. Если a
= 0, то комплексное число bi
называется чисто
мнимым.
Если b
= 0, то комплексное число a
+ bi
равно a
и называется действительным.
Если a
= 0 и b
= 0 одновременно, то комплексное число
0 + 0i
равно нулю. Итак, мы получили, что
действительные числа и чисто мнимые
числа представляют собой частные случаи
комплексного числа.

Запись
комплексного числа в виде a
+ bi
называется алгебраической
формой
комплексного числа.

Два
комплексных числа a
+ bi
и c
+ di условились
считать равными
тогда и только тогда, когда в отдельности
равны их действительные части и
коэффициенты при мнимой единице, т. е.
a
+ bi
= c
+ di,
если a
= c
и b
= d.

Пример
2.
Найти x
и y
из равенства:

а)
3y
+ 5xi
= 15 – 7i;

б)
(2x
+ 3y)
+ (x
– y)i
= 7 + 6i.

Решение.
а) Согласно условию равенства комплексных
чисел имеем 3y
= 15, 5x
= – 7. Отсюда

б)
Из условия равенства комплексных чисел
следует

Умножив
второе уравнение на 3 и сложив результат
с первым уравнением, имеем 5x
= 25, т. е. x
= 5. Подставим это значение во второе
уравнение: 5 – y
= 6, откуда y
= – 1. Итак, получаем ответ: x
= 5, y
= – 1.

8–13.
Найдите значения x
и y
из равенств:

8.
7x
+ 5i
= 1 – 10iy.

9.
(2x
+ y)
– i
= 5 + (y
– x)i.

10.
x
+ (3x
– y)i
= 2 – i.

11.
(1
+ 2i)x
+ (3 – 5i)y
= 1 – 3i.

12.
(2 – i)x
+ (1 + i)y
= 5 – i.

13.
(3i
– 1)x
+ (2 – 3i)y
= 2 – 3i.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин может употребляться также в обобщённом смысле не только для комплексных чисел^[⇨].

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0 с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение $x^{2}+1=0$ не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Содержание

1 Определение
2 Степени мнимой единицы
3 Факториал
4 Корни из мнимой единицы
5 Иные мнимые единицы
6 К вопросу об интерпретации и названии
7 Обозначения
8 См.также
9 Примечания
10 Ссылки

Определение[править | править код]

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. — это одно из решений уравнения

$x^{2}+1=0,$

или $x^{2}=-1.$

И тогда его вторым решением будет , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы[править | править код]

Степени повторяются в цикле:

${displaystyle i^{-3}=i}$

${displaystyle i^{-2}=-1}$

${displaystyle i^{-1}=-i}$

${displaystyle i^{0}=1}$

${displaystyle i^{1}=i}$

$i^{2}=-1$

${displaystyle i^{3}=-i}$

${displaystyle i^{4}=1}$

Что может быть записано для любой степени в виде:

${displaystyle i^{4n}=1}$

${displaystyle i^{4n+1}=i}$

${displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${displaystyle i^{4n+3}=-i.}$

где n — любое целое число.

Отсюда: ${displaystyle i^{n}=i^{n{bmod {4}}}}$
где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число $i^{i}$ является вещественным:

$i^{i}={e^{(ipi /2)i}}=e^{i^{2}pi /2}=e^{-pi /2}=0{,}20787957635ldots$

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень: ${displaystyle x^{y}=exp(ycdot operatorname {Ln} x)}$ является многозначной функцией, поэтому

${displaystyle i^{i}=e^{-{frac {pi (1+4n)}{2}}}}$

, где

Также верно, что ${displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}$ .

Факториал[править | править код]

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

Также

|i!|={sqrt {pi over sinh(pi )}}approx 0.521564....

^[1]

Корни из мнимой единицы[править | править код]

Корни квадратные из мнимой единицы

Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

$u_{k}=cos {frac {{frac {pi }{2}}+2pi k}{n}}+i sin {frac {{frac {pi }{2}}+2pi k}{n}},quad k=0,1,...,n-1$

В частности, ${sqrt {i}}=left{{frac {1+i}{sqrt {2}}}; {frac {-1-i}{sqrt {2}}}right}$ и ${sqrt[{3}]{i}}=left{-i; {frac {i+{sqrt {3}}}{2}}; {frac {i-{sqrt {3}}}{2}}right}$

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

$u_{k}=e^{frac {({frac {pi }{2}}+2pi k)i}{n}},quad k=0,1,...,n-1$

Иные мнимые единицы[править | править код]

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i».
Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения « $x^{2}=-1$ ».

К вопросу об интерпретации и названии[править | править код]

Обозначения[править | править код]

Обычное обозначение , но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать , чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: .

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как I.

См.также[править | править код]

Дуальные числа и Двойные числа
Комплексный анализ
Кватернион
Гиперкомплексное число

Примечания[править | править код]

↑ «abs(i!)», WolframAlpha.

Ссылки[править | править код]

Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Источник