Калькулятор далее представляет входной многочлен нескольких переменных в стандартном виде (раскрывает скобки, возводит в степень и приводит подобные члены). Переменные многочлена можно задать строчными английскими буквами или в виде мультииндекса (массива степеней переменных). Например, записи 3a^2bd +c и 3[2 1 0 1] + [0 0 1] эквивалентны. Вывод результата возможен в виде буквенной и индексной записях, либо в также в виде мультииндекса. Также выводится степень многочлена и вектор степеней одночленов. Коэффициенты результирующего многочлена рассчитываются в поле рациональных или вещественных чисел.
Стандартный вид многочлена
Многочлен нескольких переменных
Одночлен
Одночлен представляет собой произведение переменных xi в степени ai, где ai — целое неотрицательное число:
Если переменных не так много, то вместо индексной записи можно записывать все переменные при помощи отдельных латинских букв:
например, x12x2 или x2y — эквивалентные записи одночлена двух переменных.
Вектор, составленный из показателей степеней одночлена называется мультииндекс:
Пример: мультииндекс одночлена x2y3z = (2,3,1)
Степенью одночлена называется сумма всех показателей степеней переменных этого одночлена:
Например, степень одночлена: x2y3z равна 2+3+1 = 6
Многочлен
Многочлен в стандартном виде это конечная сумма одночленов помноженных на коэффициенты:
Степенью многочлена deg(f) называется максимальная степень |a| всех одночленов многочлена, с ненулевыми коэффициентами.
В отличие от многочленов одной переменной, многочлены многих переменных могут иметь несколько одночленов с одинаковой степенью.
В связи с этим возникает вопрос определения порядка на множестве членов многочлена.
Порядок членов многочлена1
Известно несколько способов задания порядка членов многочлена.
Лексикографический порядок
Наиболее простой порядок — лексикографический. В этом случае самая левая ненулевая координата вектора, полученного вычитанием мультииндексов сравниваемых одночленов положительна:
Пример лексикографического сравнения:
Первый одночлен xα больше второго xβ, так как при вычитании мультииндексов первая ненулевая координата (0,1,-2) положительна.
Градуированный лексикографический порядок
Градуированный лексикографический порядок определяется в первую очередь степенью одночлена, если степень больше, то и одночлен считается больше. В случае равных степеней используется лексикографическое сравнение:
Примеры градуированного лексикографического сравнения:
а)
Одночлен xβ больше чем xα, так как степень |β|=7 больше степени |α|=6.
б)
Одночлен xα больше чем xγ, так как степени равны, но лексикографически первый одночлен больше второго.
Градуированный обратный лексикографический порядок
Градуированный обратный лексикографический порядок сходен с предыдущим в том, что в первую очередь он определяется степенью одночлена, если степень больше, то и одночлен считается больше. В случае равных степеней, одночлен больше, если самая правая ненулевая координата вектора, полученного вычитанием мультииндексов сравниваемых одночленов отрицательна.
Примеры градуированного обратного лексикографического сравнения:
а)
Одночлен xβ больше чем xα, так как степень |β|=7 больше степени |α|=6.
б)
Одночлен xγ больше чем xα, так как степени равны, но при вычитании мультииндексов самая правая ненулевая координата вектора разницы мультииндексов (-1,2,-1) отрицательна.
Поделиться калькулятором алгебры
Добавить в закладки
Добавьте калькулятор алгебры в закладки вашего браузера
1. Для Windows или Linux — нажмите Ctrl + D .
2. Для MacOS — нажмите Cmd + D .
3. Для iPhone (Safari) — нажмите и удерживайте , затем нажмите Добавить закладку
4. Для Google Chrome : нажмите 3 точки в правом верхнем углу, затем нажмите знак звездочки
Как пользоваться?
Возведение многочлена в степень
Для того, что бы возвести многочлен или одночлен в нужную вам степень, заполните нужные значения.
Другие онлайн калькуляторы
- Сокращение многочленов
- Умножение многочленов
- Деление многочленов
Описание онлайн калькулятора
С помощью данного онлайн калькулятора Вы сможете возвести многочлен или одночлен в нужную вам степень, а так же проверить правильность своего решения.
Описание работы онлайн калькулятора
- В поля ввода значений можно вводить целые и дробные числа (2.3, -5/2, -10, 51);
- В поля ввода степеней можно вводить только целые положительные числа (1, 2, 3);
Свои вопросы по работе данного онлайн калькулятора, Вы всегда можете задать в комментариях.
Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
( 5a^4 — 2a^3 + 0,3a^2 — 4,6a + 8 )
( xy^3 — 5x^2y + 9x^3 — 7y^2 + 6x + 5y — 2 )
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам,
считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
( 8b^5 — 2b cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b cdot (-12)b + 16 )
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
( 8b^5 — 2b cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b cdot (-12)b + 16 = )
( = 8b^5 — 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 )
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
( 8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 )
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов.
Так, двучлен ( 12a^2b — 7b ) имеет третью степень, а трехчлен ( 2b^2 -7b + 6 ) — вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
( 5x — 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 — 18x^3 + 5x + 1 )
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это
преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
( 9a^2b(7a^2 — 5ab — 4b^2) = )
( = 9a^2b cdot 7a^2 + 9a^2b cdot (-5ab) + 9a^2b cdot (-4b^2) = )
( = 63a^4b — 45a^3b^2 — 36a^2b^3 )
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные
произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто
встречаются выражения ( (a + b)^2, ; (a — b)^2 ) и ( a^2 — b^2 ), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.
Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, ( (a + b)^2 ) — это, конечно, не просто квадрат
суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем
оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения ( (a + b)^2, ; (a — b)^2 ) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = )
( = a^2 + 2ab + b^2 )
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab ) — квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
( (a — b)^2 = a^2 + b^2 — 2ab ) — квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) ) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми.
Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько
примеров использования формул сокращенного умножения.
Быстрое возведение в степень полинома
Калькулятор возводит заданный многочлен в степень в конечном поле
Быстрое возведение в степень полинома
Ноль для кольца целых чисел
Можно оставить пустым, если усечение не требуется в противном случае при каждом умножении будет браться остаток от деления на данный полином
Калькуляторы, использующие этот калькулятор
- Разложение дроби на части 2
- Разложение многочлена на множители методом Кантора-Зассенхауза
- Разложение многочленов по определенным степеням
- Разложение полинома с рациональными коэффициентами
Этот калькулятор использует следующие калькуляторы
- Деление многочленов
- Представление множителей полинома
- Умножение многочленов
Ссылка скопирована в буфер обмена
Похожие калькуляторы
- • Расширенный НОД полиномов в конечном поле
- • Свободное от квадратов разложение многочлена в конечном поле
- • Определение пола будущего ребенка
- • Разложение многочлена на множители определенной степени
- • Факторизация полинома в конечном поле
- • Раздел: Алгебра ( 46 калькуляторов )
PLANETCALC, Быстрое возведение в степень полинома
Anton2020-11-03 14:19:37