Как найти степень произведения многочленов 7 класс

Что такое многочлены? Познакомимся с этим понятием из курса математики 7 класс. Мы с вами дадим определение многочленам, рассмотрим какие выражения можно назвать многочленами, а какие нельзя. Разберем что такое многочлен стандартного вида и степень многочлена и решим несколько примеров на определение степени многочлена и приведение подобных слагаемых.

Определение многочлена

Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов. То есть многочлен – это алгебраическое выражение, которое записывается в виде суммы одночленов.

Пример многочлена: .

Неправильно

Как отличить многочлен от не многочлена – обратите внимание на варианты неправильного называния не многочлена многочленом:

Виды многочленов

Среди многочленов выделяют следующие виды многочлены:

• Многочлен состоящий из одного одночлена называется одночленом.
• Многочлен, состоящий из двух одночленов, называется двучленом или биномом.
• Многочлен, состоящий из трех одночленов, называется трехчленом.

Это стандартные называния таких многочленов, многочлен, состоящий из любого произвольного числа одночленов, большего трех, называется просто многочленом.

Стандартный вид многочлена

Если все входящие в многочлен одночлены имеют стандартный вид и в многочлене приведены подобные слагаемые, то такой многочлен называется многочленом стандартного вида.

Приведем пример: выражение является многочленом стандартного вида.

Степень многочлена

Чтобы определить степень многочлена нужно найти одночлен с наибольшей степенью, входящий в его состав. Например, в многочлене наибольшая степень у одночлена , у которого степень 5. Таким образом, и многочлен будет пятой степени.

Сложение подобных слагаемых

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одним членом, если сложить их числовые коэффициенты и оставить буквенную часть. Такое сложение или, иначе, тождественное преобразование, называют приведением подобных слагаемых.

Приведем пример: в многочлене можно сложить подобные слагаемые и , тогда мы получим: и .

Многочлен можно записать в виде

Примеры решения задач

Задание 1

Определите степень многочлена .

Решение: наибольшая степень у одночлена , значит, степень многочлена – 3.

Задание 2

Приведите подобные слагаемые многочлена: .

Решение: сложим слагаемые одинаковой степени, это и , а также сложим и . Подчеркнем подобные слагаемые одинаковыми чертами. Получаем, .

Ответ: .

Задание 3

Приведите подобные члены многочлена:

.

Решение: выделим подобные слагаемые и сложим их: .

Ответ: .

Задание 4

Приведите подобные члены многочлена:

.

Решение: подчеркнем подобные слагаемые и выполним сложение: .

Ответ: .

Задание 5

Приведите подобные члены многочлена:

.

Решение: .

Ответ:

Задание 6

Приведите подобные члены многочлена:

Решение: .

Ответ: .

Задание 7

Приведите подобные члены многочлена: .

Решение: .

Ответ: .

Задание 8

Приведите подобные члены многочлена: .

Решение: .

Ответ:

Часто путают понятия одночлена и многочлена.

Давайте разберемся, что называют одночленом, а что многочленом.
Прежде всего, вспомним, что называли одночленом в уроке «Одночлены».

Обратите внимание, что «внутри» одночлена (между буквами и числовым коэффициентом) есть только знак умножения.
Например, в одночлене:
3ab = 3 · a · b

Примеры многочленов:
a + 2b² − c;
 3t⁵ − 4b;
  4 − 6xy

Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов.

Рассмотрим многочлен подробнее.

Возникает вопрос, почему многочленом называют алгебраическую сумму
одночленов, если в многочлене присутствует
знак минуса.

Это объясняется тем, что на самом деле знак «−» относится к числовому коэффициенту одночлена,
который стоит справа от знака.

Любой многочлен можно записать
по правилу знаков
как сумму одночленов.

В многочлене знак, который стоит слева от одночлена относится к числовому коэффициенту самого одночлена.

Как найти степень многочлена

То есть, чтобы найти степень многочлена, нужно сначала найти
степень каждого одночлена, который входит в
состав многочлена.

Степени многочленов

Многочлен	Степень многочлена
a2 − 3a2b + x = a2(степень одночлена 2) − 3a2b(степень одночлена 3) + x(степень одночлена 1)	3
1 3 x2y2 + 4x2 = 1 3 x2y2(степень одночлена 4) + 4x2(степень одночлена 2)	4
8x2 − 3a + 4 = 8x2(степень одночлена 2) − 3a(степень одночлена 1) + 4(степень одночлена 0)	2

Любой одночлен является многочленом.
В самом деле, любой одночлен, по сути, является многочленом, который состоит всего из одного одночлена.

Примеры таких многочленов: 2a²b; 
−3d³;  a.

Число «0» называют нулевым многочленом.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Что такое многочлен?

Многочлен – это сумма одночленов. Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами данного многочлена. Если многочлены состоят из двух или трех слагаемых, то их можно называть двучленами или трехчленами соответственно.

Пример №1.

• –12х⁶+ 35с данный многочлен состоит из двух слагаемых – одночленов, таких как: –12х⁶ и 35с. Еще такой многочлен можно называть двучленом.
• 47с²+11с–34 данный многочлен состоит из трех слагаемых. Такой многочлен можно назвать трехчленом.
• 4х³+13а²–45с+28 данный многочлен состоит из четырех слагаемых – одночленов, таких как: 4х³; 13а²; – 45с; 28.

Стандартный вид многочлена

Что такое стандартный вид многочлена?

Многочлен называется приведенным к стандартному виду, если он не имеет подобных слагаемых, и каждый его член имеет также стандартный вид.

Вспомним, что слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть или не имеющие буквенной части называют подобными. Если такие слагаемые есть, то их нужно сложить или вычесть, это действие называют приведением подобных слагаемых.

Пример №2.

13х²–6х+11х²

Данный трехчлен имеет подобные слагаемые (они выделены). Они имеют одинаковые знаки, поэтому мы их складываем и получаем 24х². Слагаемое –6х не имеет подобных, поэтому его просто переписываем и получаем многочлен в стандартном виде:

13х²–6х+11х²=24х²–6х

Пример №3.

6а³с⁴+32х–9а³с⁴+45х–16

Данный многочлен имеет две группы подобных слагаемых, одна выделена красным цветом, вторая синим цветом, слагаемое –16 не имеет подобных, поэтому его просто перепишем. Приводим подобные слагаемые и получаем многочлен стандартного вида:

6а³с⁴+32х–9а³с⁴+45х–16= –3а³с⁴+77х–16

Степень многочлена

Что такое степень многочлена?

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. При этом многочлен должен быть записан в стандартном виде. Рассмотрим на примерах, как определить степени многочленов.

Пример №4.

4с⁶+7а⁹–18х

Степень многочлена, записанного в стандартном виде, равна 9, так как одночлен 7а⁹ имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с⁶ и –18х.

Пример №5.

13х⁴у⁷+12х³у⁶–13

степень данного многочлена стандартного вида находим по наибольшей степени каждого одночлена: одночлен 13х⁴у⁷ имеет 11 степень, так как складываем показатели 4 и 7; одночлен 12х³у⁶ имеет соответственно 9 степень, а –13 имеет степень равную нулю (не содержит переменных). Таким образом, получается, что наибольшая степень равна 11, значит и степень всего многочлена равна 11.

Пример №6.

6а⁵+8ас+2а⁵–11ас

Данный многочлен не является многочленом стандартного вида, поэтому сначала приведем подобные слагаемые, получим 6а⁵+8ас+2а⁵–11ас=8а⁵–3ас. Теперь найдем степень у каждого одночлена: у 8а⁵ пятая степень, у 3ас – вторая (каждая переменная имеет первую степень). Значит, у многочлена 6а⁵+8ас+2а⁵–11ас степень равна 5.

Сложение и вычитание многочленов

Многочлены можно как складывать, так и вычитать. То есть сумму или разность многочленов можно представить в виде многочлена стандартного вида. Рассмотрим на примерах сложение и вычитание многочленов.

Пример №7. Выполним сложение многочленов:

6х²+8х–11 и –9х²+3х+19

Сначала составим их сумму (6х²+8х–11) + (–9х²+3х+19), теперь раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то знаки у слагаемых в скобках не изменяются:

6х²+8х–11–9х²+3х+19

Теперь приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:

–3х²+11х+8

Пример №8. Выполним вычитание многочленов:

7х⁵+12х³–24 и 2х⁵+36х³–11

Составим разность многочленов (7х⁵+12х³– 24) – (2х⁵+36х³–11), раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить знаки у слагаемых в скобках на противоположные:

7х⁵+12х³– 24 – 2х⁵–36х³+11

Приведем подобные слагаемые и получим многочлен:

5х⁵– 24х³–13

Умножение одночлена на многочлен

Как умножить многочлен на одночлен?

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.

Пример №9. Умножим одночлен 7х на многочлен 6х²+3х–5. Запишем в виде произведения:

7х•(6х²+3х–5)

выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х²+7х•3х–7х•(–5) и получим:

42х³+21х²+35х

Запись данного выражения можно делать короче, выполняя промежуточные действия устно:

7х•(6х²+3х–5)= 42х³+21х²+35х

Пример №10.

92с(–2с+10а⁶)= –184с²+920са⁶

Здесь выполнение умножения одночлена на многочлен выполнено без записи промежуточных действий умножения.

Умножение многочлена на многочлен

Как умножить многочлен на многочлен?

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Пример №11. Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).

Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); получим:

ах+ас+сх+с²

Получили многочлен в стандартном виде. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:

(а+с)(х+с)=ах+ас+сх+с²

Пример №12. Умножим многочлен 8х³–12х на многочлен 3х⁵–10х. Имеем:

(8х³–12х)(3х⁵–10х)=8х³•3х⁵+8х³•(–10х)–12х•3х⁵–12х•(–10х)=24х⁸–80х⁴ –36х⁶+120х²

Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лучше расписывать, чтобы не допустить ошибок.

Разложение многочлена на множители

Существуют такие способы для разложения многочлена на множители, как вынесение общего множителя за скобки и разложение на множители способом группировки.

Способ №1. Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки – это представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена.

Пример №13. Вынесем общий множитель в выражении 6х⁴ – 20х². Для этого удобнее сначала найти наибольший общий делитель у чисел – это число 2, а затем общий делитель у переменных, которые одинаковы по своей буквенной части, но имеют разные показатели степени. В этом случае общим делителем является переменная в наименьшей степени, то есть х². Запись выглядит следующим образом:

6х⁴ – 20х²=2х²(3х²–10)

При вынесении за скобки степеней помним правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем, а основание оставляем прежним.

Пример №14. Разложим на множители многочлен:

12с⁵х⁷–36с⁶х²+72асх³

Найдем сначала наибольший делитель для чисел 12, 36 и 72, это будет 12. Затем выберем у переменных те, которые имеют наименьшую степень и содержатся в каждом слагаемом, это с и х². Вынесем за скобки 12сх² и получим:

12с⁵х⁷–36с⁶х²+72асх³=12сх²(с⁴х⁵–3с⁵+6ах)

Сделаем вывод, что вынесение общего множителя за скобки – это выполнение действия деления каждого члена многочлена на его общий делитель.

Способ №2. Способ группировки.

Чтобы выполнить разложение на множители способом группировки необходимо следовать определенному алгоритму (ключевое слово в данном способе – группировка). Группировка слагаемых  выполняется таким образом, чтобы в каждой группе можно было выполнить вынесение общего множителя за скобки, а в скобках оставались одинаковые выражения, это обычно определяется устно.

Пример №15. Разложим на множители многочлен:

ах+сd+cx+ad

Сгруппируем, например, слагаемые первое с последним, а второе с третьим (можно было первое с третьим, а второе с последним):

(ах+ad)+(сd+cx)

Теперь видим, что в каждой группе есть множитель, который можно вынести за скобки:

(ах+ad)+(сd+cx)= а(х+d)+с(d+x)

В полученном выражении видно, что в обеих скобках есть сумма х и d, вынесем эту сумму снова за скобки:

(ах+ad)+(сd+cx)= а(х+d)+с(d+x)= (х+d)(с+а)

Таким образом, мы получили произведение двух выражений, то есть разложили  данный многочлен на множители.

Пример №16. Разложим на множители многочлен:

7a–7b+an–bn

Сгруппируем по порядку, чтобы знаки у слагаемых в скобках были одинаковые:

7a–7b+an–bn=(7a–7b)+(an–bn)

Вынесем общий множитель в каждой группе:

7a–7b+an–bn=(7a–7b)+(an–bn) =7(a–b)+n(a–b)

Вынесем за скобки одинаковые выражения:

7a–7b+an–bn=(7a–7b)+(an–bn) =7(a–b)+n(a–b)=(a–b)(7+n)

Пример №17. Разложим на множители многочлен:

х⁵–х³–х²+1

Сгруппируем по порядку, обращая внимание на знак перед х²:

х⁵–х³–х²+1 =(х⁵–х³)–(х²–1)

Если перед первым слагаемым, которое мы заключаем в скобки, стоит знак «минус», то мы ставим его перед скобкой, а знаки у слагаемых в скобках изменяем на противоположные. Тогда у нас в обеих скобках получатся одинаковые знаки.

Выносим за скобки общий множитель. В данном случае он есть только в первых скобках:

х⁵–х³–х²+1 =(х⁵–х³)–(х²–1)= х³(х²–1)–(х²–1)

Выносим за скобки одинаковые выражения, обращая внимание на то, что перед второй скобкой не записан общий множитель, значит, он равен 1:

х⁵–х³–х²+1 =(х⁵–х³)–(х²–1)= х³(х²–1)–(х²–1)=(х²–1)(х³–1)

Алла Василевская | Просмотров: 4.8k

Содержание:

Многочлены

Многочлен

Выражение

Определение: Многочленом называют сумму нескольких одночленов.

Одночлены, составляющие многочлен, называют членами этого многочлена.

Например, членами многочлена являются одночлены

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д. Так,

— двучлены;

— трехчлены.

Считают, что каждый одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Многочлен стандартного вида

Рассмотрим многочлен Два его члена являются подобными слагаемыми, поскольку отличаются только числовыми множителями. Члены -6 и 3 не содержат переменных. Они также являются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена.

Приведем в многочлене его подобные члены:

Многочлен уже не имеет подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Определение:

Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов, называют многочленом стандартного вида.

Среди многочленов

только первый является многочленом стандартного вида, а два другие — нет, поскольку во втором многочлене первый член не является одночленом стандартного вида, а третий многочлен имеет подобные члены.

Степень многочлена

Многочлен имеет стандартный вид, и его членами являются одночлены соответственно четвертой, третьей и первой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью данного многочлена. Итак, — многочлен четвертой степени.

Определение:

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую степень одночленов, образующих данный многочлен.

По этому определению — многочлены первой степени; — многочлен второй степени; — многочлен шестой степени.

Члены многочлена можно записывать в произвольном порядке. Для многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, члены, как правило, записывают в порядке убывания или возрастания показателей степеней. Например:

Каждый многочлен является целым выражением. Однако не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения — не многочлены, поскольку они не являются суммами одночленов.

Примеры выполнения заданий:

Пример №117

Записать в стандартному виде многочлен:

Сложение и вычитание многочленов

Сложение многочленов

Сложим многочлены

.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали сумму данных многочленов в виде многочлена. Итак, суммой многочленов является многочлен

Таким же образом находят сумму трех и более многочленов. Сумму любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Вычитание многочленов

Вычтем из многочлена многочлен

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали разность данных многочленов в виде многочлена. Итак, разностью многочленов является многочлен

Разность любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №118

Найти сумму многочленов:

Пример №119

Найти разность многочленов

Решение:

Пример №120

Решить уравнение

Решение:

Ответ.-1,5.

Пример №121

Доказать, что сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3.

Решение:

Пусть из трех последовательных нечетных чисел наименьшим является где — некоторое целое число. Тогда следующие нечетные числа — Сумма этих трех чисел

делится на 3, поскольку имеет делитель 3.

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен на многочлен Используя распределительное свойство умножения, получим:

Итак, произведением одночлена и многочлена является многочлен Чтобы найти произведение, мы умножили одночлен на каждый член многочлена и полученные результаты сложили.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

По этому правилу можно умножать и многочлен на одночлен. Например:

Произведение любого одночлена и любого многочлена всегда можно :ать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №122

Выполнить умножение:

Сокращенная запись:

Сокращенная запись:

Пример №123

Упростить выражение

Решение:

Пример №124

Решить уравнение

Решение:

Ответ. 0,5.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен на многочлен Сведем умножение этих многочленов к умножению многочлена на одночлен. Для этого обозначим многочлен через Тогда:

Возвращаясь к замене получаем:

Итак, произведением многочлена и многочлена является многочлен

Выражение мы получили бы сразу, если бы умножили , потом и полученные произведения сложили. Можно сказать и так: произведение можно получить, если умножить каждый член многочлена на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Приходим к такому правилу:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножим по этому правилу многочлен на многочлен

Выполняя умножение многочленов, промежуточные результаты можно не записывать:

В каждом из рассмотренных примеров произведение двух многочленов мы записывали в виде многочлена. Вообще, произведение любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры выполнения заданий:

Пример №125

Выполнить умножение:

б) Найдем произведение первых двух многочленов, а потом полученное произведение умножим на третий многочлен:

Пример №126

Решить уравнение

Решение:

Ответ.-1,8.

Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

1. В шестом классе мы изучали разложение чисел на множители. Например, число 60 можно записать в виде произведения двух чисел 12 и 5:

Говорят, что число 60 разложили на два множителя 12 и 5.

На множители можно разложить и многочлены. Например,

Записав многочлен в виде произведения говорят, что многочлен разложили на два множителя Каждый из этих множителей — многочлен (первый многочлен состоит только из одного члена).

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения нескольких многочленов.

Сравните

2. Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители. Выполним умножение одночлена на многочлен:

Перепишем эти равенства в обратном порядке:

Многочлен разложили на два множителя Чтобы разложить многочлен на множители, достаточно в его членах и выделить общий множитель а потом на основании распределительного свойства умножения записать полученное выражение в виде произведения многочленов

Такой способ разложения многочленов на множители называют способом вынесения общего множителя за скобки.

Примеры выполнения заданий:

Пример №127

Разложить на множителя многочлен 12х³у — 18х²у².

Решение:

Сначала найдем общий числовой множитель для коэффициентов 12 и -18. Если коэффициентами являются целые числа, то в качестве общего числового множителя берут, как правило, наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов. В нашем случае это число 6. Степени с основанием входят в оба члена многочлена. Поскольку первый член содержит а второй — , то общим множителем для степеней с основанием является (за скобки выносят переменную с меньшим показателем). В члены многочлена входят соответственно множители и , за скобки можно вынести . Таким образом, за скобки можно вынести одночлен

Пример №128

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №129

Разложить на множители:

Решение:

Данное выражение является суммой двух слагаемых, для которых общим множителем является выражение Вынесем этот множитель за скобки:

Пример №130

Разложить на множители:

Решение:

Слагаемые имеют множители и которые отличаются только знаками. В выражении вынесем за скобки -1, тогда второе слагаемое будет иметь вид и оба слагаемых будут иметь общий множитель .

Следовательно,

Пример №131

Найти значение выражения при

Решение:

Разложим сначала многочлен на множители:

При получим:

Пример №132

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Ответ. 0; -1,25.

Разложение многочленов на множители способом группировки

Изучение этого способа разложения многочленов на множители начнем с рассмотрения примера умножения многочленов. Выполним умножение двучлена на двучлен следующим образом:

Выполняя преобразования в обратном порядке, многочлен можно разложить на два множителя

Проанализируем последние преобразования. Имеем многочлен, члены которого можно группировать так, чтобы каждая группа имела общий множитель: для группы — общий множитель для группы — общий множитель В каждой группе выносим общий множитель за скобки. В образованной разности имеем общий множитель Выносим его за скобки и получаем

Рассмотренный способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. При применении этого способа нужно образовывать такие группы членов, чтобы они имели общий множитель. После вынесения в каждой группе общего множителя за скобки должен образоваться общин множитель для всех групп, который также нужно вынести за скобки.

Многочлен можно разложить на множители, группируя его члены иначе:

Сравните

Примеры выполнения заданий:

Пример №133

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №134

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Представим второй член в виде Тогда:

Алгебра

7 класс

Урок № 22

Произведение многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Произведение многочленов.
• Стандартный вид многочлена.
• Разложение многочленов на множители.

Тезаурус:

Многочлен – сумма одночленов.

Любой многочлен можно разложить на два множителя, один из которых это число, не равное нулю.

Произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.

Чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Это мы научились выполнять на предыдущем занятии.

Сегодня мы будем находить произведение многочленов.

Для начала выясним, что такое произведение многочленов.

Оказывается, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена другого многочлена. Т. е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Например, так выглядит произведение многочленов а + с и многочлена х + у.

Найдите произведение многочленов а + с и х + у.

Решение:

Видно, что произведение двух многочленов не зависит от того, какой из многочленов будем мы умножать.

Если поменяем полученные равенства местами, то получим разложение многочлена на множители.

ах + ау + сх +су = (а + с)(х + у)

Введём определение разложения многочлена на множители.

Разложением многочлена на множители называют его преобразование в произведение двух или нескольких многочленов.

Оказывается, любой многочлен можно разложить на два множителя, один из которых — это число, не равное нулю.

Пример. Разложите многочлен на множители

Для этого возьмём любое число, не равное нулю, например, пять, вынесем его за скобки. Получается разложение на множители, один из которых имеет нулевую степень (это число пять), а другой – ту же степень, что и исходный многочлен (степень многочлена один).

Стоит отметить, что, если при умножении многочленов, один из них не представлен (или записан) в нестандартном виде, то его сначала можно привести к стандартному виду, а затем выполнить вычисления. В противном случае вычисления могут быть более сложными.

Пример.

Найдём двумя способами произведение многочленов (2а – 4с + а)( х + 3у +х).

Первый способ: сначала приведём к стандартному виду тот многочлен, который записан не в стандартном виде, и затем выполним умножение.

Второй способ: будем выполнять умножение сразу, а затем приводить полученный многочлен к стандартному виду.

Запись первым способом короче, но результат вычислений одинаковый.

Выполним ещё одно задание.

Найдём произведение многочленов.

Данное выражение будет равно нулю.

Следовательно, произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.

Докажем равенство.

Доказательство: для доказательства данного равенства, воспользуемся формулой площади прямоугольника. S = ab, где а, b – стороны прямоугольника.

Для этого на рисунке выделим 6 прямоугольников (первый – со сторонами а и с, второй – со сторонами у и с, третий – со сторонами а и k, четвёртый – со сторонами а и х, пятый – со сторонами у и k, шестой – со сторонами у и х).

Чтобы найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, можно найти площадь каждого из шести прямоугольников, а затем сложить все найденные площади. Или сразу найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, как произведение двух его смежных сторон (а + у) и (с + k + х).

Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Упростите выражение.

Варианты ответов:

Это верное выражение.

Ответ: 3у.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как находить произведение многочленов, раскрывать скобки, выполнять разложение многочленов на множители.