Как найти степень сравнения в математике

Например, нам необходимо сравнить две дроби: ( 1,6) и ( 1frac{6}{13}).

Давай разберем каждый вариант

Вариант 1. Сравнение дробей с помощью приведения к общему знаменателю

Запишем ( 1,6) в виде обыкновенной дроби:

( 1,6=1frac{6}{10}=1frac{3}{5}) — (как ты видишь, я также сократила на ( 2) числитель и знаменатель).

Теперь нам необходимо сравнить дроби:

( 1frac{3}{5}) и ( 1frac{6}{13})

Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:

Способ 1. Числитель больше знаменателя

Просто приведите все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):

( 1,6>1frac{6}{13})

Способ 2. Отбросьте единицу

«Отбросьте» ( 1) (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:

Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю

Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?»

Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».

Например, ты же точно скажешь, что ( frac{8}{13}<frac{12}{13}) Верно?

А если нам надо сравнить такие дроби: ( frac{6}{13}vee frac{6}{28})?

Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае ( 6) делят на ( 13) частей, а во втором на целых ( 28), значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно: ( frac{6}{13}>frac{6}{28}).

Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?

Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить ( 1frac{3}{5})и ( 1frac{6}{13}). Будем сравнивать ( frac{3}{5}) и ( frac{6}{13}).

Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю.

Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на ( 2). Получим:

( frac{6}{10}) и ( frac{6}{13}).

Какая дробь больше? Правильно, первая.

Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания

Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто.

Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.

В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: ( 1frac{6}{13}-1,6).

Как ты уже понял, мы так же переводим ( 1,6) в обыкновенную дробь и получаем тот же результат — ( 1frac{3}{5}) .

Наше выражение приобретает вид:

Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:

Приводим к общему знаменателю:

Правильно, первое число больше второго.

( 1,6>1frac{6}{13})

Вариант 5. Сравнение дробей с помощью деления

Да, да. И так тоже можно.

Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от ( 0) до ( 1).

Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например, ( 6) и ( 4). Ты же знаешь, что ( 6) больше ( 4)?

Теперь разделим ( 6) на ( 4). Наш ответ — ( 1,5). Соответственно, теория верна.

Если мы разделим ( displaystyle 4) на ( 6), что мы получим ( 0,left( 6 right)) – меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что ( displaystyle 4) на самом деле меньше ( 6).

Попробуем применить это правило на обыкновенных дробях. Сравним:

( frac{6}{8}<frac{10}{12})

Мы разобрали все возможные варианты сравнения дробей. Как мы и говорили их пять.

Сравнение степеней

Теперь представим, что нам необходимо сравнить не просто числа, а выражения, где существует степень (читай раздел про степени).

Cравни: ( {{2}^{4}}vee {{2}^{6}}).

Конечно, ты без труда поставишь знак:

( {{2}^{4}}<{{2}^{6}}), ведь если мы заменим степень умножением, мы получим:

Если основание сравниваемых степеней одинаково, то больше та степень, у которой больше показатель степени.

Попробуй теперь сравнить следующее: ( {{5}^{4}}vee {{6}^{4}}). Ты так же без труда поставишь знак:

( {{5}^{4}}<{{6}^{4}}), потому что, если мы заменим возведение степень на умножение…

В общем, ты все понял, и это совсем несложно.

Сложности возникают только тогда, когда при сравнении у степеней разные и основания, и показатели.

В этом случае необходимо попробовать привести к общему основанию. Например:

Раскроем скобки и сравним то, что получится:

( {{2}^{2}}vee {{2}^{6}}) — легко?

( {{2}^{2}}<{{2}^{6}})

Сравнение чисел с корнем

Для начала вспомним, что такое корни? Вот эту ( sqrt[n]{a}=b) запись помнишь?

( sqrt[n]{a}=b {{b}^{n}}=a)

Корнем ( n-ой) степени из действительного числа ( a) называется такое число ( b), для которого выполняется равенство ( {{b}^{n}}=a).

Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени — только для положительных.

Значением корня часто является бесконечная десятичная дробь, что затрудняет его точное вычисление, поэтому важно уметь сравнивать корни.

Если ты подзабыл, что это такое и с чем его едят – почитай про корни здесь. Если все помнишь – давай учиться поэтапно сравнивать корни.

Допустим, нам необходимо сравнить:

Понял, о чем я говорю?

Да вот об этом: ( sqrt[3]{4}vee sqrt[3]{6})иначе можно записать как третья степень какого-то числа, равна подкоренному выражению.

Итак. Выведем правило.

Если показатели степени корней одинаковы (в нашем случае это ( 3)), то необходимо сравнивать подкоренные выражения (( 4) и ( 6)) — чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.

Сложно запомнить? Тогда просто держи в голове пример ( sqrt{16}) и ( sqrt{4}). Что больше?

А что, если подкоренные выражения одинаковые, а вот степени корней разные? Например: ( sqrt[4]{6}vee sqrt[3]{6}).

Тоже вполне понятно, что при извлечении корня большей степени получится меньшее число. Возьмем для примера:

( sqrt[3]{12}>sqrt[6]{12}).

Если подкоренные выражения одинаковы (в нашем случае ( 12)), а показатели степени корней различны (в нашем случае это ( 3) и ( 6)), то необходимо сравнивать показатели степени (( 3) и ( 6)) — чем больше показатель, тем меньше данное выражение.

Как избавляться от логарифмов

Как избавляться от логарифмов, подробно описано в теме «Логарифмические неравенства». Основные правила такие:

Пример.

Сравните числа: ( {{log }_{3}}5) и ( {{log }_{8}}26).

Решение:

Согласно вышеописанным правилам:

Правило сравнения логарифмов можно записать и короче:

( displaystyle {{log }_{a}}x-{{log }_{a}}yvee 0text{ }Leftrightarrow text{ }left( a-1 right)left( x-y right)vee 0)

Пример:

Что больше: ( displaystyle log _{0,3}^{2}sqrt{5}) или ( displaystyle log _{0,3}^{2}0,45)?

Решение:

( displaystyle begin{array}{l}log _{0,3}^{2}sqrt{5}vee log _{0,3}^{2}0,45text{ }Leftrightarrow text{ }log _{0,3}^{2}sqrt{5}-log _{0,3}^{2}0,45vee 0text{ }Leftrightarrow \left( {{log }_{0,3}}sqrt{5}-{{log }_{0,3}}0,45 right)left( {{log }_{0,3}}sqrt{5}+{{log }_{0,3}}0,45 right)vee 0text{ }Leftrightarrow \left( {{log }_{0,3}}sqrt{5}-{{log }_{0,3}}0,45 right)left( {{log }_{0,3}}sqrt{5}-{{log }_{0,3}}{{0,45}^{-1}} right)vee 0text{ }Leftrightarrow text{ }\underbrace{underbrace{left( 0,3-1 right)}_{<0}underbrace{left( sqrt{5}-0,45 right)}_{>0}underbrace{left( 0,3-1 right)}_{<0}}_{>0}left( sqrt{5}-frac{20}{9} right)vee 0text{ }Leftrightarrow \left( sqrt{5}-frac{20}{9} right)vee 0text{ }Leftrightarrow text{ }sqrt{5}vee frac{20}{9}text{ }Leftrightarrow text{ }5vee frac{400}{81}text{ }Leftrightarrow text{ }frac{400}{80}overset{>}{mathop{vee }},frac{400}{81}text{ }Rightarrow \Rightarrow text{ }underline{underline{log _{0,3}^{2}sqrt{5}>log _{0,3}^{2}0,45}}end{array})

Пример:

Сравните, какое из чисел больше: ( displaystyle log _{6}^{2}13text{ }vee text{ }2,25).

Решение:

( displaystyle begin{array}{l}log _{6}^{2}14vee 2,25text{ }Leftrightarrow text{ }log _{6}^{2}14-{{1,5}^{2}}vee 0text{ }Leftrightarrow text{ }\Leftrightarrow left( {{log }_{6}}14-{{log }_{6}}{{6}^{1,5}} right)underbrace{left( {{log }_{6}}14+{{log }_{6}}{{6}^{1,5}} right)}_{>0}vee 0text{ }Leftrightarrow \left( 6-1 right)left( 14-{{6}^{frac{3}{2}}} right)vee 0text{ }Leftrightarrow text{ }14vee sqrt{{{6}^{3}}}text{ }Leftrightarrow text{ }194overset{<}{mathop{vee }},216text{ }Rightarrow \Rightarrow text{ }underline{underline{log _{6}^{2}14<2,25}}end{array})

Сравнение тригонометрических выражений

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чего нужна единичная тригонометрическая окружность и как на ней найти значение тригонометрических функций?

Если ты не знаешь ответы на эти вопросы, очень рекомендую тебе прочитать теорию по этой теме. А если знаешь, то сравнить тригонометрические выражения между собой для тебя не составляет труда!

Немного освежим память.

Нарисуем единичную тригонометрическую окружность и вписанный в нее треугольник. Справился?

Теперь отметь, по какой стороне у нас откладывается косинус, а по какой синус, используя стороны треугольника. (ты, конечно помнишь, что синус, это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус прилежащей?). Нарисовал? Отлично!

Последний штрих – проставь, где у нас будет ( 0{}^circ ) , где ( 90{}^circ )и так далее. Проставил? Фух)

Сравниваем, что получилось у меня и у тебя.

Фух! А теперь приступаем к сравнению!

Допустим, нам необходимо сравнить ( sin 30{}^circ ) и ( sin 60{}^circ ).

Нарисуй эти углы, используя подсказки в рамочках (где у нас отмечено ( sin 0{}^circ ), где ( sin 90{}^circ )), откладывая точки на единичной окружности.

Справился? Вот что у меня получилось.

Теперь опустим перпендикуляр из точек, отмеченных нами на окружности на ось… Какую? Какая ось у нас показывает значение синусов? Правильно, ( Oy).

Вот что у тебя должно получиться:

Глядя на этот рисунок, что больше: ( sin 30{}^circ ) или ( sin 60{}^circ )?

Конечно, ( sin 60{}^circ ), ведь точка ( F) находится выше точки ( E).

Соответственно, смотрим, какая точка находится правее (ну или выше, как в случае с синусами), то значение и больше.

Наверное, ты уже догадываешься, как сравнивать тангенсы, верно? Все, что нужно, знать что такое тангенс.

Так что такое тангенс? Правильно, отношение синуса к косинусу.

Чтобы сравнить тангенсы мы так же рисуем угол, как и в предыдущем случае. Допустим, нам необходимо сравнить:

А теперь укажи значения косинуса на координатной прямой ( Ox). Получилось? Давай сравним:

Как ты думаешь, что будет дальше?

Распишем по отрезкам, что такое ( tg {{30}^{{}^circ }}) и ( tg {{30}^{{}^circ }})

А при ( tg {{30}^{{}^circ }}) мы маленький делим на большой. В ответе будет число, которое точно меньше единицы.

Так значение какого тригонометрического выражения больше?

Правильно:

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №8. Сравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. понятие сравнения двух чисел;
2. понятие сравнения по модулю;
3. основные свойства сравнений.

Глоссарий по теме

Определение. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на натуральное число m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m.

Свойства сравнений:

1. a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m), a ≡ c (mod m)
2. a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m)
3. a₁ ≡ b₁ (mod m), a₂ ≡ b₂ (mod m), … , a_k ≡ b_k (mod m) a₁+…+a_k ≡ b₁+…b_k(mod m)
4. a+b ≡ c (mod m) a ≡ c–b (mod m)
5. a ≡ b (mod m) a+mt ≡ b+mk(mod m) (t, k ∈ Z)
6. a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m)
7. a ≡ b (mod m) a^k ≡ b^k(mod m)
8. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk(mod m)
9. Если a ≡ b (mod m), (a, b) = c, (c, m) = 1 (mod m)
10. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk (mod mk)
11. a ≡ b (mod m), a = a₁d, b = b₁d, m = m₁d a₁ ≡ b₁(mod m₁)
12. a ≡ b (mod m₁), a ≡ b(mod m₂), …, a ≡ b(mod m_k) a ≡ b (mod НОК(m₁,…,m_k))
13. a ≡ b (mod m), d/m a ≡ b(mod d)
14. d/a, d/m, a ≡ b(mod m) d/b
15. a ≡ b (mod m) (a, m) = (b, m)

Теорема обратимости: обратный элемент для числа существует тогда и только тогда, когда это число взаимно простое с модулем.

Теорема 1. Если , то сравнение (7) имеет единственное решение.

Теорема 2. Если и число b не делится на d , то сравнение ax ≡ b (mod m) не имеет решений.

Теорема 3. Если и , b ≡ d то сравнение (7) имеет d решений.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Два целых числа, разность которых кратна данному натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m. (Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что по-русски означает «мера», «величина».) Утверждение «a сравнимо с b по модулю m» обычно записывают в виде a ≡ b (mod m), и называют сравнением. Вот примеры сравнений: 5 ≡ 1 (mod 2), 48 ≡ 0 (mod 6), 16 ≡ 9 (mod 5). Сравнение по модулю 1 выполняется для любых двух целых чисел, так как всякое число кратно 1. Два числа сравнимы по модулю 2, если они одной четности, т.е. либо оба четны, либо оба нечетны.

Определение сравнения было сформулировано в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования». Эту работу, написанную на латинском языке, начали печатать в 1797 г., но книга вышла в свет лишь в 1801 г. из-за того, что процесс книгопечатания в то время был чрезвычайно трудоемким и длительным. Первый раздел книги Гаусса так и называется: «О сравнении чисел вообще».

Сравнениями очень удобно пользоваться в тех случаях, когда достаточно знать в каких-либо исследованиях числа с точностью до кратных некоторого числа. Например, если нас интересует, на какую цифру оканчивается куб целого числа a, то нам достаточно знать a лишь с точностью до кратных числа 10, и можно пользоваться сравнениями по модулю 10.

Определение сравнений.

Определение. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на натуральное число m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m.

Мы выражаем это записью

a ≡ b (mod m), (1)

которая читается так: а сравнимо с b по модулю m.

Делитель m мы предполагаем натуральным; он называется модулем сравнения. Наше высказывание (1) означает, что

a — b = mk, где k — целое число. (2)

Пример 1.

1) 23 ≡ 8 (mod 5), так как 23 — 8 = 15 = 5 ∙ 3;

2) 47 ≡ 11 (mod 9), так как 47–11 = 36 = 9 ∙ 4;

3) —11 ≡ 5 (mod 8), так как — 11 — 5 = —16 = 8 ∙ (-2);

4) 81 ≡ 0 (mod 27), так как 81 — 0 = 81 = 27 ∙ 3.

Последний пример показывает, что вообще, вместо того, чтобы говорить: число а делится на число m, мы можем записать a ≡ 0 (mod m), так как это означает, что а — 0 = а = mk, где k — некоторое целое число.

Например, вместо того, чтобы сказать, что а — четное число, мы можем записать a ≡ 0 (mod 2).

Таким же образом видно, что нечетное число является числом, удовлетворяющим сравнению а ≡ 1 (mod 2).

Обобщим свойства сравнений:

1. a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m), a ≡ c (mod m)
2. a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m)
3. a₁ ≡ b₁ (mod m), a₂ ≡ b₂ (mod m), … , a_k ≡ b_k (mod m) => a₁+…+a_k ≡ b₁+…b_k(mod m)
4. a+b ≡ c (mod m) a ≡ c–b (mod m)
5. a ≡ b (mod m) a+mt ≡ b+mk(mod m) (t, k ∈ Z)
6. a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m)
7. a ≡ b (mod m) a^k ≡ b^k(mod m)
8. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk(mod m)
9. Если a ≡ b (mod m), (a, b) = c, (c, m) = 1 (mod m)
10. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk (mod mk)
11. a ≡ b (mod m), a = a₁d, b = b₁d, m = m₁d a₁ ≡ b₁(mod m₁)
12. a ≡ b (mod m₁), a ≡ b(mod m₂), …, a ≡ b(mod m_k) a ≡ b (mod НОК(m₁,…,m_k))
13. a ≡ b (mod m), d/m a ≡ b(mod d)
14. d/a, d/m, a ≡ b(mod m) d/b
15. a ≡ b (mod m) (a, m) = (b, m)

Нахождение обратного элемента

Задача нахождения обратного элемента: найти b=a^-1 (mod n), где a и n заданы, b неизвестно.

Элемент b называется обратным к a по модулю n, если a∙b≡1(mod n). Тогда пишут, что b ≡ a^–1 (mod n). Справедлива

Теорема обратимости:

Существует a^-1 (mod n) (a, n) = 1.

То есть, обратный элемент для числа существует тогда и только тогда, когда это число взаимно простое с модулем.

Найти обратный элемент можно с помощью расширенного алгоритма Евклида:

Пусть a > n; a, Расширенный алгоритм Евклида находит числа x, y: ax+ny = НОД(a, n).

Вычисляет цепочка равенств:

a = nq1 + r1;

n = r1q2 + r2;

r1 = r2q3 + r3;

…..

rk−2 = rk-1qk + rk;

rk−1 = rkqk+1.

Используя эту цепочку, восстанавливаем:

r_k = r_k-2 – r_k-1q_k= r_k-2 – (r_k-3 – r_k-2q_k-1)q_k = … =ax+ny.

Получаем сравнение ax+ny≡1(mod n). Поскольку ny≡0(mod n), то ax≡1(mod n), а значит полученное с помощью расширенного алгоритма Евклида число x как раз и есть искомый обратный элемент к числу a по модулю n.

Пример 2.

Вычислить элемент, обратный а по mod n, если a=9; n=29;

Решение:

Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида:

29=9∙3+2

9=2∙4+1

2=1∙2+0

Обратный ход:

1=9-2∙4=9∙1-(29-9∙3)∙4=9∙13-29∙4.

Проверка:

13∙9=117. 117≡1(mod( 29)).

Ответ: обратный элемент = 13.

Сравнения первой степени

Сравнения первой степени имеют вид

a₁x+a₀≡0 (mod m) (6).

Перенеся свободный член в правую часть сравнения, и меняя обозначения коэффициентов, получим

ax≡ b (mod m) (7)

При решении таких сравнений рассматривают два случая:

и .

Теорема 1. Если , то сравнение (7) имеет единственное решение.

Теорема 2. Если и число b не делится на d, то сравнение ax≡ b (mod m) не имеет решений.

Теорема 3. Если и b ≡ d, то сравнение (7) имеет d решений.

Решение сравнений первой степени

Рассмотрим 2 способа решения сравнений первой степени, в основе которых лежит приведение сравнения первой степени к равносильному сравнению с коэффициентом при x , равному единице.

Проиллюстрируем решение сравнения этими способами на следующем примере:

Решить сравнение 25х≡15(mod 17)

1 способ	2 способ
НОД(25,17)=1 Значит сравнение имеет единственное решение. 25х≡15 (mod 17) 5х≡3 (mod 17) 5х≡3+17 (mod 17) 5х≡20 (mod 17) х≡4 (mod 17)	НОД(25,17)=1 Значит сравнение имеет единственное решение. 25х≡15 (mod 17) 5х≡3 (mod 17) Найдем обратный элемент к 5, используя алгоритм Евклида: 17=5∙3+2 5=2∙2+1 2=2∙1+0 1=5 – 2∙2 = 5 – 2 ∙ (17 – 5∙3) = 5∙7 – 17∙2 таким образом обратным для 5 по модулю 17 будет 7. 5х≡3 (mod 17) 7∙5х ≡ 7∙3 (mod 17) х ≡ 21 ≡ 4 (mod 17)

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите сравнение 21х≡13 (mod 7)

Выпадающий список:

1. 4
2. 2
3. 5
4. 6

Решим данное сравнение:

Наибольший общий делитель 

a=25 и m=7:

d=NOD(25,7)=1

Так как  b:d=10:1=10 целое, то, следовательно, сравнение имеет  d=1 решений по модулю  m= 7.

Числа, удовлетворяющие сравнению: 

x=7t+6 (t∈Z).

Решение сравнения: 

x≡6(mod7).

Верный ответ 4. 6

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Вычислить элемент, обратный а по mod n, если a=7; n=17

Обратный элемент_____

Решим данное задание:

Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида:

17=7∙2+1

7=2∙3+1

2=1∙2+0

Обратный ход:

1=7-2∙3=7∙1-(17-7∙2)∙2=7∙5-17∙2.

Проверка:

5∙7=35. 35≡1(mod( 17)).

Ответ:

Обратный элемент 5.

Основная цель занятия — продолжить работу по
углублению и расширению знаний учащихся по теме
“Натуральные числа, степени с натуральным
показателем, свойств натуральных чисел”
изученных в предыдущем учебном году, развитию
познавательного интереса учащихся к изучению
темы. Ознакомить учащихся с новыми методами
решения задач на сравнение степеней с
натуральными показателями, на определение цифры,
на которую оканчивается число, рассмотреть
задачи на делимость выражений, содержащих
степени с натуральным показателем. Продолжить
формирование навыков исследовательской,
самостоятельной работы.

Изучение данной темы в младших классах
способствует лучшему усвоению тем связанных со
степенями в старших классах, формирует
познавательный интерес к изучению.

Данная методическая разработка прошла
апробацию на занятиях районной очно-заочной
математической школы 2006–2009 учебных годах.

План

1. Лекционное занятие – 1 час
2. Малая олимпиада (индивидуальное решение задач)
   – 1 час
3. Заочное решение задач (домашнее задание) – 2
   часа

Ход занятия

Лекционное занятие с учащимися

В математике господствуют две стихии – числа и
фигуры с их бесконечным многообразием свойств и
взаимосвязей.
Мы будем заниматься стихией чисел.
Возникновение понятия числа – одно из
гениальнейших проявлений человеческого разума.
Действительные числа не только измеряют,
сравнивают, вычисляют, но даже рисуют, играют,
сочиняют.
Самые древние по происхождению числа
натуральные: 1,2,3,4,5………Обозначаются N.
В прошлом учебном году мы рассматривали ряд
задач на натуральные числа. В этом году будем
продолжать знакомство со свойствами натуральных
чисел.
Вспомним какие арифметические действия можно
выполнять во множестве натуральных чисел?

1. Сложение.
2. Вычитание.
3. Умножение.
4. Деление.

– Какие из этих действий выполняются всегда? Ответ:
сложение, умножение.
– А какие не выполняются? Ответ: не всегда:
15–20, 15:8.

5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 =
– Как короче записать это произведение? Ответ:
5⁶.
– Говорят, что это шестая степень числа пять.
Вообще: а^п=а а а а а а … а, .

Записываем свойства в тетрадь:

1. aⁿbⁿ=(ab)ⁿ.
2. aⁿa^m=a^n+m.
3. (aⁿ)^m=a^nm.

1. Сегодня мы рассмотрим ряд задач на
сравнение степеней с натуральными показателями.

Задача 1

Сравнить 31¹¹ и 17¹⁴.

Решение:

1. Числа 31 и 17 находятся рядом со степенями числа
   “2” (32=2⁵, 16=2⁴).
2. 31¹¹<32¹¹= (2⁵)¹¹=2⁵⁵, т.е.
   31¹¹< 2⁵⁵.
3. 16<17 ; 16¹⁴<17¹⁴, (2⁴)¹⁴<17¹⁴.
4. 31¹¹<2⁵⁵<2⁵⁶<17¹⁴
   следовательно 31¹¹<17¹⁴.

Задача 2

Сравнить 9997¹⁰ и 100003⁸.

Решение:

1. 9997¹⁰<10000¹⁰=(10⁴)¹⁰=10⁴⁰.
   9997¹⁰<10⁴⁰.
2. 10⁴⁰=(10⁵)⁸=100000⁸/
3. 100000⁸<100003⁸.

Значит, 9997¹⁰<100003⁸.

Задача 3

Что больше 5³⁰⁰ или 3⁵⁰⁰?

Решение:

1. 5³⁰⁰=5^3 100=(5³)¹⁰⁰=(5 5 5)¹⁰⁰=125¹⁰⁰.
2. 3⁵⁰⁰=3^5 100=(3 3 3 3 3)¹⁰⁰=243¹⁰⁰.
3. 125<243 следовательно 125¹⁰⁰<243¹⁰⁰
   следовательно 5³⁰⁰<3⁵⁰⁰.

Ответ: 5³⁰⁰<3⁵⁰⁰.

2. Задачи на определение цифры, на
которую оканчивается число.

Натуральные числа обладают следующим
свойством: при умножении ряда чисел,
оканчивающихся единицей или “5”, получается
число, оканчивающиеся той же цифрой. Например:

22375 • 12735 = ……..5.
281 • 381 = ……….1

581²⁸⁹¹¹=581 581…581 = ………..1.
                    28911
раз

Всякая степень числа оканчивающаяся на “5”,
тоже оканчивается на “5”.
Если число оканчивается “6”, то всякая степень
числа оканчивается “6”.

286¹²³⁷ оканчивается “6”.

Если число оканчивается 76, то любая его степень
оканчивается “76”.

2876⁴оканчивается 76.

Если число оканчивается 25, то любая его степень
оканчивается “25”.

Рассмотрим задачи такого типа.

Задача 1

Какой цифрой оканчивается число 3²⁰⁰⁴?

Решение:

• 3¹=3
  3²=9
  3³=27
  3⁴=81
  3⁵=243
  3⁶=729.

Заметим, что 3¹ и3⁵ оканчиваются на
одну цифру “3”, 3² и 3⁶ – тоже на одну
цифру “9”.
Последняя цифра повторяется через 4, т.е. в общем
виде число 3^4m+nзаканчивается той же цифрой,
что и 3ⁿ

• 2004=4 х501=2000+4=4 х 500 +4.
• 3²⁰⁰⁴=3^{4 х 500 +4}оканчивается той же
  цифрой, что 3⁴, т.е. на 1.

Ответ: на 1.

Задача 2

На какую цифру оканчивается число 3²⁰⁰⁴+4²⁰⁰⁵?

Решение:

32004	оканчивается на 1 (первая задача).
41=4 42=16 43=64 44=256 45=924	Если степень числа 4 – нечётное число, то число оканчивается на “4”, если степень чётная, на “6”. 2005 – нечётное число, значит 42005 оканчивается на “4”.
32004+42005	оканчивается на “5” (1+4=5).

Задачи на делимость

Задача 1

Выяснить, делится ли на 3 число 1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰³+2²⁰⁰⁴?

Решение:

Сгруппируем слагаемые:

Первое слагаемое делится на 3, второе нет,
значит, сумма не делится на 3.

Задача 2

Доказать, что разность 999993¹⁹⁹⁹ – 777777¹⁹⁹⁷
кратна 5.

Решение:

1. Если оканчивается цифрой 3, то степени
   оканчиваются 3,9,7,1. Повторение через 4. в нашем
   случае 1999:4=499+3, 1999=4 х 499 +3. Значит число 999993¹⁹⁹⁹
   оканчивается на ту же цифру, что число 3³,
   т.е. на 7.
2. Если число оканчивается на 7, то степень числа
   оканчивается на 7,9,3,1. повторение через 4.

• 7¹=7
• 7²=49
• 7³=343
• 7⁴=2401
• 7⁵=16807
• 1997:4=499+4

1997 = 4 х 499+1, значит 777777¹⁹⁹⁷ оканчивается на
туже цифру, что и число 7¹, т.е. на 7.

3. Разность данных чисел оканчивается
на 0 (7–7=0), 0:5, следовательно разность кратна “5”.

Задачи для индивидуального решения

Задача 1

Что больше 100²⁰ или 9000¹⁰?

Решение:

1. 100²⁰=100^{2 х10}=(100²)¹⁰=(100 х100)¹⁰=1000¹⁰.
2. 1000<9000 следовательно 10000¹⁰<9000¹⁰
   следовательно 100²⁰<9000¹⁰.

Задача 2

Сравнить 127²³ и 513¹⁸.

Решение:

1. 127<128; 127<2⁷; 127²³<2^{7 х23}=2¹⁶¹.
2. 512<513; 2⁹<513; 2^{9 х18}<513¹⁸; 2¹⁶²<513¹⁸.
3. 127²³<2¹⁶¹<2¹⁶²<513¹⁸
   следовательно 127²³<513¹⁸.

Задача 3

Какая цифра будет последней в записи
результата 953⁹⁹⁹⁹⁹?

Решение:

1. если число оканчивается на 3, то его степень
   оканчивается на 3, 9, 7, 1. Повторение через 4.
2. 99999:4=24999 +(3 ост.).
   99999=4 х 24999 +3.
   Наше число имеет остаток такой же, что и 953³,
   т.е. число 7.

Задача 4

776⁷⁷⁶+777⁷⁷⁷+778⁷⁷⁸. Какой цифрой
оканчивается сумма и кратна ли она 5.

Решение:

1. 776⁷⁷⁶ оканчивается 6 (см. пред.задачи).
2. 777⁷⁷⁷ оканчивается 7. если число
   оканчивается на 7, то его степени оканчиваются на
   7,9,3,1, повторение через 4.
   777=4 х 194+1.
   Значит, 777⁷⁷⁷ имеет последней ту же цифру, что
   и 7¹, т.е. оканчивается на 7.

1. 778⁷⁷⁸

• 8¹⁼⁸
• 8²=64
• 8³=512
• 8⁴=4096
• 8⁵=32768 Степени оканчиваются на 8,4,2,6.
  Повторение через 4. 778⁷⁷⁸ оканчивается на ту
  же цифру что и 8³, т.е. на 2. 778=4 х 194+3.

1. Наша сумма оканчивается на 5 (6+7+2=15).

Задачи для заочной работы

Задача 1

Какой цифрой оканчивается число ((9999⁹⁹⁹)⁹⁹)⁹
.

Решение:

• 9¹=9
• 9²=81
• 9³=729 Если степень четная, то число
  оканчивается на 1, если степень нечетная, то на 9.

1. 99⁹ оканчивается на 9, т.к. 9 – нечетное число
2. число 99⁹ – нечетное, т.к. оканчивается на 9.
3. ((999⁹⁹)⁹ оканчивается на 9, т.е. оно
   нечётное.
4. ((999⁹⁹⁹)⁹⁹)⁹ оканчивается на 9, т.к.
   степень нечетная.

Задача 2

Что больше: 2⁷⁰⁰или5³⁰⁰? 2³⁰⁰или 3²⁰⁰.

Решение:

1. 2⁷⁰⁰=(2⁷)¹⁰⁰=128¹⁰⁰.
2. 5³⁰⁰=(5³)¹⁰⁰=125¹⁰⁰.
3. 128>125 следовательно 128¹⁰⁰>125¹⁰⁰
   следовательно 2⁷⁰⁰>5³⁰⁰.

1. 2³⁰⁰=8¹⁰⁰ 3²⁰⁰=9¹⁰⁰.
    8¹⁰⁰<9¹⁰⁰ следовательно 2³⁰⁰<3²⁰⁰.

Задача 3

Найти последнюю цифру числа 8²⁰⁰⁶.

Решение:

1. если число оканчивается на 8, то его степени
   оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4.
2. а^4т+п имеет последней ту же цифру, что
   число а^п.
3. 2006=501 х 4 +2.
4. 8²⁰⁰⁶=8^{4 х 501+2}, значит это число имеет ту
   же цифру, что и 8², т.е. оканчивается на 4.

Задача 4

Что больше
или

Найти несколько способов решения.

Решение:

Литература

1. Гусев В.А. и др. Внеклассная работа по
   математике в 6–8 классах. М.: Просвещение, 1984.
2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая
   шкатулка. М.: Просвещение, 1984.
3. Кордемский В.А. Ахадов А.А. Удивительный мир
   чисел. М.: Просвещение, 1986.
4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.:
   Наука, 1978.
5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника
   алгебры. М.: Просвещение, 1990.
6. Фарков А.В. Математические кружки в школе.
   М.: Айрис-пресс, 2007.