Как найти степень свободы для критерия пирсона

Критерий Пирсона.

Достоинством
критерия Пирсона является его
универсальность: с его помощью можно
проверять гипотезы о различных законах
распределения.

1.
Проверка гипотезы о нормальном
распределении. Пусть
получена выборка достаточно большого
объема п
с большим количеством различных значений
вариант. Для удобства ее обработки
разделим интервал от наименьшего до
наибольшего из значений вариант на s
равных частей и будем считать, что
значения вариант, попавших в каждый
интервал, приближенно равны числу,
задающему середину интервала. Подсчитав
число вариант, попавших в каждый интервал,
составим так называемую сгруппированную
выборку:

варианты………..х₁
х₂
… х_s

частоты………….п₁
п₂
… п_s
,

где х_i
– значения середин интервалов, а п_i
– число вариант, попавших в i-й
интервал (эмпирические частоты). По
полученным данным можно вычислить
выборочное среднее

и выборочное среднее квадратическое
отклонение σ_В.
Проверим предположение, что генеральная
совокупность распределена по нормальному
закону с параметрами M(X)
=
,
D(X)
=
.
Тогда можно найти количество чисел из
выборки объема п,
которое должно оказаться в каждом
интервале при этом предположении (то
есть теоретические частоты). Для этого
по таблице значений функции Лапласа
найдем вероятность попадания в i-й
интервал:

,

где а_i
и b_i
— границы
i-го
интервала. Умножив полученные вероятности
на объем выборки п, найдем теоретические
частоты: п_i
=n·p_i.
Наша цель –
сравнить эмпирические и теоретические
частоты, которые, конечно, отличаются
друг от друга, и выяснить, являются ли
эти различия несущественными, не
опровергающими гипотезу о нормальном
распределении исследуемой случайной
величины, или они настолько велики, что
противоречат этой гипотезе. Для этого
используется критерий в виде случайной
величины

.
(7)

Смысл ее очевиден:
суммируются части, которые квадраты
отклонений эмпирических частот от
теоретических составляют от соответствующих
теоретических частот. Можно доказать,
что вне зависимости от реального закона
распределения генеральной совокупности
закон распределения случайной величины
(7) при

стремится к закону распределения

с числом степеней свободы k
= s
– 1 – r,
где r
– число
параметров предполагаемого распределения,
оцененных по данным выборки. Нормальное
распределение характеризуется двумя
параметрами, поэтому k
= s
– 3. Для
выбранного критерия строится правосторонняя
критическая область, определяемая
условием

(8)

где α
– уровень значимости. Следовательно,
критическая область задается неравенством

а область принятия гипотезы —
.

Итак, для проверки
нулевой гипотезы Н₀:
генеральная совокупность распределена
нормально – нужно вычислить по выборке
наблюдаемое значение критерия:

,
(7`)

а по таблице
критических точек распределения χ²
найти критическую точку
,
используя известные значения α и k
= s
– 3. Если

— нулевую гипотезу принимают, при

ее отвергают.

Пример.
Результаты исследования спроса на товар
представлены в таблице:

Стоимость, руб.	120–160	160–180	180–200	200–220	220–280
Кол-во, шт.	5	10	14	12	9

Выдвинуть
гипотезу о виде распределения и проверить
её на уровне значимости =0,01.

I. Выдвижение
гипотезы.

Для указания вида
эмпирического распределения построим
гистограмму

120
160 180 200 220 280

По
виду гистограммы можно сделать
предположение о нормальном законе
распределения изучаемого признака в
генеральной совокупности.

II.
Проверим выдвинутую гипотезу о нормальном
распределении, используя критерий
согласия Пирсона.

1.
Вычисляем
,
_В.
В
качестве вариант возьмём среднее
арифметическое концов интервалов:

;

.

2.
Найдём интервалы (Z_i;
Z_i+1):

;

.

За
левый конец первого интервала примем
(-),
а за правый конец последнего интервала
— (+).
Результаты представлены в табл. 4.

3.
Найдем теоретические вероятности Р_i
и теоретические частоты

(см. табл. 4).

Таблица
4

i	Граница интервалов	Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	Pi= Ф(Zi+1)-Ф(Zi)
	xi	xi+1	Zi	Zi+1
1	120	160	-	-1,14	-0,5	-0,3729	0,1271	6,36
2	160	180	-1,14	-0,52	-0,3729	-0,1985	0,1744	8,72
3	180	200	-0,52	0,11	-0,1985	0,0438	0,2423	12,12
4	200	220	0,11	0,73	0,0438	0,2673	0,2235	11,18
5	220	280	0,73	+	0,2673	0,5	0,2327	11,64

4.
Сравним эмпирические и теоретические
частоты. Для этого:

а)
вычислим наблюдаемое значение критерия
Пирсона.

Вычисления
представлены в табл.5.

Таблица
5

i
1	5	6,36	-1,36	1,8496	0,291
2	10	8,72	1,28	1,6384	0,188
3	114	12,12	1,88	3,5344	0,292
4	12	11,18	0,82	0,6724	0,060
5	9	11,64	-2,64	6,9696	0,599
	50	50

б) по
таблице критических точек распределения
²
при заданном уровне значимости =0,01
и числе степеней свободы k=m–3=5–3=2
находим критическую точку
;
имеем
.

Сравниваем

c

.

.
Следовательно,
нет оснований отвергать гипотезу о
нормальном законе распределения
изучаемого признака генеральной
совокупности. Т.е. расхождение между
эмпирическими и теоретическими частотами
незначимо (случайно). ◄

Замечание.
Интервалы, содержащие малочисленные
эмпирические частоты (n_i<5),
следует объединить, а частоты этих
интервалов сложить. Если производилось
объединение интервалов, то при определении
числа степеней свободы по формуле K=m-3
следует в качестве m
принять число оставшихся после объединения
интервалов.

Пример.
По выборке из 24 вариант выдвинута
гипотеза о нормальном распределении
генеральной совокупности. Используя
критерий Пирсона при уровне значимости

среди заданных значений

= {34, 35, 36, 37, 38} указать: а) наибольшее, для
которого нет оснований отвергать
гипотезу; б) наименьшее, начиная с
которого гипотеза должна быть отвергнута.

Найдем число
степеней свободы

с помощью формулы:

,

где
—
число групп выборки (вариант),

— число параметров распределения.

Так как нормальное
распределение имеет 2 параметра (
и
),
получаем

.

По таблице
критических точек распределения
,
по заданному уровню значимости

и числу степеней свободы

определяем критическую точку
.

В случае а) для
значений
,
равных 34 и 35, нет оснований отвергать
гипотезу о нормальном распределении,
так как
.
А наибольшее среди этих значений
.

В случае б) для
значений 36, 37, 38 гипотезу отвергают, так
как
.
Наименьшее среди них
.◄

2.
Проверка гипотезы о равномерном
распределении.
При использовании критерия Пирсона для
проверки гипотезы о равномерном
распределении генеральной совокупности
с предполагаемой плотностью вероятности

необходимо, вычислив
по имеющейся выборке значение
,
оценить параметры а
и b
по формулам:

, (9)

где а*
и b*
— оценки а
и b.
Действительно, для равномерного
распределения М(Х)
=
,
,
откуда можно получить систему для
определения а*
и b*:
,
решением которой являются выражения
(9).

Затем, предполагая,
что
,
можно найти теоретические частоты по
формулам

Здесь s
– число интервалов, на которые разбита
выборка.

Наблюдаемое
значение критерия Пирсона вычисляется
по формуле (7`), а критическое – по таблице
с учетом того, что число степеней свободы
k
= s
– 3. После
этого границы критической области
определяются так же, как и для проверки
гипотезы о нормальном распределении.

3.
Проверка гипотезы о показательном
распределении. В
этом случае, разбив имеющуюся выборку
на равные по длине интервалы, рассмотрим
последовательность вариант
,
равноотстоящих друг от друга (считаем,
что все варианты, попавшие в i
– й интервал, принимают значение,
совпадающее с его серединой), и
соответствующих им частот n_i
(число вариант
выборки, попавших в i
– й интервал). Вычислим по этим данным

и примем в качестве оценки параметра λ
величину
.
Тогда теоретические частоты вычисляются
по формуле

Затем сравниваются
наблюдаемое и критическое значение
критерия Пирсона с учетом того, что
число степеней свободы k
= s
– 2.

Пример.
Для выборки, интервальный статистический
ряд которой имеет вид

Номер интервала	Границы интервала	Эмпирические частоты
1	2 – 5	6
2	5 – 8	8
3	8 – 11	15
4	11 – 14	22
5	14 – 17	14
6	17 – 20	5

проверить при
уровне значимости α
= 0,05 гипотезу о:

а) показательном;
б) равномерном; в) нормальном законе
распределения генеральной совокупности
с помощью критерия Пирсона.

Объем выборки п
= 70. Будем считать вариантами середины
частичных интервалов: х₁
= 3,5, х₂
= 6,5,…, х₆
= 18,5.

Найдем

= 11,43; σ_В
= 4,03; s
= 4,05.

а) Вычислим
теоретические частоты в предположении
о показательном распределении генеральной
совокупности при

аналогично


Наблюдаемое значение критерия

Критическая точка χ²(0,05;4)=9,5;

и гипотеза о показательном распределении
отклоняется.

б) Для равномерного
распределения

теоретические
частоты:

Наблюдаемое значение критерия
Критическая
точка

и гипотеза о равномерном распределении
отклоняется.

в) Теоретические
частоты для нормального распределения:

Так же вычисляются

Наблюдаемое значение критерия

Критическая точка

Поскольку

гипотеза о нормальном распределении
генеральной совокупности принимается.
◄

Критерий
Колмогорова.

Этот критерий
применяется для проверки простой
гипотезы Н₀
о том, что независимые одинаково
распределенные случайные величины Х₁,
Х₂,
…, Х_п
имеют заданную непрерывную функцию
распределения F(x).

Найдем функцию
эмпирического распределения F_n(x)
и будем искать границы двусторонней
критической области, определяемой
условием

.
(10)

А.Н.Колмогоров
доказал, что в случае справедливости
гипотезы Н₀
распределение статистики D_n
не зависит от функции F(x),
и при

где

—
(11)

— критерий
Колмогорова, значения которого можно
найти в соответствующих таблицах.
Критическое значение критерия λ_п(α)
вычисляется по заданному уровню
значимости α
как корень уравнения
.

Можно показать,
что приближенное значение вычисляется
по формуле

,
где z
– корень уравнения

На практике для
вычисления значения статистики D_n
используется то, что

,
где

а

— вариационный ряд, построенный по
выборке Х₁,
Х₂,
…, Х_п.
Можно дать следующее геометрическое
истолкование критерия Колмогорова:
если изобразить на плоскости Оху
графики функций F_n(x),
F_n(x)
±λ_n(α)
(рис. 1), то гипотеза Н₀
верна, если график функции F(x)
не выходит за пределы области, лежащей
между графиками функций F_n(x)
-λ_n(α)
и F_n(x)
+λ_n(α).

О степенях свободы в статистике

В одном из предыдущих постов мы обсудили, пожалуй, центральное понятие в анализе данных и проверке гипотез — p-уровень значимости. Если мы не применяем байесовский подход, то именно значение p-value мы используем для принятия решения о том, достаточно ли у нас оснований отклонить нулевую гипотезу нашего исследования, т.е. гордо заявить миру, что у нас были получены статистически значимые различия.

Однако в большинстве статистических тестов, используемых для проверки гипотез, (например, t-тест, регрессионный анализ, дисперсионный анализ) рядом с p-value всегда соседствует такой показатель как число степеней свободы, он же degrees of freedom или просто сокращенно df, о нем мы сегодня и поговорим.

Степени свободы, о чем речь?

По моему мнению, понятие степеней свободы в статистике примечательно тем, что оно одновременно является и одним из самым важных в прикладной статистике (нам необходимо знать df для расчета p-value в озвученных тестах), но вместе с тем и одним из самых сложных для понимания определений для студентов-нематематиков, изучающих статистику.

Давайте рассмотрим пример небольшого статистического исследования, чтобы понять, зачем нам нужен показатель df, и в чем же с ним такая проблема. Допустим, мы решили проверить гипотезу о том, что средний рост жителей Санкт-Петербурга равняется 170 сантиметрам. Для этих целей мы набрали выборку из 16 человек и получили следующие результаты: средний рост по выборке оказался равен 173 при стандартном отклонении равном 4. Для проверки нашей гипотезы можно использовать одновыборочный t-критерий Стьюдента, позволяющий оценить, как сильно выборочное среднее отклонилось от предполагаемого среднего в генеральной совокупности в единицах стандартной ошибки:

Проведем необходимые расчеты и получим, что значение t-критерия равняется 3, отлично, осталось рассчитать p-value и задача решена. Однако, ознакомившись с особенностями t-распределения мы выясним, что его форма различается в зависимости от числа степеней свобод, рассчитываемых по формуле n-1, где n — это число наблюдений в выборке:

Сама по себе формула для расчета df выглядит весьма дружелюбной, подставили число наблюдений, вычли единичку и ответ готов: осталось рассчитать значение p-value, которое в нашем случае равняется 0.004.

Но почему n минус один?

Когда я впервые в жизни на лекции по статистике столкнулся с этой процедурой, у меня как и у многих студентов возник законный вопрос: а почему мы вычитаем единицу? Почему мы не вычитаем двойку, например? И почему мы вообще должны что-то вычитать из числа наблюдений в нашей выборке?

В учебнике я прочитал следующее объяснение, которое еще не раз в дальнейшем встречал в качестве ответа на данный вопрос:

“Допустим мы знаем, чему равняется выборочное среднее, тогда нам необходимо знать только n-1 элементов выборки, чтобы безошибочно определить чему равняется оставшейся n элемент”. Звучит разумно, однако такое объяснение скорее описывает некоторый математический прием, чем объясняет зачем нам понадобилось его применять при расчете t-критерия. Следующее распространенное объяснение звучит следующим образом: число степеней свободы — это разность числа наблюдений и числа оцененных параметров. При использовании одновыборочного t-критерия мы оценили один параметр — среднее значение в генеральной совокупности, используя n элементов выборки, значит df = n-1.

Однако ни первое, ни второе объяснение так и не помогает понять, зачем же именно нам потребовалось вычитать число оцененных параметров из числа наблюдений?

Причем тут распределение Хи-квадрат Пирсона?

Давайте двинемся чуть дальше в поисках ответа. Сначала обратимся к определению t-распределения, очевидно, что все ответы скрыты именно в нем. Итак случайная величина:

имеет t-распределение с df = ν, при условии, что Z – случайная величина со стандартным нормальным распределением N(0; 1), V – случайная величина с распределением Хи-квадрат, с ν числом степеней свобод, случайные величины Z и V независимы. Это уже серьезный шаг вперед, оказывается, за число степеней свободы ответственна случайная величина с распределением Хи-квадрат в знаменателе нашей формулы.

Давайте тогда изучим определение распределения Хи-квадрат. Распределение Хи-квадрат с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Кажется, мы уже совсем у цели, по крайней мере, теперь мы точно знаем, что такое число степеней свободы у распределения Хи-квадрат — это просто число независимых случайных величин с нормальным стандартным распределением, которые мы суммируем. Но все еще остается неясным, на каком этапе и зачем нам потребовалось вычитать единицу из этого значения?

Давайте рассмотрим небольшой пример, который наглядно иллюстрирует данную необходимость. Допустим, мы очень любим принимать важные жизненные решения, основываясь на результате подбрасывания монетки. Однако, последнее время, мы заподозрили нашу монетку в том, что у нее слишком часто выпадает орел. Чтобы попытаться отклонить гипотезу о том, что наша монетка на самом деле является честной, мы зафиксировали результаты 100 бросков и получили следующий результат: 60 раз выпал орел и только 40 раз выпала решка. Достаточно ли у нас оснований отклонить гипотезу о том, что монетка честная? В этом нам и поможет распределение Хи-квадрат Пирсона. Ведь если бы монетка была по настоящему честной, то ожидаемые, теоретические частоты выпадания орла и решки были бы одинаковыми, то есть 50 и 50. Легко рассчитать насколько сильно наблюдаемые частоты отклоняются от ожидаемых. Для этого рассчитаем расстояние Хи-квадрат Пирсона по, я думаю, знакомой большинству читателей формуле:

Где O — наблюдаемые, E — ожидаемые частоты.

Дело в том, что если верна нулевая гипотеза, то при многократном повторении нашего эксперимента распределение разности наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из наблюдаемой частоты, может быть описано при помощи нормального стандартного распределения, а сумма квадратов k таких случайных нормальных величин это и будет по определению случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат.

Давайте проиллюстрируем этот тезис графически, допустим у нас есть две случайные, независимые величины, имеющих стандартное нормальное распределение. Тогда их совместное распределение будет выглядеть следующим образом:

При этом квадрат расстояния от нуля до каждой точки это и будет случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат с двумя степенями свободы. Вспомнив теорему Пифагора, легко убедиться, что данное расстояние и есть сумма квадратов значений обеих величин.

Пришло время вычесть единичку!

Ну а теперь кульминация нашего повествования. Возвращаемся к нашей формуле расчета расстояния Хи-квадрат для проверки честности монетки, подставим имеющиеся данные в формулу и получим, что расстояние Хи-квадрат Пирсона равняется 4. Однако для определения p-value нам необходимо знать число степеней свободы, ведь форма распределения Хи-квадрат зависит от этого параметра, соответственно и критическое значение также будет различаться в зависимости от этого параметра.

Теперь самое интересное. Предположим, что мы решили многократно повторять 100 бросков, и каждый раз мы записывали наблюдаемые частоты орлов и решек, рассчитывали требуемые показатели (разность наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из ожидаемой частоты) и как и в предыдущем примере наносили их на график.

Легко заметить, что теперь все точки выстраиваются в одну линию. Все дело в том, что в случае с монеткой наши слагаемые не являются независимыми, зная общее число бросков и число решек, мы всегда можем точно определить выпавшее число орлов и наоборот, поэтому мы не можем сказать, что два наших слагаемых — это две независимые случайные величины. Также вы можете убедиться, что все точки действительно всегда будут лежать на одной прямой: если у нас выпало 30 орлов, значит решек было 70, если орлов 70, то решек 30 и т.д. Таким образом, несмотря на то, что в нашей формуле было два слагаемых, для расчета p-value мы будем использовать распределение Хи-квадрат с одной степенью свободы! Вот мы наконец-то добрались до момента, когда нам потребовалось вычесть единицу. Если бы мы проверяли гипотезу о том, что наша игральная кость с шестью гранями является честной, то мы бы использовали распределение Хи-квадрат с 5 степенями свободы. Ведь зная общее число бросков и наблюдаемые частоты выпадения любых пяти граней, мы всегда можем точно определить, чему равняется число выпадений шестой грани.

Все становится на свои места

Теперь, вооружившись этими знаниями, вернемся к t-тесту:

в знаменателе у нас находится стандартная ошибка, которая представляет собой выборочное стандартное отклонение, делённое на корень из объёма выборки. В расчет стандартного отклонения входит сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от их среднего значения — то есть сумма нескольких случайных положительных величин. А мы уже знаем, что сумма квадратов n случайных величин может быть описана при помощи распределения хи-квадрат. Однако, несмотря на то, что у нас n слагаемых, у данного распределения будет n-1 степень свободы, так как зная выборочное среднее и n-1 элементов выборки, мы всегда можем точно задать последний элемент (отсюда и берется это объяснение про среднее и n-1 элементов необходимых для однозначного определения n элемента)! Получается, в знаменателе t-статистики у нас спрятано распределение хи-квадрат c n-1 степенями свободы, которое используется для описания распределения выборочного стандартного отклонения! Таким образом, степени свободы в t-распределении на самом деле берутся из распределения хи-квадрат, которое спрятано в формуле t-статистики. Кстати, важно отметить, что все приведенные выше рассуждения справедливы, если исследуемый признак имеет нормальное распределение в генеральной совокупности (или размер выборки достаточно велик), и если бы у нас действительно стояла цель проверить гипотезу о среднем значении роста в популяции, возможно, было бы разумнее использовать непараметрический критерий.

Схожая логика расчета числа степеней свободы сохраняется и при работе с другими тестами, например, в регрессионном или дисперсионном анализе, все дело в случайных величинах с распределением Хи-квадрат, которые присутствуют в формулах для расчета соответствующих критериев.

Таким образом, чтобы правильно интерпретировать результаты статистических исследований и разбираться, откуда возникают все показатели, которые мы получаем при использовании даже такого простого критерия как одновыборочный t-тест, любому исследователю необходимо хорошо понимать, какие математические идеи лежат в основании статистических методов.

Онлайн курсы по статистике: объясняем сложные темы простым языком

Основываясь на опыте преподавания статистики в Институте биоинформатики , у нас возникла идея создать серию онлайн курсов, посвященных анализу данных, в которых в доступной для каждого форме будут объясняться наиболее важные темы, понимание которых необходимо для уверенного использования методов статистики при решении различного рода задача. В 2015 году мы запустили курс Основы статистики, на который к сегодняшнему дню записалось около 17 тысяч человек, три тысячи слушателей уже получили сертификат о его успешном завершении, а сам курс был награждён премией EdCrunch Awards и признан лучшим техническим курсом. В этом году на платформе stepik.org стартовало продолжение курса Основы статистики. Часть два, в котором мы продолжаем знакомство с основными методами статистики и разбираем наиболее сложные теоретические вопросы. Кстати, одной из главных тем курса является роль распределения Хи-квадрат Пирсона при проверке статистических гипотез. Так что если у вас все еще остались вопросы о том, зачем мы вычитаем единицу из общего числа наблюдений, ждем вас на курсе!

Стоит также отметить, что теоретические знания в области статистики будут определенно полезны не только тем, кто применяет статистику в академических целях, но и для тех, кто использует анализ данных в прикладных областях. Базовые знания в области статистики просто необходимы для освоения более сложных методов и подходов, которые используются в области машинного обучения и Data Mining. Таким образом, успешное прохождение наших курсов по введению в статистику — хороший старт в области анализа данных. Ну а если вы всерьез задумались о приобретении навыков работы с данными, думаем, вас может заинтересовать наша онлайн — программа по анализу данных, о которой мы подробнее писали здесь. Упомянутые курсы по статистике являются частью этой программы и позволят вам плавно погрузиться в мир статистики и машинного обучения. Однако пройти эти курсы без дедлайнов могут все желающие и вне контекста программы по анализу данных.

Критерий согласия Пирсона

Опр Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Имеется несколько критериев согласия: $chi ^2$ { хи-квадрат } К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Обычно теоретические и эмпирические частоты различаются. Случай расхождения может быть не случайным, значит и объясняется тем, что не верно выбрана гипотеза. Критерий Пирсона отвечает на поставленный вопрос, но как любой критерий он ничего не доказывает, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости её согласие или несогласие с данными наблюдений.

Опр Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным называют уровнем значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заключённые между 0,01 и 0,05, $alpha =0,05$ — это $5 { % } $ уровень значимости.

В качестве критерия проверки гипотезы примем величину begin{equation} label { eq1 } chi ^2=sum { frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } } qquad (1) end{equation}

здесь $n_i -$ эмпирические частоты, полученные из выборки, $n_i’ -$ теоретические частоты, найденные теоретическим путём.

Доказано, что при $nto infty $ закон распределения случайной величины { 1 } независимо от того, по какому закону распределена генеральная совокупность, стремится к закону $chi ^2$ { хи-квадрат } с $k$ степенями свободы.

Опр Число степеней свободы находят по равенству $k=S-1-r$ где $S-$ число групп интервалов, $r-$ число параметров.

1) равномерное распределение: $r=2, k=S-3 $

2) нормальное распределение: $r=2, k=S-3 $

3) показательное распределение: $r=1, k=S-2$.

Правило. Проверка гипотезы по критерию Пирсона.

1. Для проверки гипотезы вычисляют теоретические частоты и находят $chi _ { набл } ^2 =sum { frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } } $
2. По таблице критических точек распределения $chi ^2$ по заданному уровню значимости $alpha $ и числу степеней свободы $k$ находят $chi _ { кр } ^2 ( { alpha ,k } )$.
3. Если $chi _ { набл } ^2 <chi _ { кр } ^2 $ то нет оснований отвергать гипотезу, если не выполняется данное условие — то отвергают.

Замечание Для контроля вычислений применяют формулу для $chi ^2$ в виде $chi _ { набл } ^2 =sum { frac { n_i^2 } { n_i’ } -n } $

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Функция плотности равномерного распределения величины $X$ имеет вид $f( x )=frac { 1 } { b-a } xin left[ { a,b }right]$.

Для того, чтобы при уровне значимости $alpha $ проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, требуется:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $overline { x_b } $ и $sigma _b =sqrt { D_b } $. Принять в качестве оценки параметров $a$ и $b$ величины

$a = overline x _b -sqrt 3 sigma _b $, $b = overline x _b +sqrt 3 sigma _b $

2) Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $( { x_i ,x_ { i+1 } } )$ по формуле $ P_i =P( { x_i <X<x_ { i+1 } } )=intlimits_ { x_i } ^ { x_ { i+1 } } { f( x )dx=left. { frac { 1 } { b-a } x }right| { begin{array} { c } { x_ { i+1 } } \ { x_i } \ end{array} } } =frac { x_ { i+1 } } { b-a } -frac { x_i } { b-a } . $

3) Найти теоретические { выравнивающие } частоты по формуле $n_i’ =np_i $.

4) Приняв число степеней свободы $k=S-3$ и уровень значимости $alpha =0,05$ по таблицам $chi ^2$ найдём $chi _ { кр } ^2 $ по заданным $alpha $ и $k$, $chi _ { кр } ^2 ( { alpha ,k } )$.

5) По формуле $chi _ { набл } ^2 =sum { frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } } $ где $n_i -$ эмпирические частоты, находим наблюдаемое значение $chi _ { набл } ^2 $.

6) Если $chi _ { набл } ^2 <chi _ { кр } ^2 -$ нет оснований, отвергать гипотезу.

Проверим гипотезу на нашем примере.

1) $overline x _b =13,00,,,sigma _b =sqrt { D_b } = 6,51$

2) $a=13,00-sqrt 3 cdot 6,51=13,00-1,732cdot 6,51=1,72468$

$b=13,00+1,732cdot 6,51=24,27532$

$b-a=24,27532-1,72468=22,55064$

3) $P_i =P( { x_i <X<x_ { i+1 } } )=frac { x_ { i+1 } } { b-a } -frac { x_i } { b-a } $ $ P_1 =( { -1<X<3 } )=frac { 3 } { 22,55064 } -frac { -1 } { 22,55064 } =0,13303+0,04434=0,177375 $

$ P_2 =( { 3<X<7 } )=frac { 7 } { 22,55064 } -frac { 3 } { 22,55064 } =0,177375 $

$ P_3 =( { 7<X<11 } )=frac { 11 } { 22,55064 } -frac { 7 } { 22,55064 } =0,177375 $

$ P_4 =( { 11<X<15 } )=frac { 15 } { 22,55064 } -frac { 11 } { 22,55064 } =0,177375 $

$ P_5 =( { 15<X<19 } )=frac { 19 } { 22,55064 } -frac { 15 } { 22,55064 } =0,177375 $

$ P_6 =( { 19<X<23 } )=frac { 23 } { 22,55064 } -frac { 19 } { 22,55064 } =0,177375 $

В равномерном распределении если одинакова длина интервала, то $P_i -$ одинаковы.

4) Найдём $n_i’ =np_i $.

5) Найдём $sum { frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } } $ и найдём $chi _ { набл } ^2 $.

Занесём все полученные значения в таблицу

begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l| } hline i& n_i & n_i’ =np_i & n_i -n_i’ & ( { n_i -n_i’ } )^2& frac { ( { n_i -n_i’ } )^2 } { n_i’ } & Контроль~ frac { n_i^2 } { n_i’ } \ hline 1& 1& 4,43438& -3.43438& 11,7950& 2,659898& 0,22551 \ hline 2& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \ hline 3& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \ hline 4& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \ hline 5& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \ hline 6& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \ hline & & & & & sum = chi _ { набл } ^2 =3,261119& chi _ { набл } ^2 =sum { frac { n_i^2 } { n_i’ } -n } =3,63985 \ hline end{array}

$chi _ { кр } ^2 ( { 0,05,3 } )=7,8$

$chi _ { набл } ^2 <chi _ { кр } ^2 =3,26<7,8$

Вывод отвергать гипотезу нет оснований.