Степень уравнения
Кроме разделения уравнений по количеству неизвестных, уравнения также разделяются по степеням неизвестных: уравнения первой степени, уравнения второй степени и так далее.
Чтобы определить степень уравнения, в нём нужно предварительно сделать следующие преобразования:
- раскрыть скобки,
- освободить уравнение от дробных членов,
- перенести все неизвестные члены в одну из частей уравнения,
- сделать приведение подобных членов.
После выполнения всех этих преобразований, степень уравнения определяется по следующим правилам:
Степенью уравнения с одним неизвестным называется показатель при неизвестном в том члене уравнения, в котором этот показатель наибольший.
10 — x = 2 — уравнение первой степени с одним неизвестным;
x 2 + 7x = 16 — уравнение второй степени с одним неизвестным;
x 3 = 8 — уравнение третьей степени с одним неизвестным.
Степенью уравнения с несколькими неизвестными называется сумма показателей при неизвестных в том члене уравнения, в котором эта сумма наибольшая.
Для примера возьмём уравнение
Для наглядности расставим показатели первой степени (которые обычно не ставят):
3x 2 y 1 + x 1 y 1 + 25 1 = 0.
Теперь посчитаем суммы показателей для тех членов уравнения, в которых присутствуют неизвестные:
3x 2 y 1 — сумма показателей равна 2 + 1 = 3;
x 1 y 1 — сумма показателей равна 1 + 1 = 2.
Сумма показателей у первого члена уравнения больше, чем у второго, значит, при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит, что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.
2xy — x = 25 — уравнение второй степени с двумя неизвестным,
xy 2 — 2xy + 8y = 0 — уравнение третьей степени с двумя неизвестными.
Тема урока: «Уравнение с двумя переменными и его график»
Разделы: Математика
ЦЕЛЬ:1) Познакомить учащихся с понятием «уравнение с двумя переменными»;
2) Научить определять степень уравнения с двумя переменными;
3) Научить определять по заданной функции, какая фигура является графиком
4) Рассмотреть преобразования графиков с двумя переменными;
5) Учить учащихся «читать» графики и выполнять построение графиков по
заданному уравнению с двумя переменными, используя программу Agrapher ;
6) Развивать логическое мышление учащихся.
I.Новый материал — объяснительная лекция с элементами беседы.
(лекция проводится с использованием авторских слайдов; построение графиков выполнено в программе Agrapher)
У: При изучении линий возникают две задачи:
По геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение;
Обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства.
Первую задачу мы рассматривали в курсе геометрии применительно к окружности и прямой.
Сегодня мы будем рассматривать обратную задачу.
Рассмотрим уравнения вида:
– это примеры уравнений с двумя переменными.
Уравнения с двумя переменными х и у имеет вид f(x,y)= 
(x,y), где f и – выражения с переменными х и у.
Если в уравнении х(х-у)=4 подставить вместо переменной х её значение -1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: 1*(-1-3)=4,
Пара (-1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения х(х-у)=4.
То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными имеет, как правило, бесконечно много решений. Исключения составляют, например, такие уравнения, как х 2 +( у 2 — 4 ) 2 = 0 или
Первое из них имеет два решения (0; -2) и (0; 2), второе – одно решение (0;0).
Уравнение х 4 + у 4 +3 = 0 вообще не имеет решений. Представляет интерес, когда значениями переменных в уравнении служат целые числа. Решая такие уравнения с двумя переменными, находят пары целых чисел. В таких случаях говорят, что уравнения решено в целых числах.
Два уравнения, имеющие одно и тоже множество решений, называют равносильными уравнениями. Например, уравнение х(х + у 2 ) = х + 1 есть уравнение третьей степени, так как его можно преобразовать в уравнение ху 2 + х 2 — х-1 = 0, правая часть которого – многочлен стандартного вида третьей степени.
Степенью уравнения с двумя переменными, представленного в виде F(х, у) = 0, где F(х,у)-многочлен стандартного вида, называют степень многочлена F(х, у).
Если все решения уравнения с двумя переменными изобразить точками в координатной плоскости, то получится график уравнения с двумя переменными.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения.
Так, график уравнения ax + by + c = 0 представляет собой прямую, если хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю(рис.1). Если a = b = c = 0, то графиком этого уравнения является координатная плоскость(рис.2), если же a = b = 0, а c0, то графиком является пустое множество(рис.3).
График уравнения y = a х 2 + by + c представляет собой параболу(рис.4), график уравнения xy=k (k0 ) – гиперболу(рис.5). Графиком уравнения х 2 + у 2 = r, где x и y – переменные, r – положительное число, является окружность с центром в начале координат и радиусом равным r(рис.6). Графиком уравнения является эллипс, где a и b – большая и малая полуоси эллипса (рис.7).
Построение графиков некоторых уравнений облегчается использованием их преобразований. Рассмотрим преобразования графиков уравнений с двумя переменными и сформулируем правила, по которым выполняются простейшие преобразования графиков уравнений
1) График уравнения F (-x, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси у.
2) График уравнения F (x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси х.
3) График уравнения F (-x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью центральной симметрии относительно начала координат.
4) График уравнения F (x-а, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения параллельно оси х на |a| единиц (вправо, если a > 0, и влево, если а 0, и вниз, если b 1, и с помощью растяжения от оси у в раз, если 0 1, и с помощью растяжения от оси x в раз, если 0 0 и 45 0 .
График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F (-y, x) = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F (y, -x) = 0.
9) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 45 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F = 0.
Из рассмотренных нами правил преобразования графиков уравнений с двумя переменными легко получаются правила преобразования графиков функций.
Пример 1. Покажем, что графиком уравнения х 2 + у 2 + 2х – 8у + 8 = 0 является окружность (рис.17).
Преобразуем уравнение следующим образом:
1) сгруппируем слагаемые, содержащие переменную х и содержащие переменную у, и представим каждую группу слагаемых в виде полного квадрата трехчлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2*4*у + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;
2) запишем в виде квадрата суммы (разности) двух выражений полученные трехчлены: (х + 1) 2 + (у – 4) 2 — 9 = 0;
3) проанализируем, согласно правилам преобразования графиков уравнений с двумя переменными, уравнение (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2 : графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (-1; 4) и радиусом 3 единицы.
Пример 2. Построим график уравнения х 2 + 4у 2 = 9.
Представим 4у 2 в виде (2у) 2 , получим уравнение х 2 + (2у) 2 = 9, график которого можно получить из окружности х 2 + у 2 = 9 сжатием к оси х в 2 раза.
Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единицы.
Уменьшим в 2 раза расстояние каждой её точки от оси Х, получим график уравнения
Мы получили фигуру с помощью сжатия окружности к одному из её диаметров(к диаметру, который лежит на на оси Х). Такую фигуру называют эллипсом (рис.18).
Пример 3. Выясним, что представляет собой график уравнения х 2 — у 2 = 8.
Воспользуемся формулой F= 0.
Подставим в данное уравнение вместо Х и вместо У, получим:
У: Что представляет собой график уравнения у = ?
Д: Графиком уравнения у = является гипербола.
У: Мы преобразовали уравнение вида х 2 — у 2 = 8 в уравнение у = .
Какая линия будет являться графиком данного уравнения?
Д: Значит, и графиком уравнения х 2 — у 2 = 8 является гипербола.
У: Какие прямые являются асимптотами гиперболы у = .
Д: Асимптотами гиперболы у = являются прямые у = 0 и х = 0.
У: При выполненном повороте эти прямые перейдут в прямые = 0 и =0, т.е в прямые у = х и у = — х. (рис.19).
Пример 4 : Выясним, какой вид примет уравнение у = х 2 параболы при повороте около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке.
Используя формулу F (-у; х) = 0, заменим в уравнении у = х 2 переменную х на – у, а переменную у на х. Получим уравнение х = (-у) 2 , т. е. х = у 2 (рис.20).
Мы рассмотрели примеры графиков уравнений второй степени с двумя переменными и выяснили, что графиками таких уравнений могут быть парабола, гипербола, эллипс (в частности окружность). Кроме того, графиком уравнения второй степени может являться пара прямых (пересекающихся или параллельных).Это так называемый вырожденный случай. Так графиком уравнения х 2 — у 2 = 0 является пара пересекающихся прямых (рис.21а), а графиком уравнения х 2 — 5х + 6 + 0у = 0- параллельных прямых.
(учащимся выдаются «Карточки-инструкции» по выполнению построений графиков уравнений с двумя переменными в программе Agrapher (Приложение 2) и карточки «Практическое задание» (Приложение 3) с формулировкой заданий 1-8 Графики уравнений к заданиям 4-5 учитель демонстрирует на слайдах).
Задание1. Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4) и (-1; -) являются решениями уравнения:
а) х 2 — у 2 = 0, б) х 3 — 1 = х 2 у + 6у ?
Подставив в заданное уравнение, поочерёдно координаты данных точек убеждаемся, что ни одна данная пара не является решением уравнения х 2 — у 2 = 0, а решениями уравнения х 3 — 1 = х 2 у + 6у являются пары (5;4), (1;0) и (-1; -).
Ответ:
125 — 1 = 100 + 24 (И)
-125 – 1 =-100 – 24 (Л)
-1 – 1 = — — (И)
Ответ: а); б) (5;4), (1; 0), (-1; -).
Задание 2. Найдите такие решения уравнения ху 2 — х 2 у = 12, в которых значение х равно 3.
Решение: 1)Подставим вместо Х в заданное уравнение значение 3.
2)Получим квадратное уравнение относительно переменной У, имеющее вид:
4) Решим это уравнение:
3у 2 — 9у – 12 = 0
Д = 81 + 144 = 225
Ответ: пары (3;4) и (3;-1) являются решениями уравнения ху 2 — х 2 у = 12
Задание3. Определите степень уравнения:
а) 2у 2 — 3х 3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х)(4х — у 2 ) = х;
б) 5у 2 — 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у — х 2 ) 2 = х(х 2 + 4ху + 1).
Ответ: а) 3; б) 5; в) 4; г) 4.
Задание4. Какая фигура является графиком уравнения:
а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 — 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = х 2 — у;
г) (х — 1,5)(х – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.
Ответ: а) прямая (рис.23а); б) парабола, ветви которой направлены вверх (рис.23б); в) парабола, ветви которой направлены вверх (рис.23в), г) две параллельные прямые х = 1,5 и х = 4 (рис.23г); д) гипербола (рис.23д); е) окружность, с центром в начале координат, радиусом равным 3 (рис.23е).
Задание5. Напишите уравнение, график которого симметричен графику уравнения х 2 — ху + 3 = 0 (рис.24) относительно: а) оси х; б) оси у; в)прямой у = х; г) прямой у = -х.
Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.
Ответ: а) х 3 + ху + 3 = 0 (рис.24а); б) — х 3 + ху + 3 = 0 (рис.24б); в) у 3 — ух + 3 = 0 (рис.24в); г) (-у 3 ) + ух +3 = 0 (рис.24г).
Задание6. Составьте уравнение, график которого получается растяжением графика уравнения у= х 2 -3 (рис.25):
а) от оси х в 2 раза; б) от оси у в 3 раза.
Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.
Ответ: а)у — х 2 + 3 = 0 (рис.25а); б) у-(x) 2 + 3 = 0 (рис.25б).
Задание7. На рисунке (рис.29) изображен график уравнения с двумя переменными. Найдите по графику (приближенно) два решения:
а) с одинаковыми значениями х: х = 1; -2;
б) с противоположными значениями у: у = 1, 2
Ответ: а) если х = 1, то у = -2,5 или у = 2,5, если х = -2, то у = -3,5 или у = -3,5;
б если у = 2,то х = 2,если у =-2, то х =-2; если у = 1, то х = 3,5, если у = -1, то х=-3,5
Задание8. Сравните взаимное расположение данных прямых и определите, каким преобразованием плоскости график первой прямой переводится в график второй прямой.
а) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7у = 5
б) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7(у+3) =5
в) 3х-7у = 5 и 3х + 7у = 5
г) 3х-7у = 5 и -3х-7у = 5
д) 3х-7у = 5 и 3х-7у = -5
е) 3х-7у = 5 и 7х-3у = 5
Ответ: а) прямые параллельны, перемещение параллельно оси х на 1 единицу вправо (рис.26а);
б) прямые параллельны, перемещение параллельно оси х на 1 единицу вправо и параллельно оси у на 3 единицы вниз (рис.26б);
в) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси х (рис.26в);
г) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси у (рис.26г);
д) прямые параллельны, симметричное отображение относительно начала координат (рис.26д);
е) прямые пересекаются, поворот около начала координат на 90по часовой стрелке и симметричное отображение относительно оси х (рис.26е).
III. Самостоятельная работа обучающего характера.
(учащимся выдаются карточки «Самостоятельная работа» и «Отчётная таблица результатов самостоятельной работы», в которую учащиеся записывают свои ответы и после самопроверки, по предложенной схеме оценивают работу) Приложение 4..
1.Определите степень уравнения:
а) 5х 3 -3х 2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 -(х-у) 2 = 2(х+у).
2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:
а) х 3 + у 3 -5х 2 = 0; б) х 4 +4х 3 у +6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.
3. Найдите множество решений уравнения:
х 4 + у 4 -8х 2 + 16 = 0.
4. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:
а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;
(проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания)
5. Постройте, используя программуAgrapher, график уравнения:
х 2 — 2х + у 2 — 4у = 20.
Укажите координаты центра окружности и её радиус.
6. Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 — у 2 = 16 ?
Проверьте свой ответ, выполнив графическое построение, используя программу Agrapher.
7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 — 1
1.Определите степень уравнения:
а)3ху = (у-х 3 )(х 2 +у); б) 2у 3 +5х 2 у 2 — 7 = 0.
2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:
а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 +у 3 =-1.
3. Найдите множество решений уравнения:
х 2 + у 2 -2х – 8у + 17 = 0.
4. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:
а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 =9
(проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания)
5. Постройте, используя программуAgrapher, график уравнения:
х 2 + у 2 — 6х + 10у = 2.
6.Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 — у 2 = 28 ?
7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 + 9.
Определите степень уравнения
Степень уравнения — это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения.
Просмотр содержимого документа
«Определите степень уравнения»
Как определить степень уравнения
Уравнение представляет собой математическое соотношение, которое отражает равенство двух алгебраических выражений. Чтобы определить его степень, необходимо внимательно посмотреть на все присутствующие в нем переменные.
Решение любого уравнения сводится к нахождению таких значений переменной х, которые после подстановки в исходное уравнение дают верное тождество — выражение, не вызывающее никаких сомнений.
Степень уравнения — это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения.
Уравнения бывают разных степеней. К примеру, линейные уравнения вида ax+b=0 имеют первую степень. В них присутствуют только неизвестные в названной степени и числа. Важно отметить отсутствие дробей с неизвестной величиной в знаменателе. Любое линейное уравнение сводится к изначальному виду: ax+b=0, где b может являться любым числом, а a — любым, но не равным 0. Если вы привели запутанное и длинное выражение к надлежащему виду ax+b=0, можно с легкостью найти не более одного решения.
Если в уравнении есть неизвестное во второй степени, оно является квадратным. Кроме того, в нем могут быть и неизвестные в первой степени, и числа, и коэффициенты. Но в таком уравнении отсутствуют дроби с переменной в знаменателе. Любое квадратное уравнение, подобно линейному, сводится к виду: ax^2+bx +c=0. Здесь a, b и с – любые числа, при этом число a не должно быть равным 0. Если, упрощая выражение, вы обнаружили уравнение вида ax^2+bx+c=0, дальнейшее решение довольно простое и предполагает не более двух корней. В 1591 году Франсуа Виет вывел формулы для нахождения корней квадратных уравнений. А Евклид и Диофант Александрийский, Аль-Хорезми и Омар Хайям использовали геометрические способы нахождения их решений.
Существует также и третья группа уравнений, которая называется дробными рациональными уравнениями. Если в исследуемом уравнении присутствуют дроби с переменной в знаменателе, то это уравнение — дробное рациональное или же просто дробное. Чтобы найти решения таких уравнений, надо всего лишь уметь с помощью упрощений и преобразований сводить их к рассмотренным двум известным типам.
Все остальные уравнения составляют четвертую группу. Их больше всего. Сюда входят и кубические, и логарифмические, и показательные, и тригонометрические их разновидности.
Решение кубических уравнений состоит также в упрощении выражений и нахождении не более 3 корней. Уравнения, имеющие более высокую степень, решаются разными способами, в том числе и графическим, когда на основе известных данных рассматриваются построенные графики функций и отыскиваются точки пересечений линий графиков, координаты которых и являются их решениями.
http://urok.1sept.ru/articles/412709
http://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/opriedielitie_stiepien_uravnieniia
Степень уравнения
Кроме разделения уравнений по количеству неизвестных, уравнения также разделяются по степеням неизвестных: уравнения первой степени, уравнения второй степени и так далее.
Чтобы определить степень уравнения, в нём нужно предварительно сделать следующие преобразования:
- раскрыть скобки,
- освободить уравнение от дробных членов,
- перенести все неизвестные члены в одну из частей уравнения,
- сделать приведение подобных членов.
После выполнения всех этих преобразований, степень уравнения определяется по следующим правилам:
Степенью уравнения с одним неизвестным называется показатель при неизвестном в том члене уравнения, в котором этот показатель наибольший.
Примеры:
10 — x = 2 — уравнение первой степени с одним неизвестным;
x2 + 7x = 16 — уравнение второй степени с одним неизвестным;
x3 = 8 — уравнение третьей степени с одним неизвестным.
Степенью уравнения с несколькими неизвестными называется сумма показателей при неизвестных в том члене уравнения, в котором эта сумма наибольшая.
Для примера возьмём уравнение
3x2y + xy + 25 = 0.
Для наглядности расставим показатели первой степени (которые обычно не ставят):
3x2y1 + x1y1 + 251 = 0.
Теперь посчитаем суммы показателей для тех членов уравнения, в которых присутствуют неизвестные:
3x2y1 — сумма показателей равна 2 + 1 = 3;
x1y1 — сумма показателей равна 1 + 1 = 2.
Сумма показателей у первого члена уравнения больше, чем у второго, значит, при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит, что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.
Примеры:
2xy — x = 25 — уравнение второй степени с двумя неизвестным,
xy2 — 2xy + 8y = 0 — уравнение третьей степени с двумя неизвестными.
Цель:
·
уравнения
с двумя переменными;
·
решения
уравнения с двумя переменными;
·
степень
уравнения с двумя переменными;
·
график
уравнения с двумя переменными.
Перед
вами записаны уравнения:
Все
они являются уравнениями с двумя переменными, так как в каждом из них есть две
переменные. Возьмём, например, первое уравнение и подставим в него x=3 и y=5:
Получили
неверное равенство. А если подставим x=3
и y=3,
то получим верное числовое равенство.
Определение:
Решением
уравнения с двумя переменными называется пара значений
переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.
Пара
чисел (3; 3) является решением данного уравнения. Но это не единственное
решение.
Для
определения степени уравнения с двумя переменными, нужно преобразовать его так,
чтобы в левой части стоял многочлен стандартного вида, а справа ноль. Тогда
степень уравнения считают равной степени данного многочлена.
Чтобы
определить степень многочлена с двумя переменными, нужно определить степень
каждого одночлена, входящего в состав многочлена, и выбрать из них наибольшую.
Степень данного уравнения равна 1.
Пример.
Определить
степени уравнений и найти любых два решения.
1.
Рассмотрим
уравнение:
Преобразуем
его:
Степень
данного уравнения равна 2.
Найдём
два любых решения:
Решением
данного уравнения будут пары чисел (0; 2) и (0; -2).
2.
Решить
уравнение:
Степень
уравнения равна 2.
Найдём
два решения уравнения:
Получили
две пары чисел: (-1; -6) и (3; 2).
3.
Решить
уравнение:
Преобразуем
его:
Степень
данного уравнения равна 3.
Найдём
любые два решения:
Получили
две пары: (1; 2) и (1; -2).
В
ходе выполнения заданий стало понятно, что уравнения с двумя переменными имеют
много решений. И указать все решения достаточно сложно. Если решением является
пара значений, то его можно изобразить на координатной плоскости в виде точки.
Так все решения и образуют график уравнения с двумя переменными.
Определение:
Графиком
уравнения с двумя переменными является множество точек
координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное
равенство.
Пример.
1.
Построить
график уравнения:
Так
как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим
каждое из полученных уравнений:
Изобразим
график данного уравнения:
Решением
являются две прямые: х=7 и у=-3.
2.
Построить
график уравнения:
Так
как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим
каждое из полученных уравнений:
Изобразим
график данного уравнения:
Решением
являются две прямые: х=-5 и х=2.
Пример.
Составить
уравнения, графиками которых являются пары прямых, изображённых на рисунках.
Посмотрим
на первый рисунок:
Получили,
что прямые являются графиком уравнения.
Обратимся
ко второму случаю:
Получили,
что эти прямые являются графиком уравнения.
Рассмотрим
уравнение:
Графиком
уравнения является окружность с центром в точке начала координат и радиусом r.
Например,
графиком уравнения:
является
окружность с r=4.
Пример.
Записать
уравнение окружности с центром в точке начала координат и r=6.
Получим
уравнение окружности:
Если
центром окружности не является точка начала координат, то уравнение окружности
будет выглядеть так:
Центр
окружности имеет координаты (a;
b).
Например,
Выполним
обратное действие. Но для записи уравнения окружности уже не достаточно только
координат центра, необходимо знать и радиус. Например:
Уравнение с двумя переменными и его график
План урока
- Уравнение с двумя переменными;
- График уравнения с двумя переменными;
- Уравнение окружности и ее график.
Цели урока
- Знать, что называют решением уравнения с двумя переменными, графиком уравнения с двумя переменными, определение равносильных уравнений;
- Уметь находить решение уравнения с двумя переменными;
- Знать уравнение окружности;
- Уметь строить график окружности.
Разминка
- Как называется график линейной функции? Как его построить?
- Как построить график квадратичной функции?
- Графики каких ещё функций вы умеете строить?
Уравнение с двумя переменными
Мы уже много раз говорили о необходимости уметь решать уравнения, и вы уже умеете решать некоторые виды уравнений с одной переменной. Но в задачах довольно часто встречаются уравнения с несколькими переменными. Рассмотрим уравнения с двумя переменными.
Очевидно, что новый вид уравнения отличается от старых в первую очередь тем, что теперь оно будет содержать сразу две переменные. Каждое из следующих уравнений является тем самым уравнением с двумя переменными
4x+5y=14, x2+5=y, y2+2×2-x=1.
Решить уравнение с одной переменной x означало, что необходимо найти такое значение x, при котором уравнение обращалось в верное равенство. Значит, можно сделать вывод, что для того, чтобы решить уравнение с двумя переменными x и y, необходимо найти значения для x и y, при которых уравнение обращается в верное равенство. Это второе отличие.
Решением уравнения с двумя переменными
называется пара значений переменных, обращающих это уравнение в верное равенство.
Для уравнения с двумя переменными x и y решение записывается в виде пары чисел (x0; y0), где x0, y0 — решение этого уравнения.
Например, для уравнения 4x+5y=14 пара чисел (1; 2) является решением уравнения, так как при подстановке 4·1+5·2=14, 14=14, получаем верное равенство.
Уравнение с двумя переменными, как правило, имеет бесконечное множество решений.
Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют
равносильными уравнениями
.
Для того, чтобы определить степень уравнения с двумя переменными, необходимо привести его к виду, где левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая часть – нуль. Тогда степень уравнения будет совпадать со степенью этого многочлена.
Определить степень уравнения с двумя переменными
(3x-2y2)2=9×2-1.
Решение
Преобразуем уравнение. Для этого раскроем скобки, перенесем слагаемые из правой части в левую и приведем подобные слагаемые:
9×2-12xy2+4y4-9×2+1=0,
4y4-12xy2+1=0.
В левой части получили многочлен 4y4-12xy2+1, степень которого равна 4. Значит, степень уравнения (3x-2y2)2=9×2-1 тоже равна 4.
Ответ: 4.
1. Определить какие пары чисел являются решениями уравнения y2+2×2-x=1
а) (1; 0) б) (-1; 1) в) (0; 1) г) (0: -1) д) (2; 2)
2. Определить степень многочлена (x2+y3)2=(y2-1)3
График уравнения с двумя переменными
Мы уже выяснили, что решением уравнения с двумя переменными является пара чисел и, как правило, таких решений бесконечное множество. Значит, эти решения можно изобразить на координатной плоскости.
Графиком уравнения с двумя переменными
называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.
Графики некоторых уравнений вы уже умеете строить. Например, график линейного уравнения ax+by=c, где a≠0 и b≠0, — это прямая, а график уравнения y=ax2+bx+c — парабола.
Но вообще графики уравнений с двумя переменными могут принимать абсолютно любой вид. На рисунке 1 вы можете увидеть некоторые из них.
Рис. 1. Графики функций (x2+y2 )2=3xy и (x2+y2-1)3-x2 y3=0
Уравнение окружности и ее график
Рис.2. Окружность с центром в начале координат с радиусом R
Построим в системе координат окружность с центром в начале координат с радиусом R (рис. 2). Отметим на окружности точку A. Пусть точка A имеет координаты (x0; y0). Соединим центр окружности с точкой A Получим отрезок OA, длина которого равна радиусу окружности R Опустим перпендикуляр AB на ось x. Получили прямоугольный треугольник ABO гипотенуза которого AO=R, а катеты
AB=|y0|, BO=|x0|. Длины сторон прямоугольного треугольника, как вам известно, связаны с помощью теоремы Пифагора: BO2+AB2=AO2. Таким образом, имеем, что |x0|2+|y0|2=R2 или x02+y02=R2.
Так как точку на окружности мы выбрали произвольным образом, то получившееся равенство верно для любой точки, принадлежащей окружности и имеющей координаты (x; y).
Таким образом, уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом R служит уравнение вида x2+y2=R2.
Рис. 3. График окружности (x-x0)2+(y-y0)2=R2
Известно, что параллельный перенос применим для графика любой функции, значит, можно применить сдвиги вдоль осей x и y для центра окружности. Тогда уравнение окружности с центром в точке A0(x0; y0) и радиусом R (рис. 3) имеет вид (x-x0)2+(y-y0)2=R2.
Написать уравнение окружности с центром в точке A0(-1; 2) и радиусом R=3 и построить график этой окружности.
Рис. 4. График окружности
(x + 1)2 + (y – 2)2 = 9
Решение
Подставив в уравнение окружности (x-x0)2+(y-y0)2=R2 значение координат центра и радиуса окружности, получим
(x-(-1))2+(y-2)2=32
(x+1)2+(y-2)2=9
Для того, чтобы построить окружность в координатной плоскости, нужно отметить центр в точке A0(-1; 2), а далее с помощью циркуля нарисовать окружность, радиус которой будет равен 3 (рис. 4).
Ответ: (x+1)2+(y-2)2=9.
Упражнение 2
1. Написать уравнение окружности с центром в точке A0(2; 3) и радиусом R=5.
2. Построить график этой окружности.
Контрольные вопросы:
1. Чем уравнение с двумя переменными отличается от уравнения с одной переменной?
2. Сколько решений может иметь уравнение с двумя переменными?
3. Графиком какого уравнения является окружность?
Ответы
Упражнение 1
1. а, в, г. 2. 5.
Упражнение 2
1. (x-2)2+(y-3)2=25.
2.
Инфоурок
›
Алгебра
›Презентации›Презентация по алгебре на тему «Уравнение с двумя переменными и его график» (9 класс).
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 75 человек из 34 регионов
- Сейчас обучается 105 человек из 36 регионов
- Сейчас обучается 136 человек из 43 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Тема урока
Уравнение с двумя переменными и его график -
2 слайд
Цель:
ввести основные понятия и термины темы. -
3 слайд
Каждое из уравнений
Открываем новое
Равенство, содержащее две переменные, называют уравнением с двумя переменными (или неизвестными).
Является уравнением с двумя переменными
Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений неизвестных, которые обращают это уравнение в верное равенство.
Пара чисел (4;1),в которой на первом месте значение x, а на втором − у, является решением уравнения. -
4 слайд
Открываем новое
№1 Является ли пара чисел (1;0) решением
уравнения: -
5 слайд
Открываем новое
Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называются равносильными уравнениями.
Степень целого уравнения с двумя переменными
определяется так же, как и степень целого уравнения с
одной переменной.
Стандартный вид уравнения: P(x, y) = 0.Степенью уравнения называют степень многочлена P(x, y).
− левая часть уравнения с двумя переменными — многочлен стандартного вида;
− правая часть уравнения с двумя переменными — число 0 -
6 слайд
Открываем новое
№2 Определите степень уравнения:
Чтобы выяснить степень уравнения с двумя
переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а правая – число нуль. -
7 слайд
Открываем новое
№3 Что представляет собой график уравнения:
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. -
8 слайд
На примерах учимся
Постройте график уравнения -
9 слайд
На примерах учимся
Составьте уравнение, графиком которого
является пара прямых, изображенных на рисунке.
№400 -
10 слайд
На примерах учимся
Выразите одну переменную через другую из
уравнения: -
11 слайд
На примерах учимся
Постройте график уравнения
№402
y
x
O
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5 -
12 слайд
На примерах учимся
Постройте график уравнения
№402
y
x
O
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5 -
13 слайд
На примерах учимся
Решите графически уравнение:
y
x
O
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5 -
14 слайд
На примерах учимся
Найдите с помощью графиков число корней
уравнения:
y
x
O
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5 -
15 слайд
У8844
Проверочная работа
Вариант 1
Вариант 2 -
16 слайд
А теперь, ребята, встали.
Быстро руки вверх подняли,
В стороны, вперед, назад.
Физкультминутка.
Повернулись вправо, влево,
Тихо сели, вновь за дело.
Один, два, три, четыре, пять,
Все умеем мы считать.
Отдыхать умеем тоже:
Руки за спину положим,
Голову поднимем выше
И легко – легко подышим. -
17 слайд
Что называется решением уравнения с двумя переменными?
Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
Как определить степень уравнения с двумя переменными?
Что значит привести уравнение с двумя переменными к стандартному виду?Ответим на вопросы
-
18 слайд
Учиться –все равно, что грести против течения ׃ только перестанешь и тебя гонит назад.
Задания для самоподготовки
№395, №397, №401, №405, №412,№413
Выучить: п.17.
Выполнить: -
19 слайд
Сегодня на уроке я запомнил……………..
Я научился……………………………………
Я понял…………………………………………
У меня не получилось………………………
Мне бы хотелось…………………………….
Я справлюсь с домашней работой…………
Закончи предложение:
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 267 065 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Материал подходит для УМК
-
«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е.
Тема
18. Уравнение с двумя переменными и его график
Больше материалов по этой теме
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Управление персоналом и оформление трудовых отношений»
-
Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»
-
Курс повышения квалификации «Управление финансами: как уйти от банкротства»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Метрология, стандартизация и сертификация»
-
Курс профессиональной переподготовки «Эксплуатация и обслуживание общего имущества многоквартирного дома»
-
Курс профессиональной переподготовки «Информационная поддержка бизнес-процессов в организации»
-
Скачать материал
-
15.04.2018
14584
-
PPTX
1.4 мбайт -
2718
скачиваний -
Рейтинг:
4 из 5 -
Оцените материал:
-
-
Настоящий материал опубликован пользователем Михайлик Инесса Ивановна. Инфоурок является
информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайтЕсли Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.Удалить материал
-
- На сайте: 7 лет и 11 месяцев
- Подписчики: 4
- Всего просмотров: 120530
-
Всего материалов:
21
