Как найти сторону через теорему пифагора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника одной формулой, которой пользуются до сих пор. Теорема гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a² + b² = c², где a и b — катеты треугольника (стороны, пересекающиеся под прямым углом), с — гипотенуза треугольника. Теорема Пифагора применима во многих случаях, например, при помощи этой теоремы легко найти расстояние между двумя точками на координатной плоскости.

1
Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.
- Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата, а не в виде кривой, которая обозначает непрямые углы.
2

Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты — стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу — как «с» (гипотенуза — самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла).
3
Определите, какую сторону треугольника требуется найти. Теорема Пифагора позволяет найти любую сторону прямоугольного треугольника (если известны две другие стороны). Определите, какую сторону (a, b, c) необходимо найти.
- Например, дана гипотенуза, равная 5, и дан катет, равный 3. В этом случае необходимо найти второй катет. Мы вернемся к этому примеру позднее.
- Если две другие стороны неизвестны, необходимо найти длину одной из неизвестных сторон, чтобы иметь возможность применить теорему Пифагора. Для этого используйте основные тригонометрические функции (если вам дано значение одного из непрямых углов).
4
Подставьте в формулу a² + b² = c² данные вам значения (или найденные вами значения). Помните, что a и b — это катеты, а с — гипотенуза.
- В нашем примере напишите: 3² + b² = 5².
5
Возведите в квадрат каждую известную сторону. Или же оставьте степени — вы можете возвести числа в квадрат позже.
- В нашем примере напишите: 9 + b² = 25.
6
Обособьте неизвестную сторону на одной стороне уравнения. Для этого перенесите известные значения на другую сторону уравнения. Если вы находите гипотенузу, то в теореме Пифагора она уже обособлена на одной стороне уравнения (поэтому делать ничего не нужно).
- В нашем примере перенесите 9 на правую сторону уравнения, чтобы обособить неизвестное b². Вы получите b² = 16.
7
Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. На данном этапе на одной стороне уравнения присутствует неизвестное (в квадрате), а на другой стороне — свободный член (число).
- В нашем примере b² = 16. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения и получите b = 4. Таким образом, второй катет равен 4.
8
Используйте теорему Пифагора в повседневной жизни, так как ее можно применять в большом числе практических ситуаций. Для этого научитесь распознавать прямоугольные треугольники в повседневной жизни — в любой ситуации, в которой два предмета (или линии) пересекаются под прямым углом, а третий предмет (или линия) соединяет (по диагонали) верхушки двух первых предметов (или линий), вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти неизвестную сторону (если две другие стороны известны).
- Пример: дана лестница, прислоненная к зданию. Нижняя часть лестницы находится в 5 метрах от основания стены. Верхняя часть лестницы находится в 20 метрах от земли (вверх по стене). Какова длина лестницы?
  - «в 5 метрах от основания стены» означает, что а = 5; «находится в 20 метрах от земли» означает, что b = 20 (то есть вам даны два катета прямоугольного треугольника, так как стена здания и поверхность Земли пересекаются под прямым углом). Длина лестницы есть длина гипотенузы, которая неизвестна.
    - a² + b² = c²
    - (5)² + (20)² = c²
    - 25 + 400 = c²
    - 425 = c²
    - с = √425
    - с = 20,6. Таким образом, приблизительная длина лестницы равна 20,6 метров.
Реклама

1
Выберите две точки на координатной плоскости. По теореме Пифагора можно вычислить длину отрезка, соединяющего две точки на координатной прямой. Для этого необходимо знать координаты (х,у) каждой точки.
- Чтобы найти расстояние между двумя точками, вы будете рассматривать точки в качестве вершин треугольника, не прилежащих к прямому углу прямоугольного треугольника. Таким образом, вы сможете легко найти катеты треугольника, а затем вычислить гипотенузу, которая равна расстоянию между двумя точками.
2

Нанесите точки на координатную плоскость. Отложите координаты (х,у), где координата «х» откладывается по горизонтальной оси, а «у» — по вертикальной. Вы можете найти расстояние между точками без построения графика, но график позволяет визуально представить процесс ваших вычислений.
3
Найдите катеты треугольника. Вы можете сделать это, измерив длину катетов непосредственно на графике или с помощью формул: |x₁ — x₂| для вычисления длины горизонтального катета, и |y₁ — y₂| для вычисления длины вертикального катета, где (x₁,y₁) – координаты первой точки, а (x₂,y₂) – координаты второй точки.
- Пример: даны точки: А(6,1) и В(3,5). Длина горизонтального катета:
  - |x₁ — x₂|
  - |3 — 6|
  - | -3 | = 3
- Длины вертикального катета:
  - |y₁ — y₂|
  - |1 — 5|
  - | -4 | = 4
- Таким образом, в прямоугольном треугольнике а = 3 и b = 4.
4
Используйте теорему Пифагора для нахождения гипотенузы. Расстояние между двумя точками равно гипотенузе треугольника, две стороны которого вы только что нашли. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу, подставив в формулу найденные значения катетов (a и b).
- В нашем примере а = 3 и b = 4. Гипотенуза вычисляется следующим образом:
  - (3)²+(4)²= c²
    
    c= √(9+16)
    
    c= √(25)
    
    c= 5. Расстояние между точками А(6,1) и В(3,5) равно 5.
Реклама

Советы

Гипотенуза всегда:
- лежит напротив прямого угла;
- является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;
- обозначается как «с» в теореме Пифагора;
√(х) означает «квадратный корень из х».
Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.
Еще один момент — самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона — напротив наименьшего угла.
Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка — это 3, 4, 5. Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.
- Помните, гипотенуза — всегда самая длинная сторона.
Если дан обычный треугольник (а не прямоугольный), то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.
Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с. Если вы решаете задачу, то в первую очередь постройте график.
Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, tan).
Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 140 209 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Теорема пифагора

Определение теоремы пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обозначив гипотенузу буквой — c, катеты буквами a и b получим следующее равенство

c²=a²+b²

Расчёт катета по теореме пифагора

Введите гипотенузу

c =

Введите катет

b =

Формула пифагора для катета

Где a, b — катеты прямоугольного треугольника,
с — гипотенуза прямоугольного треугольника

Расчёт гипотенузы по теореме пифагора

Введите первый катет

a =

Введите второй катет

b =

Формула пифагора для гипотенузы

Где a, b — катеты прямоугольного треугольника,
с — гипотенуза прямоугольного треугольника

Доказательство теоремы пифагора

Дано

Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Доказать

c²=a²+b²

Доказательство

Достроим треугольник HFG до квадрата со стороной a+b.

Запишем площадь получевшегося квадрата двумя способами

S=(a+b)²

S=4*0.5*a*b +c²

Приравняем площади

(a+b)²=4*0.5*a*b +c²

a²+2*a*b +b²=2*a*b +c²

a²+b²=c²

Теорема доказана

Источник

Download Article

Pythagoras’s Theorem is a formula you can use to find an unknown side length of a right triangle. It is one of the most basic geometric tools in mathematics.^[1] You will likely come across many problems in school and in real life that require using the theorem to solve. In these problems you might need to directly calculate the side length of a triangle, or use right triangles to calculate measurements of other types of polygons.

1
Find the right, or 90-degree, angle. Because this theorem only applies to right triangles, you need to determine which angle is the right angle. If the triangle does not have a right angle, you cannot use the theorem.
- Usually the right angle is denoted by a small box.
2

Determine that the missing length is the hypotenuse. The hypotenuse is the longest side of a right triangle, and will be opposite the right angle.^[2]

Advertisement
3

Write the formula for Pythagoras’s Theorem. The formula is $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , where is the length of the hypotenuse, and and are the lengths of the other sides of the triangle.^[3]
4
5

Square the length of the sides. Plug these new values into the formula.
6

Add the squared length of the sides. This sum is equal to the length of the hypotenuse squared ( $c^{{2}}$ ).
7

Find the square root of both sides of the equation. This will give you the length of your hypotenuse.
8

Use the theorem to find the sides of triangles. If you know the hypotenuse and one side of the triangle, you can still use the theorem by substituting for the appropriate values.

1
Ensure that you have the measurements for all three sides of the triangle. If you do not have all three side lengths, you cannot use the Pythagorean Theorem to determine whether the triangle is right.
- For example, you might be given a triangle with side lengths of 8, 9, and 12 cm, and you need to determine whether the triangle is right.
2

Write the formula for Pythagoras’s Theorem. The formula is $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , where is the length of the hypotenuse, and and are the lengths of the other sides of the triangle.^[4]
3
Plug the length of the potential hypotenuse into the formula. The hypotenuse is the longest side of a right triangle, so whatever measurement is largest will stand for the variable .
- For example, if the side lengths of a triangle are 8, 9, and 12 cm, you would use the measurement of 12 for the potential hypotenuse, because it’s the longest side. So, your formula will look like this: $a^{{2}}+b^{{2}}=12^{{2}}$ .
4
5

Square all of the numbers. Remember that squaring a number means to multiply it by itself.
6

Add the square of the two sides. If this sum is equal to the square of the hypotenuse, the triangle is right. If the two sides of the equation are not equal, the triangle is not right.^[5]

1

Ensure the polygon is a rectangle. A rectangle is a four-sided shape with four 90-degree angles.^[6]
2
Make sure you have the length and width of the rectangle. If you do not have these measurements, you cannot use this method.
- For example, you might be asked to use the Pythagorean Theorem to find the length of the diagonal of a 6-inch by 4-inch rectangle.
3
Locate or draw the diagonal of the rectangle. Since the diagonal of a rectangle divides the shape into two congruent right triangles, you can use Pythagoras’s Theorem to find its length.
- The length of the diagonal will equal the length of the hypotenuse of the right triangles.
4

Set up the formula for Pythagoras’s Theorem. The formula is $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , where is the length of the hypotenuse, and and are the lengths of the other sides of the triangle.^[7]
5
6

Square the length and width. Remember that squaring means to multiply a number by itself.
7

Add the squared side lengths. This sum will give you the value of the hypotenuse, or diagonal, squared.
8

Find the square root of both sides. This will give you the value of , which is the length of the right triangle’s hypotenuse, and also the length of the rectangle’s diagonal.

1

Find the shortest distance between two points. For instance, Luis walks through a park. He starts at the fountain and walks 80 feet south and 60 feet west. What is the shortest distance back to the fountain?
2

Find a missing length. For instance, find the length of , given a right triangle with a hypotenuse measuring 10 cm and one side measuring 6 cm.
3

Identify a right triangle. For instance, determine whether the triangle is right, given side lengths of 9, 12, and 15 cm.
4

Use the diagonal of a rectangle as the hypotenuse of a right triangle. For instance, Sherrie is buying a new computer screen. It needs to be less than 12 inches high to be able to fit under the shelf over her desk. She finds a computer screen with a 27-inch diagonal, and a width of 24 inches. Will this screen fit on her desk?

Add New Question

Question

How do I prove that angle A is equal to angle B?

There are many ways to prove two angles equal. Among them are: show that corresponding sides of the angles are parallel to each other; show that they are opposite angles in a rectangle, parallelogram, isosceles triangle or isosceles trapezoid; show that they are formed by two perpendicular lines; or show that they are corresponding angles of congruent or similar triangles. There are also several other ways to prove angles equal.
Question

What if I only know one side?

To use the Pythagorian Theorem you MUST know two sides. This may mean you have to use trigonometry to find another side. If you are still confused, ask your teacher.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

To find the square root of a number, use a scientific calculator. Type in the number, then hit the square root button.
When doing word problems about traveling, if you are meant to find the shortest distance you will likely use the Pythagorean Theorem. The shortest distance will be the length of the hypotenuse of a triangle superimposed over the area.
Learn the most common Pythagorean triples by heart. Since they will occur in a lot of basic Pythagorean theorem problems, being able to instantly recognise them will save you a whole lot of time.
- The most common Pythagorean triples are (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) and (7, 24, 25).

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 40,469 times.

Did this article help you?

Источник

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Теорема Пифагора

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

a = √c 2 − b 2
b = √c 2 − a 2
c = √a 2 + b 2

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.

Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

Проведём отрезок A₁B₁.
Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
Таким образом получится:

Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
A₁B₁ = AB по доказанному результату.

Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².

Доказательство

Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру

Нужно доказать, что c² = a² + b²:

Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:

Каждая сторона этого квадрата имеет длину a + b, значит его общая площадь: A = (a + b) (a + b);
Площадь наименьшего квадрата (который находится внутри, под наклоном): c²;
Площадь каждого из треугольников: ab/2. Значит площадь всех четырёх вместе: 4ab/2 = 2ab;
Сумма наименьшего квадрата и треугольников: A = c² + 2ab;
Площадь большого квадрата (A = (a + b) (a + b)) равна сумме наименьшего квадрата со всеми треугольниками. Значит:

(a + b) (a + b) = c² + 2ab

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Что и требовалось доказать.

«Пифагоровы штаны на все стороны равны»

Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора

На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.

Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):

Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).

Общая площадь исходного треугольника (С) равна сумме двух новых, маленьких (A и B): С = А + B;
Делим «Пифагоровы штаны» на 3 похожие фигуры:

Все 3 треугольника подобны друг другу (A, B, C) и из-за этого «фигуры-домики» также являются подобными.

Значит соотношение площади A и a² будет одинаковым с площадью B и b², но и с площадью C и c². Т. е.: A/a² = B/b² = C/c² = β (назовём это соотношение греческой буквой бета);

Площадь каждого треугольника, через площадь каждого из квадратов, равна: A = βa², B = βb², C = βc²;

Вспомним, что С = А + B, т. е. βc² = βa² + βb², это равно c² = a² + b².

Что и требовалось доказать.

Примеры

Задача 1

На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.

Подставить известные значения

Ответ: длина гипотенузы равна 5.

Задача 2

Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.

Подставить известные значения

Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5.

Следствия из теоремы Пифагора

Это основные следствия теоремы:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из двух катетов.
Если применить формулу теоремы Пифагора (c² = a² + b²) и равенство будет верным, (т.е. если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон), то треугольник прямоугольный.
Из формулы теоремы Пифагора также можно посчитать любой из катетов: a² = c² − b² либо b² = c² − a².
Любой косинус (cos) острого угла будет меньше 1.

Кто придумал теорему Пифагора

Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).

Узнайте также, что такое Теорема Виета и Аксиома.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-pifagora-formula

http://www.uznaychtotakoe.ru/teorema-pifagora/

Источник

Теорема Пифагора является основополагающим звеном в Евклидовой геометрии, на котором базируются большая часть всех вытекающих из теоремы Пифагора следствий и других теорем. Выведенная еще в VI веке до нашей эры, теорема связывает стороны прямоугольного треугольника простым уравнением, и имеет множество доказательств, одно из которых объединяет в себе как алгебру, так и геометрию.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике есть катеты a и b – это стороны прилегающие к прямому углу, и сумма их квадратов дает квадрат гипотенузы – третьей стороны треугольника, лежащей напротив прямого угла.

Доказать это можно, построив четыре прямоугольных треугольника так, чтобы на длинном катете каждого из них был расположен короткий катет следующего треугольника, при этом вершины углов совпадают.

Как видно из рисунка, общая фигура представляет собой квадрат со стороной c, являющей одновременно гипотенузой данных треугольников, а площадь этой фигуры равна c², согласно формуле площади квадрата. Помимо того, что этот квадрат включает в себя четыре прямоугольных треугольника площадью , в центре его находится еще один, маленький квадрат. Сторона маленького квадрата равна разности катетов, следовательно, его площадь будет равна квадрату этой разности. (a-b)²=a²-2ab+b²

Представим площадь большого квадрата в виде суммы площадей маленького квадрата и четырех треугольников по принципу суперпозиции.

Таким образом, площадь квадрата одновременно равна гипотенузе во второй степени и сумме катетов во вторых степенях, что и требовалось доказать. a²+b²=c²

Источник