Как найти сторону квадрата по теореме пифагора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.

$angle A= angle B=angle C=angle D=90^{circ }.$
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника:

Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: P=4a.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S=a^2 .

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на sqrt{2} , то есть
.

Доказательство:

Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.

Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2};$

$AC^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}, AC=asqrt{2},$ что и требовалось доказать.

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

$displaystyle r=frac{1}{2}cdot a$

Доказательство:

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.

Тогда поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть

, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:

$R=frac{sqrt{2}}{2}cdot a.$

Доказательство:

Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.

По теореме

Тогда $R=afrac{sqrt{2}}{2}$ , что и требовалось доказать.

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:

Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна sqrt{8} .

Решение:

Мы знаем, что . Тогда $a=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle d}{displaystyle sqrt{2}}= 2$ .

Ответ: 2.

Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Первый способ решения:

Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:

$displaystyle d=sqrt{2}cdot a Rightarrow a=frac{d}{sqrt{2}}Rightarrow a=frac{1}{sqrt{2}}.$

Тогда по формуле площади квадрата:

$displaystyle S=a^{2}=left (frac{1}{sqrt{2}} right )^{2}=frac{1}{2}=0,5.$

Второй способ решения:

Воспользуемся формулой для площади ромба:

$displaystyle S=frac{1}{2}d_{1}d_{2}=frac{1}{2}d^{2}=0,5.$

Ответ: 0,5

Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной sqrt{8} .

Решение:

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому

$displaystyle R=frac{d}{2}=afrac{sqrt{2}}{2}=sqrt{8}cdot frac{sqrt{2}}{2}=2.$

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Решение:

Диаметр окружности равен стороне квадрата: a=2r=8 .

Ответ: 8.

Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Диагональ найдем, зная сторону квадрата:

Ответ: 56.

Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

$displaystyle r=frac{a}{2}; R=frac{d}{2}; d=asqrt{2}.$

Поэтому

Ответ: 22.

Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение:

Найдем сторону квадрата:

Периметр квадрата со стороной 3 равен:

Ответ: 12.

Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью 4pi .

Решение:

Площадь круга $S_{kp}=pi r^{2}=4pi ,$ откуда радиус круга равен 2.

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.

Ответ: 16.

Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными sqrt{2} .

Решение:

Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна sqrt{2} ., то сторона малого квадрата равна . А сторона квадрата ABCD равна

Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.

Ответ: 2.

Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите .

Решение:

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.

Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{10}}{displaystyle 2}$ . В ответ запишем .

Ответ: 5.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Квадратu0026nbsp;u0026mdash; определение иu0026nbsp;свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Найти стороны квадрата через диагональ поможет теорема Пифагора.

Впрочем, если это квадрат, то нужно искать не стороны квадрата, а одну его сторону, поскольку все стороны равны.

Диагональ делит квадрат на два треугольника, для каждого треугольника (а они — прямоугольные), диагональ является гипотенузой, а стороны квадрата — катетами.

Чтобы не вводить лишние буквенные обозначения я так и обозначу: гипотенузу буквой «г», а сторону квадрата буквой «с».

По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

г2 = с2 + с2 (с2 — это с в квадрате, не знаю как записать точнее )

г2 = 2 с2

с2 = г2/2 (г в квадрате, делённое на 2)

с = квадратному корню из г2/2

Г — диагональ квадрата, она известна; подставляем в формулу

Источник

Квадрат – это четырёхугольная плоская геометрическая фигура с равными сторонами. Квадрат считается
прямоугольником, так как все его внутренние углы по 90°. Диагонали правильного четырёхугольника
равны между собой, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. А также они
являются биссектрисами внутренних углов (отрезок делит прямой угол на два одинаковых угла по 45°).

Знание и применение этих свойств позволяют быстро решать задачи по геометрии. Ромб с равными
диагоналями, ромб с двумя соседними прямыми углами, параллелограмм с одинаковыми диагоналями,
пересекающимися под прямым углом, все эти фигуры являются правильными четырёхугольниками.

Сторона квадрата через радиус вписанной окружности
Сторона квадрата через радиус описанной окружности
Сторона квадрата через площадь квадрата
Сторона квадрата через диагональ

Через радиус вписанной окружности

Длина стороны равна двум радиусам (диаметру) вписанной окружности:

a=2*R

где R — радиус.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Радиус – это расстояние от центра окружности до любой ее точки. Диаметр — отрезок, соединяющий
две любые точки окружности и проходящий через центр. Радиус составляет 1/2 диаметра. Все стороны
правильного четырёхугольника являются касательными прямыми к вписанной окружности. Радиус всегда
перпендикулярен касательной. Вписанная окружность делит точкой касания стороны квадрата на две
равные части. Зная величину диагонали, одинаковую длину стороны и диаметра легко можно объяснить
благодаря теореме Пифагора: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов». В данном случае если построить отрезки, соединяющие противоположные вершины правильного
четырёхугольника, образуется равнобедренный прямоугольный треугольник, где половина стороны квадрата
и радиус являются катетами, а половина диагонали — гипотенузой.

Формула вычисления через площадь

Для того чтобы определить длину стороны, зная только площадь, нужно извлечь квадратный корень из
известного значения:

a=√S

где S — площадь.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Это самый простой способ. Площадь плоской четырёхугольной геометрической фигуры – это числовое
значение, которое характеризует размер плоскости, ограниченной четырьмя сторонами. Для нахождения
площади прямоугольника необходимо умножить длину на ширину, для площади прямоугольника с равными
сторонами – возвести длину в квадрат.

Также есть и другие способы для нахождения площади правильной
четырёхугольной фигуры: через радиус вписанной или описанной окружности, периметр, через длину
отрезка, проведенного из вершины к середине противоположной стороны. Если площадь неизвестна, но
есть данные о диагонали, можно легко найти воспользоваться доступной величиной — возвести
длину отрезка в квадрат и разделить на два S=d²/2.

Этот метод также
опирается на теорему Пифагора. Поделив сумму квадратов катетов на два, можно найти площадь. Однако в
этом случае значение не понадобится для нахождения стороны, можно быстро вычислить длину катета при
помощи следующей формулы.

Вычисление через диагональ

Если в задаче изначально известна длина диагонали, можно значительно сократить маршрут поиска нужной
величины. На основе этого правила сторона вычисляется по формуле:

a=d/√2

где d — диагональ.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Через радиус описанной окружности

Известно, что диаметр описанной окружности равен диагонали, так как он совпадает с отрезком,
соединяющим вершины двух противоположных углов, а эти вершины являются точками окружности. Формула
для вычисления:

a = √2 * R

где R — радиус.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Благодаря радиусу можно найти длину диагонали, которая делит фигуру на 2 прямоугольных равнобедренных
треугольника и при помощи теоремы Пифагора найти нужную величину.

Диагональ представляет собой линию, которая соединяет две вершины противоположных углов, тем самым
разделяя правильный четырёхугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найти значение
таким способом не сложнее, чем через площадь. Главное, знать теорему Пифагора и уметь ею
пользоваться, это самый быстрый вариант. В задачах с прямоугольными фигурами теорема часто служит
выходом из сложной ситуации.

Все вычислительные способы связаны между собой. Запомнить нужные формулы несложно. Достаточно
применять их на практике каждый день, частое использование одних и тех же алгоритмов приведет к
автоматическому запоминаю правил. Не стоит заучивать формулы, необходимо больше рассуждать
логически. Такой подход позволит решать задачи более сложного уровня и легче воспринимать любую
информацию. Самым действенным методом для запоминания является практика. Отработка нескольких
идентичных задач на определенное правило поможет закрепить результат на долгий срок.

Источник

Квадрат, наряду с кругом, считается идеальной геометрической фигурой. Квадрат является не только параллелограммом, но и ромбом, и прямоугольником одновременно, так как у него все стороны равны и все углы прямые. Более того, квадрат является представителем ряда правильных многоугольников, поэтому к нему относятся и их свойства тоже. Вычислить сторону квадрата можно несколькими различными способами: через периметр квадрата, через площадь квадрата или через диагональ квадрата, а также радиусы вписанной и описанной окружностей.

Поскольку все стороны квадрата между собой равны, а периметр многоугольника – это сумма всех его сторон, то найти сторону можно, разделив периметр на четыре (количество равных сторон):

Площадь квадрата – это его сторона, возведенная во вторую степень, следовательно, если нам нужно найти сторону через площадь, то необходимо извлечь из нее квадратный корень:

Если дана диагональ квадрата, то исходя из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, который образует диагональ, сторона будет равна диагонали, деленной на корень из двух:
a²+a²=d²
2a²=d²

Источник

Сторона квадрата

Стороны фигур

Четырехугольник, у которого все четыре стороны равны, противоположные — параллельны, а углы — прямые, называется квадратом. Диагональ квадрата (d) делит его на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенузой является диагональ (d) квадрата, а катетами — две одинаковых стороны квадрата (а). Как известно по теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Т.е. d² = а² + а² = 2а².
Отсюда, сторона квадрата (а) равна диагонали квадрата (d) деленной на корень квадратный из двух.

Расчет стороны квадрата через диагональ

Расчет стороны квадрата через площадь

Источник