Как найти сторону параллелепипеда если известен угол - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Ниже приведены основные формулы, которые могут пригодиться при решении задач с прямоугольным параллелепипедом на ЕГЭ.

Прямоугольный параллелепипед. Формулы:

Чертеж:

Обозначения:

Формулы:

V — Объем.

S_полн — площадь
полной поверхности.

d — диагональ.

a,b,c — ребра.

V = a * b * c

S_полн = 2(ab + bc + ac)

d² = a² + b² + c²

Рейтинг: 2.5 из 5.0
Проголосовало: 16

Комментарии

Всего комментариев: 0

Прямоугольный параллелепипед

Прямоуго́льный параллелепи́пед (кубоид) — многогранник с шестью гранями, каждая из которых является в общем случае прямоугольником.

Противолежащие грани параллелепипеда равны. Рёбра параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, взаимно перпендикулярны.

Примерами тел, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, служат классная комната, кирпич, спичечный коробок или системный блок компьютера.

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, принадлежащих одной вершине, иногда называют измерениями. Например, распространённый спичечный коробок имеет измерения 15, 35, 50 мм.

Правильным или квадратным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого два измерения равны, у такого параллелепипеда две (из шести) противолежащие грани представляют собой квадраты.

Объём прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:

где — его измерения.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

соответственно, длина диагонали равна:

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна

Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все шесть граней куба — равные квадраты.

См. также[править | править код]

Совершенный кубоид

Ссылки[править | править код]

uztest.ru Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед, учебный фильм

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

основание;
грани;
ребра;
диагонали;
диагонали граней;
высота.

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

На рисунке: ребро АА1 перпендикулярно основанию ABCD. АА1 перпендикулярна прямым АB и АD, которые лежат в плоскости основания

Свойства прямого параллелепипеда:

Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
Sб = Ро*h
Ро — периметр основания
h — высота
Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
Sп = Sб+2Sо
Sо — площадь основания
Объем прямого параллелепипеда
V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD; боковое ребро АА1 перпендикулярно АВСD; угол BAD = 90°

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота
Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
Площадь поверхности
Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Применяем формулу:

d² = a² + b² + c²

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

d₁² = a² + b²

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Куб

Свойства куба:

В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
Противолежащие грани параллельны друг другу.
Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
Диагонали куба равны.
Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

Объем куба через длину ребра a
V = a3
Площадь поверхности куба
S = 6a2
Периметр куба
P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

D₁B = √26
BB₁ = 3
A₁D₁ = 4

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD₁² = DD₁² + BD²
BD² = BD₁² – DD₁²
BD² = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD² = AD² + AB²
AB² = BD² — AD² = (√17)2 — 4² = 1
A₁B₁ = AB = 1.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD² = AB²+AD²
BD² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁² = 52 + 25 = 77
BD₁ = √77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AC₁= 15
C₁D₁ = 3
B₁C₁= 12

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Решение задачи

В видео уроке представлено решение геометрической задачи из ЕГЭ (В13) про прямоугольный параллелепипед. При решении задачи вспоминается формула нахождения длины диагонали: квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх её измерений (измерения параллелепипеда — это рёбра выходящие из одной вершины). Задача сводится к нахождению неизвестного ребра параллелепипеда. Отмечается, что в прямоугольнике противоположные стороны равны. При вычислении искомой величины используется арифметическая операция возведение в степень.

Видео урок предназначен для учащихся 10 класса при изучении темы : «Параллельность прямых и плоскостей» (Прямоугольный параллелепипед). Решение данной задачи будет полезным учащимся 11 класса при подготовке к ЕГЭ.

Отзывы учеников

Светлана Иванова
К ЕГЭ по математике я готовилась сама, без репетитора. Ничего сверхъестественного я не делала: зубрила формулы и решала задачи на сайте ШпаргалкаЕГЭ.

Вообще к части В я готовилась в основном в конце 10-го класса, в 11-ом я занималась только частью С. Мой результат — 75 баллов.
Влад Долгорукий
Большое спасибо! Сервис нереально помог. К ЕГЭ готовился с репетитором. На занятиях использовали сайт для закрепления навыков решения различных типов задач, особенно части С. Всем рекомендую Генератор Вариантов.
Александр Шпик
Hello People. Я продвигаю свою идеологию «Втопку книжки». Зайди в ВК или на сайт ShpargalkaEGE смотри ролики по задачам. Все, что не знаешь, включая самые мелочи конспектируй и учи. Не ленись закреплять результат. Мои баллы ЕГЭ — 82.

Источник

Определение параллелепипеда

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А₁В₁С₁D₁ и четырех параллелограммов АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, СDD₁С₁, DАА₁D₁, называется параллелепипедом (рис. 1).

Рис. 1 Параллелепипед

То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А₁В₁С₁D₁ (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА₁, ВВ₁, DD₁, СС₁ параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.

Таким образом, поверхность параллелепипеда — это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А₁В₁С₁D₁ (равные параллелограммы по определению),

АА₁В₁В = DD₁С₁С (так как АА₁В₁В и DD₁С₁С – противоположные грани параллелепипеда),

АА₁D₁D = ВВ₁С₁С (так как АА₁D₁D и ВВ₁С₁С – противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС₁, В₁D, А₁С, D₁В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – АВ, А₁В₁, D₁C₁, DC, 2 – AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, 3 – АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁.

Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро АА₁ перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА₁ перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.

Рис. 3 Прямой параллелепипед

Итак, прямой параллелепипед — это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА₁⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А₁В₁С₁D₁ – прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ₁ и АВС.

АВ – ребро, точка А₁ лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ₁, а точка D в другой – в плоскости А₁В₁С₁D₁. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А₁АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА₁ – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ₁, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А₁АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А₁АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

∠(АВВ₁, АВС) = ∠(АВ) = ∠А₁АВD= ∠А₁АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .

Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед

Доказательство:

Прямая СС₁ перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС₁А – прямоугольный. По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

Так как , а , то. Поскольку СС₁ = АА₁, то что и требовалось доказать.

Следствие — Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС₁ = СА₁ = В₁D = D₁В =

Рис. 6

Куб

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба – это равные квадраты.

Задача 1 Найти диагональ куба

Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).

Рис. 7

Решение:

см.

Ответ: см.

Задача 2

Рисунок

Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁(рис. 8). Докажите, что плоскости АВС₁ и А₁В₁D перпендикулярны.

Рис. 8

Доказательство:

Прямые ВС₁и В₁С перпендикулярны как диагонали квадрата ВВ₁С₁С.

Прямая DC перпендикулярна плоскости ВВ₁С₁, а значит, и прямой ВС₁, которая лежит в этой плоскости.

Имеем, прямая ВС₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым В₁С и DC плоскости, значит А₁В₁D. Значит, прямая ВС₁ перпендикулярна плоскости А₁В₁D.

Плоскость АВС₁ проходит через перпендикуляр ВС₁ ко второй плоскости А₁В₁D, значит, плоскости АВС₁ и А₁В₁D перпендикулярны по признаку, что и требовалось доказать.

Итоги урока по теме «Прямоугольный параллелепипед и его измерения (ребра, основание, площадь, диагональ, поверхность, площадь поверхности)»

Итак, мы познакомились с прямоугольным параллелепипедом и прямым параллелепипедом, рассмотрели его основные свойства. Этой важной геометрической фигуре будет посвящен и следующий урок.

Список литературы по теме «Прямой параллелепипед», «Ребра прямоугольного параллелепипеда», «Основание параллелепипеда», «Поверхность параллелепипеда», «Длина диагонали параллелепипеда»

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание для закрепления темы «Основание параллелепипеда», «Поверхность параллелепипеда», «Основание прямоугольного параллелепипеда», «Вершины параллелепипеда», «Основание прямого параллелепипеда», «Измерения параллелепипеда»

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Задания 8, 14 стр. 68.
Каково взаимное расположение двух смежных граней прямого параллелепипеда? А не смежных?
Найдите угол между диагональю параллелепипеда и его гранями в прямоугольном параллелепипеде с измерениями a, b, c.
Найдите площадь поверхности прямого параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁, если AB = 5 см, AD = 4 см, AA₁ = 7 см, а двугранный угол при ребре AA₁ равен 30°.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

ФМ Класс (Источник).
Интернет-портал Webmath.exponenta.ru (Источник).
Я класс (Источник).

Источник

lanayoshida46:
А если известно, что диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60°?

zmeura1204:
Вот так можно.

zmeura1204:
А какие именно вам даны величины. Это важно. Высота, или в основании?

lanayoshida46:
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны
8 см и 10 см. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 600
.
Найдите объем параллелепипеда.

zmeura1204:
Например если это основание. Тогда по Теореме Пифагора найти диагональ прямоугольника √(10²+8²)=√164=2√41.

zmeura1204:
А теперь tg60=h/2√41

zmeura1204:
Условие у вас не очень правильное, таким методом можно иметь три решения.

lanayoshida46:
мне хотя бы одно решение, вообще геометрию не понимаю

lanayoshida46:
помогите пожалуйста

Ответы

Автор ответа: ranohonhasimova

Ответ:

(8+10)×2 так найти параллелепипеда

Автор ответа: zmeura1204

Решение:
∆АDC- прямоугольный треугольник
По теореме Пифагора
АС=√(АD²+DC²)=√(8²+10²)=
=√(64+100)=√164=2√41 см
tg∠A1CA=AA1/AC
tg60°=√3
√3=AA1/2√41
AA1=2√41*√3=2√123
V=AD*AB*AA1=8*10*2√123=160√123 см³.
Ответ: 160√123см³.

Приложения:

lanayoshida46:
спасибо :3

lanayoshida46:
можете посмотреть другие мои вопросы по геометрии? Если вам не сложно конечно

lanayoshida46:
можете помочь пожалуйста?

lanayoshida46:
если вам не сложно конечно

lanayoshida46:
я болела и не понимаю как их делать, даже видео уроки не помогают

Интересные вопросы

Источник

Прямоугольный параллелепипед строится на ребрах трех длин, расположенных под прямым углом друг к другу. Зная ребра параллелепипеда, можно найти все возможные параметры, характеризующие его. В первую очередь, каждая грань параллелепипеда представляет собой прямоугольник с двумя одинаковыми сторонами, периметр же всего объемного тела ищется как умноженная на четыре сумма всех сторон-ребер параллелепипеда.
P=4(a+b+c)

Площадь прямоугольного параллелепипеда складывается из площадей всех его граней, то есть шести прямоугольников, попарно конгруэнтных. Площадь каждого прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому чтобы найти площадь параллелепипеда, необходимо сложить эти произведения.
S=2ab+2bc+2ac=2(ab+bc+ac)

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, зная его ребро, нужно перемножить их между собой, так как объем любого прямого тела с двумя основаниями равен произведению площади основания на высоту тела, а в основании параллелепипеда находится прямоугольник, площадь которого также равна произведению – его сторон.
V=abc

У прямоугольного параллелепипеда есть четыре диагонали – диагонали его боковых граней и основания, и диагональ самого параллелепипеда, проходящая через его внутреннее пространство. Все диагонали рассчитывается через прямоугольные треугольники по теореме Пифагора, где они являются гипотенузами. Для диагоналей боковых граней и основания катетами являются ребра параллелепипеда, а для четвертой диагонали, катеты представляют собой боковое ребро и диагональ основания. (рис. 22.1,22.2,22.3,22.4)
d_1=√(a^2+c^2 )
d_2=√(a^2+b^2 )
d_3=√(b^2+c^2 )
d_4=√(a^2+〖d_3〗^2 )=√(a^2+b^2+c^2 )

Угол α, образованный внутренней диагональю прямоугольного параллелепипеда и диагональю основания, можно вычислить через отношение тангенса — бокового ребра а и диагонали основания d3.(рис.22.5)
tan⁡α=a/d_3 =a/√(b^2+c^2 )

Источник

Материал урока.

Прежде чем
приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, какую фигуру мы
назвали параллелепипедом, основные свойства параллелепипеда.

Напомним, что параллелепипедом
мы назвали поверхность, составленную из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁, BCC1B₁,
CDD₁C₁, DAA₁D₁.

Повторим свойства
параллелепипеда. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и
равны. Например, в параллелепипеде, который
показан на рисунке грань ABCD равна и параллельна грани
A₁B₁C₁D₁, грань AA₁B₁B равна и параллельна грани DD₁C₁D, грань AA₁D₁D равна и параллельна грани BB₁C₁C.

Диагонали
параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Эти свойства мы уже
доказывали.

Когда мы изучали
тему «Параллелепипед», мы говорили, что, если все боковые ребра параллелепипеда
перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани –
прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым. Если же и
основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед
называется прямоугольным.

Сегодня на уроке мы
познакомимся с прямоугольным параллелепипедом поближе.

Форму
прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы.

Давайте посмотрим
на рисунок.

Основаниями этого
прямоугольного параллелепипеда служат прямоугольники ABCD
и A₁B₁C₁D₁, боковые
рёбра AA₁, BB₁,
CC₁, DD₁ перпендикулярны
к основаниям. То есть можно записать, что AA₁
перпендикулярно AB, то есть боковая грань AA₁B₁B – прямоугольник. Аналогично, можно показать, что все
боковые грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Таким
образом, мы обосновали свойство прямоугольного параллелепипеда.

Сформулируем его. В
прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

Полуплоскости, в
которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы,
которые называются двугранными углами параллелепипеда.

Рассмотрим,
например, двугранный угол с ребром AB, то есть
двугранный угол между плоскостями ABB₁ и ABC.

По другому этот
угол можно записать так: угол A₁ABD.

Возьмем на ребре AB, например, точку А. AA₁
– перпендикуляр к ребру AB в плоскости ABB₁, АD– перпендикуляр к
ребру АB в плоскости ABC.
Значит, угол A₁AD – линейный угол двугранного
угла. Это прямой угол, значит, двугранный угол при ребре AB
– прямой.

Аналогично
доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда
прямые. Это утверждение является еще одним свойством прямоугольного
параллелепипеда.

Длины трех ребер,
имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, у параллелепипеда, который изображен на рисунке в качестве измерений
можно взять длины ребер AB, АD
и AA₁.

Понятно, что если
мы говорим, например, о размерах коробки, которая имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, то мы вместо слова измерения используем слова: длина, ширина и
высота.

Давайте вспомним,
что в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов смежных сторон.
Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника. Тогда это
утверждение можно переформулировать так: квадрат диагонали прямоугольника равен
сумме квадратов двух его измерений.

Аналогичным
свойством обладает и прямоугольный параллелепипед.

Сформулируем теорему.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех
его измерений.

Пусть дан
прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Тогда нам надо доказать, что, например, .

Доказательство.

Поскольку
параллелепипед прямоугольный, то ребро CC₁перпендикулярно
к основанию ABCD. А, значит, угол ACC₁
– прямой.

Рассмотрим
треугольник ACC₁. Это прямоугольный
треугольник, значит, по теореме Пифагора можно записать, что .

AC
– диагональ прямоугольника ABCD. Значит, по свойству
диагоналей прямоугольника можно записать, что . Кроме
того, мы знаем, что ребро CC₁ равно AA₁. Тогда подставив все в выражение для , получим,
что .

Что и
требовалось доказать.

Теперь давайте
сформулируем и докажем следствие из этой теоремы.

Диагонали
прямоугольного параллелепипеда равны.

Это следствие легко
доказать, если мы посмотрим на доказательство теоремы. Мы могли взять вместо
диагонали AC₁, например, диагональ CA₁ или диагонали BD₁
или DB₁, но мы бы получили то же самое
выражение.

Если мы обозначим
измерения прямоугольного параллелепипеда буквами a, b, c, тогда можно записать, что .

Если все измерения
прямоугольного параллелепипеда равны, то такой прямоугольный параллелепипед
называется кубом.

Поскольку все
измерения куба равны, значит, все грани куба – квадраты.

Решим несколько
задач.

Задача. Измерения
прямоугольного параллелепипеда равны .
Найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Решение.

Воспользуемся
следствием из теоремы и запишем, что все диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.

Теперь применим
теорему и запишем, что диагонали равны корню квадратному из суммы квадратов измерений
прямоугольного параллелепипеда.

Поскольку мы знаем,
что все диагонали параллелепипеда равны, при решении задач мы будем изображать
только одну диагональ параллелепипеда, если условие задачи не потребует
изобразить больше диагоналей.

Ответ.

Решим еще одну
задачу.

Задача. В
прямоугольном параллелепипеде измерения равны , , . Найти
диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и
плоскостью его основания.

Решение.

Ответ. ; .

А теперь давайте решим
одну задачу, которую очень часто решают люди, которые делают ремонт.

Задача. Измерения
комнаты равны , , .
Подсчитать площадь пола, потолка, и стен комнаты.

Решение.

Каждая из граней
прямоугольного параллелепипеда – прямоугольник. Для того, чтобы найти площадь
каждой грани, достаточно перемножить соответствующие измерения каждого
прямоугольника.

Ответ. 20м²;
15 м²; 12 м²

Решим еще одну
задачу.

Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
а два измерения равны соответственно и . Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.

Решение.

Запишем формулу,
связывающую квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда и квадраты
измерений прямоугольного параллелепипеда.

(Очевидно, что
измерение прямоугольного параллелепипеда не может быть отрицательным числом).

Ответ. 4

Решим еще одну
задачу.

Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
, . Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.

Решение.

Ответ. 8

Решим еще одну задачу.

Задача. Измерения
параллелепипеда равны ,
, . На ребре
прямоугольного
параллелепипеда, изображенного на рисунке, дана точка такая,
что отношение . На ребре
отмечена
точка так, что . На
отрезке отмечена
точка , которая
является серединой отрезка . Найти
длину отрезка .

Решение.

Сначала построим
плоскость, в которой будет лежать отрезок МК. Для этого достаточно из точки Е
опустить перпендикуляр на грань ABCD. Получим точку E₁. Тогда в плоскости EE₁C и будет лежать искомый отрезок КМ.

Найдем длину
отрезка KC₁.Рассмотрим треугольник EB₁C₁.

Теперь из
треугольника MKC₁ определим МК.

Подведем итоги
урока.

Сегодня на уроке мы
повторили определение параллелепипеда, повторили основные свойства
параллелепипеда. Дали определение прямоугольному параллелепипеду, измерениям
прямоугольного параллелепипеда, рассмотрели свойства прямоугольного
параллелепипеда. Решили несколько задач.

Источник