Задачи на вычисление стороны основания пирамиды составляют в задачнике по геометрии довольно большой раздел. Очень многое зависит от того, какая гемоетрическая фигура лежит в основании, а также от того, что дано в условиях задачи.
Вам понадобится
В школьном курсе геометрии рассматриваются главным образом пирамиды, в основании которых лежит правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны равны. Проекция вершины пирамиды совпадает с центром ее основания. Начертите пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник. В условиях могут быть даны:
— длина бокового ребра пирамиды и угол его с ребром между боковой гранью и основанием;
— длина бокового ребра и высота боковой грани;
— длина бокового ребра и высота пирамиды.
Если известны боковое ребро и угол, задача решается несколько иначе. Вспомните, что собой представляет каждая боковая грань пирамиды, в основании которой лежит равносторонний многоугольник. Это равнобедренный треугольник. Проведите его высоту, которая одновременно является биссектрисой и медианой. То есть половина стороны основания a/2=L*cosA, где а – сторона основания пирамиды, L – длина ребра. Чтобы найти размер стороны основания, достаточно полученный результат умножить на 2.
Если в задаче даны высота боковой грани и длина ребра, найдите сторону основания по теореме Пифагора. Боковая грань в данном случае будет гипотенузой, известная высота –з одним из катетов. Чтобы найти длину второго катета, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат второго катета, то есть (a/2)2=L2-h2, где а – сторона основания, L – длина боковой грани, h – высота боковой грани.
В этом случае нужно выполнить дополнительное построение, чтобы можно было оперировать тригонометрическими функциями. Вам даны боковое ребро L и высота пирамиды H, которая соединяет вершину пирамиды с центром основания. Из точки пересечения высоты с плоскостью основания проведите отрезок, соединив эту точку с одним из углов основания. У вас получился прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковое ребро, одним из катетов – высота пирамиды. По этим данным легко найти второй катет треугольника, для этого достаточно из квадрата бокового ребра L вычесть квадрат высоты H. Дальнейшие действия зависят от того, какая именно фигура лежит в основании.
Вспомните свойства равностороннего треугольника. У него высоты одновременно являются биссектрисами и медианами. В точке пересечения они делятся пополам. То есть получается, что вы нашли половину высоты основания. Для удобства вычислений проведите все три высоты. Вы увидите, что отрезок,квадрат длины которого вы уже нашли, является гипотенузой прямоугольного треугольника. Извлеките квадратный корень. Вам известен и острый угол – 30°, так что найти половину стороны основания не составит особого труда, применив теорему косинусов.
Для пирамиды, в основании которой лежит правильный четырехугольник, алгоритм будет тем же самым. Если вы вычтите из квадрата бокового ребра квадрат высоты пирамиды, получите возведенную в квадрат половину диагонали основания. Извлеките корень, найдите размер диагонали, которая одновременно является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Размер любого из катетов найдите по теореме Пифагора, синусов или косинусов.
Сторона основания пирамиды является стороной правильного многоугольника, исходя из этого, можно найти все параметры пирамиды, связанные с основанием, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников.
P=n(a+b)
S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1)
r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )
Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла. (рис.34.2)
R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )
Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n
Зная боковое ребро в совокупности со стороной основания, можно вычислить высоту пирамиды и ее апофему из прямоугольных треугольников, которые они образуют. (рис.34.5, 35.1)
h=√(b^2-R^2 )=√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 )
l=√(b^2-a^2/4)
Косинус угла между боковым ребром и основанием будет равен отношению радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру пирамиды, а косинус угла между апофемой и основанием – отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме. (рис.34.4,34.5)
cosα=R/b=a/(2b sin〖(180°)/n〗 )
cosβ=r/l=a/(2 tan〖(180°)/n〗 √(b^2-a^2/4))
Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей треугольников, являющихся ее гранями, каждая из которых равна половине произведения апофемы на сторону основания, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания.
S_(б.п.)=lan/2=(√(b^2-a^2/4) an)/2
S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan〖(180°)/n〗 ))=an(√(b^2-a^2/4)/2+a/(4 tan〖(180°)/n〗 ))
Чтобы найти объем пирамиды, необходимо вычислить треть от произведения ее высоты на площадь основания, последовательно подставив выражения для площади и высоты в формулу.
V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan〖(180°)/n〗 )
Радиус сферы, которая может быть вписана в пирамиду, равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а радиус сферы, описанной вокруг пирамиды – квадрату бокового ребра, деленному на две высоты. (рис.34.6,34.7)
r_1=3V/S_(п.п.) =(a√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(tan〖(180°)/n〗 (2√(b^2-a^2/4)+a/tan〖(180°)/n〗 ) )
R_1=b^2/2h=b^2/(2√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))
ответы
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
похожие вопросы 5
Видео по теме
Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде 
точка 
– центр основания, 
– вершина, 
Найдите длину отрезка 
.
Решение: + показать
Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, 
Найдите боковое ребро 
Решение: + показать
Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 
боковые ребра равны 
Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 4. В правильной четырёхугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, 
Найдите длину отрезка 
Решение: + показать
Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 
и 
Ее объем равен 
Найдите высоту этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием 
боковое ребро 
равно 
сторона основания равна 
Найдите объём пирамиды.
Решение: + показать
Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
Решение: + показать
Задача 8. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 
У второй пирамиды высота в 
раза больше, а сторона основания в 
раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.
Решение: + показать
Задача 9. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 
а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 
Найти сторону основания пирамиды.
Решение: + показать
Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 
и Ее объем равен 
Найдите высоту этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 
боковые ребра равны 
Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 12. В правильной треугольной пирамиде 
медианы основания 
пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 
объем пирамиды равен Найдите длину отрезка 
.
Решение: + показать
Задача 13. В правильной треугольной пирамиде точка 
— середина ребра 
— вершина. Известно, что 
а 
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение: + показать
Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 
а высота равна 
Решение: + показать
Задача 15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 
а объем равен 
Решение: + показать
Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 
боковые ребра равны 
Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды 
Сторона основания равна Найдите боковое ребро.
Решение: + показать
Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?
Решение: + показать
Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?
Решение: + показать
Задача 20. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?
Решение: + показать
Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 
°. Высота пирамиды равна 
Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен 
отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Решение: + показать
Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 
Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2 
Решение: + показать
Задача 25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.
Решение: + показать
Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен 
Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды 
если объём треугольной пирамиды 
равен 
Решение: + показать
Задача 28. Объем параллелепипеда 
равен Найдите объем треугольной пирамиды 
Решение: + показать
Задача 29. Объем куба равен 
Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Решение: + показать
Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 
Решение: + показать
Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 
Точка 
— середина ребра 
. Найдите объем треугольной пирамиды 
.
Решение: + показать
Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен 
отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Решение: + показать
Задача 33. Ребра тетраэдра равны 
Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи по теме «Правильная и прямоугольная пирамиды»
(blacktriangleright) Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер ((SR)) перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).
Грани, образованные этим ребром, будут представлять собой прямоугольные треугольники ((triangle SMR, triangle SPR)).
(blacktriangleright) Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:
(sim) боковые ребра равны;
(sim) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
(sim) боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.
(blacktriangleright) Заметим, что у правильных многоугольников центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
(blacktriangleright) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Высота этих треугольников, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.
Задание
1
#2854
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана правильная треугольная пирамида (SABC) с вершиной (S). Известно, что сторона основания пирамиды равна (3sqrt3), а угол между ее высотой и боковым ребром равен (60^circ). Найдите объем пирамиды.
Пусть (SH) – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Пусть (CC_1) – высота (а значит и медиана) основания. Тогда [CC_1=dfrac{sqrt3}2AB.] Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то [CH=dfrac23CC_1=dfrac{sqrt3}3AB.] Из прямоугольного (triangle SHC): [mathrm{tg},60^circ=dfrac{CH}{SH}quadRightarrowquad
SH=dfrac{CH}{sqrt3}=dfrac13AB.] Следовательно, объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SHcdot S_{ABC}=dfrac13cdot
dfrac13cdot 3sqrt3cdot dfrac12cdot 3sqrt3cdot
dfrac{sqrt3}2cdot 3sqrt3=dfrac{27}4=6,75.]
Ответ: 6,75
Задание
2
#2856
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана правильная четырехугольная пирамида (SABCD) с вершиной (S). Угол между боковым ребром и стороной основания равен (60^circ), а (AB=sqrt[4]3). Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Так как пирамида правильная, то все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники. Так как у них угол при основании равен (60^circ), то они являются равносторонними, то есть все боковые ребра пирамиды равны стороне основания. Площадь правильного треугольника со стороной (a) вычисляется по формуле (dfrac{sqrt3}4a^2), следовательно, площадь боковой поверхности [S_{text{бок. пов-ти}}=4cdot dfrac{sqrt3}4AS^2=sqrt3AS^2=sqrt3cdot sqrt3=3.]
Ответ: 3
Задание
3
#2858
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана прямоугольная пирамида (SABCD), причем (SA) – высота пирамиды, а (ABCD) – ромб. Диагональ (BD) ромба равна (8sqrt3), а боковое ребро (SC) равно (5). Найдите объем пирамиды, если также известно, что угол между (SC) и плоскостью основания равен (30^circ).
Так как (SA) – высота, то она перпендикулярна плоскости основания, следовательно, по определению (AC) является проекций (SC) на плоскость основания. А так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, то (angle SCA) – угол между (SC) и основанием.
Так как (SA) перпендикулярна основанию, то она перпендикулярна любой прямой из основания, следовательно, (triangle SAC) прямоугольный. Значит, (AS) как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине (SC), то есть (AS=2,5).
По теореме Пифагора из этого же треугольника [AC=sqrt{SC^2-SA^2}=2,5sqrt3.] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем [V=dfrac13cdot SAcdot dfrac12cdot ACcdot BD=25.]
Ответ: 25
Задание
4
#1865
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В прямоугольной пирамиде (SABCD): (SB) – высота пирамиды, (ABCD) – прямоугольная трапеция с прямыми углами (angle BAD) и (angle ABC). Найдите объем пирамиды, если (angle SAB = 60^circ), (angle SCB = 30^circ), (AD = 2cdot AB), а (AB = sqrt3).
(triangle ABS) и (triangle CBS) – прямоугольные треугольники (Rightarrow) (SB = ABcdotmathrm{tg},60^circ = sqrt3cdotsqrt3 = 3) (Rightarrow) (BC = SBcdot mathrm{ctg},30^circ = 3sqrt3) (Rightarrow) (S_{ABCD} = frac{1}{2}cdot(AD + BC)cdot AB = frac{1}{2}cdot(2sqrt3 + 3sqrt3)cdotsqrt3 = 7,5) (Rightarrow) [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot SBcdot S_{ABCD} = frac{1}{3}cdot3cdot7,5 = 7,5]
Ответ: 7,5
Задание
5
#3113
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана правильная четырехугольная пирамида, объем которой равен (7). Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной исходной пирамиды, а вершины основания совпадают с серединами сторон основания исходной пирамиды.
Рассмотрим рисунок. Пусть (SABCD) – исходная пирамида, (A’, B’, C’,
D’) – середины отрезков (AB, BC, CD, DA) соответственно. (SO) – высота пирамиды (SABCD). [V_{SABCD}=dfrac13cdot SOcdot AB^2] Заметим, что (SO) – также высота пирамиды (SA’B’C’D’).
Так как (ABC) – прямоугольный треугольник, то (AC=sqrt{AB^2+BC^2}=sqrt2AB). Так как (A’B’) – средняя линия в (triangle ABC), то [A’B’=frac12AC=dfrac{sqrt2}2AB] Так как (A’B’parallel AC, A’D’parallel BD), а (ACperp BD), то (A’B’perp
A’D’), следовательно, (A’B’C’D’) – квадрат. Следовательно, [V_{SA’B’C’D’}=dfrac13cdot SOcdot A’B’^2=dfrac13cdot SOcdot
dfrac12AB^2=
dfrac12V_{SABCD}=3,5.]
Ответ: 3,5
Задание
6
#2857
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана прямоугольная пирамида (SABCD), в основании которой лежит параллелограмм со сторонами (AD) и (AB), соответственно равными (2) и (3), и углом между ними (arcsin dfrac{sqrt3}4), а боковое ребро (SA) перпендикулярно основанию. Найдите объем пирамиды, если (SD=4).
Пусть (angle DAB=arcsin dfrac{sqrt3}4), следовательно, (sinangle DAB=dfrac{sqrt3}4).
Так как (SA) перпендикулярно основанию, то оно перпендикулярно любой прямой из основания, следовательно, (triangle SAD) – прямоугольный. Также по определению (SA) является высотой пирамиды. Следовательно, по теореме Пифагора [SA=sqrt{SD^2-AD^2}=2sqrt3.] Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними, следовательно, объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SAcdot ABcdot ADcdot sinangle DAB=3.]
Ответ: 3
Задание
7
#2853
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана правильная треугольная пирамида (SABC) с основанием (ABC), сторона которого равна (sqrt{18}). Найдите объем пирамиды, если угол (SAB) равен (60^circ).
Пусть (SH) – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис). Также боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники. Так как в равнобедренном (triangle
ASB) угол при основании равен (60^circ), то треугольник равносторонний, следовательно, (AS=AB=sqrt{18}).
Пусть (AA_1) – высота основания. Следовательно, [AA_1=dfrac{sqrt3}2AB.] Так как (AA_1) – медиана, а медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то [AH=dfrac23AA_1=dfrac{sqrt3}3AB.] Следовательно, по теореме Пифагора [SH=sqrt{AS^2-AH^2}=dfrac{sqrt6}3AB.] Тогда объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SHcdot S_{ABC}=
dfrac13cdot dfrac{sqrt6}3ABcdot dfrac12cdot ABcdot dfrac{sqrt3}2AB=9.]
Ответ: 9
Задания из раздела «Геометрия в пространстве» по теме «Правильная и прямоугольная пирамида» являются обязательной частью ЕГЭ по математике. Понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки. Школьники, которые знают принцип решения задач с правильной треугольной и четырехугольной пирамидой, смогут выполнять задания с любым количеством действий и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи аттестационного испытания.
Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной сдачи единого государственного экзамена!
Часто во время подготовки к аттестационному испытанию учащиеся сталкиваются с проблемой поиска подходящего источника. Школьный учебник далеко не всегда присутствует под рукой, когда это необходимо. А поиск требуемых формул для вычисления, к примеру, объема прямоугольной пирамиды, бывает достаточно сложным даже в Интернете в онлайн-режиме.
Для того чтобы подобные задания не вызывали затруднений, готовьтесь к единому государственному экзамену вместе с математическим порталом «Школково». Мы предлагаем принципиально новый подход к построению занятий с выпускниками. Наш портал помогает учащимся выявить наиболее сложные разделы и улучшить собственные знания.
Что такое правильная и прямоугольная пирамида, как вычисляются объем и площадь пирамиды, какие базовые теоремы и важные нюансы нужно знать для выполнения заданий — всю эту информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Этот материал систематизирован и изложен нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.
Чтобы задачи ЕГЭ на площадь поверхности правильной пирамиды не вызывали особых сложностей, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Найти подобные задания вы можете в разделе «Каталог».
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды