Как найти сторону прямоугольника 8 класс геометрия - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Где d — диагональ,b — сторона.

Где d — диагональ,α — угол между диагональю и искомой стороной.

Где d — диагональ,α — угол между диагональю и другой стороной.

Где S — площадь, b— известная сторона.

Где P — периметр, b — известная сторона.

Где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

Прямоугольник — это четырехугольник у которого противоположные стороны равны и параллельны AB = CD и BC = DA.
Стороны прямоугольника являются его высотами.
Между прилегающими сторонами угол всегда 90°.

Как найти длину стороны прямоугольника?

Сторона прямоугольника может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.

	a = √d² ― b²
	a = d·cos(α)
	a = d·sin(α)
	a = S b
	a = P — 2b 2
	a = d·sin(0.5·α)

Источник

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 200.

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 200.

В этой статье мы разберем в подробностях, как найти каждую из сторон прямоугольника. Посмотрим, какие ситуации возможны в задачах и разберем самые трудные и интересные из задач.

Длины прямоугольника

Очень часто понятия длины и ширины путаются. Некоторые источники утверждают, что вертикальные стороны прямоугольника – это ширина. Но это редкость, обычно длиной называется большая сторона прямоугольника, а шириной меньшая.

Для лучшего восприятия стоит располагать фигуру так, чтобы длина находилась в основании, а боковые стороны имели размеры ширины. Так будет проще решать задачи.

Перед тем, как перейти непосредственно к решению задач, нужно повторить несколько фактов, которые облегчат решение:

Диагонали прямоугольника равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали прямоугольника делят прямоугольник на 4 равнобедренных треугольника, которые равны между собой.

Рис. 1. Прямоугольник

Примеры решения задач

Решим задачу, связанную с формулами вычисления сторон прямоугольника. Рассмотрим несколько вариантов нахождения длин сторон при различных известных параметрах.

Задача 1

Известно, что площадь прямоугольника равна 21, а периметр 20. Найти стороны прямоугольника.

Такая задача содержит две неизвестных. Величины сторон a и b. Чтобы найти оба значения необходимо составить систему уравнений:

$(a+b)*2=P$ (уравнение нахождения периметра как суммы сторон фигуры)

$a*b=S$ (уравнение для нахождения площади)

При наличии двух неизвестных для решения системы необходимо наличие двух уравнений. Поэтому невозможно найти стороны прямоугольника, зная только площадь или только периметр.

Продолжим решение. Выразим значение a из первого выражения системы.

$(а+b)*2=Р$
$а+b={Рover{2}}$
$а={Рover{2}}-b$
Подставим значение периметра: $а={20over{2}}-b=10-b$

Подставим получившееся выражение в уравнение нахождения площади:

$a*b=S$

$(10-b)*b=21$

$b^2-10b-21=0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Такое уравнение будет иметь два корня. Сумма корней будет равна 10, а произведение 21. Такое возможно при значении корней 3 и 7, так как это единственные числа, подходящие под данные условия.

$а=10-b$

Значит, при $b=3$, $а=10-3=7$

При $b=7$, $a=10-7=3$. То есть в любом случае, стороны будут равны 7 и 3. Это и есть ответ задачи.

Задача 2

Известно, что сторона прямоугольника равна 16, а диагональ 20. Найти другую сторону прямоугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Задача решается теоремой Пифагора. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике нам известна гипотенуза (20) и катет (16).

Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы. Искать будем сторону а, предположив, что известная нам сторона это сторона b.

$D^2=a^2+b^2$

$A^2=d^2-b^2$

$а^2=400-256=144$

Корень квадратный из 144 равен 12. Это и есть ответ к задаче.

Задача 3

Известно, что прямоугольник представляет собой ромб. Площадь ромба равна 25, необходимо найти все стороны четырехугольника.

Рис. 3. Квадрат.

У прямоугольника все углы прямые, а у ромба все стороны между собой равны. Значит, четырехугольник, который одновременно является и ромбом, и прямоугольником это фигура с 4 прямыми углами и сторонами, равными между собой. Такой фигурой может быть только квадрат.

Стороны квадрата равны, значит нас интересует одно значение. Площадь квадрата это значение стороны, возведенное в квадрат.

$а^2=S$

$а^2=25$

$а=5$

Что мы узнали?

Мы узнали, как найти длины прямоугольника. Рассмотрели различные типовые ситуации и научились решать задачи, связанные с нахождением длин прямоугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 200.

А какая ваша оценка?

Источник

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

Кроме этого:

1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
2. Все углы прямоугольника прямые.
3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
4. Диагонали прямоугольника равны.
5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

или

Из равенства (1) найдем d:

Пример 1. Стороны прямоугольника равны . Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

Подставляя (3) в (2), получим:

Пример 2. Стороны прямоугольника равны . Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:

Ответ:

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:

Ответ:

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

Действительно.

Тогда

Имеем ( small sqrt{D} <2d ,) ( small P > 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна , а периметр равен . Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):

Подставляя значения и в первую формулу (12), получим:

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения и в формулу, получим:

Ответ: ,

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.

Определение прямоугольника
Свойства прямоугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
Признаки прямоугольника
Формулы

Определение прямоугольника

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90° (т.е. являются прямыми).

∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°

Прямоугольник состоит из:

длины – более длинная пара сторон. Обычно обозначаются латинской буквой, например, a;
ширины – более короткая пара сторон. Чаще всего обозначаются как b.

Сам прямоугольник обычно записывается путем перечисления его вершин, например, ABCD в нашем случае.

Примечание: Прямоугольник является разновидностью параллелограмма.

Свойства прямоугольника

Свойство 1

Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.

AD = BC = a, AD || BC
AB = CD = b, AB || CD

Свойство 2

Длина и ширина прямоугольника одновременно являются его высотами, т.к. они взаимно перпендикулярны.

a – это высота h₁, проведенная к стороне b
b – это высота h₂, проведенная к стороне a

Свойство 3

Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб.

Свойство 4

Квадрат диагонали (d) прямоугольника равняется сумме квадратов его смежных сторон.

d² = a² + b²

Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить к любому из прямоугольных треугольников, которые образуются в результате деления диагональю прямоугольника.

Свойство 5

Диагонали прямоугольника равны, и в точке пересечения делятся пополам.

AC = BD = d
AE = EC = BE = ED

Свойство 6

Около любого прямоугольника можно описать окружность, радиус (R) которой равен половине диагонали этого прямоугольника.

Следовательно, диаметр окружности равен полной длине диагонали прямоугольника.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если верно одно из следующих утверждений:

Его диагонали равны.
Все его углы равны.
Если квадрат диагонали равен сумме квадратов его смежных сторон.

Формулы

1. Площадь прямоугольника (S):

S = a ⋅ b

2. Периметр прямоугольника (P):

P = a + a + b + b = 2a + 2b

Источник

Давайте вспомним, что параллелограммом
называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны.

Дадим определение прямоугольнику. Итак, прямоугольник
– это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Так как прямоугольник является параллелограммом, то
он обладает всеми его свойствами.

У прямоугольника противоположные стороны равны.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся
пополам.

Кроме этих свойств рассмотрим ещё одно свойство –
свойство диагоналей прямоугольника.

Теорема. Свойство диагоналей прямоугольника. Диагонали
прямоугольника равны.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные и
.

Катет –
общий, как
противоположные стороны прямоугольника.

по
двум катетам.

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Теорема. Признак прямоугольника.
Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство.

Пусть –
параллелограмм,

Рассмотрим и
.

Сторона –
общая, как
противоположные стороны параллелограмма,

по
условию.

по
третьему признаку. Следовательно, .

,
.

Получаем .

Следовательно, –
прямоугольник.

Теорема доказана.

Давайте решим задачу.

Задача. В прямоугольнике
сторона
см,
а.
Найдите диагональ .

Решение.

–
прямоугольный.

(см).

,следовательно,
см.

Ответ: см.

Задача. В прямоугольнике
диагонали
пересекаются в точке .
.
Найдите .

Решение.

следовательно, –
равнобедренный.

Ответ: .

Задача. Найдите
периметр прямоугольника ,
если биссектриса делит
сторону на
отрезки см
и см.

Решение.

–
прямоугольный.

–
равнобедренный,.

Так как см,
то см.

см.
(см),

см.

(см).

Ответ: см.

Источник